CC BY
79
Дедков В.К., Масоди Д.А. АНАЛИЗ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
Работа выполнена по гранту 08-08-00086-а
Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Анализу вариационных методов решения таких задач посвящается эта статья.
Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.
Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения.
Однако можно указать некорректно поставленные задачи, относящиеся как к классическим разделам математики, так и к различным классам практически важных прикладных задач.
К таким задачам относятся задачи создания систем автоматической математической обработки результатов эксперимента, задачи оптимального управления и оптимального проектирования систем.
Основы теории решения некорректных задач заложили академики А.Н. Тихонов, М.А. Лаврентьев и их последователи.
К настоящему времени разработано большое число как общих, так и частных методов решения некорректных задач, нашедших разнообразное применение на практике.
Определение. Задачу Ах = у (1)
называют корректной по Тихонову на множестве Меи, а само множество М называют ее множеством (классом) корректности, если:
1) точное решение задачи существует и принадлежит множеству МеХ, т. е. уеЫ=АМ;
2) решение единственно на множестве М, т. е. оператор обратим на множестве М;
3) существует непрерывная зависимость решения х от правой части у, когда вариации у не выводят
1 —1
решение за пределы множества М, т. е. оператор А непрерывен в относительной топологии множества N.
При решении уравнения типа (1) естественно исходить из предположения, что точные данные задачи {А, у} известны нам лишь приближенно, т. е. в действительности считать известной пару {Ай, уз}, аппроксимирующую в выбранной топологии пару {А, у}.
Определение. Пусть (X, г) (У, р) - метрические пространства, а оператор А взаимно однозначен. Параметрическое семейство определенных на всем пространстве У многозначных отображений {Яа: У^Х} назы-
вается регуляризатором (регуляризирующим оператором или алгоритмом) задачи (1.1) на множестве Б е Х, а Б называется множеством регуляризируемости, если для всякого числа г > 0 существует 5 > 0 и значение параметра а=а(5) такие, что при любых элементах уо е А(В п В(А)) (Б(А) - область определения оператора А) и у5еУ, р( У с’ У? <3 , для произвольного элемента хе убудет справедливо неравенство
г (х’ А-1 у с) <е. Иными словами, существует возможность выбрать значение параметра &(&) независимо от элемента уо е А(П п П(А)) таким образом, чтобы множества Я-а(8)У з сходились к точке А"У с при 3^ с
В настоящий момент разработано большое число методов решения широкого класса некорректных задач. Эти методы можно условно разделить на два больших класса: вариационные методы и методы, основанные
на численных приближениях.
Наиболее универсальными являются вариационные методы. В их основе лежит принцип минимизации специально сконструированных функционалов. Проанализируем вариационные методы решения некорректных задач, а именно: метод квазирешений, метод регуляризации и метод невязки.
Квазирешением уравнения (1) на множестве M СX называется всякий элемент х' GM , для которого
справедливо равенство [1]
р(Ах, у) = inf р(Ax, у).
xgM
Другими словами, квазирешение х' GM - это такая точка, образ которой Ах' реализует расстояние правой части уgY до образа N = AM множества M . Если множество M содержит точное решение, то это решение является и квазирешением. Таким образом, понятие квазирешения обобщает понятие решения, и для его существования не требуется принадлежность решения множеству M . Тем самым снимаются трудности с требованием 1) тихоновской корректности, вызывающим переопределенность задачи, и трудности с требованием 3), поскольку обычно нам неизвестна принадлежность приближенных правых частей уравнения множеству N , а критерии этой принадлежности часто сами бывают неустойчивыми.
Теорема 1. Пусть X , Y - банаховы пространства, причем пространство Y строго выпукло. Если оператор А взаимно однозначен, непрерывен и аддитивен, то задача об отыскании квазирешения уравне-
ния (1) на выпуклом компакте M с X поставлена корректно по Адамару [1].
Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 пространство X - гильбертово, а под множеством M СX по-
нимается любой замкнутый ограниченный шар jx: ||х — х|| < rj , то задача об отыскании квазирешений на этом
шаре слабо корректна по Адамару [1].
Приведем конкретные примеры регуляризаторов для пространства X=L2(0, 1) (пространства функций с
интегрируемым по Лебегу на отрезке (0, 1) квадратом модуля), основанные на теоремах 1 и 2 [2].
Для множества определенных на [0, 1] вещественных функций, имеющих обобщенные в смысле С. Л. Со-
болева производные до порядка n >1 включительно, введем скалярное произведение по формуле
1 1
(х, у } = J х(1)у(1 )dt + j х( n)(t) у("\t)dt.
Тогда это множество функций с указанным скалярным произведением становится гильбертовым пространством, обозначаемым (с,1 (отметим, что обобщенная производная совпадает с обычной в случае, если
последняя существует).
Обозначим х норму элемента х в пространстве ж2 (°д). Известно, что пространство ж 2(с,1
Л 1 I • J-J.-_JU4-.4--i -LJ.W 11[7и^1^ии^1ии Л'»/ ^ 1
.. 111 " ^ 7 24
плотно в пространстве 1/2(0, 1), а множества |х :| х| < г | образуют (сильные) компакты в 1/2(0, 1) . По
этому в описанном выше регуляризаторе можно положить
► го, I — го.
М.1 = |х:||х| < х|, х -
При этом множество регуляризуемости совпадает с плотным в 1/2(0, 1) множеством функций из ж 2(с,1, а регуляризация (сходимость ^уАх — х, I — го ) на этом множестве имеет место в метрике 1/2(0, 1) . Построенный регуляризатор позволяет приближенно отыскать точное решение, если оно принадлежит пространству ж2 (с’1) •
Если положить
= |х :||х|| < Г,|’ Г,— го’ 1 — го’
то мы получим слабый регуляризатор. Хотя он обеспечивает лишь слабую сходимость в пространстве 1/2(0, 1), но зато областью регуляризуемости является все пространство 1/2(0, 1), так что для регуляризации достаточно лишь существования решения в 1/2(0, 1).
Отметим, что минимизация невязки ||Ах — у|| на множествах М и щ, необходимая для отыскания квазирешений, затруднена тем, что эти множества бесконечномерны. Укажем конструкцию, облегчающую нахождение квазирешений.
Теорема 3. Если в условиях теоремы 1 выбрать систему выпуклых компактов
М1 е М2 е...е Мп е...е М
так, чтобы и Мп (черта означает замыкание множества), то квазирешения х (у, Мп) будут сходится п>1
к квазирешению х (у,М) при п — го [2].
Метод регуляризации является наиболее распространенным методом решения некорректных задач, т. к. он достаточно удобен в практических вычислениях. Опишем его абстрактную схему.
Пусть требуется решить уравнение (1) с непрерывным, взаимно однозначным и, возможно, нелинейным
оператором А . Предполагаем точное решение существующим и подберем регуляризующий (стабилизирующий) функционал О(х) , обладающий следующими свойствами [1]:
1) точное решение принадлежит области определения 0(0) функционала 0(х) ;
2) на области определения 0(0) функционал О(х) принимает вещественные неотрицательные значения;
3) все множества
Мс = |х: О(х) <С|, С > с,
являются компактами в пространстве X . Идея метода регуляризации состоит в том, чтобы разыскивать минимизирующий элемент некоторого функционала, но не функционала р( АхУ) - такая задача была
бы эквивалентной уравнению (1) и поэтому тоже некорректной, а несколько «исправленного» и обладающего сглаживающими свойствами функционала
/а 2 , ч
(х;у) = р (Ах,у) + аО(х), х е 0(0.),
с параметром регуляризации а> С .
Теорема 4. Пусть пространства X и У - банаховы, оператор А аддитивен, непрерывен и взаимно однозначен, функционал О(х) - строго выпуклый и удовлетворяет требованиям, указанным в начале дан-
ного параграфа, и пусть для у с е У существует точное решение уравнения (1) хс е ОД . Если вместо
правой части уравнения у^ еУ известны приближения у^ еУ такие, что р(у^, у^) < 3 , и значения параметра а = а(3) > с выбираются так, чтобы
а(3) — с, 3 — с, (2)
____ с2
Уэазз) 131
а(3) /»а(3)/ \ тл/глл
то элементы х^ , минимизирующие функционалы у (х;у ) на 0(0), сходятся к точному решению
х0 в пространстве X при 3 — с [3].
Эта теорема показывает, что для регуляризации параметр а должен стремиться к нулю, но не быст-о2
рее, чем 3 . Не следует думать, что более быстрое убывание а обязательно неприемлемо: легко по-
строить пример, в котором и более высокая, и даже любая скорость стремления параметра а к нулю обеспечивает сходимость метода регуляризации. Однако в условиях теоремы 4 большего доказать нельзя,
гъ\ а(3)
так как существуют задачи, в которых нарушение условия (3) ведет к расходимости элементов х , так
что в классе задач, описываемых теоремой 4, это условие необходимо. К сожалению, условия (2) и (3) не дают возможности выбрать конкретное значение а по заданной фиксированной величине 6 .
а(6)
Отыскание регуляризованного (минимизирующего) элемента х§ можно осуществить путем минимизации
ра(8)
функционала j (х;у ) на D(O) каким-либо прямым вариационным методом. В некоторых случаях для
этого удобнее решать соответствующее функционалу уравнение Эйлера.
В гильбертовом пространстве X функционал П(х) можно брать более простой, в виде ||х|| , и, хотя
множества с при этом лишь слабо компактны, сходимость регуляризованных решений получается сильная [1]. Такой выбор стабилизирующего функционала кроме своей простоты удобен еще и тем, что область его определения D(Q) совпадает со всем пространством X , так что получающийся регуляризатор становится глобальным и для регуляризуемости уравнения достаточно одного лишь факта существования точного решения. Но условия на параметр а при этом несколько жестче: а должно стремиться к нулю медленнее,
чем 6 [3].
Кратко опишем метод невязки, предложенный без обоснования для простейшего случая Д. Л. Филипсом и обоснованный для широкого класса задач В. К. Ивановым.
Метод невязки состоит в минимизации функционала П(х) при наложении на величину невязки условия
р( Ах, уб )<Ф(6),
(4)
3}
где ф(3) >3 , ф(3) — с , 3 — с . Обычно полагают ф(3) = 3 .
Теорема 5. Пусть X и У - метрические пространства, А - непрерывный оператор, а функционал
О(х) удовлетворяет вышеуказанным трем требованиям. Если существует единственное точное решение х
уравнения (1), принадлежащее области определения 0(0), а приближения уточной правой части у
уравнения таковы, что р(у^,у^)<3, то элементы х^5) , минимизирующие функционал О(х) при условии
(4), сходятся к точному решению х0 при 3— с .
Изложенные выше три вариационных метода, очевидно, тесно связаны друг с другом. Не останавливаясь
на доказательствах, укажем на некоторые относящиеся сюда факты.
а /~*а
Всякий элемент х , получаемый по методу регуляризации при минимизации функционала т (х;у) , является квазирешением на множестве , С= 0(х ) , причем с уменьшением а это множество не убывает.
Точно так же и элемент х , в методе невязки, когда он определен однозначно, является квазирешением на множестве с , О(х^) , не убывающем с уменьшением величины ф в условии р(Ах,у) <ф . Эти результаты не зависят ни от каких свойств оператора А или функционала 0( х) [4].
Проанализируем рассмотренные три вариационных метода.
Метод квазирешений является наиболее общим из рассмотренных вариационных методов, тогда как метод регуляризации является наименее общим из них, так как всякое регуляризированное решение можно получить и по методу невязки. В некоторых случаях все квазирешения на компактах могут быть получе-
ны методом регуляризации, и все три метода с точки зрения множества решений оказываются эквивалентными, так как каждое решение может быть получено любым из методов.
Но это отнюдь не означает полной эквивалентности методов. Например, если в методе регуляризации
для гильбертова пространства Х выбор 0( х) = || х|| сохраняет сильную сходимость метода, то квазирешения
на фиксированном шаре Мс = |х :11 х11 < С1 не обязаны быть сильно устойчивыми. Это объясняется тем, что
в методе квазирешений шар фиксирован, а в двух других методах шар, на котором минимизирующий элемент служит квазирешением, изменяется с изменением параметра метода.
Не эквивалентны методы и с точки зрения заданных и подлежащих выбору параметров. В методе квазирешений должен быть задан содержащий точное решение компакт, а в обоих других методах - уровень погрешности правой части уравнения 3 , при этом в методе регуляризации следует выбрать стабилизирующий функционал 0(х) и значение параметра а = а(3) > с, а в методе невязки - тоже функционал 0(х) и уровень ф(3) допустимой невязки.
Различаются методы и по технике минимизации, что весьма существенно на практике. В методах квазирешений и невязки минимизация должна вестись условная: в первом случае на компакте минимизируется
невязка, во втором на некомпактном множестве минимизируется функционал 0(х) . В методе же регуляри-
/а
(х; у) минимизируется безусловно, на всем множестве его задания 0(0) . Как правило, это более удобно, чем условная минимизация, и не должно вызывать принципиальных трудностей, по-
/а
(х; у) в
том случае, когда удастся написать для него уравнение Эйлера. Если же это не удается, то следует, как и в других методах, применить какой-либо из известных прямых вариационных способов.
Рассмотренные вариационные методы решения оптимальны по порядку погрешности на классе задач, имеющих решения на компактах М или М с фиксированным С. Это означает, что существенно более точного метода решения задач названного класса, вообще говоря, не существует. Иными словами, для любого из трех рассмотренных методов существует константа К>1 такая, что для некоторой задачи указанного
класса погрешность доставляемого этим методом приближенного решения превосходит наилучшую по всем методам погрешность решения этой задачи не более чем в К раз. Для метода регуляризации это справедливо, например, при а = с32 , с > с , при а , выбираемых из принципа невязки с функцией ф(3) = с3 , с > 1 , и при а , выбираемых из принципа сглаживающего функционала с функцией ^(3) = с32 , с > 1 , а для метода невязки — при функцииф(3) = с3 , с > 1 . Для метода квазирешений это справедливо всегда (с константой К = 2 ).
Выше мы ограничились изложением теории трех вариационных методов решения некорректных задач в наиболее простом ее виде, требуя от оператора А непрерывности, взаимной однозначности и аддитивности и заменяя предположения о метричности пространства Х и У более сильными требованиями об их принадлежности банахову или гильбертову типу. На самом деле эти методы применимы для гораздо более широкого круга задач. Мы коротко опишем имеющиеся обобщения для всех трех методов.
Оказывается, для пригодности этих методов оператор А не обязан быть ни взаимно однозначным, ни непрерывным, ни аддитивным; достаточно, чтобы он принадлежал классу так называемых замкнутых операторов. Это существенно расширяет сферу применения обсуждаемых методов, поскольку многие дифференциальные операторы являются замкнутыми. Далее, оператор А так же, как и правая часть уравнения, может быть известен приближенно. Так как мы отказываемся от аддитивности оператора, то не нужна и принадлежность пространств Х и У к банахову типу: пространство У должно быть лишь метрическим, а Х — общим топологическим хаусдорфовым (отделимым) пространством. Там же, где в наших теоремах требовалось, чтобы Х было гильбертовым пространством, от него можно требовать значительно меньшего, а именно, чтобы оно было банаховым строго выпуклым пространством, обладающим рефлексивностью (последнее равносильно тому, что любая замкнутая ограниченная сфера образует слабый компакт).
Точно так же можно отказаться от требования единственности точного решения и не заботиться о единственности минимизирующего элемента, но в этом случае вводится соответствующее понятие близости множеств, которое обобщает обычное понятие близости точек и гарантирует сходимость в соответствующем смысле множества минимизирующих элементов ко множеству точных решений. Наконец, и сами минимизирующие элементы в новых условиях существуют не всегда, но если вести минимизацию с некоторой погрешностью, уровень которой разумно связан с точностью исходных данных, то такие приближенно минимизирующие элементы тоже будут сходиться к точному решению. Оптимальность методов по порядку погрешности во всем классе задач также сохраняется.
Однако, несмотря на все вышеизложенные достоинства вариационных методов решения некорректных задач, на практике их использование связано с целым рядом неудобств. Их применение требует решения сложных вариационных уравнений, а для нахождения параметра регуляризации а необходимо, как правило, применение численных итерационных алгоритмов. Все это приводит к тому, что искомое решение возможно найти только применяя численные методы решения и расчеты на ЭВМ, а само решение не всегда воз-
можно представить в аналитическом виде, а, следовательно, исследовать его качественные характеристики достаточно сложно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,
1979. Изд. 2-е.
2. Морозов В. А., Гребенников А. И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмиче-
ский аспект. - М.: Изд-во МГУ, 1992.
3. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - М.:
Наука, 1979.
4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интегральные уравнения, некорректные задачи и улучшение сходимости. - Мн.: Наука и техника, 1984.
