CC BY
52
Дедков В.К., Северцев Н.А., Масоди Д.А. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ В ПОСТАВАРИЙНОЙ ДИАГНОСТИКЕ
В данной статье излагаются основные положения метода решения «обратной задачи теории надежности» и возможные направления его применения, например, при прогнозировании причин аварии после факта ее свершения («прогнозирование обращенное в прошлое»). На конкретном примере показана также возможность применения этого метода к определению «динамической прочности» технических объектов по известным характеристикам их надежности.
В обычной постановке задачи, связанные с проектированием высоконадежных объектов, решаются в предположении, что комплекс условий эксплуатации (испытаний) 3 объекта задан, т.е. определены стохастические составляющие этого комплекса. Требуется по характеристикам случайных составляющих этого комплекса оценить показатели надежности объекта на период его эксплуатации. Такие задачи относятся к задачам прогнозирования надежности, т.е. к задачам прямого оценивания надежности.
Случайными составляющими комплекса условий эксплуатации (испытаний) 3 = 3 ( ü , х) являются как внешние факторы - U (нагрузки), так и внутренние свойства - х , обусловленные физико-механическими и конструктивными характеристиками технических объектов. Наряду с прямыми задачами оценивания надежности, нередко возникают обстоятельства, когда по истечении определенного времени эксплуатации требуется «вернуться к прошлому», т.е. «восстановить» исходные характеристики комплекса 3 . Во многих случаях к решению такой задачи побуждает поиск причины, возникшей аварии или просто отказа технического объекта [4].
Известно, что исходная величина сопротивляемости объекта X , от которой в значительной мере зависит возможность его отказа, - неопределенна, т.е. «не наблюдаема» непосредственно. Она оценивается только косвенно, по результатам испытаний объектов, аналогичных данному. Сам процесс эксплуатации - это и есть последовательная цепь испытаний совокупности объектов, аналогичных рассматриваемому объекту, который является составной частью этой совокупности. По предположению, наиболее вероятная причина возникшего отказа (аварии) - невысокий уровень сопротивляемости объекта (естественно, по отношению к величине нагрузки). Но исходная величина сопротивляемости х не может однозначно указывать на наступление отказа в данном л-м нагружении (испытании), она должна объяснять весь ход изменения показателя надежности на рассматриваемом отрезке времени эксплуатации [0,Т].
Ретроспективное прогнозирование «ненаблюдаемой» сопротивляемости, т.е. одной из составляющих комплекса 3 , осуществляется по наблюдениям фактов, в которых проявляется величина сопротивляемости. Такими фактами являются отказы, а точнее, - частота их появления при заданной (известной) величине нагрузки U , что и отражается соответствующими статистическими оценками показателей надежности.
Прогнозирование, «обращенное в прошлое», нередко называют «поставарийной диагностикой», т.е. поиском причины аварии после факта ее свершения [4]. Постановку задачи поставарийной диагностики можно описать следующим выражением:
Вр~ (X) = q>f{ г ) , (1)
где В - оператор, трансформирующий ненаблюдаемую (искомую) функцию р-(х) в наблюдаемую информацию рр (r) , р- (х) - ненаблюдаемая функция плотности распределения сопротивляемости X , р- (r) - наблюдаемая
информация о частоте отказов (плотность распределения числа нагружений (испытаний) до отказа).
Точный вид функций рГ-ст (г) и рист (х) , также как и оператора ВМСТ, - неизвестен. Обозначим через ВХ
множество всех Х-ов, отображаемых с помощью оператора В в совокупность всех элементов Вр- (х) . Очевидно, что
рТ (r)е ВХ. (2)
Задача заключается в том, чтобы по результатам измерений функции р™ст(r) определить характеристики
„мст / \ „ист / \ „ист / \ _
функции Рх (х) , для чего надо решить уравнение В Рх (х) = Pr (r) относительно искомой функции
рист (х) . Очевидно, что уравнение Вр- (х) = р- (r) имеет решение, принадлежащее множеству Х-в, только для таких наблюдаемых элементов функции р- (r), которые принадлежат множеству В р- (х) . Заметим, что функция р- (r) получается опытным путем, и потому известна лишь приближенно. Функция р^ (r) строится по результатам регистрации отказов (аварий), с последующей их статистической обработкой и получением числовых характеристик. При этом как на этапе регистрации, так и при статистической обработке данных трудно избежать ошибок и погрешностей. Обозначая приближенное значение функции р- (г) через г следует рассмат-
ривать решение уравнения
Вр-(х) =р?(г) , (3)
на основе которого возможен поиск приближенного значения функции р- (х) . Однако значения функции могут в общем случае и не принадлежать множеству ВХ. Следовательно, точного решения уравнения (3), понимаемого в обычном смысле, не существует, и поэтому нельзя принимать точное решение уравнения (3) в качестве приближения к <^ст (%) , т.е.
Рх(х)=В~1 Рр(г) , (4)
где В-1 - оператор, обратный оператору В.
Кроме того, оператор В-1, используемый при проведении постдиагностики, не является непрерывным, т.е.
малым изменениям наблюдаемой информации р- (r) могут соответствовать большие изменения результатов постдиагноза р- (х) . (Иными словами, «чувствительность» наблюдаемой статистической информации р- (r) к изменениям искомой функции р- (х) во многих случаях чрезвычайно мала).
Именно это затрудняет, а иногда делает невозможными однозначные результаты постдиагноза. Таким образом, при решении задач постдиагностики возникает принципиальный вопрос: что понимать под их «приближенным решением», т.е. в какой форме следует искать решение обратной задачи постдиагностики?
Если ответ на этот вопрос получен, то возникает задача нахождения таких алгоритмов решения обратной задачи постдиагностики, которые обладают свойством устойчивости (робастности) к малым изменениям исходных данных (^), т.е. таких, при которых малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения.
Решение этой проблемы составляет содержание задачи ретроспективного прогнозирования сопротивляемости или обратной задачи постдиагностики, которая в рассматриваемом случае называется «обратной задачей теории надежности» [1].
Поскольку переменные, посредством которых формулируются модели комплекса обстановки испытаний & , являются характеристиками сопротивляемости х и характеристиками нагрузки й , то обратная задача может формулироваться либо как задача определения либо одной переменной, либо другой. В большинстве случаев, встречающихся на практике, управление переменными, характеризующими внешнее воздействие (нагрузку), оказывается невозможным. Поэтому хотя определение нагрузки, отвечающей заданным требованиям к надежности устройства при заданных характеристиках его сопротивляемости, не лишено смысла, однако такая постановка задачи не может являться типичной.
Изложенная выше постановка задачи постдиагностики, т.е. «обратной задачи теории надежности» может быть сформулирована и в иных аспектах, соответствующих различным целям исследования [1].
Одним из приложений обратной задачи теории надежности является задача об измерении динамической прочности, т.е. динамической сопротивляемости, технического объекта «ударным» нагрузкам.
Ниже излагается косвенный метод измерения сопротивляемости объектов, подверженных воздействию динамических нагрузок, основанный на использовании зависимости между величиной сопротивляемости и действующей нагрузки, с одной стороны, и частотой отказов или показателем надежности испытываемых устройств, с другой. Зависимость между показателем надежности К (п) в последовательной серии независимых испытаний
(нагружений) технических объектов и вероятностными характеристиками нагрузки и и сопротивляемости х имеет вид [1]
да
Р («(п) ^ х) = Р (п > п) = Кп (п) = | рй (х)¿рх (х) ' (5)
—да
где - наибольшее случайное значение нагрузки в последовательности из п испытаний (нагружений) (а
- символ случайного объекта); X - случайное значение сопротивляемости произвольного объекта испытываемой выборки; К-(п) - статистическая функция надежности (вероятность того, что за п испытаний ни разу
случайная величина нагрузки и не превысит случайного значения сопротивляемости х произвольного объекта испытываемой выборки, или вероятность того, что число испытаний п до отказа превысит заданное число испытаний п) ; (и) - функция распределения наибольшего (в пределах длительности одного нагружения)
случайного значения нагрузки й ; ^(х) - функция распределения сопротивляемости X .
Уравнение (5) называется уравнением измерения. Косвенное измерение сопротивляемости при динамических нагружениях, как следует из выражения (5), можно осуществить, определив функцию надежности К- (п) по результатам статистических испытаний выборки однотипных объектов и измерив (в статистическом смысле) наибольшее значение действующей нагрузки й в серии последовательных испытаний, что принципиальных трудностей не представляет.
Уравнение типа (5) называется интегральным уравнением Фредгольма первого рода. Чтобы решить это уравнение относительно р- (х), его необходимо представить в виде системы линейных алгебраических уравнений, для чего интеграл по бесконечным пределам заменяется конечной суммой, а результаты каждого из п испытаний - самостоятельным уравнением. Образованная таким путем система имеет вид
т
Ерх (х-) =1;
-=1
т
Е рй (х- )рх (х-) Ах1 = Кп(1);
-=1
............; (6)
т
Е^ (х-)рх (хз)<**- = Кп (п) ,
-=1
где Рх ( Xj ) - искомая функция, выраженная в форме значений плотности распределения сопротивляемости х
в точках X. ; X- - значение аргумента в ^-й точке; т — число разбиений интервала Дх возможных значений
искомой величины х на отрезки [^=1(1)ш]; п - общее число испытаний; 1 - текущий номер испытания
[1=1(1)л].
В изложенной постановке задача определения сопротивляемости технического объекта при динамических нагружениях имеет смысл «обратной задачи теории надежности»: по известным (заданным) характеристикам
надежности ( К- (п) ) и заданным в статистическом смысле условиям эксплуатации ( (и)) определить значение сопротивляемости, обеспечивающей заданную надежность. Решение интегрального уравнения (5) - некор-
ректная задача [3].
Таким образом, практическое решение задачи о косвенном измерении сопротивляемости х при динамическом нагружении связано с тем, насколько удастся преодолеть трудности, обусловленные ее некорректностью.
Для удобства изложения способа нахождения решения системы (6) представим ее в форме матричного уравнения вида
В[т]Х<ш>= ^<т> . П)
^ II • / \||т
где В1т]=\\^ (XJ1 - квадратная матрица порядка т, составленная из коэффициентов при неизвестных
Рx(кXj) ; - т-мерный вектор значений искомой плотности Рx(хj) распределения сопротивляемости х ;
У<т> - т-мерный вектор значений К (п) эмпирической функции надежности.
Вследствие некорректности обратной задачи теории надежности, как и многих других обратных задач физики и техники, система уравнений, описываемая матричной формой (7), оказывается плохо обусловленной, что проявляется в вычислительной неустойчивости ее решения. Различного рода ошибки как в операторе В[т], так и в правой части У<т> могут привести к такому искажению решения плохо обусловленной системы, что оно становится абсурдным.
Можно выделить два рода погрешностей, приводящих систему (7) к вычислительной неустойчивости. Погрешности первого рода связаны с искажением модели относительно описываемого ею физического процесса, т. е. вместо уравнения (7) решается другое уравнение вида
В[т] + АВ[т])Х<т> = ^<т> + ^<т> , (8)
а
где ДВ[т] - искажения в операторе Вм;
ДУ<т> - искажения в правой части матричного уравнения (8)
Искажения ДВ[т] связаны с ограниченностью объема выборки, по результатам которой определены характе ристики закона Е (и) распределения случайной величины нагрузки й в серии последовательных испытаний
также с ошибками аппроксимации статистического распределения аналитическим выражением и т.п.
Искажения в правой части ДУ<т> связаны с ограниченностью объема выборки испытываемых технических объектов, с отсутствием однозначности в некоторых случаях между проявлением отказа и его причинами и т. п.
Погрешности второго рода появляются в процессе решения уравнения (7) и связаны с погрешностями метода и вычислительными погрешностями, возникающими, например, вследствие конечномерности или ограниченности пространства, на котором определен оператор В[т] и т. п.
Как известно, свойства любой системы уравнений проявляются в свойствах соответствующей ей матрицы коэффициентов. Одним из признаков устойчивости и единственности решения системы линейных уравнений (хотя и не исчерпывающим) является условие отличия от нуля определителя матрицы ее коэффициентов.
Определитель матрицы В[т], как можно видеть из (6), является степенным или определителем Вандермонда порядка т. Такой определитель отличен от нуля, если попарно различны все его члены. Если разность между двумя членами определителя мала, то даже небольшие погрешности первого или второго рода могут обратить его в нуль. Насколько близок определитель матрицы Вм к нулю зависит от вида ядра интегрального уравнения (5) и числа интервалов т, на которые разбивается диапазон Дх возможных значений искомой величины х . Ядром (или функцией влияния) интегрального уравнения (5) является функция (х) . Диапазон Дх возможных значений искомой величины X выбирается из самых общих представлений о ее физической природе. Так, например, в качестве нижней границы хИ диапазона Дх физико-механических характеристик объектов могут быть приняты соответствующие характеристики, измеренные при статических (медленных) нагружениях, а в качестве верхней - величина хв>> хИ. В каждом конкретном случае, в зависимости от располагаемой исходной информации, диапазон Дх может быть либо сужен, либо увеличен. Соображения относительно выбора числа разбиений сводятся к следующему.
Если значения функций влияния (х-) (весовых функций) слабо изменяются при переходе от одного
уровня возможных значений х^ другому уровню Xj+1, то настолько же слабо различаются и вклады каждого уровня сопротивляемости X в измеряемую статистическим путем надежность. Статистическая оценка надежности К-(п) , как известно, наряду с полезной информацией о величине сопротивляемости X , содержит также
и «шумы», сопровождающие процесс ее измерения. При наличии ошибок в измерении функции надежности Кп (п) и малых различиях между элементами определителя |^т]| , составленного из соответствующих значений функции влияния ^(х^.) , достаточно точное определение плотности распределения Рх(X) искомой величины сопротивляемости х становится затруднительным.
Возможные графики функций влияния для случая, когда Е? (х^-) - нормальная функция распределения, при-
ведены на рис. 1. Из приведенных кривых видно, что при увеличении числа испытаний п, в определенной области диапазона Дх, значения функции значительно убывают, а разность между ее значениями в смежных интервалах становится несущественной. При малой разности между некоторыми из соседних значений функции
ЕХ (х-) достаточно незначительной ошибки, чтобы определитель обратился в нуль. Из этого следует,
что увеличение числа п последовательных испытаний, также как и увеличение числа т различимых уровней сопротивляемости, приводит к повышению порядка определителя |^т]| , уменьшению его величины и, как следствие, при наличии ошибок измерения («шумов») - к усилению неустойчивости решения. Поэтому стремление добиться более точного воспроизведения искомого распределения Рх (XJ) путем увеличения числа п последовательных испытаний или путем увеличения числа т разбиений диапазона Дх на уровни приводит к противоположному эффекту - ошибки решения увеличиваются.
Рис. 1.Возможные графики функции влияния (х^. | , для нормального закона распределения случайной
нагрузки и .
Не вникая в анализ вычислительных аспектов поиска решения системы уравнений (6) и обусловленности матрицы ее коэффициентов Вм, отметим, что для преодоления отмеченных выше трудностей существует эффективный метод, предложенный А. Н. Тихоновым [3], который позволяет получать регуляризированные решения некорректных или слабо устойчивых задач. Существо этого метода достаточно полно изложено в литературе, например, в [3]. Матричная форма системы уравнений (6) с учетом регуляризирующего функционала, обеспечивающего выполнение дополнительного требования к решению системы, а именно, требования минимума суммы квадратов производной от искомой функции, имеет вид
(В[т]В[т] + Т[т] )Т<т> = В[т]^<т> , (9)
где Вт] - транспонированная матрица ; Н[т] - матрица регуляризирующего дифференциального опера-
тора; а— параметр регуляризации (число).
Таким образом, уравнение связи между сопротивляемостью х и определяемой по результатам статистических испытаний надежностью К(п) , являющееся уравнением измерения сопротивляемости, оказывается решенным.
Пример. В качестве примера косвенного измерения сопротивляемости технического объекта динамической нагрузке, рассмотрим явление гидроудара, разрушающего как уплотнительные соединения, так и магистральные трубопроводы гидросистем.
На основании обработки отказов (разгерметизации уплотнительных соединений гидросистемы), зарегистрированных при ее длительной эксплуатации, получены оценки показателя надежности К (п) в функции числа
нагружений п, приведенные в таблице 1.
Таблица 1.
п 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Кп(п) 0,975 0,951 0,937 0,905 0,883 0,961 0,841 0,821 0,801 0,782
Регистрация давлений в гидросистеме и статистическая обработка наибольших значений давлений в каждом испытании позволили установить, что максимальное давление и , соответствующее появлению гидроудара,
распределено по нормальному закону ^ (Xj) с параметрами: математическое ожидание и =130 105 Па, и среднее квадратическое отклонение оИ= 10б Па.
ПШ
Рис. 2. Область Дх поиска возможной величины сопротивляемости х .
Предварительными испытаниями («опрессовкой» системы) установлено, что появление течи в уплотнительном соединении соответствует давлению в системе не менее 130 105 Па. На основании этого, а также принимая во внимание измеренные величины «забросов» давлений, область возможных значений искомой величины сопротивляемости х при динамическом нагружении принимается равной Дх = (138^162) 105 Па. На рис. 2
изображены кривая Фх(и) плотности распределения наибольшего значения давления при гидроударе и область
Дх поиска величины сопротивляемости. Разбивая диапазон Дх на т=24 уровням и применяя алгоритм получения регуляризированного решения (9) к системе уравнений (6), а также подставляя в (6) значения функций
К (п) и ^ (xj) , найденные опытным путем, определяем искомую плотность распределения Фx(хj) сопротивляемости х .
Результаты численного решения системы уравнений (6) на кмпьютере приведены в графической форме на рис. 3. Из рисунка видно, что принятый диапазон Дх поиска решения в три раза больше области, которой с вероятностью у=0,95 принадлежит искомое значение сопротивляемости. В области, где плотность распределения искомой величины практически равна нулю, решение фх (Xj) осциллирует относительно оси абсцисс. При
этом, естественно, отрицательные значения фх (Xj) смысла не имеют.
РОМ.
ФгМ
Ах
160 ¡Ю*Па)
и,/
Рис.3. Приближенное решение системы уравнений (5) относительной искомой функции фх (Xj) .
Поэтому следует принять, что плотность распределения сопротивляемости х описывается той частью кри-
осью абсцисс (площадь под кривой плотности на рис. 3 заштрихована).
Таким образом, для случая динамических нагружений технических объектов, когда измерение их сопротивляемости не может быть осуществлено ни одним из прямых способов, разработан косвенный метод, открывающий возможность измерения важной группы физико-механических свойств технических объектов.
1. Дедков В. К. Обратная задача теории надежности. - М.: ВЦ им. А.А, Дородницына РАН. 2004. - 244с.
2. Дедков В.К., Северцев Н.А. Косвенный метод измерения сопротивляемости устройств, работающих в
условиях динамического нагружения /Научно-технический сборник Вопросы судостроения. - Л.: ЦНИИ «Румб»
1978. - с.90-97.
3. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М., «Наука», 1974.
4. Меньшиков В.А. Полигонные испытания. М.: КОСМО, 1999.-237 с.
вой, которая простирается вправо и влево относительно ма
ксимума фх (Xj
до первого ее пересечения с
ЛИТЕРАТУРА
