CC BY
79
Дедков В.К.
Москва
РАЗРАБОТКА ПРИНЦИПОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ОБЪЕКТОВ «НА НАДЕЖНОСТЬ».
Как известно, все многообразие приемов прогнозирования строится либо на основе экстраполяции результатов наблюдений какого-либо процесса, явления или объекта в прошлом на некоторый интервал времени будущего, либо на предсказании явлений, процессов или характеристик объектов на основе экстраполяции причин, приводящих к их появлению. В обоих случаях прогнозирование количественных показателей свойств объектов связано с измерениями.
Измерение показателей надежности изделий может быть как прямым, так и косвенным.
Прямым является такое измерение показателя надежности, уравнение которого имеет вид [1]
р (о=1 - т, (1)
где Р (t) - оценка вероятности безотказной работы изделия; Tt - число отказавших изделий за
время t,N - число изделий, подвергавшихся испытаниям.
Очевидно, рассмотренные ранее случаи оценки показателей надежности изделий были связаны с прямыми методами измерений.
Косвенным является измерение, уравнение которого представляет величину Р (t) в виде некоторой функции одного или нескольких аргументов:
Р (t) = f (x, u,..., y; a, b, t) , (2)
где х, и, у - измеряемые переменные (аргументы), которые могут быть как однозначно определенными, так и случайными; a,b,t - некоторые параметры.
Таким образом, косвенное измерение показателя надежности Р (t) позволяет определить искомую характеристику, не располагая результатами наблюдений самого явления, т. е. без наблюдения отказов.
Рассмотрим несколько подробнее общие принципы построения косвенного метода прогнозирования показателя надежности отдельно взятого изделия, т.е. изделия, изготовленного в единственном экземпляре. К определению показателя надежности такого изделия методы статистического анализа результатов испытаний презентативных выборок не применимы.
Принципиальная возможность измерения показателя надежности косвенным методом базируется на использовании информации об индивидуальных характеристиках физико-механических или технических свойств рассматриваемого изделия и характеристиках условий его применения.
При этом определение показателя надежности носит характер прогноза, отличительной чертой которого является то, что прогнозирование осуществляется не экстраполяцией значений самого показателя надежности, а опирается на прогнозирование причин, приводящих к отказу. Для косвенного измерения показателя надежности, прежде всего, должны быть выбраны критерии отказа, устанавливающие причинно-следственные связи между физическими переменными, приводящими изделие к отказу, и фактом самого отказа.
В большинстве случаев отказ есть вполне конкретное проявление потери изделием функций, определяющих его целевое назначение. В связи с этим каждому изделию может быть поставлена в соответствие область рабочих режимов, границы которой определяются предельными значениями его технических или физико-механических свойств. Благодаря этим свойствам изделие воспринимает различные воздействия и преобразует их. Поэтому нормальное функционирование обобщенно можно интерпретировать как процесс восприятия изделием некоторой нагрузки и преобразования ее заданным образом. В соответствии с этим критерий надежности (условие нормального функционирования) в общем случае может быть представлен в форме условия невыхода обобщенной нагрузки за пределы области рабочих режимов:
U <m>(t )e{U <m>(t)} , t=[0,T] (3)
где т - число свойств, обеспечивающих целевое назначение изделия и соответствующее им число различных по физической природе нагрузок; U<m> (t ) - т-мерная случайная векторная функция, являющаяся характеристикой действующей нагрузки; U <m>(t) -т -мерная случайная область рабочих режимов.
Возможность выполнения этого условия может служить показателем надежности изделия.
Из выражения (3) следует, что прогнозирование показателя надежности, (например, вероятности
безотказной работы) к любому моменту времени будущего сводится к прогнозированию случайных процессов изменения области рабочих режимов или свойств изделия к этому моменту времени. Однако определение вероятности выполнения условия (3) в общей форме не представляется возможным [1].
Поэтому обычно значения свойств, обеспечивающих выполнение изделием его целевого назначения, задается не областью рабочих режимов, а значениями границ этой области, причем последние нередко представляют собой односторонние пределы допустимых значений нагрузок. Тогда характеристикой
свойств изделия может служить т- мерная случайная векторная функция X<m>(t) предельных значений нагрузок, каждая компонента которой определяет способность изделия «сопротивляться» действию соответствующей нагрузки [1]:
Х <m > (t) =< x1 (t) , x2 (t) ■.- xm (t) > (4)
Величину X<m> (t) обычно называют характеристикой сопротивляемости или просто сопротивляемостью изделия. Принимая во внимание, что предельное значение нагрузки, приводящее изделие к отказу, не зависит от ее текущего значения, будем полагать независимость нагрузки от сопротивляемости. Кроме того, характерные свойства изделия, определяющие его целевое назначение, в большинстве случаев выбираются независимыми, что позволяет строить критерии отказов (или безотказной рабо-ты)на основе сопоставления скалярных случайных функций нагрузок U (t) и сопротивляемостей X (t) в виде:
U (t) < X (t) , t=[0, Т] . (5)
Условие (5), называемое условием «непревышения», является описанием критерия безотказной работы. Его смысловое значение можно выразить так: отказ изделия за время t не произойдет, если случайный процесс нагружения U (t) ни разу не превысит соответствующего значения случайного процесса
X (t) изменения сопротивляемости.
Таким образом, в принципе для любого интервала времени будущего представляется возможным дать прогноз ожидаемого значения показателя надежности изделия, если имеются результаты прогноза для этого интервала времени случайного процесса нагружения и случайного процесса изменения сопротивляемости [1].
Анализ процессов изменения физико-механических и технических характеристик различных изделий показывает, что случайные функции X (t) , описывающие «старение», могут быть сведены к следующему виду [2] :
х, = X [l + b (i + 1)“j - a (i -1)a . (6)
Этой функцией выражается зависимость случайной величины сопротивляемости X, от числа
нагружений! и исходного значения сопротивляемости X , а также от некоторых величин а и b, являющихся константами старения.
С помощью специальных преобразований случайные процессы изменения сопротивляемости изделия X(t) и действующей на него нагрузки U (t) можно представить в форме упорядоченных последовательностей случайных величин (векторов) Х<п> и U<п> . Тогда вместо условия (5), можно записать эквивалентный ему векторный критерий, содержащий прогнозируемые характеристики нагрузки и сопротивляемости:
U £ Х
(7)
<п> <п>
Прогнозируемым показателем надежности будет вероятность выполнения условия т. е.
(7) за лнагружений,
Р (U<п> £ X<n>) = R-n (п)= J П F0 (X, X,) dFX (X) , (8)
-¥ І =1
где Rn (п) -вероятность того, что за п нагружений (где п=Т/т) ни разу не наступит отказ, т -продолжительность одного нагружения, Т - рассматриваемый интервал прогноза, Fq(X, X,) - функция
распределения наибольшего значения нагрузки Q на интервале т относительно изменяющегося значения сопротивляемости х±; F^ (X) -функция распределения исходного значения сопротивляемости.
Выражение (8) является формулой полной вероятности. Действительно, функция Fq (X, X,) под знаком
интеграла определяет вероятность того, что случайное наибольшее значение нагрузки не превысит соответствующего случайного значения сопротивляемости.
Поскольку каждому случайному значению сопротивляемости соответствует своя вероятность непревышения нагрузкой сопротивляемости, то для получения средневзвешенного значения вероятности непревышения нагрузкой сопротивляемости следует проинтегрировать эти вероятности с их «весами», определяемыми элементами вероятностей dFg(X) .
Так как вероятность исхода каждогонагружения не зависит от вероятности исхода предыдущих нагружений, то вероятности элементарных событий под знаком интеграла перемножаются.
Таким образом, формула (8) обеспечивает прогнозирование вероятности безотказной работы изделия за некоторый интервал будущего времени, в пределах которого определены прогнозируемые характеристики процесса нагружения и процесса изменения сопротивляемости.
Процесс изменения сопротивляемости в принципе зависит от характера нагружения. Зависимость эта сложная и в большинстве случаев не однозначна. Неопределенность изменения сопротивляемости, обусловленная ее зависимостью от нагрузки, учитывается возрастанием неопределенности прогнозируемого значения сопротивляемости. Поэтому в выражении (8) прогнозируемая вероятность осреднена по всем возможным значениям сопротивляемости. Именно операция осреднения позволяет определить вероятность безотказной работы, которая, как известно, служит объективной характеристикой надежности изделия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дедков В.К. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН. 2003. 185 стр.
2. Дедков В. К. Математические модели сингулярных случайных процессов в задачах прогнозирования надежности.// Двойные технологии. 2000. №1.
Дедков В.К.
Москва
СЕМАНТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ СЦЕНАРИЕВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ НЕСТАРЕЮЩИХ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Под прогнозом понимается вероятностное научно-обоснованное суждение относительно ненаблюдаемо -го состояния объекта в какой-то момент времени или возможных путей достижения такого состояния, определенного в качестве цели прогноза.
Прогноз надежности - вероятностное суждение относительно того, в каком состоянии окажется объект к рассматриваемому моменту времени: работоспособном или неработоспособном и как изменяется
возможность наступления отказа во времени.
Какие факторы влияют на результаты прогноза?
Прежде всего, факторы, связанные с прогнозируемыми свойствами (параметрами) самого объекта. Именно те свойства, сохранение которых во времени в установленных пределах характеризуют способность объекта выполнять заданные функции, являются определяющими в отношении возможного состояния объекта к рассматриваемому моменту времени. Если не придавать значения влиянию иных факторов на возможное состояние объекта, то его надежность полностью зависит от изменения его параметров. В случае, когда изменения параметров объекта во времени определены, то понятие надежности можно сформулировать так «объект считается «надежным» если он следует ожидаемому закону поведения. Он не надежен, если отклоняется от этого закона» [1]. Тогда прогнозирование надежности можно было бы свести исключительно к прогнозированию параметров объекта. Однако работоспособное состояние объ-
екта зависит не только от значений его параметров, но также от характеристик среды или фона, в котором функционирует рассматриваемый объект.
При этом под средой или фоном понимается «совокупность внешних по отношению к объекту связей, воздействующих на него в плане поставленной задачи прогноза. Это комплекс характеристик, в котором развивается предмет прогноза. Процессы и явления, которые создают фон определенного прогноза, могут быть из иных прогнозов» [2]. Таким образом, внешняя среда представляет собой совокупность объектов и связей между ними, определяющих условия существования или функционирования объекта прогноза.
Как параметры объекта, так и характеристики внешней среды в подавляющем большинстве случаев представляют собой случайные величины, зависящие от времени как от параметра, т.е. являются случайными функциями времени. Поэтому поведение объекта в отношении изменения его параметров и момента перехода из работоспособного состояния в неработоспособное не могут быть предсказаны однозначно (детерминировано).
Для прогнозирования перехода объекта в неработоспособное состояние необходимо установить связи между значениями параметров объекта, значениями характеристик условий его функционирования и состоянием объекта. Для этого используются критерии работоспособного состояния или критерии отказа.
Прогнозирование возможных состояний объекта связано с необходимостью построения (мысленного) общей последовательности логически связанных между собой как во времени, так и в пространстве (например, в пространстве свойств объекта) событий, отображающих динамику действия. Подобная, построенная из отдельных сцен, черточек, долей общая картина называется сценарием[2]. Этот термин применяется и в кино, и в прогностике.
«Сценарий - способ установления логической последовательности событий с целью определения альтернатив развития» исследуемого объекта [2]. Альтернативными состояниями технического объекта, отображающими динамику его взаимодействия со средой, являются работоспособное или неработоспособное состояние. Они составляют, так называемую, полную группу возможных исходов испытания (взаимодействия) объекта.
В прогностике, науке изучающей закономерности процесса разработки прогнозов, в качестве объекта, относительно наблюдаемых состояний, которого выносятся суждения, выступает не физический объект, а его образ или модель.
Под моделью, понимается «воображаемая (или реально реализованная система), которая, отображая или представляя объект исследования, способна заменить его так, что ее изучение даст новую информацию об объекте» [2]. Поскольку главное содержание понятия надежности заключается в «свойстве объекта сохранять... значения всех параметров...», то моделью объекта, состояния которого прогнозируются, может являться совокупность свойств (параметров), определяющих работоспособное состояние объекта. Таким образом, моделирование есть упрощение сложного, без изменения его сущности.
Прогнозирование возможных состояний объекта (работоспособного или неработоспособного) требует учета характеристик модели объекта, модели внешней среды, в которой осуществляется функционирование объекта и модели взаимодействия объекта со средой. При этом под испытанием или экспериментом в прогностике понимается, конечно, мысленный эксперимент. Моделью неработоспособного состояния (отказа) или работоспособного состояния (неотказа) может служить высказывание относительно условий (критериев) его надежности, содержащее описание моделей объекта и среды. Критерии надежности (или альтернативные им критерии отказов) служат основой логической функции, используемой для оценивания количественных значений показателей надежности.
Прогнозирование надежности косвенными методами - это последовательная цепь актов реализации комплекса условий испытания объекта. Каждый акт испытания - это сценарий, разыгрываемый в динамике составляющими комплекса условий испытания, при котором появляются количественные характеристики надежности объекта. Эти характеристики (или показатели) надежности и являются предметом прогноза .
Для прогнозирования составляющих комплекса условий мысленных испытаний объектов прогноза разработаны методы преобразования непрерывных случайных процессовй (t) , характеризующих воздействие
внешней среды на объект прогноза, и характеристик самого объекта прогноза - X (t) в упорядоченные
последовательности (векторы) некоррелированных случайных величин U <п> и Х<п> [1] . Таким образом, взаимодействие объекта с внешней средой на интервале времени прогнозаТ можно представить последовательностью актов независимых взаимодействий или сценариев альтернатив развития испытываемого объекта.
Описанный сценарий прогнозирования показателей надежности стохастического объекта может являться моделью более широкого круга взаимодействий, наблюдаемых в живой и неживой природе.
Процессы естественного отбора в природе осуществляются в первом приближении по такой схеме. Стохастическим объектом в данном случае является популяция некоторого вида. Характеристикой сопротивляемости может служить предельное значение некоторого свойства, обеспечивающего сохранение (выживание) произвольного индивидуума популяции. Так, основным показателем «сопротивляемости» зайцев в их вечной борьбе за выживание является скорость убегания от хищников. Величина скорости убегания произвольной особи - неопределенна, так же как неопределенна или случайна предельная величина скорости («нагрузки») произвольного хищника, подстерегающего его. В бесконечной последовательной цепи «испытаний» (охота на зайца), преимущество в шансах на выживание имеют те зайцы, которые обладают большей по сравнению с остальными своими собратьями скоростью убегания. Слабые от рождения или ослабленные болезнью зайцы, чаще становятся добычей хищников. Их предельная скорость убегания относится к «левой» подобласти плотности распределения возможных значений скоростей. Благодаря этому обеспечивается постоянный «сдвиг» области предельных скоростей популяции зайцев «вправо» (в сторону увеличения), что предотвращает возможность их полного истребления хищниками .
Ту же картину (сценарий) можно наблюдать в технике. Эксплуатационные нагрузки, действующие на технические объекты, чаще приводят к отказам те объекты, сопротивляемости которых ниже, чем это предусмотрено конструкторскими расчетами и техническими нормами. Вследствие этого из партии однородных объектов, введенных в эксплуатацию, до начала старения будут изъяты в связи с отказами объекты со скрытыми дефектами, некондиционные объекты, т.е. объекты с пониженной сопротивляемостью. Этот процесс наиболее ярко проявляется в период приработки. Оставшаяся часть совокупности, введенных в эксплуатацию объектов, будет характеризоваться более высокими (по сравнению с начальными) значениями сопротивляемости.
В неживой природе действует все тот же закон - сильное, высококачественное, в отношении принятого критерия качества - сохраняется, слабое - погибает. Процесс совершенствования, развития по восходящей линии был бы невозможным, если бы этот закон был нарушен. Критерии отказа (U >X) и безотказной работы (U £ X ) являются критериями диалектического развития объекта. Вероятности реализации выражаемых этими критериями условий, определяют альтернативы вечной борьбы двух начал: нагрузки и сопротивляемости. Преобладает в этой борьбе вероятность того исхода, который в большей степени отвечает комплексу условий испытаний, определяемому величинами U и Х .
Стохастический объект в процессе диалектического развития (в последовательной цепи испытаний) совершенствуется в отношении того показателя, которым определяются условия его выживания, т. е. в отношении сопротивляемости, которая при отсутствии тенденций, обусловленных другими причинами, повышается.
Рассмотренная в качестве основы прогноза схема последовательности независимых испытаний, когда вероятности одноименных исходов изменяются от испытания к испытанию, называется схемой Пуассона, а сами испытания называются стохастически неоднородными [1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Дедков ВК. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН. 2003. 185 стр.
2. Ивахненко А.Г., Лапа В.Г. Предсказание случайных процессов. К.: Наукова думка. 1971.
3. Дедков ВК. Математические модели случайных процессов в задачах прогнозирования надежности. // Двойные технологии, 2000, №1.
Дедков В. К.
Москва
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ИСХОДОВ ИСПЫТАНИЙ «НА НАДЕЖНОСТЬ»
Рассмотрим последовательность испытаний, в процессе реализации которой изменения физикомеханических или технических свойств испытываемого объекта не наблюдаются.
Непрерывный скалярный случайный процесс U (t), характеризующий воздействие (нагрузку), действующую на испытываемый объект, можно преобразовать в л-мерный случайный вектор с независимыми составляющими:
" d " " "
u(t) ^ U<п> = < ц, и2,ип > , [n=1(1M.
Каждая компонента этого вектора является характеристикой воздействия, т.е. нагрузки, действующей на объект в соответствующем испытании.
Модель объекта прогнозирования надежности может быть представлена п-мерным гиперквадрантом с вершиной в случайной точке X<m>=< Х1, Х2, ..., Хт > .Компоненты вектора X<m>=< Х1, Х2, ..., Хт > определяют границы области рабочих режимов прогнозируемого объекта, т. е. являются предельными значениями нагрузок не приводящих объект к отказу.
Рассмотрим вероятности исходов последовательности независимых испытаний рассматриваемого объекта при указанных характеристиках его нагружения U<п> и возможных значениях свойств сопротивления X<m> этим нагружениям.
В первом взаимодействии вероятности двух несовместных исходов испытания (отказ или неотказ) определяются следующими выражениями [1]:
Р (U > Х)= J R? (х) ф? (Х) dx , (1)
Р (U £ X)= J Fa (х) ф? (Х) dx . (2)
где - Р(U > Х) и P(U £ Х) - соответственно, вероятность отказа, и вероятность безотказного исхода в первом взаимодействии объекта прогноза со средой,
- Fq (Х) и Rq (Х) - соответственно, функция распределения случайной величины U относительно
аргумента х, и дополнительная функция распределения случайной величины U, причем Fq(Х) +Rq (Х)=1 при любых значениях аргумента х,
- Ф? (X) - плотность распределения случайной величины X .
Подставляя вместо случайных переменных U и X , случайные векторы U<п> и X<n> , модели которых разработаны в [1], получим общую форму модели прогноза надежности (безотказности) невосстанавливаемых и нестареющих объектов
Р [U (t) £ j? (t)]^ P (U<n>
£ X <n>) = p
I(U £ xi)
1=1
(3)
где - Uj = SUpU (t) , ti = ti-1 + iKap, [i=1(1)n] , [n=1(1)~] - наибольшая случайная величина воздейст-Цо ,tj +t<op)
вия на объект прогноза со стороны внешней среды,
Xj =X - независящая от времени (в случае отсутствия старения) случайная величина, характеризующая качество объекта прогноза.
Правый член выражения (3) по своей структуре представляет последовательную цепь [i=1(1) n] взаимодействий объекта с внешней средой (или фоном), вероятности исхода которых (показатели надежности) и являются предметом прогноза.
Переходя к дискретным случайным величинам, выразим дополнительную функцию распределения («функцию надежности») R?(п) случайного числа П безотказных испытаний (взаимодействий) прогно-
зируемого объекта через функцию распределения характеристик внешней среды и функцию распределения характерного параметра объекта X
n
Rn (n) = P (П > n) = P
I A < x)
.i =1
= Р (%)£ X)= J F (x) dFx (x) ,
(4)
где
Fu(X), Fx(X) - соответственно, функция распределения фона U и функция распределения ха-
рактерного параметра объекта X .
Заметим, что при отсутствии старения функция распределения параметра объекта X не изменяется. Изменения, связанные с трансформацией неопределенной исходной величины X в последовательной цепи испытаний, в формуле (4) отнесены к эквивалентному изменению характеристики фона. Функция распределения F (n) = P (n < n) дискретной случайной величины П («функция ненадежности») с учетом формулы (4) принимает следующий вид:
Fn (n) = P (n < n ) = Р (и(п)> X ) = 1 - J FS (X) dF) (X) . (5)
Дискретный аналог Рп (п) = Р (П = П) плотности распределения fi(t) непрерывной случайной величины
t ^ n - времени безотказной работы, т.е. вероятность отказа объекта в л-м испытании (когда достоверно известно, что до л-го испытания он не отказал) найдется по формуле [1]:
Рп (П) = Р (П = П) = J Fa-lRa (x) dFu (x) . (6)
В теории надежности и на практике широко используется еще одна характеристика надежности - интенсивность отказа 1(t) . Интенсивность отказа 1(t) трактуется как условная вероятность того, что объект, проработавший безотказно до момента t, откажет в следующую единицу времени (если эта единица достаточно мала) . 1(t) - называют также условной плотностью распределения времени безотказной работы. Дискретным аналогом интенсивности отказа в л-м испытании служит выражение:
Я(П) = Р (и > x / yj= J
F0n (x) R0 (x) dFx (x) J F0n (x) dFx (x)
(7)
где X/ А(п) - условная случайная величина параметра X после л испытаний, при условии, что за
л испытаний объект не отказал.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дедков ВК. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН. 2003. 185 стр.
