CC BY
8
УДК 539.184
ПОПРАВКИ НА СТРУКТУРУ ЯДРА В СВЕРХТОНКОЙ СТРУКТУРЕ P-СОСТОЯНИЙ ЛЕГКИХ МЮОННЫХ ИОНОВ
А. П. Мартыненко, Ф.А. Мартыненко, О. С. Сухорукова
Проведен расчет вклада двухфотонных обменных амплитуд в сверхтонкую структуру спектра P-состояний в мюонных ионах лития, бериллия и бора, обусловленного структурой ядра. Для построения оператора взаимодействия частиц в импульсном пространстве использован метод проекционных операторов на состояния с определенными значениями полного момента атома F и мюона J. Поправки на структуру ядра выражены в терминах электромагнитных формфакторов ядер и зарядовых радиусов ядер.
Ключевые слова: мюонные ионы, квантовая электродинамика, сверхтонкая структура.
Квантовая электродинамика связанных состояний представляет собой наиболее успешную теорию современной физики, которая проверена с помощью очень точных экспериментов для многих атомов и молекул. За последнее десятилетие коллаборация CREMA (Charge Radius Experiments with Muonic Atoms) осуществила ряд экспериментов с мюонным водородом и ионами мюонного гелия, которые привели к возникновению проблемы зарядового радиуса протона [1]. Одно из будущих научных направлений коллаборации CREMA связано с изучением спектров энергии легких мюонных ионов лития, бериллия и бора методами лазерной спектроскопии. Данные эксперименты позволят получить новые величины зарядовых радиусов ядер этих ионов. Основная теоретическая проблема, которую приходится решать при выполнении прецизионных расчетов различных энергетических уровней, связана с построением оператора взаимодействия частиц с учетом таких вкладов в оператор взаимодействия, которые могут давать значительные численные поправки в спектре энергии. В наших недавних работах [2-4] мы выполнили исследования как сверхтонкой структуры (СТС) спектра
Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское шоссе, 34; f.a.martynenko@gmail.com, o.skhrkv@gmail.com.
энергии, так и лэмбовского сдвига для мюонных ионов лития, бериллия и бора с учетом различных поправок в рамках квазипотенциального метода. Цель данной работы состоит в изучении специального дополнительного вклада структуры ядра из двухфо-тонных обменных амплитуд в сверхтонком расщеплении P-уровней энергии. Данный вклад имеет важное значение для достижения высокой точности расчета частот перехода между уровнями 2S и 2P.
Ядра лития, бериллия и бора имеют изотопы со спином s2 = 3/2. Сверхтонкая структура таких мюонных ионов состоит из 6 состояний: 23Pl/2, 25Pl/2, 21P3/2, 23P3/2, 25P3/2, 27P3/2, где нижний индекс обозначает полный момент мюона J = s1+L, а верхний индекс фактор (2F + 1)(F = J + s2) [4]. Для расчета вклада двухфотонных амплитуд в оператор взаимодействия мюона и ядра мы используем импульсное представление. Вклад в спектр энергии определяется в первом порядке теории возмущений следующим интегралом:
AEf = yv ■ n)R2i(q)(2dq7^y(в ■ np)R2i(p)(2djp72AVhfs(p, q), (1)
где волновая функция 2P-состояния представлена в тензорной форме, еа - вектор поляризации орбитального движения, np = (0, p/p), R21(p) - радиальная волновая функция в импульсном представлении. Сверхтонкая часть потенциала может быть построена по амплитуде двухфотонного взаимодействия T2y с помощью метода проекционных операторов на состояния частиц с определенными квантовыми числами [2-4]. Такие проекционные операторы могут быть построены в терминах волновых функций частиц в системе покоя в ковариантной форме. Их введение позволяет избежать прямого перемножения различных дираковских факторов в амплитуде взаимодействия и использовать компьютерные методы расчета амплитуд. При построении потенциала взаимодействия частиц мы используем две схемы сложения моментов: 1. J = s1 + L, F = J + s2, 2. S = s1 + s2, F = S + L. Учитывая, что ядра спина 3/2 описываются в формализме Рарита-Швингера спин-вектором va(p), мы можем записать потенциал от суммы прямой и перекрестной двухфотонных амплитуд взаимодействия в виде:
V>7(p, g) = 3 / [u(0)(m1v + q + Ш1)7^(Ш1 v + q + m^(m v + p + m,1)u(0)] (2)
16nm2m3 J k2
(<5* • n ) л ^ (в • n )
(k _ qq)2 ßa(0)(m2v - p - m2)ra7(q - m2V + т,2)П7ШГ^(m2v - q - m^v^(0)](k—pj)!,
л m1,2 p , где 4-импульсы начальных и конечных частиц p12 = ---P ± p, q12 =
(Ш1 + Ш2)
mi2
-P ± q выражены через полный P = (mi + m2)v и относительные (mi + m,2) 4-импульсы p, q,
А / \ 1 2pYpw TyPW Тшр7
П-(Р) = - 3W - ImT - 3m2 ^
(3)
Fi((p - k)2) + g«7avAF2((p - k)2) + (4)
((p - k)2)=[g«7^^m2^ ■ ~ -(p - k) ^ м2
2m<
2
(p - k)a(p - k)7 (k - 2m2v)v
4m2
2m2
Fs((p - k)2) +
(p - k)a(p - k)7 (p - k)A
4m2
-avA-
2m2
F4((p - k)2)].
Четыре формфактора Fi в (4) могут быть выражены через мультипольные форм-факторы, измеряемые в экспериментах: зарядовый Geo, электрический квадрупольный Ge2, магнитный дипольный Gmi и магнитный октупольный Gmз [2-4]. Для расчета сверхтонкой структуры 2Pi/2 состояния мы вводим вначале проекционный оператор, на состояние мюона с моментом j = 1/2:
ni=i/2 = [u(0)ew(0)]j=i/2 = Y5(Yw - ^^
(5)
где "0(0) - дираковский спинор, описывающий мюон с моментом ] = 1/2. На следующем шаге мы проектируем пару мюон-ядро на состояния с полным моментом F = 2 или F = 1. В случае состояния с F = 2 проекционный оператор имеет вид:
1 + V
П j=i/2(F = 2) = [^(0)ue(0)]F=2 = 12+2Т Yt ^,
(6)
где тензор еат описывает состояние с F = 2. Для построения оператора взаимодействия частиц в этом состоянии проводится суммирование по проекциям полного момента F с помощью формулы
£/3A£ap = П вА,ар
MF=-2
2ХваХАр + 1 ХврХАа - 3ХвАХар
, Хва = (gae - VeVa). (7)
В результате оператор взаимодействия частиц в состоянии 25Р^2 примет вид:
V27 (P, q)F=i2/2
Ш kk {Fi((k - p)2)F3((k - q)2)
\fp , q
о— (pqH - + -3m2 \q p
+
+Fi((k - p)2)F2((k - q)2)
4( 1 \q I np , 2m^ 1 ^ , 2mi/ 1 \p, o(Pkb + o(qk)- + о— (Pkb + о— (qkb+ 3 p 3 q 3m2 p 3m2 q
+ (pq) ^ + £
m2 \q p
- Fi((k- p)2)Fi((k- q)2)
of i ^q t of i\P,m^ i ^q, i nP , 2(pk) + 2(qk) +—(pkb +—(qk)-+
p q m1 p m1 q
, mi / i ^ q i mi / i ^p , ^ (p , Л i и (pq) + o— (pk)- + о— (qkb + (pq) - + - + 4mim2-
3m2 p 3m2 q V q p / pq
Это выражение ясно показывает общую структуру потенциалов, которые мы получаем на выходе из программы аналитических расчётов Form [5]. Полезно заметить, что при построении потенциалов таким способом мы получаем не только сверхтонкую часть потенциала, но и вклад кулоновского взаимодействия в тонкую структуру, который сокращается при переходе к сверхтонким расщеплениям. Рассмотрим построение потенциала взаимодействия частиц в состоянии 23P1/2. Чтобы ввести проекционные операторы на состояние с F = 1. j = 1/2, необходимо сложить спин ядра s2 = 3/2 и полный момент мюона j = 1/2. Для этого мы используем преобразование базиса вида:
Ф
S2=3/2,F =1,MF
2 /1Т
3^=0,F =1,MF + у з Ф,i?=1 ,F =1,MF ,
(9)
где состояние с з2 = 3/2 представляется в виде суммы двух моментов §2 = 1/2 и ¿2 = 1, = + §2. В дальнейшем при работе с состояниями Ф,§=0 р =1 м^ и Ф.§=1 р=1 м мы вводим проекционные операторы на эти состояния, вид которых хорошо известен:
П «(¿ = 0,F = 1)
1 + v 2^2
75^«, П«(5= 1,F = 1) =
1 + v
~1а е.
а^аарш
рсш
V6
:iq)
где вектор поляризации еш описывает состояние с полным моментом Р =1. При использовании проекционных операторов (10) возникают несколько вкладов в потенциал, сумма которых имеет вид:
(p. j1/2-
dk
4^2™^ F{F1((k - p)2>F3((k - q>2)
m1 p q
о— (pqH - + -
3m2 q p
+
+F1((k - p)2)F2((k - q)2)
20/ i \q , 20 / i \P , 10m^ i лq , 10m1/ i \P 7r(pkb + 7r(qkb + ^— (pk)- + ^— (qk)—
9 p 9 q 9m2 p 9m2 q
- 1Wp + P) - (pq) p + P
9 q p m2 q p
+ F1(k - p)2)F1(k - q)2)
2(pk)q + 2(qk)P + pq
. m2, , s q . 1 ,P 5m1 q 5m p fp q\ (pq)
+—(pk)- + —(qk)- - й— (pkb - й— (qkb + (pqM - + - + 4m1m2—
m1 p m1 q 9m2 p 9m2 q q p pq
Чтобы выделить вклад, обусловленный структурой ядра, ядра в аналитическом виде, разложим формфакторы Р,1 в ряд, сохранив члены, пропорциональные зарядовому и магнитному радиусам гЕ, гМ. При этом учтем, что интегральные функции в (8), (11) симметричны относительно замены р о д и представим произведение формфакторов в виде:
Л((к - р)2Ж((к - я)2) « 1 - 3г2(к - р)2, (12)
Fi((k - p)2)F2((k - q)2) « Gmi(0)
1 - 6(rE + r2M)(k - p)2
Вычисляя далее импульсные интегралы, получим вклад в расщепление уровня 2Р!/2:
75^,6,,4,
гу5 6 4 Г / \
ДР h/>(25n 23 p )= Z а ß ßN (r2 + r2 тЛ ml
ДР (2Pl/2 - 2 Pl/2) = 27mp _(fE + ГмЧ2 + m2) -
13)
Шг/ m2Gм 1(0)
Построение оператора взаимодействия частиц в других состояниях 2(2^+1)Р3/2 и вычисление вкладов в сверхтонкую структуру проводится аналогично [2-4].
В данной работе исследовался дополнительный, ранее не учтённый тип поправок в СТС спектра Р-состояний легких мюонных ионов, обусловленный структурой ядра. В результате были получены следующие численные значения вкладов структуры ядра для расщеплений 2Р-состояния: ДЕ/25Р1/2-23Р1/2) = 0.095 шеУ (Ы), -0.560 шеУ (Ве), 3.579 шеУ (В); ДЕ^(27Р3/2 - 25Р3/2) = 0.029 шеУ (Ы), -0.169 шеУ (Ве), 1.083 шеУ (В); Д£/25Р3/2-23Р3/2) = 0.007 шеУ (Ы), -0.043 шеУ (Ве), 0.269 шеУ (В); ДЕЛ/в(23Р3/2) = 0.022 шеУ (Ы), -0.128 шеУ (Ве), 0.810 шеУ (В). Эти значения необходимо учитывать при получении полных сверхтонких расщеплений уровней энергии 2(2^+1)PJ.
Работа выполнена при поддержке РНФ (грант РНФ 18-12-00128) и фонда развития теоретической физики и математики Базис (грант №19-1-5-67-1) (Ф.А.М.).
2
ЛИТЕРАТУРА
[1] R. Pohl, J. Phys. Soc. Jpn. 85, 091003-1 (2016). DOI: 10.7566/JPSJ.85.091003.
[2] A. A. Krutov, A. P. Martynenko, F. A. Martynenko, and O. S. Sukhorukova, Phys. Rev. A 94(6), 062505-1 (2016). DOI: 10.1103/PhysRevA.94.062505.
[3] A. E. Dorokhov, A. A. Krutov, A. P. Martynenko, et al., Phys. Rev. A 98(4), 042501-(2018). DOI: 10.1103/PhysRevA.98.042501.
[4] A. E. Dorokhov, A. P. Martynenko, F. A. Martynenko, and O. S. Sukhorukova, Phys. Rev. A 100(6), 062513-1 (2019). DOI: 10.1103/PhysRevA.100.062513.
[5] J. A. M. Vermaseren, New features of FORM. e-preprint arXiv:math-ph/0010025. https://arxiv.org/pdf/math-ph/QQ1QQ25.pdf.
Поступила в редакцию 10 января 2020 г.
После доработки 18 февраля 2020 г. Принята к публикации 16 марта 2020 г.
Публикуется по рекомендации XVII Всероссийского молодежного Самарского конкурса-конференции научных работ по оптике и лазерной физике (Самара).
