CC BY
56
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. T. 19, № 2. С. 270—282
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1375 УДК 539.184.26
СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА ИОНОВ МЮОННОГО ЛИТИЯ* *
А. П. Мартыненко1,2, А. А. Улыбин1
1 Самарский государственный университет,
Россия, 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.
2 Самарский государственный аэрокосмический университет
имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет),
443086, Россия, Самара, Московское ш., 34.
Аннотация
В рамках метода теории возмущений по постоянной тонкой структуры и отношению масс электрона и мюона вычислены поправки на отдачу порядков a4M, ©( Me)2 ln Me, ©(Mm ln m и р^^^ст-
кие поправки порядка а6 в сверхтонкой структуре основного состояния ионов мюонного лития (pe gLi)+ и (pe gLi)+. Получены значения малых интервалов сверхтонких расщеплений:
Avj. = 14153.03 МГц и Av2 = 21571.26 МГц в (pe §Li) + ,
Av1 = 13991.97 МГц и Av2 = 21735.03 МГц в (pe|Li) + , которые можно рассматривать как надёжный ориентир при сравнении с будущими экспериментальными данными.
Ключевые слова: квантовая электродинамика, сверхтонкая структура,
квазипотенциальный метод.
doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1375
Ионы мюонного лития (pe |Li)+ и (pe 3Li)+ представляют собой простейшие трёхчастичные системы, состоящие из электрона, отрицательного мюона и положительного ядра 6Li или gLi. Время жизни таких атомов определяется временем жизни мюона тр = 2.19703(4)-10-6 с. Эти трёхчастичные связанные состояния имеют сложную сверхтонкую структуру, обусловленную взаимодействием магнитных моментов электрона, мюона и ядра. Мюонные системы представляют собой уникальную лабораторию по прецизионному определению свойств ядер, таких как их зарядовые радиусы [2,3]. В последние годы наблюдается существенный прогресс, достигнутый коллаборацией CREMA
© 2015 Самарский государственный технический университет.
Образец для цитирования
Мартыненко А. П., Улыбин А. А. Сверхтонкая структура ионов мюонного лития // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 2. С. 270-282. doi: 10.14498/vsgtu1375.
Сведения об авторах
Алексей Петрович Мартыненко (д.ф.-м.н., проф.; [email protected]; автор, ведущий переписку), профессор, каф. общей и теоретической физики1; профессор, каф. физики2 .
Александр Александрович Улыбин ([email protected]), студент, каф. общей и теоретической физики.
* Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014).
270
Сверхтонкая структура ионов мюонного лития
(Charge Radius Experiment with Muonic Atoms) при исследовании спектров энергии мюонных атомов. Было выполнено измерение лэмбовского сдвига и сверхтонкой структуры в мюонном водороде и мюонном дейтерии. Планируются аналогичные эксперименты с мюонным гелием. Лёгкие мюонные атомы важны для проверки Стандартной модели, теории связанных состояний в квантовой электродинамике, для поиска экзотических частиц и взаимодействий.
Сверхтонкое расщепление основного состояния в атомах мюонного гелия (pe 3’4He) было измерено много лет назад с достаточно высокой точностью. Это измерение является единственным экспериментальным результатом в случае трёхчастичных мюонных атомов. С другой стороны, теоретические исследования энергетического спектра мюонного гелия достигли существенно больших успехов по двум направлениям [4-13, 15]. Первый подход, использованный в [4-6, 11], был основан на методе теории возмущений для уравнения Шрёдингера. В этом случае существует аналитическое решение для трёхчастичной волновой функции в исходном приближении. На его основе было выполнено вычисление различных поправок в сверхтонком расщеплении. Другой подход в работах [7, 10, 12-15] был основан на вариационном методе в квантовой механике. Он позволил вычислить численно уровни энергии трёхчастичной системы с очень высокой точностью. Чтобы найти расположение низколежащих уровней энергии с большой точностью, необходимо учесть различные поправки в операторе взаимодействия частиц. Прежде всего эти поправки связаны с эффектами отдачи, структуры ядра и поляризации вакуума. Программа расчёта сверхтонкой структуры в мюонном гелии, включая возбуждённые состояния, была реализована в [4-7, 10-13, 16-18]. Цель данной работы состоит в распространении этого подхода на ионы мюонного лития (pe 3’7Li)+, что представляет собой потенциальный интерес для экспериментального изучения.
Связанные частицы в ионах мюонного лития имеют различные массы me^m2^mLi. В результате мюон и ядро Li образуют псевдоядро (p 3’7Li)++, и в первом приближении ион мюонного лития может рассматриваться как двухчастичная система. Гамильтониан (p e 3’7Li)+ имеет следующую общую
структуру:
H
Ho + АН + ДНГ,
Но = -
V2 2Мм 2
+ AHVP + AHstr + AHvert,
1 2 3а 2а
-----V2-----------
2Me 6 Х2 Xe ’
AH = — - —, AHr,
X2e xe
___v • V
MLi 2 ^
где X2 и xe — координаты мюона и электрона по отношению к ядру лития, Me = meMLi/(me + MLi) и M2 = m2MLi/(m2 + MLi) — приведённые мас-
сы подсистем (e g7Li)++ и (p 3’7Li)++. Члены гамильтониана AHvp, AHstr и AHvert описывают поправки на поляризацию вакуума, структуру ядра и вершинную поправку. В исходном приближении волновая функция основного состояния имеет вид
Фо^ xe) = Ф20 (x2)^ec (xe)
(6а2 M2 Me)3/2
e-ЗаМ^Жд e-2aMe xe
п
(1)
271
Мартыненко А. П., Улыбин А. А.
Базовый вклад в сверхтонкое взаимодействие в основном состоянии (pe6’7Li)+ определяется следующим гамильтонианом:
A Hf
2па gNgp 3 mpmp
(I ■ SРЖхр)
2па gpge 3 ШдШе
(Sp ■ Se)^(xp
Xe) +
+
2па gegN 3 memp
(Se ■ 1)6(х*),
(2)
где gN, gP, ge — гиромагнитные факторы ядра, мюона и электрона. Полный спин трёх частиц принимает значения 0, 1 и 2 для (pe |Li)+ и 1/2, 3/2 и 5/2 для (pe 7Li)+.
Сверхтонкое расщепление уровней энергии в ионах мюонного лития определяется рядом матричных элементов
v = (AHhfs)
a (I ■ Sp)-b (Sp ■ Se) + c (Se ■ I),
(3)
где средние значения операторов спин-спинового взаимодействия могут быть вычислены с помощью преобразования базисных волновых функций [19,20]:
^SN/,SSZ
Y^(-l)I+S^+Se+Aj (2 Sn„ + 1)(2 SNe + 1) X
SNe
J Se Sn SNe
X \ Sp S Snp
^SNeSSz ,
где Snp —спин подсистемы ядро-мюон, SNe —спин подсистемы ядро-электрон, S — полный угловой момент. Свойства 6j-символов можно найти в [20]. Как следует из (2), (3), основные вклады в коэффициенты a, b и c следующие:
2па gNgM /г, ^
ao = ~хг~____ (£(хр)),
3 mpmp
b0 =
2па gpge
3
mpm(
(ё(хР - xe)) ,
2па gegN ^
Co = —Z-------(^(Xe))
3 memp
(4)
(5)
где (...) означает усреднение в координатном представлении по волновым функциям (1). При расчётах мы использовали следующие значения гиромагнитных факторов:
gN (6Li) = 0.822047, gN (7Li) = 2.170951, gp = 2(1 + кр) = 2(1 + 1.16592069(60) ■ 10-3);
ge = 2 для коэффициента b; ge = 2(1 + Ke) = 2(1 + 1.15965218111(74) ■ 10-3) для коэффициента c.
Среднее значение (3) есть матрица 4 X 4, соответствующая различным значениям полного спина и спина подсистемы мюон-ядро:
272
Сверхтонкая структура ионов мюонного лития
(S = 0, Snц = 1/2), (S = 1, Snц = 1/2), (S = 1, Snм = 3/2),
(S = 2, Snp = 3/2) для (р е |Li)+;
(S = 1/2, Snp = 1), (S = 3/2, Snp = 1), (S = 3/2, Snp = 2),
(S = 5/2, Snp = 2) для (р e 3Li)+.
После диагонализации мы имеем четыре собственных значения энергии Vi. В случае мюонного лития a ^ b и a ^ с. Поэтому интервалы сверхтонкой структуры Av могут быть представлены с хорошей точностью в виде
(р е 3Li)+ : Avhfs = b + 4с Av2hfs
3 ,
(р е 3Li)+ : Avhfs = 5(b - 3с) 8 , Av2hfs
(6)
(7)
8
Для углового момента подсистемы мюон-ядро Snp = 1/2 и Snp = 3/2 (ре6Li)+ интервалы сверхтонких расщеплений (6) с состояниями полного углового момента S = 0, 1 и S = 1, 2 возникают в результате магнитного взаимодействия между электроном и псевдоядром (р|Li)++. Такая же ситуация (7) справедлива для (ре jLi)+.
В первом порядке теории возмущений (ТВ) основные вклады в коэффициенты b (4) и с (5) могут быть аналитически вычислены с помощью (1) (далее верхние и нижние значения соответствуют (ре6Li)+ и (ре3Li)+):
bo
2па gegu
3 ШеШм
Ф0(Хе, Хм)£(Хе - Хм)Фо(Хе, X^)dXedx^ =
= Vf
9е9ц
4
(1 +
1
2Me )3 3MM )
VF
1 + + (1 + к^)
2 Ме + 8 М
мц 3 М2
(8)
64а4Ме3 _ J 36140.290 МГц, _ J 42.137 МГц,
3шрше I 36141.701 МГц; | 42.138 МГц;
со
2па gegN 3 шеШр
Ф0(Хе, Хм)^(Хе)Фо(Хе, Хр)^Хе^Хр =
Ш^ РеgN VF-----3—
Шр 4
1674.700 МГц, 4422.900 МГц,
где мы получили в квадратных скобках энергию Ферми vf, поправку на аномальный магнитный момент мюона kpvf и члены отдачи. Аналогичный вклад будет давать аномальный магнитный момент электрона:
Ке Vf
41.959 МГц, 41.961 МГц.
Численное значения вклада в энергетический спектр представлено с точностью до 0.001 МГц. Интервалы сверхтонких расщеплений выражены через частоту с помощью соотношения AEhfs = 2n^Avhfs. Численные значения фундаментальных физических констант взяты из работ [21,22].
273
Мартыненко А. П., Улыбин А. А.
Рассмотрим расчёт поправок на отдачу порядков a4Mf-, a4(IIе)2 ln IIе, a4(It)2. Часть таких поправок уже содержится в (8). Во втором порядке ТВ мы также имеем вклады в сверхтонкое расщепление необходимого порядка а4Ц, а4(Iе)2 ln Iе, a4(^)2. Поправка в коэффициент b определяется формулой
brec = 2 J Фо(хм, Xe)AH0fS (x^ - Xe)(5(x^, Xe; x'M, x'e) X
x AH(x'M, x^e)^o(x/^, x'e)dx^dxedx'^dx'e, (9
где редуцированная функция Грина электрона имеет вид
Фцп (x^en, (xe)t* WnWe, (x'e)
G(xM, xe; x'^ x'e) = ^
n,n7=0
EM0 + Eeo E^n Een/
(10)
Разделим сумму по мюонным состояниям в (10) на две части:
b = b9 + be
brec = brec + brec,
где bgec есть вклад в brec при n = 0, что соответствует основному состоянию мюона. Для этой части получим
bgec = 4rmrmr / ^ (x3)|2^e*o (x3)
3 >memu J
^ ^e ,(x3)^ ,(xi)
^ ^(x1)^eo (x1 )dx1dx3 (11)
n/=0
E — E
Eeo Een/
где введено обозначение для потенциала VM(x):
VM(x1) = J Ф1о (x2^T^4 - ~ Ф^0 (x2)dx2 =
|x2 - xi| Xi_
= - ^ (1 + 3aMмЖl)e-6aM^Xl.
Для дальнейшего интегрирования (11) по координатам мы использовали компактное выражение для функции Грина электрона [23]:
G ( ) ^ ^e„, (x3)^e*n, (x1)
Ge (x1, x3)= ^ E _ ^------------------
, Een Ee
n/=0
o Ve0 en/
-2aMe e 2a~Ie (xi +Хз) Г!---ln(4aMeX>) - ln(4aMeX<) +
n L4aMex>
7 1 _ g4aMeж<
+ Ei(4aMex<) + — - 2C - 2aMe(x1 + x3) +---—ГТ--
2 4aMex<
274
Сверхтонкая структура ионов мюонного лития
где х< = шт(ж1,жз), х> = max(xi, жз), C = 0.577216... — постоянная Эйлера, Ei(x) —интегральная экспонента. Результат интегрирования по координатам в (11) может быть записан в виде разложения по отношению масс электрона и мюона Me/Mu:
hg (Л , хГ 11 Me
bgec = Vp (1 + M +
1 Me (-64 ln Me - 7 - 128 ln 2 + 64 ln 3
^ 72 M2 V m.
Часть b3, соответствующая возбуждённым состояниям мюона, может быть представлена в виде
Mu
brec = ^ mg9,!! / (x3)^e*o (x3) E фМ„ (x3^n (x2)Ge(x3, xi,z)x
3 memu J .
n=0
a a
L|x2 - xi| xj
----Фио (x2 )Фео (xi )dxidx2dx3, (12)
где
Ge(x3, xi,z) = E
Ап/ (хз)ф1п/ (xi)
z Ee._ /
E
феп/ (x3Ж, (xi)
n/ = 0 “en' n/ = 0 E,0 + Ee0 E,n Een/
— функция Грина электрона. Член (-a/xi) не даёт вклада из-за ортогональности волновых функций мюона. Чтобы аналитически проинтегрировать (12), мы используем замену Ge на свободную функцию Грина электрона [4]:
Ge(x3, xi,z) ^ Gj°(x3 - xi,z)
Me e-e|x3-xi1 2n |x3 - xi|
где в = \/2Me(Eun - Eeо - E,о) > 0. Кроме того, мы заменяем волновые функции электрона в (12) на их значения в нуле фео (0). Опущенные в этом приближении члены могут дать вклад порядка (1)2. Результат численного интегрирования этих вкладов представлен в работе [6] для атома мюонного гелия, в которой показано, что численные значения поправок малы. Аналитическое интегрирование по координате xi даёт результат
e-e|x3-xi1 dxi г 11. . 1ol |2
-j--------Г I--------1 = 4п д ТГ|x3 - x21 + Xe|x3 - x21 +
|x3 - xi| |x2 - xi| Ip 2 6
(13)
где было использовано разложение экспоненты e e|x3 xz| по P|x3-x2|. Данное разложение эквивалентно разложению по малому параметру . Первый член p-i не даёт вклада. Второй член (13) даёт результат -vpФШр-. Третье
1Г
слагаемое (13) приводит к следующему интегралу:
I Ф1о (x3) E
n
2Me (Eun - Euo)ф,п (x3)PU„ (x2)x2x3^uо (x2)dx2dx3 =
1 ( Me \3/2S
3aMe\ My i/2
275
Мартыненко А. П., Улыбин А. А.
где мы определили матричный элемент
S1/2
ЕП, ЕП0
Rn
1/2
№0
x
an
№n
2
(14)
Вклады дискретного и непрерывного спектра (14) соответственно равны [24, 25]:
S
d
1/2
Е
28n6(n — 1)2n 9/2 (П + 1)2n+9/2
1.90695 ...,
S
С
1/2
28kdk
fo (k2 + 1)9/2(1 — e-2n/k)
1 + ik \i/k 1 — ik)
1.03111...,
где Rn = (9/2)a2Mn, an — (3aMn) 1. Суммарный вклад первого и второго порядков ТВ в коэффициент b порядка а4 имеет вид
brec — VF(1 + Kn)
3
Me
mu
8 ( Me ^2 Me ,
in +
9M
Mn
+ 9
4 ( Me \3/2 8 ( Me \2f 185 , \
) S1/2 4 ( -r— W :------------2 in 2 + in 3)
9 V MJ 1/2 9 V MJ V 64 )
Существует аналогичный вклад в коэффициент c во втором порядке ТВ. Для его вычисления необходимо использовать
л xrhfs, 2па 9e9N s, ^
AHof (xe) — —---------5(xe)
3 memp
в выражении (9). После очевидных упрощений поправка на отдачу в коэффициент c может быть представлена в виде
c1
4па gegN 3 memp
Фв0 (0)Ge(0, X1)Vn(x1)^eo (X1)dx1,
где функция Грина электрона с одним нулевым аргументом вычисляется по формуле
Ge(0, x)
ГО
Е
*e, (0)»e*, (x)
Eeo — Ee,
2oiM-
e~2uMex
П
- 1
.4aMex
in (4aMex) +
5
2
C — 2aMex .
После аналитического интегрирования по координатам представим результат в виде разложения по отношению масс MMe:
c1
c0
- Me + 8 M2(1
Mn + 9 M2\ 4
3
Me
+ in-----in —-
2
Mn
8.467 МГц, 22.302 МГц.
Большое значение имеет поправка на отдачу, которая связана с двухфотонными обменными амплитудами в электрон-мюонном взаимодействии. Она
276
Сверхтонкая структура ионов мюонного лития
имеет порядок a5 m ln m. Этот вклад определяется следующим выражением [26,27]:
AHrec, 2y(xie) — 8
a
—i — m2
m
ln -1 (Si ■ Se) S(xle).
me
Усредняя (15) по кулоновским волновым функциям, получим
(15)
3a —i—e , —i
brec, 2y — VF 2 2 ln
n —l — —2 —e
6.430 МГц,
6.431 МГц.
В этой работе мы провели аналитический и численный расчёт интервалов сверхтонкого расщепления уровней энергии в ионах мюонного лития (^е |(,7Ь1)+ на основе метода теории возмущений, который был предложен ранее для атома мюонного гелия в работах [4-6]. Перечислим ряд основных особенностей проведённых расчётов.
1. Ионы мюонного лития имеют сложную сверхтонкую структуру, которая обусловлена взаимодействием магнитных моментов всех трёх частиц. Мы исследуем малые интервалы сверхтонких расщеплений, которые могут быть важны для экспериментального исследования.
2. В этой задаче имеются два малых параметра — постоянная тонкой структуры и отношение масс электрона и мюона, которые могут быть использованы для построения операторов взаимодействия частиц и вычисления соответствующих вкладов в спектр энергии. Основные вклады определяются порядками а4, а5 и а6, в том числе и эффекты отдачи в первом и втором порядках ТВ.
3. Релятивисткие поправки были получены с помощью выражений [28, 29]:
brel
VF
2
5.774 МГц,
5.774 МГц;
crel
со(^ (Zia)2
0.535 МГц, 1.413 МГц,
где Z1 — заряд подсистемы (Ne), Z2 —заряд подсистемы (N^).
Используя численные значения коэффициентов b и с, мы нашли сверхтонкие расщепления для ионов мюонного лития:
Av1 — 14153.03 МГц и Av2 — 21571.26 МГц для (^е 6Li)+,
Av1 — 13991.97 МГц и Av2 — 21735.03 МГц для (^е 7Li)+.
В работе [13] был выполнен расчёт сверхтонкой структуры в ионах мюонного лития с помощью вариационного метода:
Av1 — 14148.68 МГц и Av2 — 21567.11 МГц для (^е 6Li)+,
Av1 — 13989.19 МГц и Av2 — 21729.22 МГц для (^е 7Li)+.
Различие наших результатов и [13] составляет несколько МГц. Как следует из работы [13], в ней были вычислены только основные вклады с высокой точностью, но различные поправки к гамильтониану были опущены. Таким
277
Мартыненко А. П., Улыбин А. А.
образом, разница между нашими результатами и работой [13] связана с релятивистскими поправками и поправками на отдачу, которые были вычислены в этой работе. Полученные численные значения вкладов в коэффициенты b и c демонстрируют этот вывод. Отметим, что также необходимо учитывать эффекты поляризации вакуума, структуры ядра, вклад вершинных поправок.
Существует несколько основных источников теоретической ошибки. Прежде всего, как мы уже упоминали выше, поправки на отдачу порядка (М-)2 не учитываются точно из-за замены функции Грина электрона на свободную. Численно этот вклад может дать 0.88 МГц. Второй источник ошибки связан с поправками порядка a2vp. В случае связанного состояния двух частиц эти поправки были вычислены в работах [26, 30-34]. Теоретическая ошибка от вклада порядка а2ир составляет 1.92 МГц. Другая часть ошибки определяется двухфотонными обменными амплитудами в системе трёх частиц. Они имеют пятый порядок по а и содержат параметр отдачи порядка — ln —, так что их численное значение может быть ±0.22 МГц. Таким образом, общая теоретическая погрешность не превышает ±2.13 МГц.
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-02-00173-a) и при государственной поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках реализации мероприятий Программы повышения конкурентоспособности СГАУ среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2013-2020 годы.
ORCIDs
Алексей Петрович Мартыненко: http://orcid.org/0000-0003-3323-2177 Александр Александрович Улыбин: http://orcid.org/0000-0002-9594-6995
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мартыненко А. П., Улыбин А. А. Сверхтонкая структура ионов мюонного лития / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 240-241.
2. Pohl R., Antognini A., Nez F. et al. The size of the proton // Nature, 2010. vol. 466. pp. 213217. doi: 10.1038/nature09250.
3. Antognini A., Kottmann F., Biraben F., Indelicato P., Nez F., Pohl R. Theory of the 2S-2P Lamb shift and 2S hyperfine splitting in muonic hydrogen // Annals of Physics, 2013. vol. 331. pp. 127-145, arXiv: 1208.2637 [physics.atom-ph]. doi: 10.1016/j.aop.2012. 12.003.
4. Lakdawala S. D., Mohr P. J. Hyperfine structure in muonic helium// Phys. Rev. A, 1980. vol. 22, no. 4. pp. 1572-1575. doi: 10.1103/physreva.22.1572.
5. Lakdawala S. D., Mohr P. J. Calculation of the muonic 3He hyperfine structure// Phys. Rev. A, 1981. vol. 24, no. 4. pp. 2224-2227. doi: 10.1103/physreva.24.2224.
6. Lakdawala S. D., Mohr P. J. Perturbation-theory calculation of hyperfinr structure in muonic helium// Phys. Rev. A, 1984. vol. 29, no. 3. pp. 1047-1054. doi: 10.1103/physreva. 29.1047.
7. Huang K.-N., Hughes V. W. Theoretical hyperfine structure of the muonic 3He and 4He atoms// Phys. Rev. A, 1982. vol. 26, no. 5. pp. 2330-2333. doi: 10.1103/physreva.26.2330.
8. Borie E. On the hyperfine structure of neutral muonic helium// Z. Physik A, 1979. vol. 291, no. 2. pp. 107-112. doi: 10.1007/bf01437989.
9. Drachman R. J. Nonrelativistic hyperfine splitting in muonic helium by adiabatic perturbation theory// Phys. Rev. A, 1980. vol. 22, no. 4. pp. 1755-1757. doi: 10.1103/ physreva.22.1755.
278
Сверхтонкая структура ионов мюонного лития
10. Chen M.-K. Correlated wave functions and hyperfine splittings of the 2s state of muonic 3,4He atoms// Phys. Rev. A, 1992. vol. 45, no. 3. pp. 1479-1492. doi: 10.1103/physreva. 45.1479.
11. Yakhontov V. L., Amusia M. Ya. Hyperfine splitting computation in the 1s1/22s!jy2 state of the exotic (4He2+-pTe-)0 and (3He2+-pTe-)0 atoms// J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 1994. vol. 27, no. 16. pp. 3743-3765. doi: 10.1088/0953-4075/27/16/021.
12. Frolov A. M. Properties and hyperfine structure of helium-muonic atoms // Phys. Rev. A,
2000. vol. 61, no. 2, 022509. doi: 10.1103/physreva.61.022509.
13. Frolov A. M. Hyperfine splitting in the ground states of the lithium-muonic ions and in the 23S states of the lithium-muonic atoms // Phys. Let. A, 2006. vol. 357, no. 4-5. pp. 334-338. doi: 10.1016/j.physleta.2006.04.059.
14. Korobov V. I. Coulomb three-body bound-state problem: Variational calculations of nonrelativistic energies// Phys. Rev. A, 2000. vol. 61, no. 6, 064503. doi: 10.1103/ physreva.61.064503.
15. Pachucki K. Hyperfine structure of muonic helium// Phys. Rev. A, 2001. vol. 63, no. 3, 032508. doi: 10.1103/physreva.63.032508.
16. Krutov A. A., Martynenko A. P. Ground-state hyperfine structure of the muonic helium atom// Phys. Rev. A, 2008. vol. 78, no. 3, 032513. doi: 10.1103/physreva.78.032513.
17. Krutov A. A., Martynenko A. P. Hyperfine structure of the ground state muonic 3He atom // Eur. Phys. J. D, 2011. vol. 62, no. 2. pp. 163-175, arXiv: 1007.1419 [hep-ph]. doi: 10.1140/ epjd/e2011-10401-5.
18. Krutov A. A., Martynenko A. P. Hyperfine structure of the excited state 1s1'/)22s!jy2 of the muonic helium atom// Phys. Rev. A, 2012. vol. 86, no. 5, 052501. doi: 10.1103/physreva. 86.052501.
19. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Наука, 1989. 768 с.
20. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Физматлит, 1963. 640 с.
21. Mohr P. J., Taylor B. N., Newell D. B. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010// Rev. Mod. Phys., 2012. vol. 84, no. 4. pp. 1527-1605. doi: 10. 1103/revmodphys.84.1527.
22. Stone N. J. Table of nuclear magnetic dipole and electric quadrupole moments // Atomic Data and Nuclear Data Tables, 2005. vol. 90, no. 1. pp. 75-176. doi: 10.1016/j.adt.2005. 04.001.
23. Hameka H. F. On the use of Green functions in atomic and molecular calculations. I. The Green function of the hydrogen atom// J. Chem. Phys., 1967. vol. 47, no. 8. pp. 2728-2735. doi: 10.1063/1.1712290; doi: 10.1063/1.1668086.
24. Bethe H. A., Salpeter E. E. Quantum mechanics of one- and two-electron atoms. New York: A Plenum/Rosetta Edition, 1977. xii+370 pp.. doi: 10.1007/978-1-4613-4104-8
25. Фок В. А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976. 376 с.
26. Eides M. I., Grotch H., Shelyuto V. A. Theory of light hydrogenlike atoms // Physics Reports,
2001. vol. 342, no. 2-3. pp. 63-261. doi: 10.1016/s0370-1573(00)00077-6.
27. Arnowitt R. The hyperfine structure of hydrogen // Phys. Rev., 1953. vol. 92, no. 4. pp. 10021009. doi: 10.1103/physrev.92.1002.
28. Huang K.-N., Hughes V. W. Theoretical hyperfine structure of muonic helium// Phys. Rev. A, 1979. vol. 20, no. 3. pp. 706-717. doi: 10.1103/physreva.20.706.
29. Chen M.-K. Hyperfine splitting for the ground-state muonic 3He atom-corrections up to a2 // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 1993. vol. 26, no. 15. pp. 2263-2272. doi: 10. 1088/0953-4075/26/15/013.
30. Martynenko A. P. 2S Hyperfine splitting of muonic hydrogen // Phys. Rev. A, 2005. vol. 71, no. 2, 022506, arXiv: hep-ph/0409107. doi: 10.1103/physreva.71.022506.
31. Мартыненко А. П. Теория изотопического сдвига мюонный водород - мюонный дейтерий// ЖЭТФ, 2005. Т. 128, №6. С. 1169-1183, arXiv: hep-ph/0412250.
279
Мартыненко А. П., УлыбинА.А.
32. Мартыненко А. П. Сверхтонкая структура S-уровней иона мюонного гелия // ЖЭТФ, 2008. Т. 133, №4. С. 794-804, arXiv:0710.3237 [hep-ph].
33. Мартыненко А. П. Тонкая и сверхтонкая структура Р-уровней мюонного водорода // Ядерная физика, 2008. Т. 71, №1. С. 126-136, arXiv: hep-ph/0610226.
34. Faustov R. N., Martynenko A. P., Martynenko G. A., Sorokin V. V. Radiative nonrecoil nuclear finite size corrections of order a(Za)5 to the hyperfine splitting of S-states in muonic hydrogen// Phys. Let. B, 2014. vol. 733. pp. 354-358, arXiv: 1402.5825 [hep-ph]. doi: 10. 1016/j.physletb.2014.04.056.
Поступила в редакцию 16/XII/2014; в окончательном варианте — 29/I/2015; принята в печать — 08/IV/2015.
Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 2, pp. 270—282
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1375
MSC: 74E35, 74K20
HYPERFINE STRUCTURE OF MUONIC LITHIUM IONS*
A. P. Martynenko1,2, A. A. Ulybin2
1 Samara State University,
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation.
2 Samara State Aerospace University,
34, Moskovskoye sh., Samara, 443086, Russian Federation.
Abstract
On the basis of perturbation theory in fine structure constant a and the ratio of electron to muon masses we calculate recoil corrections of order a4(Me/MM), a4(Me/MM)2 ln(Me/MM), a4(Me/M^)2, as(me/mM)ln(me/mM) to hyperfine splitting of the ground state in muonic lithium ions (y e 3Li)+ and (y e ^Li)+. We obtain total results for the ground state small hyperfine splittings in (y e 3Li) + Av1 = 14153.03 MHz and Av2 = 21571.26 MHz and in (y e 3Li)+ Av1 = 13991.97 MHz and Av2 = 21735.03 MHz which can be considered as a reliable estimate for a comparison with future experimental data.
Keywords: quantum electrodynamics, hyperfine splitting, quasipotential method. doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1375
© 2015 Samara State Technical University.
Please cite this article in press as:
Martynenko A. P., Ulybin A. A. Hyperfine structure of muonic lithium ions, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 2, pp. 270-282. doi: 10.14498/vsgtu1375. (In Russian)
Authors Details:
Alexei P. Martynenko (Dr. Phys. & Math. Sci. [email protected]; Corresponding Author), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics1; Professor, Dept. of Physics2. Alexander A. Ulybin ([email protected]), Student, Dept. of General and Theoretical Physics.
*This paper is an extended version of the paper [1], presented at the Mathematical Physics and Its Applications 2014 Conference.
280
Сверхтонкая структура ионов мюонного лития
Acknowledgments. This work has been supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 14-02-00173-a) and by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation in the framework of the implementation of the Program of increasing the competitiveness of SSAU among the world’s leading scientific and educational centers over the period from 2013 till 2020.
ORCIDs
Alexei P. Martynenko: http://orcid.org/0000-0003-3323-2177 Alexander A. Ulybin: http://orcid.org/0000-0002-9594-6995
REFERENCES
1. Martynenko A. P., Ulybin A. A. Hyperfine structure of muonic lithium ions, The fnd International Conference “Mathematical Physics and its Applications”, Book of Abstracts and Conference Materials; eds. I. V. Volovich; V. P. Radchenko. Samara, Samara State Technical Univ., 2014, pp. 240-241 (In Russian).
2. Pohl R., Antognini A., Nez F. et al. The size of the proton, Nature, 2010, vol. 466, pp. 213217. doi: 10.1038/nature09250.
3. Antognini A., Kottmann F., Biraben F., Indelicato P., Nez F., Pohl R. Theory of the 2S-2P Lamb shift and 2S hyperfine splitting in muonic hydrogen, Annals of Physics, 2013, vol. 331, pp. 127-145, arXiv: 1208.2637 [physics.atom-ph]. doi: 10.1016/j.aop.2012.12.003.
4. Lakdawala S. D., Mohr P. J. Hyperfine structure in muonic helium, Phys. Rev. A, 1980, vol. 22, no. 4, pp. 1572-1575. doi: 10.1103/physreva.22.1572.
5. Lakdawala S. D., Mohr P. J. Calculation of the muonic 3He hyperfine structure, Phys. Rev. A, 1981, vol. 24, no. 4, pp. 2224-2227. doi: 10.1103/physreva.24.2224.
6. Lakdawala S. D., Mohr P. J. Perturbation-theory calculation of hyperfinr structure in muonic helium, Phys. Rev. A, 1984, vol. 29, no. 3, pp. 1047-1054. doi: 10.1103/physreva. 29.1047.
7. Huang K.-N., Hughes V. W. Theoretical hyperfine structure of the muonic 3He and 4He atoms, Phys. Rev. A, 1982, vol. 26, no. 5, pp. 2330-2333. doi: 10.1103/physreva.26.2330.
8. Borie E. On the hyperfine structure of neutral muonic helium, Z. Physik A, 1979, vol. 291, no. 2, pp. 107-112. doi: 10.1007/bf01437989.
9. Drachman R. J. Nonrelativistic hyperfine splitting in muonic helium by adiabatic perturbation theory, Phys. Rev. A, 1980, vol. 22, no. 4, pp. 1755-1757. doi: 10.1103/ physreva.22.1755.
10. Chen M.-K. Correlated wave functions and hyperfine splittings of the 2s state of muonic 3,4He atoms, Phys. Rev. A, 1992, vol. 45, no. 3, pp. 1479-1492. doi: 10.1103/physreva.45. 1479.
11. Yakhontov V. L., Amusia M. Ya. Hyperfine splitting computation in the 1s<</l22s<1l/2 state of the exotic (4He2+-p-e-)0 and (3He2+-p-e-)0 atoms, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 1994, vol. 27, no. 16, pp. 3743-3765. doi: 10.1088/0953-4075/27/16/021.
12. Frolov A. M. Properties and hyperfine structure of helium-muonic atoms, Phys. Rev. A, 2000, vol. 61, no. 2, 022509. doi: 10.1103/physreva.61.022509.
13. Frolov A. M. Hyperfine splitting in the ground states of the lithium-muonic ions and in the 23S states of the lithium-muonic atoms, Phys. Let. A, 2006, vol. 357, no. 4-5, pp. 334-338. doi: 10.1016/j.physleta.2006.04.059.
14. Korobov V. I. Coulomb three-body bound-state problem: Variational calculations of nonrelativistic energies, Phys. Rev. A, 2000, vol. 61, no. 6, 064503. doi: 10.1103/physreva. 61.064503.
15. Pachucki K. Hyperfine structure of muonic helium, Phys. Rev. A, 2001, vol. 63, no. 3, 032508. doi: 10.1103/physreva.63.032508.
16. Krutov A. A., Martynenko A. P. Ground-state hyperfine structure of the muonic helium atom, Phys. Rev. A, 2008, vol. 78, no. 3, 032513. doi: 10.1103/physreva.78.032513.
281
Мартыненко А. П., УлыбинА.А.
17. Krutov A. A., Martynenko A. P. Hyperfine structure of the ground state muonic 3He atom, Eur. Phys. J. D, 2011, vol. 62, no. 2, pp. 163-175, arXiv: 1007.1419 [hep-ph]. doi: 10.1140/ epjd/e2011-10401-5.
18. Krutov A. A., Martynenko A. P. Hyperfine structure of the excited state 1s('y22s)'y2 of the muonic helium atom, Phys. Rev. A, 2012, vol. 86, no. 5, 052501. doi: 10.1103/physreva. 86.052501.
19. Landau L. D., Lifshits E. M. Kvantovaia mekhanika (nereliativistskaia teoriia) [Quantum Mechanics: Nonrelativistic Theory]. Moscow, Nauka, 1989, 768 pp. (In Russian)
20. Sobel’man I. I. Introduction to the theory of atomic spectra, International Series in Natural Philosophy, vol. 40. Oxford, Pergamon Press, 1972, xvi+609 pp.. doi: 10.1016/ B978-0-08-016166-2.50002-0.
21. Mohr P. J., Taylor B. N., Newell D. B. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010, Rev. Mod. Phys., 2012, vol. 84, no. 4, pp. 1527-1605. doi: 10.1103/ revmodphys.84.1527.
22. Stone N. J. Table of nuclear magnetic dipole and electric quadrupole moments, Atomic Data and Nuclear Data Tables, 2005, vol. 90, no. 1, pp. 75-176. doi: 10.1016/j.adt.2005.04.001.
23. Hameka H. F. On the use of Green functions in atomic and molecular calculations. I. The Green function of the hydrogen atom, J. Chem. Phys., 1967, vol. 47, no. 8, pp. 2728-2735. doi: 10.1063/1.1712290; doi: 10.1063/1.1668086.
24. Bethe H. A., Salpeter E. E. Quantum mechanics of one- and two-electron atoms. New York, A Plenum/Rosetta Edition, 1977, xii+370 pp.. doi: 10.1007/978-1-4613-4104-8
25. Fock V. A. Nachala kvantovoi mekhaniki [Principles of Quantum Mechanics]. Moscow, Nauka, 1976, 376 pp. (In Russian)
26. Eides M. I., Grotch H., Shelyuto V. A. Theory of light hydrogenlike atoms, Physics Reports, 2001, vol. 342, no. 2-3, pp. 63-261. doi: 10.1016/s0370-1573(00)00077-6.
27. Arnowitt R. The hyperfine structure of hydrogen, Phys. Rev., 1953, vol. 92, no. 4, pp. 10021009. doi: 10.1103/physrev.92.1002.
28. Huang K.-N., Hughes V. W. Theoretical hyperfine structure of muonic helium, Phys. Rev. A, 1979, vol. 20, no. 3, pp. 706-717. doi: 10.1103/physreva.20.706.
29. Chen M.-K. Hyperfine splitting for the ground-state muonic 3He atom-corrections up to a2, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 1993, vol. 26, no. 15, pp. 2263-2272. doi: 10.1088/ 0953-4075/26/15/013.
30. Martynenko A. P. 2S Hyperfine splitting of muonic hydrogen, Phys. Rev. A, 2005, vol. 71, no. 2, 022506, arXiv: hep-ph/0409107. doi: 10.1103/physreva.71.022506.
31. Martynenko A. P. Theory of the muonic hydrogen-muonic deuterium isotope shift, J. Exp. Theor. Phys., 2005, vol. 101, no. 6, pp. 1021-1035, arXiv: hep-ph/0412250. doi: 10.1134/1. 2163919.
32. Martynenko A. P. Hyperfine structure of the S levels of the muonic helium ion, J. Exp. Theor. Phys., 2008, vol. 106, no. 4, pp. 690-699, arXiv: 0710.3237 [hep-ph]. doi: 10.1134/ S1063776108040079.
33. Martynenko A. P. Fine and hyperfine structure of P-wave levels in muonic hydrogen, Atom. Nuclei, 2008, vol. 71, no. 1, pp. 125-135, arXiv: hep-ph/0610226. doi: 10.1134/ S1063778808010146.
34. Faustov R. N., Martynenko A. P., Martynenko G. A., Sorokin V. V. Radiative nonrecoil nuclear finite size corrections of order a(Za)5 to the hyperfine splitting of S-states in muonic hydrogen, Phys. Let. B, 2014, vol. 733, pp. 354-358, arXiv: 1402.5825 [hep-ph]. doi: 10. 1016/j.physletb.2014.04.056.
Received 16/XII/2014;
received in revised form 29/I/2015;
accepted 08/IV/2015.
282
