Электромагнитное взаимодействие в мюонии и мюонном водороде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.382.029.6

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В МЮОНИИ И МЮОННОМ ВОДОРОДЕ

Н. А. Бойкова, О. А. Бойкова, Ю. Н. Тюхтяев

Саратовский государственный университет E-mail: boykova_na@mail.ru

Обсуждены варианты квазипотенциального подхода для исследования спектров экзотических атомов мюония и мюонного водорода. Сходство спектров экзотических атомов использовано как средство построения корректной теории возмущений. Исследована зависимость тонких сдвигов от нормировочных множителей.

Ключевые слова: связанное состояние, тонкий сдвиг, сверхтонкий сдвиг, уровень энергии, экзотический атом, мюоний, мюон-ный водород, квазипотенциальный подход.

Electromagnetic Interaction for Muonium and Muonic Hydrogen

N. A. Boikova, O. A. Boikova, Yu. N. Tyukhtyaev

The quasipotential approach variants for investigation of the exotic atoms spectra for muonium and muonic hydrogen are discussed. Similarity of exotic atoms spectra is used for build-up the correct perturbation theory. Dependence of fine shifts on normalizing multipliers is investigated.

Key words: bound state, fine shift, superfine shift, energy level, exotic atom, muonium, muonic hydrogen, quasipotential approach.

Одним из классов экзотических атомов являются мюонные атомы, в состав которых входят нестабильная частица мюон. При образовании мюонного водорода отрицательный мюон (ju_), замещая в атоме водорода электрон, образует связанное состояние ( pВозможен и другой вариант образования мюонного атома. Положительно заряженный мюон (ju+ ) может захватить электрон из другого атома и образовать систему (ju+e -) - мюоний [1].

Важным направлением спектроскопии мюонных атомов является изучение интервалов сверхтонкой структуры с высокой точностью. Система из двух фермионов (мюон-ный водород, мюоний, позитроний, антиводород и т.д.) может находиться в состояниях с одинаково и противоположно направленными спинами. Полный спин системы S является интегралом движения и принимает значения 0 или 1. Для основного состояния в первом случае имеется одна Z -компонента

спина, во втором - три, что соответствует синглетному 1 £0 и триплетному 3 £ состояниям. Переход атома из одного состояния в другое может быть индуцирован с помощью внешнего магнитного поля, меняющегося вместе с частотой перехода, и доступен экспериментальному исследованию.

Одним из наиболее эффективных теоретических методов исследования сверхтонкой структуры мюонных атомов является квазипотенциальный подход. Основное уравнение квазипотенциального подхода представляется в виде

(О+(р,д,Е)ГЧЕ(д) = Уф,П,Е)ЧЕ(д), С1)

где Е - собственное значение полной энергии, у/Е(д) - описывающая систему волновая функция. Для определения квазипотенциала У(р,Ч,Е) вводится оператор

г = FF-1, (2)

где Т0+ = О0ТО0 . Релятивистская амплитуда рассеяния Т(р,Г,р0 ,ч0 ,Е) определяется из уравнения Бете-Солпитера

О(Р1,Р2 Ч ,Ч2) = °0(Рх Рг + (3) + О0(р1 ,р2 2 )Т(^1'^2 'Я 2 )О0($1'Я 2 'Ч1'Ч2 ), где

°0(ЛР2) = ЯМ - Ч1)Я2(р2 - Ч2), (4)

Я. - фермионный пропагатор. Выполняя в

уравнении (3) интегрирование по относительным энергиям и проектирование на положительно частотные состояния, получим:

((О+= F-1 - (О+Г1 = 1 + Fто. (5)

Квазипотенциал для системы двух фер-мионов определяется выражением

V = F- - (О+=т0(\ + Fz0Г1.

(6)

На массовой поверхности Е = е1р +в2 =

= £1ф + £2ф' =т1 Р2 + т,2, опеРатоР то(р'Ч,Е) и физическая амплитуда Т+(р,ф,Е) совпадают:

т+(р, ф,Е) = и1(р)и2( -р) х (7) х т(Ро = 0ф = 0р4,Е)й1(4)й2( -

В работе [2] исследования сверхтонкой структуры S уровней мюонного водорода выполнялись на основе квазипотенциального уравнения шредингеровского типа. Однако, значительно раньше получил известность другой подход к решению этой проблемы [3, 4]. Его использование позволяет изучать сверхтонкое расщепление уровней энергии более планомерно и с большей точностью. Содержит ли всю информацию о связанной системе двух частиц способ построения квазипотенциала через амплитуду рассеяния (7) или квазипотенциал должен строиться на основе оператора т0 выражения (6)? Действительно ли группа экзотических атомов сохраняет свои спектроскопические свойства как целое в обоих случаях?

Выполняя замену оператора т0 амплитудой рассеяния Т+ , используем разложение амплитуды Т+ в ряд по степеням постоянной тонкой структуры а :

Т+ = Т(2; + Т(4; +.... (8)

Тогда для квазипотенциала получим

V = Т+( 1 - ЕТ+ + РТ+ РТ+ -...) .

(9)

В низших порядках теории возмущений имеем

V = V(2; + V(4) = Т(2; + Т+(4) - Т(2)FT|2}, (10) V(2) = Т(2) V(4) = Т(4) - Т(2)FT(2) (11)

Амплитуда рассеяния строится с помощью Фейнмановской диаграммной техники.

Поправки к кулоновским уровням энергии определяем, решая квазипотенциальное уравнение (1) по теории возмущений:

ДЕ = 2) + AV< 4) +

п \ I

+ Х AV

( 2 )

№

тхт

-AV

( 2 )\

пФ т (Еп Ет)

AV<2) = V<2) -V,,

(12)

где Щ и |т) - собственные функции нерелятивистского уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом Vс, соответствующие значениям энергии Еп и Ет. Волновая функция для главного квантового числа п = 1 имеет вид

Р = 8па/ р(0)(р2 + а2/2,

|р(0)|2 =а3/3к Л

(13)

где / - приведенная масса.

Квазипотенциал V<р,q,E) в низшем приближении, соответствующем однофотон-ному обмену между фермионами, определяется выражением

V<р,q,E) = К1 )Р, ф) . (14)

Поскольку основным взаимодействием в мюоном водороде (р+/ ) является электромагнитное, то при описании связанного состояния протона и мюона удобно использовать кулоновскую калибровку, в которой фотонный пропагатор представляется в виде

О00(к) = -\, О01 = Б"0 = 0, к

О" (к) = -

1

(к02 - к2 + ,е )

^ -), ' к2 у

(15)

,," = 1,2,3.

Ядру обмена одним фотоном соответствует аналитическое выражение

к( 1)(к) = е2у1му2уО"'(к), (16)

в котором можно выделить две части: чисто кулоновскую (Кс), пропорциональную ку-

лоновскому потенциалу Vс<k),

Кс(к) = У^Л), (17)

и (КТ), имеющую четырехмерную зависимость:

п

KT(k) = -e2(k02 - k2x x (YiY2 - (Yik)(Y2k)(k)-2).

(18)

1

1

Взаимодействия, связанные с ядрами (Кс) и (Кт), принято называть обменами

кулоновским и поперечным фотонами соответственно.

Выражение для сдвига от однофотонно-го кулоновского взаимодействия имеет вид

AEC =U\(Kc)+- vi ф0) =

1 +

M1 Mq ,

(19)

\+(-1

M 2 pM 2/ 12

k>-

Так как источником сверхтонкого расщепления является спин-спиновое взаимодействия частиц в атоме, а спиновые состояния частиц характеризуются с помощью матриц Паули а., то сверхтонкому расщеплению соответствует аналитическое выражение, содержащее характерный множитель (о1,о2). Рационально выделить из матричной структуры (19) часть, пропорциональную (бх,б2), воспользовавшись симметрией подынтегрального выражения:

E = 16 ^ а,2

9 п2

1а2) J dp

Npp2

0 M1pM2p(P +«У/

NA1

: J dq—

0 м^/С +aV>

4

(20)

2 + q2 +

- pqlJp-i

2 pq (p + q) (p + q)

4 4

p + c ,

+-—— ln

Логарифмический вклад порядка а обеспечивает так называемый стандартный интеграл:

pdp

——£-V

(21)

J =J

S1 p(p2 +а У )s2 p

J

qdq

ln

|p - c|

(q2 + а V2) (p + c)

который выделяется из последнего слагаемого выражения (20) при учете замен

1 1

NN ^ 1,

p с '

M1pM 2 p

4^2 p

(22)

M1cM2q 4m1m2

Более точный учет зависимости от импульсов нормировочных множителей (NpNq) и

массовых факторов Miq приводит к дополнительным четным степеням импульсов в числителе, что устраняет влияние кулонов-ских функций фсф) и фс(С) и повышает поТ 6

рядок вклада от интеграла типа J t до а . Поэтому с требуемой точностью имеем

AEhfs(a6 Ina) = -L0V(a^Jt, 9п

1п а . (23)

2т1т2

Таким образом, для сверхтонкого сдвига от однофотонного кулоновского взаимодействия получаем

AEf =1 Ef^ Ina-1. 4 m1m2

(24)

где ЕР - значение сверхтонкого расщепления основного уровня энергии атома в нулевом порядке, которое было получено Ферми и составляет

Ер = 2 а (а.аЛ = 8 (25)

3 (т1 + т2) 3 т1т2

Обратимся теперь к обмену одним поперечным фотоном. Соответствующее аналитическое выражение имеет вид

AEt =(Ф c(p)

* *

4ап vc(p - q)u1 (p)u2 ( - p) x

ха(р-ЩаГр-Ч)) )х (26)

X (а1а2 г ,2 ) Х

(р-Ч)

X и2(Ч)и 2( - Ч)\ Ус(Ч)).

После вычисления матричной структуры для сверхтонкого расщепления получаем

&Е? ~аУ(6162) х 3п

:J d3 p

(J d 3q

N,

(p2 +a V2 )2M 1 pM 2 p

N„

(q2 + a V2 )2M 1qM 2q

x

v

x

x

0

x

x

>

М1 рМ 2, + М 1дМ 2 р

(27)

2 \2

(р2 - я

1

(р - Я) (£1 р + £1ч)(£2 р + £2ч)

Ц/У 2 р

М1 рМ 2ч + М ЦМ 2 р +

щ

(р - яУ

2 Я

2 ЛЛ

Примечательной особенностью данного выражения является наличие вклада порядка

4

а , который содержится в первых двух членах и легко выделяется при заменах (22):

Е*(а 4) =„ 24 1 « У( 2) х

| с3 р

3п т1т2

N„

(р2 + а2 л2 У

4. .3

/Я /т

2/

(28)

2 4 3

а М- /- - \ 77

= т-2) = ЕР.

3 т1 т2

Отметим также присутствие в выражении (26) логарифмического вклада а61п а : 2 1

ЬЕ^(а &1п а) = Г С3 р

(р2 +а2 м 2 )2 г

х

3п4 т1т2

| С3 ч

а6 м 5( а1а 2) х

N.

(Я2 + а 2м 2 )2

11

+ -

4

V К М 1

22 р2Я2

2 р у

(р - яУ

(29)

3п т1т2

•6 м 5( СТ1СТ 2) |

рСр

0 ^2 +а2М2)

1

1

2 , 22 ( 2 + 2 ^1п

р - Я

/ 2 , 2 2 И 2

(Я +а М ) 8!р 8

2р

(р + Я)

22 М2а2

тт

Ер(^ + — У 1п а

-1

что свидетельствует о изменении взгляда на теорию возмущения, которая ранее строилась через целочисленные степени а .

Итак, результат (28) определяет основной вклад в сверхтонкое расщепление от электромагнитного взаимодействия в мюон-ном водороде при т1 = ти т2 = тр. Однако формула (28) имеет более общий характер и может быть применена к любому экзо-

тическому атому при описании электромагнитного взаимодействия. При этом ее численное значение для различных атомов существенно отличается в силу их массовых характеристик.

Проведем сравнительный анализ логарифмических вкладов порядка а61па для мюонного водорода и позитрония на основе таблицы [5]. В этой таблице представлены вклады от диаграмм, приведенных на рисунке, где схематично показаны обмены куло-новскими (точечная линия) и поперечными (пунктирная линия) фотонами.

Диаграммы, дающие вклады порядка а61па в СТР атома Вклады в СТР мюонного водорода и позитрония

Диаграмма р е+е -

К Ь К Ь

а 1 4 0 1 4

б 0 м 2 2

в 9 2 0 9 2

г -2 - М -2 -2

д 0 3 М 0 6

е -4 -2 М -4 -4

ж 5 4 0 5 4 0

з 0 - М 0 -2

I 0 0 2 0

х

х

х

2

х

х

то

х

х

0

т1 т2

т2 т1

Составим таблицу логарифмических вкладов с учетом результата (29) от обмена поперечным фотоном, который представим в виде

ДЕ^ =маЕР 1па 1 (К + МЬ), тт

»т

М = —

т..

т,

т.

(30)

В таблице результаты представлены в виде совокупности безмассовых членов (К) и логарифмических вкладов (Ь), пропорциональных М . Для позитрония разделение вкладов на К и Ь условно, так как т1 = т2

и М = 2 . В части Ь данная таблица аналогична таблице из работы [5] при замене те ^ тм и тм ^ тр. Это свидетельствует

о том, что в высших порядках теории возмущений группа экзотических атомов проявляет себя как единое целое. Заметим, что сумма вкладов (Ь ) равна 0 как для позитрония, так и для мюонного водорода. Результаты группы К оказываются различными.

Итак, как следует из данных, приведенных в таблице, в отличие от результатов для

4

сверхтонкого сдвига с точностью а при повышении точности до а61п а спектроскопия мюонного водорода не переходит в спектроскопию позитрония при соответствующей замене масс в двухчастичной системе. Возникает вопрос: сохраняется ли сходство экзотических атомов при прецизионных вычислениях сверхтонких сдвигов? Сохраняется, но при условии, что определение квазипотенциала через амплитуду рассеяния Т (7):

V = Т+(1 + РТ+ )-

(31)

рассматривается в качестве приближения выражения (6).

Проанализируем выражение для сверхтонкого сдвига от однофотонного обмена на основе определения (6):

~ 2 „ ,, кг N С3р ДЕТ=3П4 8 А) I р+а^

N. 1 ( 1

(Я +а2ц2/ |р-Я ^(В1Р -Е1-Е2 + £2„ +|р-Я)

+

1

Л

(е1Я - Е - Е2 + е2р +1р - Я\) 11

1я ' °2р

( ( 2

(32)

(р - Я)'

М1 рМ 2я М 1дМ 2 р

(р2 - Я2 )2

(

1

£ р + £1дХ£2 р + £2я)

1 [р - Я]2

V М 2 рМ 2Я

\\

М, рМ „ (р - д)2М 1рМ 1дМ2рМ2Я у

С Зд.

При расчете этой величины с точностью а61п а можно воспользоваться следующим приближением:

(£ р - Е1 - Е2 + £2Ч +|р - Я|)-1 = 1 £1 р - Е1 - Е2 + £2д

\р - Я\

1-

+

V

р - Я

(33)

+ ■

(£1 р - Е1 - Е2 + £2я)

2

\р - я\2

Тогда, выделяя члены, ответственные за логарифмические вклады, получим: 1 1

ДЕг =

Т П _4

12п т1т2

V 5( 818 2)'

С3 р

8 2 р 81 р(р2 + а 2М2 )2

(34)

С3Я (1 + 2(£1 р - т1)(£2Я - т2) Л

(Я2 + а 2м 2 )2

(р - Я)

р Я

(М,„ + М, Мп„ + Мп„ Л

{(р - Я)'

1Я

[1 р

+

2 р

■2д

+

V (£2р + £2я) (£1 р + £1Я)

+ 2М1 рМ2я }.

Анализ показывает, что первое слагаемое в фигурных скобках вносит вклады в сверхтонкое расщепление, начиная с членов порядка а61па , а второе - с членов порядка а4. Отличие фактора (£ -Е1 + £2я -Е2 +

+ |р - Я) от |р - Я оказывается существенным для получения логарифмических поправок при наличии в выражении членов, обеспечивающих вклады порядка а4. Вклады аб1па вносят попарные произведения первых и вторых членов в квадратных и фигурных скобках. Используя значение стандартного интеграла, находим окончательно:

+

х

х

+

+

а

х

х

х

X

х

AETfs(a6 ln a) =

ц а

EP^—L + —^ + 2)ln а-1.

(35)

Учет результата (35) в таблице приводит к изменению коэффициента K в строке б для (p+Ц_), так что суммарные результаты

столбцов K для мюонного водорода и позитрония оказываются одинаковыми. Таким образом, восстанавливается общность результатов при исследовании электромагнитного взаимодействия в группе экзотических атомов.

Наличие у частицы механического момента приводит к существованию соответствующего магнитного момента. Поэтому собственный механический и орбитальный моменты обусловливают спиновый магнитный и орбитальный магнитный моменты частиц связанного состояния. Потенциальная энергия, возникающая вследствие спин-орбитального взаимодействия, приводит к появлению тонкой структуры уровней энергии.

Исследуем зависимость тонкой структуры энергетического спектра экзотического атома от константы тонкой структуры. В низшем приближении учитывается только однофотонное взаимодействие. Тогда

V = (KT)++ (KJ+. (36)

Как показано в работе [6], с помощью

2 / 2

разложения по степеням величины p jmi из квазипотенциала (62) можно выделить ядро Брейта:

г leader

V = vieader + v + V

kin М РМ '

(37)

где

Vi:de = -(2n)3S3(p - q)

^ p4

f

m1m2 у

8ц

v =па М 2

1 1

— + —

V m1 m

2

V =-

pm

4па p2q2 - (pq)2

ч (р - Ч)

Суммирование этих величин дает тонкую структуру уровней энергии [7] водоро-доподобного атома с точностью до четвертого порядка по а:

_ u(Za) u(Za)

E . « m1 + m2 - ——i-———f—x "J 1 2 2n 2n (38)

(

1

3

---+ -

ft

Л

У + 12 4п 4п(т1 + т2) у

Симметрия по массам позволяет констатировать, что квазипотенциальный подход воспроизводит тонкую структуру уровней энергии экзотических атомов, следующую из точного решения уравнения Дирака с куло-новским потенциалом.

Выражение для тонкого сдвига от куло-новской части однофотонного взаимодействия имеет вид

AEfs =(rn V N N

с \ т с | с p I

f

1+-

pq

M1 pM 1q

- +

(39)

+ -

pq

M. M.

2 p 2 p

- + -

(pq)2

M1 M2 M1 M 2

1 p 2p 1q 2q у

- Vc| Фс) •

Для выделения основного вклада можно использовать разложение радикалов и

нормировочных множителей Nmp по степе-

— 2 1 2 ням p /mi ,

АЕ>4) = (фс VC21Фс) =

na 2

(

1

2 + 2 v m1 m1 у

1 Y 8пац^2

хф(0)\21 J d3p

( 2n)3

1

(40)

(p2 +а 2ц2 )2

что приводит к результату

АЕ*(а4) =

14

а ц

4..3 (

2 m1m2

m mn

—- + —

V m2

m

(41)

1 у

Логарифмический вклад оказывается следующим:

АЕ?(а 6ln а) = (фс \V(c 4фс) =

5 6 a ц

6..5 (

4 m1m2

Л

m1 m2

—- +—2

3 3

m1 у

(42)

V m2

ln а-

Отметим симметрию полученного результата относительно замены т1 о- т2, характерную для экзотических атомов.

Обратимся теперь к обмену одним поперечным фотоном:

m1m2

m2 m1

х

2

1

3

l'") 6. . 5 да

E = 32 а/

p2 Np

(p2 V2 /

q2 Nq

х ln

(q2 + a V2 / p - q|

1 -

q

M 12q

22 p2 + q2

+ --— х

2 pq

ln

|p - q|

(p + q) 2 pMl~(p + qj

p - qл

(43)

2M2 (p + q)

Логарифмический вклад порядка аб1па- определяет последний член в фигурных скобках при Nр = N = 1 и он ока-

зывается следующим:

п6 /

AE/Ya6 Ina) = 2 —— Ina'1 •

(44)

Однако для получения полного логарифмического вклада необходимо учесть отличие нормировочных факторов от единицы:

NN =

1 -

2ei pMi р( 1 + 7Mi р/2sip)

(45)

1-

Дополнительный логарифмический вклад от учета нормировочных множителей оказывается весьма существенным:

2 6 !„ „I _ а<5/3

AE/2 7a 6ln a) = 2-

lna 1

(46)

увеличивая в два раза предыдущий результат, так что суммарный логарифмический вклад составляет

AE/s(a 6ln a) = 4

a6/3

lna 1

(47)

ведено в работах других авторов [8, 9]. При этом в работе [8] суммарный вклад а61па-1 от взаимодействия в прямом канале позитрония отсутствовал. В то же время для системы частиц с разными массами подобный вклад был обнаружен. С точки зрения сходства экзотических атомов указанные результаты противоречили друг другу. Это противоречие было устранено в совместной работе тех же авторов [10]. Метод квазипотенциала наглядно показывает, что часть логарифмического вклада AET при NpNq Ф 1 в работе [9]

не была учтена. Для полного учета суммарного вклада а61па-1 нужно разработать корректную теорию возмущений и учесть вклады высших порядков теории возмущений.

Список литературы

1. Пономарев Л. И. Мюонный катализ ядерных реакций синтеза // Природа. 1979. №9. С.8-19.

2. Мартыненко А. П. Сверхтонкая структура S-уровней мюонного водорода // Теоретическая и математическая физика (Самара). 2004. Т. 5. С. 27-45.

3. Тюхтяев Ю. Н. Учет эффектов связанности позитрония // ТМФ. 1978. Т. 36, № 2. С. 264-270.

4. Тюхтяев Ю. Н. Новый метод учета кулоновского взаимодействия в квазипотенциальном подходе Логунова-Тавхелидзе // ТМФ. 1982. Т. 53, № 3. С. 419-428.

5. Двоеглазов В. В., Тюхтяев Ю. Н., Фаустов Р. Н. Уровни энергии водородоподобных атомов и фундаментальные константы // ЭЧАЯ. 1994. Т. 25, вып. 1. С. 144-228.

6. Boikova N. A., Boikova О. A., Kleshchevskaya S. V., Tyukh-tyaev Y. N. On the possibility of precise correction calculations to the effect of nuclear motion influence on fine energy shifts of hydrogen-like atoms // SPIE Laser physics and photonics, spectroscopy and molecular modeling. 2006. Vol. 6537. Р. 19-1-19-8.

7. Barker W. A., Glover P. N. Reduction of relativistic two-particle wave equations to approximate forms. III // Phys. Rev. 1955. Vol. 99, № 1. Р. 317-324.

Таким образом, при прецизионных исследованиях сверхтонких расщеплений и тонких сдвигов уровней энергии общность подхода к различным экзотических атомам сохраняется.

Отметим, что исследование логарифмических вкладов порядка а61па-1 было про-

8. Fell R. N. Single transverse photon correction to the 2S energy levels of positronium. Preprint BUW 01742. 1992. 40 p.

9. Khriplovich I. B., Milstein A. I., Yelkhovsky A. S. Corrections of (a6 lna ) in two-body QED problem // Phys. Lett. B. 1992. Vol. 282. P. 237-242.

10. Fell R. N, Khriplovich I.B., Milstein A. I., Yelkhovsky A. S. On the recoil corrections in hydrogen // Phys. Lett. A. 1993. Vol. 181. P. 172-174.

х

да

х

0

mim2

2

х

2

q

х

m1m2

m1m2