CC BY
33
Заключение
Создание объединенной СВЧ-системы и магнитной системы на основе постоянных магнитов позволит уменьшить вес, размеры и стоимость трехсантиметрового микротрона. Моноблок магнетрон-ускоряющий резонатор предполагается создать на основе магнетрона МИ-505. Это позволит уменьшить объем излучающего блока трехсантиметрового диапазона микротрона с энергией 5 МэВ более чем в три раза. Например, у микротрона [16] размеры излучающего блока уменьшатся с 845x420x552 до 420x420x320 мм3. При этом повысятся электрическая прочность и надежность СВЧ-системы, упростится управление ускорителем и его обслуживание.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-02-01288
Список литературы
1. Векслер В.И. Новый метод ускорения релятивистских частиц // Докл. АН СССР. 1944. Т.43. С.346.
2. Капица С.П., Мелехин В.Н. Микротрон. М.: Наука, 1969. 210 с.
3. Мелехин В.Н. Эффективные режимы микротрона // Электроника больших мощностей. М.: Наука, 1968. №5. С.228-237.
4. Родионов Ф.В., Степанчук В.П. Об одном режиме ускорения в микротроне // ЖТФ. 1971. Т.41, №5. С.999-1001.
5. Алексеев И.В., Балаев А.Ю., Горбачев В.П., Степанчук В.П. Развитие микротронного направления в Саратовском университете // Проблемы современной физики / ОИЯИ. Дубна, 2000. С.22-31.
6. Shvedunov V.I., Barday R.A., Gorbachev V.P. et al. A RaceTrack Microtron with High Brightness Beams // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. 2004. Vol.531, №3. P.346-366.
7. Shvedunov V.I., Ermakov A.N., Gribov I.V. et al. A 70 MeV Race-Track Microtron // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. 2005. Vol.550, №1-2. P.39-53.
8. Косаpев Е.Л. Процессы установления и предельный ток в микротроне // ЖТФ. 1972. Т.ХЬП, вып.10. С.2239-2246.
9. Заворошило В.Н., Милованов О.С. Модель магнетронно-го генератора для расчета переходных процессов // Ускорители. М.: Атомиздат, 1977. №16. С.34-37.
10. Бондусь А.А., Горбачев В.П., Сшепанчук В.П. СВЧ-сис-тема малогабаритного микротрона // The Thirteenth Intern. Workshop Beam Dynamics & Optimization: Program and Abstracts. Saint-Petersburg, 2006. P.28.
11. Бондусь А.А., Горбачев В.П., Сшепанчук В.П. Совмещенная СВЧ система микротрона // The Fourteenth Intern. Workshop Beam Dynamics & Optimization. Saint-Petersburg, 2007. P.13.
12. Бондусь А.А., Горбачев В.П., Сшепанчук В.П. Переходные процессы в моноблоке магнетрон ускоряющий резонатор микротрона // Вестн. СПбГУ. Сер.10. 2008. №3.
13. Billen I.H., Young L.M. POISSON SUPERFISH Documentation, LA-UR-96-1834. Los-Alamos, 1996.
14. Максимов Р.В., Сшепанчук В.П., Шведунов В.И. Магнит малогабаритного микротрона // The Thirteenth Intern. Workshop Beam Dynamics & Optimization: Program and Abstracts. Saint-Petersburg, 2006. P.41.
15. Максимов Р.В., Мушасов Д.В., Сшепанчук В.П. Магнитная система моноблока магнетрон-ускоряющий резонатор микротрона // The Fourteenth Intern. Workshop Beam Dynamics & Optimization: Program and Abstracts. Saint-Petersburg, 2007. P.32.
16. Бондусь А.А., Горбачев В.П., Сшепанчук В.П. Малогабаритный микротрон трехсантиметрового диапазона для дефектоскопии // Сб. докл. 11-го Междунар. совещ. по применению ускорителей заряженных частиц в промышленности и медицине. СПб., 2005. С.19-22.
УДК 621.382.029.6
ИССЛЕДОВАНИЕ ТОНКИХ СДВИГОВ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ В ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМАХ С ТОЧНОСТЬЮ ДО а61п а-1 МЕТОДОМ КВАЗИПОТЕНЦИАЛА
Н.А. Бойкова, О.А. Бойкова, Ю.Н. Тюхтяев
Саратовский государственный университет E-mail: na_boykova@mail.ru
Показано, что хотя количество логарифмических вкладов в тонкий сдвиг уровней энергии в квазипотенциальном подходе возрастает, суммарная поправка a6lna- оказывается равной нулю. Рассчитана часть вкладов высшего порядка по а. Ключевые слова: связанное состояние, тонкий сдвиг, уровень энергии, водородоподобный атом, кулоновское взаимодействие, квазипотенциальный подход, логарифмический вклад, техника Фелла.
The Investigation of the Fine Shift to the Energy Levels in the Hydrogen-Like Atoms with Accuracy a6 In a-1 by Quasipotential Method
N.A. Boikova, O.A. Boikova, Yu.N. Tyukhtyaev
In the quasipotential approach the quantity of Logarifmic corrections to the fine shift increased but the sum result of a6lna_1 is equal zero. The past of high order to ^ corrections is calculated. Key words: bound state, fine shift, energy level, hydrogen-like atom, Coulomb interaction, quasipotential approach, logarithmic contribution, Fell technics.
Эффективным методом исследования спектров водородоподобных атомов является квазипотенциальный подход, позволяющий последовательно и полно получить тонкую структуру и величины тонких сдвигов с точностью до четвертого и пятого порядка по а Основное уравнение квазипотенциального подхода имеет вид
Г-Ч Е)Че (р) = У (р, 4, Е)Че (р), (1)
где Е - собственное значение полной энергии, (р) - описывающая систему волновая функция, Г = О0 (р, 4, Е), О0 - функция
Грина двух невзаимодействующих фермио-нов, верхняя черта означает интегрирование по относительным энергиям. Квазипотенциал У (р, 4, Е) выражается через амплитуду рассеяния Т:
У = Т+ (1 + ГТ+)-1 ,
(2)
операция (...) += и*и *у10у20 (...) щи 2 означает проектирование на состояния с положительными энергиями с помощью дираковских биспиноров щ (г = 1,2),
(1 ^ ui = ор
{ М J
Мр = е + т, N. =,
М
£р =
4-
2 2 т] + р2
Сдвиги уровней энергии определяются при решении квазипотенциального уравнения (1) по теории возмущений. С точностью до второго порядка поправка к кулоновским уровням энергии равна
а ес = (ф суш + А У1 у + А У 2 7 +
|т)^т |
(3)
+ А У^+ Уш)
е„ - Е.
-(А У1у + Уш
)\ ф Л,
где фс - кулоновская волновая функция, АУ1у = У1у - Ус , ус - кулоновский потенциал,
У и у - квазипотенциалы одно- и двух-
1у 2 у
фотонного обменов соответственно,
4 ( 1 л \
Уш = (-2р)3 53(р - 4) р.
1
1
тМ
1 р
т2М 2р ,
При исследовании тонкого сдвига в во-дородоподобном атоме, где основным взаимодействием является кулоновское, удобно использовать кулоновскую калибровку фотонного пропагатора.
АУ1у = (Кс)+- Ус + (Кт)+, (4) где ядра (Кс) + и (Кт) + описывают обмен одним кулоновским и одним поперечным фотонами соответственно. Ограничиваясь обменами двумя кулоновским и поперечным фотонами, для величины тонкого сдвига получаем
ае = фс |( Кт) + + (КсО0 Кт) +- УГ (Кт)+ +
+ (КОК)+ - (Кт)+ ГУс + (Кст)+ + (5)
+ УшГ (Кт)++ (Кт)+ гуи| ф^.
Ядро Кст соответствует перекрестному обмену кулоновским и поперечным фотонами.
При исследовании кулоновского взаимодействия [1-3] было выяснено, что использование 5-приближения кулоновских волновых функций
фс (р) = (2р)3 83( р )фс (0) (6)
устраняет зависимость от внешних импульсов и позволяет определить только поправки порядков а и а5. В 5-приближении не учитываются зависимости квазипотенциала от внешних импульсов [4], что приводит к появлению расходимостей. Поэтому возникает необходимость введения параметра обрезания и в суммарном выражении расходимости устраняются. Повышение точности теоретических расчетов требует учета зависимости квазипотенциала от импульсов р , д и энергии е.
У = У (р, 4, е ). (7)
Анализ полученных выражений показывает, что соответствующие квазипотенциальные выражения не содержат расходимостей ни в ультрафиолетовой, ни в инфракрасной областях.
Проблема логарифмических вкладов в шестом порядке по а исследовалась многократно с применением различных методов и подходов. Значительный успех в этом направлении связан с работами Фелла и группы
+
2
Хрипловича. Техника вычислений, которую предложил Фелл, оказалась наиболее проста и продуктивна. В таблице работы [5] приведены результаты вычислений логарифмических вкладов шестого порядка по а в тонкий сдвиг уровней энергии позитрония. Если исключить из одного из рассматриваемых в таблице интегралов вклады шестого по а порядка, то получим
ёр л ёд 1
Выполняя интегрирование по угловым пере-
а6ц3
менным и выделяя члены порядка ——, по-
лучим
= х
п т2 0(р + а2ц2)2
I 2 ёд 1 Г + (р2 + д2) ^ |р - д\ Л (д2 + а2м2)2 м 2рд р + д
(13)
о (д2 + а2м2)2 м
!Р = |
(р2 + а2ц2) (д2 + а2ц2) (р - д)2 = 4я41п а-1.
(8)
Этот интеграл, который можно назвать интегралом Фелла, расходится, как впрочем и все остальные в таблице, но его вклад берется в особом «логарифмическом» промежутке. Имеем точный результат:
I
ёд
1
Логарифмический вклад обеспечивает интеграл вида
/]п . (14)
0(р2 + а м2)0(д +а2м2)е2ц р + д
Для его выделения в выражении (13) требуется наличие при 1п ——^ фактора (р2д2).
р + д
Дополнительную степень д2 можно получить
(д2 + а2ц2)(р - д)2
2я р _
=-arctg— (9) с помощью преобразования
р ам
2 и р-аг^ам |. (10)
Таким образом, интеграл Фелла приводится к виду
] = 8р3 {_р^Р
F 0 (р2 + а2 ^) V 2 р
Логарифмическую поправку дает его расхо дящаяся часть в пределах ца2 < р < ц . По этому с логарифмической точностью имеем ёр ? ёд 1 _
1
1
м1д 2тх
1
м д
V 1д У
^ —
8т1е12,
Тогда, полагая NpNq = 1, получим следующее аналитическое выражение для логарифмической поправки
АБТ (а61п а) = -
2р2 ёр ,, х
4а бц5 п2т1т2 0 (р2 +а2ц2)2
=1 (р+«V .V+«У)( р - д )=
Ж
X
д2 ёд рд ]п |р - д
м
= 4р4 |
р ёр
}/ 2 . 2 2ч
ма2( р + а ^ )
= 2я41^-м7 = 4я41п а-1. ца
(11)
0(д2 + а2ц2)2 е^ р + д
(15)
Вычисления приводят к результату
= у ]и = . (16)
п т1т2 т1т2 2
а 6ц3 , а-1
Решение задачи о логарифмических по а вкладах метод квазипотенциала позволяет сделать наиболее полно [6]. Проанализируем вначале выражение для тонкого сдвига уровней энергии атома от обмена одним поперечным фотоном:
АБТ = (ф*с(р)|( кт(р,д))+|фс(д}) =
Однако полученный логарифмический вклад не является полным. Дополнительные степе-
2 2
ни р и д выделяются также из нормировочных множителей. Учитывая, что
NpNq =1 -
д
2е, РМ , р (1 + Np) 2е„М „ (1 + Nq)
4а бц5
I-
Npё3 р
п4 }(р2 + а 2ц2 )2
х
Nqё д [рд]
—п2 (
(д2 +а2м2 )2 (р - д)4
1 1
+—
м
V
V м1 р
1д У
11
+
(12)
2 2 р д
V м 2 р
м
4е, р ецм, Рм д (1 + Np )(1 + Nq )' NN
2д У
2 2 _ _р___,
8^р 8е^
т,т
1""2
2
2
2
х
получаем аналогичный (16) логарифмический вклад
АЕ 2 = 2 а т 1П а
6..3 -1
1п-
т1т2 2
(17)
Итак, суммарный результат от однофотонно-го взаимодействия оказывается следующим:
АЕТ (а6 1П а) = АЕ1Т (МрМд = 1) + а 6 и3
+ АЕТ (Ф1) = 4—!— 1п а-1.
(18)
Анализ однофотонного взаимодействия базируется на логарифмическом интеграле (14), который является аналогом интервала Фелла и приводится к нему с помощью преобразования
1
1 ь = 0Р2 |
й3 р
8р2; (р2 + а2и2)
-х
(19)
х
й Зд
1
(д2 + а2и2)(р - д)2(д2 + т2)
" 2 2 2 и последующей замены д2 + т12 ® т12, устраняющей вклады порядка а6. Поэтому с точностью до членов а6 1п а
1
11п =■
1
8р2 т2 "'
(20)
Хотя интеграл Фелла в отличие от 11п не являются сходящимся, но содержит только искомую логарифмическую поправку без дополнительных членов а6. Поэтому при расчетах с логарифмической точностью его использование более целесообразно. Однако при повышении точности расчетов до а интеграла 1Р оказывается недостаточно.
В работах других авторов [7-9] всюду полагается N Мд= 1. Часть вклада (18) АЕ\ (Ыр Мд = 1) компенсируется в сумме с поправкой от обмена двумя поперечными фотонами. Другая же часть в технике Фелла и Хри-пловича уничтожиться не может, так что корректность квазипотенциального подхода к исследованию величины тонкого сдвига уровней энергии зависит от разработки специфической теории возмущений, учитывающей отличие нормировочного множителя дираковского биспонора от единицы. Такая
теория возмущения показывает, что зависимость итерационных членов в выражении (5) от величины нормировочного множителя дираковского биспинора различна
АЕ3 = ф |( Кт)+ *Ч| Фс) = - ^ 1п а-1
т1т2
при МрМд Ф 1, (21)
6и3
АЕ4 = ф |(Кт)+ ЕУШ\фс) = -1п а-1
при ЫрЫд = 1 .
(22)
Отсюда следует, что часть вклада (18) при №рЫд Ф1 компенсируется в сумме с величиной (21). Однако существует симметричный итерационный член
2а 6и3
АЕ5 =-(фс|ус* (Кт)+|фс) = - 1п а-1
тт.
при МрЫд Ф 1.
(23)
Для анализа этой поправки, возникающей из-за отличия нормировочного множителя от единицы, необходимо рассмотреть двухфотонные обмены в выражении (5).
Опуская члены, не имеющие непосредственного отношения к рассматриваемой проблеме, для величины сдвига от параллельного обмена кулоновским и поперечным фотонами имеем:
- 7и5 Ырйр Ыдйд
АЕ,Г = -а6и
п0т2: (р2 +а2ц2) (д2 +а2ц2)2
г йк М1
х• (к -р)2(к -д)2(к2 +а2и2)"^к х [ /Д) + У2 (р, к) + Ш, к)],
х (24)
где
к2 '
у1(к >=Т
3+М-к
М
(е1к е1д )(е2к е2д)
1д
х
к2 Г 2т2 М 1к + у
М
1к
+ -
2т М
1д/У 2к
(к - д )2 2т ^
х
У2( P, к ) = рк
V М! рМ к
1д У У
(к2 - д2)2 (к - д)2
х
х
М
- + -
V 2т22(е1к +е1д ) М1 р (е1к +е1д )
2
к
1
_ 2 ( т, к)=^
1 + 3 ^
м,
+1 (к2 - Я2)
V ~ _1д / (
1 +
м
1к
м
(к - Я )2 +
2
М 1к +
ч2т2 М 1д }
V
V
1
„.2/1 2 „2 \2 Я (к - Я )
(
V 2т2(е1к + 61д)
+
2т2 М.
V 2 1д /
2(к - я/2т2(£и +61,)
Поправка от блока / (к) представляется выражением
а* (Л'=- ^ I Т-^Ж *
п т2 (р +а т )
I {„2 , П12,,2\2 I {К
(к
-х
(д2 + а2т2)21 (к - р)2 (к - д)2(к2 + а2т2)
!( (25)
х-
м„
6,
3 +
м„
м
1Я
(к2 - д 2 )2
кд(б1д +61к )
М 1к +
2М,
Последний член, пропорциональный (к2 - д2)2к.2 , не приводится к интегралу
(к - д )4
Фелла, так как интегрирование по угловым переменным обеспечивает результат
г (к2 - д2)2(Ю.
(к - д )4
@ 4р,
и множитель (к +аЦ2) , необходимый для ] F, исчезает. В оставшемся выражении требуется выделить степень д2 для погашения фактора (д2 +а2Ц2), что достигается преобразованием
М,
о М к
3 + ——
м,.
= 8 -
2д2
Тогда получаем
А*!. = -0^- I
м:
(3 р
8-
д
сТ 2п6т2* (р2 + а2т2 )2
2т,
х
х
I;
й Зд
й Зк
д)21 (к - р)2к + )
х
(26)
х
мм („, 2 к2д2^
2т1
(к - д)2
8к
-4 N
Выражение, пропорциональное к2д2/(к - д)2, обеспечивает логарифмический вклад при
М рМ д = 1-
« II 3
А*1т (МрМ, = 1) = —^ 1п а-1.
(27)
В остальных членах для выделения вклада а6 1п а-1 требуется учесть нормировочные множители более детально.
Мр = 1--^-
р 261 р (1 + Мр )М 1
-1 р^ 1 м р 8т1 Поэтому произведение нормировочных множителей М р Мд с учетом симметрии подынтегрального выражения по р ид обеспечивает требуемый для интеграла Фелла фактор:
МрМд = 1 - 2(1 - Мр ) + (1 - Мр )(1 - Мд )
4т;2
Итак, детальный учет факторов М и
Мд обеспечивает весьма существенную логарифмическую поправку, которая оказывается в три раза больше предыдущей.
.6.. 3
А*Т (МрМд Ф 1) = 31п
а
(28)
В отличие от / функция /2 в выражении (24) содержит зависимость от внешнего импульса р .
2 =- «У Г Мр(Р Г МЯ(д *
сТ п6 т21 (р2 + а 2м2)21 (д2 + а 2м2)2 (29)
с йк
* Гг ^2,Г ^
м
/ р, к).
(к - рГ(к - д) (к ) 61^
Преобразуя матричную структуру /2 ,
выделяем члены, пропорциональные д2( рк),
которые обеспечивают вклады порядка а7 . В оставшемся выражении выполняя интегрирование по д , получаем фактор 1/а.
2а 6ц4
А* =-
I М'й 2 р22 *
п4т2 -1 (р2 +а2м2)2
*
1тН
(рк)й Зк
1
(р - к )2(к2 +а 2м2 )м 1км
* (30)
1 р
*
к2
(к2 +а м2)
-1
т1т2
2
2
2
2
2
к
т1т2
е
Заметим, что а|1 =
а тт „
-@ а р т2,
т1 + т2
где Ь = т1 / т2. Следовательно, подынтегральное выражение зависит от двух малых параметров а и р. Выполняя замены р = т1р , д = т1д, к' = т1к, исключим зависимость от параметра р и далее исследуем
, а
зависимость от параметра а =
1+ Р
де2ст =■
а 8|3
К'й3 р
4п4 т2 т, (р2 +а'2)2
X
(31)
х
(рк)(3к
(р - к )2(к2 + а'2)2 ИМр'
М'
где Ик =ек +1, ек = л/кТ7~1, М'р ^^•
Рассмотрим «базовый» интеграл выражения ДЕс2Т :
т = аЧ (3 р г
3 рк а } , 2 . /2ч2 J
( Зк
(рк)
.(32)
(р2 +а'2) (к2 + а'2)2 (р - к )2
С учетом симметрии его можно представить в виде
(3 р
1_х
' /2x2
2 + а 2)2 (33)
(Зк Г р2 1 ^
3рк = а81
х
I;
(к2 +а/2)21 (р - к)
2
Несмотря на высокую степень коэффициента, 3 рк приводит к вкладу порядка а6,
Трк =-а6-
(34)
= а8I
(3 р
(Зк
(р2 + а'2)21 (к2 + а'2)
х
х
1
(р - к)2
( 4 2, 2
р + р к
V И
м:
м:
(35)
Последний член, не содержащий кулонов-ского фактора (р - к )2, приводит в вкладу
порядка а7. Первый член вследствие наличия множителя р 4 устраняет фактор
(р2 + а'2)-2 и также обеспечивает вклад
порядка а7 без логарифма а . Наличие фак-
2,2 8 тора р к повышает порядок вклада до а ,
но, согласно интегралу Фелла, обеспечивает
логарифмическую зависимость по а. Итак,
выражение ДЕ2сТ не дает логарифмических
поправок порядка а6. Его наибольший вклад составляет
1 а У
ДЕТ =■
16 т1т2
(36)
В блоке ДЕс3Т, содержащем функцию
/3, после выделения в матричном выраже-
6 2 нии членов порядка а , содержащих д и
к2, получим
ДЕ =_а6|4 , ^
I:
сТ т 4 J , 2 . ^,2,,2ч2
2п т2 (д + а | )
х
г М 1к( Зк
х
(р - к)2(к2 +а2|2)2е1
-х
(37)
х
1 + 3 М 1к
М
-2
22 к д
1д
М 1д (е1к +е1д )
Учет фактора
М'кМ'р
выражении эквивалентен введению в инте-
грал дополнительного множителя типа
В последнем члене, пропорциональном в подынтегральном к2д2, имеются все необходимые элементы
для выделения логарифмического интеграла Фелла. В первом же члене требуется выделить дополнительную степень к2, что достигается преобразованием
р
М'
т' 8 Г
3рк = а I
(3 р
(Зк
(р2 + а'2)21 (к2 + а'2)
-х
х
1
V
(р - к)2 2
р к2
V м'р2 М'2
1 + 3 Мк-
м,
м,
= 8 +
6к2
4к2
—
к2
ММ. е„,М„
1 1д "-1^-* 1к
2т1
Учет нормировочного множителя Nне
изменяет логарифмической поправки ДЕ
сТ
2
2
2
д
1
е
2
3
6.4
AEl =-
a m
-!
q 2d 3q
x
Itts-
2n m2m{ J (q +am J
k 2 d 'к ~ б"3
x
(38)
(p - k )2(k2 +a 2m2)2
о a m i -2—— ln a 1.
т2 т1
Тогда логарифмический вклад выражения (24) оказывается следующим:
?2 , А 173 =
(39)
= АЕст (^ = 1) + АЕст (МрМд Ф1),
AEcT = DE]T +DE2cT +AE3t
где
— 6N3
DEcT (NpNq = 1) = 3ln a-1,
6. 3
DEcT (NpNq Ф 1) = 3—ln a-1.
Итак, учитывая выражения (18), (21)-(23), (39), для суммарного логарифмического вклада в величину тонкого сдвига от обмена кулоновским и поперечным фотонами получаем результат
DE = 2
—У
ln a 1,
(40)
который компенсируется учетом вклада от обмена двумя поперечными фотонами [10].
Следовательно, возникающая в однофо-тонном обмене дополнительная поправка, связанная с учетом отличия нормировочных множителей от единицы, уничтожается в сумме диаграмм, следующих из квазипотенциальной теории возмущений. Таким образом, в наших работах продемонстрирована возможность квазипотенциального метода рассчитать поправки к тонкому сдвигу в высших порядках по а.
Список литературы
1. Boikova N.A., Boikova O.A., Kleshchevskaya S.V., Tyukh-tyaev Yu.N. On the possibility of precise calculations of the contribution to the fine energy shifts of hydrogen-like atoms due to the motion of the nucleus // Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modeling VII, SPIE 2007. Vol.6537. P.6537-19-1-6537-19-8.
2. Бойкова Н.А., Бойкова О.А., Клещевская С.В., Тюхтя-ев Ю.Н. К вопросу о новых вкладах в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов с точностью до шестого порядка по константе тонкой структуры // Теоретическая физика. 2007. Т.8. C.124-130.
3. Бойкова Н.А., Бойкова О.А., Клещевская С.В., Тюхтя-ев Ю.Н. Исследование поправок к известному значению тонкого сдвига в высших порядках теории возмущений // Проблемы оптической физики: Материалы 11-й Между-нар. молодежной науч. школы по оптике, лазерной физике и биофизике. Саратов, 2008. C.145-151.
4. Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Влияние движения ядра на тонкую структуру водорода / Сообщение ОИЯИ Р2-7493. Дубна, 1973. 16 с.
5. Fell R.N. Single transverse photon correction to the 2S energy levels of positronium / Preprint BUW 01742. Massachusetts, 1992. 40 p.
6. Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Техника Фелла и возможности ее обобщения при расчетах тонких сдвигов методом квазипотенциала // Тез. докл. Всерос. совещ. по квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам / Государственный научный центр РФ. Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д.И. Менделеева. СПб., 2008. 30 с.
7. Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. Corrections of (a6 ln a) in two-body QED problem // Phys. Lett. B. 1992. Vol.282. P.237-242.
8. Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. Logarifmic corrections in the two-body QED problem // Physica Scripta. 1993. Vol.146. P.252-260.
9. Fell R.N., Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. On the recoil corrections in hydrogen // Phys. Lett. A. 1993. Vol.181. P.172-174.
10. Бойкова Н.А., Бойкова О.А., Клещевская С.В., Тюхтя-ев Ю.Н. Исследование аномально больших логарифмических вкладов при решении задачи об отдаче ядра квазипотенциальным методом // Проблемы оптической физики и биофотоники: Материалы 12-й Междунар. молодежной науч. школы по оптике, лазерной физике и биофизике. Саратов, 2009. C.118-124.
m1m2
