Исследование поправок к тонкому сдвигу уровней энергии в водородоподобных атомах Текст научной статьи по специальности «Физика»

4. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. М.: Наука, 1990.

5. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

6. Chacon R. Inhibition of chaos in Hamiltonian systems by periodic pulses // Physical Review. 1994. Vol. E50, pt.A. P. 750.

7. Matias M., Gitemes J. Chaos suppression in flows using proportional pulses in the system variables // Physical Review. 1998. Vol. E54. P. 198.

8. Лавкин А.Г. Функции Ляпунова и стохастичность классических SU (2)-полей Янга-Миллса // Ядерная физика. 1991. Т. 53. С. 313.

9. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость // Успехи физических наук. 1989. Т. 158. С. 93.

10. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. М.: Наука, 2001.

то в 2000 году -

УДК 621.382.029.6

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПРАВОК К ТОНКОМУ СДВИГУ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ В ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМАХ

О.А. Бойкова, Н.А. Бойкова, С.В. Клещевская, Ю.Н. Тюхтяев

Саратовский государственный университет, кафедра теоретической и ядерной физики E-mail: alex2222@gmail.com

Рассматривается метод расчёта величины тонкого сдвига уровней энергии водородоподобных атомов на основе релятивистски модернизированного квазипотенциального уравнения. Развита соответствующая теория возмущений, позволяющая рассчитывать сдвиги уровней энергии водородоподобных атомов с высокой точностью. Рассчитаны логарифмические поправки порядка a6ln а-1 для однофотонных взаимодействий и подтверждён более ранний результат.

Ключевые слова: связанное состояние, тонкий сдвиг, уровень энергии, водородоподобный атом, кулоновское взаимодействие, логарифмическая поправка.

The Reseach of Corrections to the Fine Shift of Energy Levels in the Hydrogen-Like Atoms

O.A. Boikova, N.A. Boikova, S.V. Kleshchevskaya,

Y.N. Tyukhtyaev

The method of calculation of the value the thin shifts of energy levels of bound states on a basis relativistic upgraded quasipotential equation is considered. The appropriate perturbation theory permitting to calculate shifts of the energy levels in hydrogen-like atoms with a high accuracy is advanced. We obtained logarithmic corrections about a6 ln a-1 by one photon interaction are obtained, and earlier conventional result is confirmed.

Key words: the bound state, the fine shift, the energy level, the hydrogen-like atoms, the Coulomb interaction, the logarithmic correction.

В последние годы интерес к исследованиям спектров водородоподобных атомов проявился достаточно отчетливо. Благодаря переходу от методов радиочастотной спектроскопии к исследованию возможностей бездоплеровской двухфотонной спектроскопии точность экспериментальных данных существенно возросла.

Интервал 2Sy2 — 1Sy2 измерен в настоящее время [1,2] в атоме водорода с точностью до десятка Гц. Если в 1997 году его значение составляло

vL 2S= 2 466 061 413 18?. 34(84) кГц,

(1)

= 2 466 061 413 187 103(46) Гц. (2)

Это позволяет с рекордной точностью определить значение такой фундаментальной величины, как постоянная Ридберга.

Заметим, что при обосновании рекомендуемого CODATE значения этой универсальной мировой константы [1] учитывались, в частности, теоретические разработки [2]. С другой стороны, за последнее время расширился список обзоров, анализирующих теоретически результаты [3-6].

Тонкое и сверхтонкое расщепление спектров водородоподобных атомов являются чисто квантовоэлектродинамическими эффектами, которые не рассматриваются в классической электродинамике и описываются в квантовой электродинамике. Теоретические исследования указанных эффектов имеют фундаментальное значение, так как на достаточно простой модели двух заряженных взаимодействующих частиц (e~e+, п V, p+e- , +в-) позволяют проверить

методы квантовой теории с высокой точностью. Развитие квантовоэлектродинамических методов оказывает влияние на теорию сильных взаимодействий - квантовую хромодинамику. Так, в квантовой хромодинамике различие масс пионов определяется как сверхтонкое расщепление уровней энергии связанной системы кварк - антикварк в пределе асимптотической свободы, когда константа связи много меньше единицы. В этом случае описание сверхтонкой структуры может быть выполнено методами,

© О.А. Бойкова, НА Бойкова, С.В. Клещевская, Ю.Н. Тюхтяев, 2QQS

ОЛ Бойкова и др. Исследование поправок к тонкому сдвигу уровней энергии

проверенными в квантовой электродинамике на водородоподобных системах. Результаты проведенных расчетов совпадают с экспериментальными значениями с высокой степенью точности. Таким образом, появляется возможность на достаточно простой модели проверить методы квантовой теории с высочайшей точностью и получить высокоточное значение фундаментальных физических констант.

Квазипотенциальный подход дает два способа вычисления значения тонкого сдвига водородоподобного атома с точностью до пятого порядка по константе тонкой структуры а. Один из них не учитывает зависимости квазипотенциала от внешних импульсов, в другом квазипотенциал V(p, q, E) рассматривается как функция импульсов и энергии.

Метод, не учитывающий зависимости квазипотенциала от внешних импульсов, сопровождается появлением расходимостей, которые устраняются в суммарном выражении. В связи с этим возникает необходимость введения нефизического параметра обрезания. Данный метод не дает возможности полного вычисления поправок более высокого порядка, чем а5.

Суть явления отдачи - учет конечности массы ядра. Характеристика конечности массы - параметр отношения масс частиц в = m1/ m2 (для водорода - 5.446170232(12)-10-4, для мюония -4.83633210(15)-10-3). Если положить в=0, то масса ядра становится бесконечной и мы имеем одночастичную задачу о движении частицы массы т. Если в=1, то рассматривается задача о позитронии, а если 0 < в < 1, то получаем более общий случай водородоподобного атома.

Основное уравнение квазипотенциального подхода имеет вид

(Е -е1 p -е2р)^ Е(4) =

^еШ 34, (3)

где Е - собственное значение полной энергии,

е1р = ^Р~ + т1 , г = 1,2, тг - масса г-й частицы водородоподобного атома; ¥б(я) - волновая функция, квазипотенциал Ур,д, Е) представляется в виде V = Т+ (I + БТ+ )— , операция

* *

(...)+ = и1 М2У10 У 20(...)м1м2 означает проектирование на состояния с положительными энергиями;

- дираковский биспинор, записанный в двухкомпонентной форме; у 0 - матрицы Дирака; амплитуда рассеяния Т(р, д, Е) = Т(р, q, Р0, д0, Е)\ ,

П-1 13о3^ X р0~ Ч0~0

Г = (2п) о (р - д)(Б -е1 р -е2р) . Параметры р, 4 , Е можно считать независимыми.

Для прецизионных исследований необходимо учесть зависимость квазипотенциала от импуль-

сов р , 4 и энергии Е. Используя обычное разложение амплитуды рассеяния Т в ряд по степеням постоянной тонкой структуры а

т = т (2) + т +

1 + + ~ 1 + “Г ...

получим

V = Т+ (1 - ГТ+ + ГТ+ ГТ+ -...)

(4)

(5)

или в низших порядках теории возмущений

V = V(2) + V(4) = Т+2) + Т+4) - Т+2)ГТ+2). (6)

Отсюда

V(2) = Т(2) V(4) = Т(4) — Т(2)ГТ(2)

(7)

Амплитуда рассеяния строится с помощью фейнмановской диаграммной техники. В случае кулоновской калибровки

Т+(2) = (Кс)+ + (Кт)+ ,

(8)

где ядра (Кс)+ и (Кт ) + описывают обмен одним кулоновским и одним поперечным фотонами соответственно. Двухфотонные взаимодействия с

амплитудой Т+4) = (Траг)+4) + (Тсг)+4) представляются диаграммами двух типов (рис.1, 2).

Специфика теоретических исследований эффектов отдачи определяется необходимостью использования двухчастичной релятивистской теории для определения тонкого сдвига уровней энергии водородоподобных атомов. Впервые это было сделано на основе уравнения Бете-Солпитера [7]

Ас, 1 ^а)5 ц3 1 [ 2 о , _1

ДЕ =------------—^ —о ,01п а -

п тМ

3

-|іп[*о(и)] -18/0 -3ап + (9)

2 8

,,2 2 8/0 М - т

т21п М - М21п т

где

ап 2

1п— п

1

1

+

1 + - +... + -1 +1 — V 2 п) 2п

1 -8/о

1

/ (/ +1)(2/ +1) •

тМ

приведенная масса,

г - заряд ядра, ц = -

т + М

п - главное квантовое число, 1п[£о(п)] - логарифм

Бете, I - орбитальное квантовое число.

Из формулы (9) следует, что поправки на отдачу определяются малыми параметрами 2а

п

Р1(Е1 + Р0, Р)

Р2 (Е2 - Р0, -Р)

Ч\(Е\ + 40, 4)

+к0 - qo, р+к - 4)

(Е2 - Р0 - %-р - к)

Рис. 1. Диаграмма параллельного обмена

42 (е2 - qo, -я)

и в = т/М . В случае логарифмической зависимости имеем:

1п а-1 * 4.92,

1п в-1 * 5.33 (для мюония),

1п в-1 * 7.52 (для водорода).

Большая величина логарифмических вкладов заставляет обратить на их исследование особое а6 3

внимание. Поправки а Ц 1п а-1, рассчитанные

т^2

для мюония [8], а затем Феллом для позитрония [9] привлекли внимание многих теоретиков.

Теория возмущений для исследования эффектов отдачи в водородоподобных атомах такова, что члены ряда по константе тонкой структуры а зависят от параметра отношения масс частиц р. В качестве примера обсудим вычисление логарифмической по а поправки шестого порядка по константе тонкой структуры к тонкому сдвигу

уровней энергии водородоподобных атомов. Сначала проанализируем выражение для квазипотенциала, отвечающего однофотонному взаимодействию частиц.

Рассмотрим кулоновскую часть взаимодействия, опуская слагаемые, отвечающие за сверхтонкий сдвиг:

ДЕС = (фС (р) (КС )+ - уС |фс (4 ^ =

= ФС

уС^р^а (1 +

Р4

Р4

(Р4 )2

И1рИ1д И2рИ2д

+(10)

М1 рИ1дИ2 рМ2д

где ФС(4) Nр = ^щр^тр - кулоновская волновая

Мт1 р = ,

и

2е

-, и1р = Чр + т, г=!,2.

1Р

44

Научный отдел

ОЛ Бойкова и др. Исследование поправок к тонкому сдвигу уровней энергии

Воспользуемся разложением радикалов є. и

нормировочных множителей

по степеням

—2/ 2 р / т .

&ір=ті(1+

2 т,2 8 т4

+...х

(її)

8т,2 128т4

Тогда с точно стью до членов порядка а61п а 1 мы имеем право записать

[( к ) 1, т 1а = па ( 1 + 1 л

ККС )+-1С] = ^Т 2 + 2) -

2 т1 т2

-4па{(Р-4)2 + А(-^ + -^)( р2 + 42)} - (12)

64т^т^ 64 т4 т

5 па

32 (р - 4) т1 т-2

Выражение с точностью до а61п а-1 совпадает с потенциалом, исследовавшимся в работе [10]:

УС (p, 4) = Ус2 (p, 4) + Ус4) (p, 4), где у12) (р, д) - часть ядра Брейта, позволяющая

4

вычислять поправки, пропорциональные а ,

■"(4)(Р 4) = .

V^Ч,(р, д) = -4па{(9 4 \ +

64т1 т|

3/1 1 2 2м

+6!(^ + ^)(9 + 4 )} -64 т^ т2

(ї3)

па

(Л+ ЛхР2 -42)2.

32 (Р - 4)2 т14 т2 Соответствующий сдвиг, пропорциональный а61п а-1, записывается в виде

0ЕС = (фС (р) Ус4)(р 4^ ФС (Я ^ =

5 6 3 (14)

2 5, т1 т2. а ц , -1

= ец2-(^г+ -^), е = — 1па \

4 т2 т1 т1т2

где ц - приведенная масса. Результат (14) представим, как

' 5 а,6ц3 1 -1 5 а,6ц3 -1 (15)

оЕс =----- -----1па-----------— 1па ,

4 т1т2 в 2 т1т2

1, -1 [9034,32 (для водорода)

где _ 1п а = < .

в [1017,35 (для мюония)

Отметим, что неравенство 8Ес(а6) >> 8Ес(а5)

ведет к нарушению сходимости ряда теории возмущений.

Обратимся теперь к обмену одним поперечным фотоном. При вычислении логарифмической по константе тонкой структуры поправки порядка а6, можно исходить из выражения

6 5

Д£Т = 4 “V1 Ы9Лр

(ї6)

Т п4 т1т2-1(р2 + а2ц2)2

Ыдй Зд ( м )

К 2 , 2 2\2 /— -ч2 .

(4 +а ц ) (р 4)

Тогда после простых преобразований получаем, что

А % , 6, -к 4 а6ц5 г d3р

ДЕТ ( а 1па ) = —--------]—;------^^х

п4 т1т2 (р2 + а2ц2)

С 3д

(17)

(д2 + а2ц2) 8(д2 + т]2) (р - д )2

а6 5

или АЁ%Т (а61п а-1) = 2 —— 1п а-1. (18)

т1т2

Величина этой поправки (18) в тонкий сдвиг совпадает с суммарным результатом диаграмм (а)-(Ь)-(с)-(ё)-(е)-(1Т) работы [8]. Логарифмический по константе тонкой структуры вклад обусловлен интегралом

1

і = Г

С 3 р

3

С д

{ 2 . 2 2\ « / 2 . 2 2\ /— —\2 (р +а ц ) (д +а ц ) (р -д) (19)

* 4п41п а-1.

Легко увидеть, что этот интеграл расходится. Его вычисление согласно [11] относится к «логарифмическому промежутку» ца< р <ц. Именно в этом промежутке интегрирования получаем численное значение (19). Отметим также, что логарифмический по константе тонкой структуры вклад в случае двухфотонного обмена поперечными фотонами определяется тем же интегралом [12].

В работах [8,12] отмечено, что логарифмические по а вклады, обусловленные однофотонным и двухфотонным обменами поперечным фотоном, равны по величине и противоположны по знаку. Но это не значит, что разность соответствующих интегралов не приводит к поправкам более высокого порядка по а .

Таким образом, вопрос о вкладах шестого порядка по а решается релятивистскими методами. Для получения поправок высших порядков требуется уточнение исходного аналитического выражения для тонкого сдвига на основе модифицированного квазипотенциаль-ного уравнения.

Библиографический список

1. Mohr P.J., Taylor B.N. CODATE recommended values of the fundamental physics constants. 2000 // Rev. Mod. Phys. 2000. Vol. 72, № 2. P. 5496-5499.

2. Бойкова Н.А., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. О вкладах порядка a6ln(m2/т1)в тонкий сдвиг S-уровней энергии мюония // Ядерная физика. 1998. Т. 61, № 5. C. 866-870.

3. Fulton T., Martin P.C. Two-body system in quantum electrodynamics. Energy levels of positronium // Phys. Rev. 1954. Vol. 95, № 3. P. 811-822.

4. Grotch H., Yennie D.R. Effective potential model for calculating nuclear corrections to the energy levels of hydrogen // Rev. Mod. Phys.1969. Vol. 41, № 2. P. 350-374.

5. Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Влияние движения ядра на тонкую структуру водорода / Сообщение ОИЯИ Р2-7493. Саратов, 1973. 16 с.

6. Doncheski M., Grotch H., Erickson G.W. Pure recoil cor-

rections to the Lamb shift in hydrogenic atoms // Phys. Rev. 1991 Vol. 43, № 5. P. 2152-2170.

7. Salpeter E.E., Bethe H.A. Relativistic equation for bound state problems // Phys. Rev. 1951. Vol. 84, № 6. P. 1232-1242.

8. Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. Corrections of (a6 ln a) in two-body QED problem // Phys. Lett. B. 1992. Vol. 282. P. 237-242.

9. Fell R.N. Order a4 ln a-1 fRYD. Corrections to the n=1 and n=2. Energy levels of positronium // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68. P. 25-28.

10. Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. Logarifmic corrections in the two-body QED problem // Physica Scripta. 1993. Vol. 146. P. 252-260.

11. Fell R.N. Corrections of (a6 ln a) / Preprint BUM 01742. Massachusetts, 1992.

12. Fell R.N., Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. On the recoil corrections in hydrogen // Phys. Lett. A. 1993. Vol. 181. P. 172-174.

УДК 535.343.9; 530.145

ABSORPTION AS AN INDICATION OF VACUUM e+-e- PAIR CREATION

IN A STRONG NONSTATIONARY ELECTRIC FIELD

d

D.B. Blaschkea b c, S.V. Ilyined, G. Ropkec, S.A. Smolyansky

a Institute of Theoretical Physics, University of Wroclaw, 50-204 Wroclaw, Poland

b Bogoliubov Laboratory for Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research, RU-141980 Dubna, Russia c Institut fur Physik, Universitat Rostock, D-18051 Rostock, Germany d Saratov State University, RU-410026 Saratov, Russia E-mail: isv-new@mail.ru

We discuss the high frequency conductivity and absorption coefficient of an electron - positron plasma (EPP) created from the vacuum in a strong nonstationary electric field (nonstationary Schwinger mechanism). It is shown that the basic contribution here is due to vacuum polarization effects. For subcritical linearly polarised fields, we obtain the general expression for the induced conductivity and the absorption coefficient, which is investigated in a wide range of frequencies from the optical to the y-ray region.

Key words: electron-positron plasma; Schwinger mechanism; vacuum creation; X-ray laser; quasiparticle; optical properties.

Поглощение как Индикатор Вакуумного Рождения e+-e- Пар в Сильных Нестационарных Электрических Полях

Д.Б. Бляшке, С.В. Ильин, Г. Рёпке, С.А. Смолянский

Обсуждаются коэффициенты высокочастотной проводимости и поглощения электрон-позитронной плазы, рождающейся из вакуума в сильных нестационарных электрических полях (нестационарный механизм Швингера). Показано, что основной вклад обусловлен вакуумными поляризационными эффектами. Для субкритических линейно поляризованных полей, получены

основные выражения для индуцированной проводимости и коэффициента поглощения, которые исследованы в широком диапазоне частот.

Ключевые слова: электрон-позитронная плазма, механизм Швингера, вакуумное рождение, ренгеновский лазер, квазичастица, оптические свойства.

1. Introduction

The formation of a relativistic EPP created from the vacuum under the action of an ultrashort optical laser pulse is one of the topics of modern fundamental physics and forthcoming experimental efforts [1,2]. It has been estimated that a zetawatt laser with intensity 1028 W/cm2 could be built. That would allow to approach the Schwinger limit of the electric field for electron-positron pair creation Ec=m2/e=1.3 x x 1016V/cm. Vacuum creation of light mesons becomes also possible for such subcritical fields [3]. It is discussed as one of the perspectives at the X-ray laser [4,5]. Thus the experimental observation of vacuum EPP has become an actual problem. Some of the observable effects have been discussed before in the literature, see, e. g., Ref. [6,7].

In the present work, we avoid to detail methods of the generation of acoherent quasiclassical time dependent electric field and rather focus on the discussion of the optical properties of the created EPP. We

© Д.Б. Бляшке, С.В. Ильин, Г. Рёпке, С.А. Смолянский, 2008