CC BY
83
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. T. 19, № 3. С. 474—488
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1381 УДК 517.958:539.1; 539.184.26
СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА S-СОСТОЯНИЙ МЮОННОГО ДЕЙТЕРИЯ*
A. П. Мартыненко1,2, Г. А. Мартыненко1,
B. В. Сорокин1, Р. Н. Фаустов3
1 Самарский государственный университет,
Россия, 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.
2 Самарский государственный аэрокосмический университет
имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет),
Россия, 443086, Самара, Московское ш., 34.
3 Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление»
Российской академии наук,
Россия, 119333, Москва, ул. Вавилова, 40.
Аннотация
В рамках квазипотенциального метода в квантовой электродинамике вычислены поправки порядка а5 и а6 в сверхтонкой структуре S-состояний мюонного дейтерия. Учтены релятивистские поправки, эффекты поляризации вакуума в первом, втором и третьем порядках теории возмущений, эффекты структуры и поправки на отдачу. Полученные численные значения сверхтонких расщеплений AEhfs(1S) = 50.2814 meV (IS-состояние) и AEhfs(2S) = 6.2804 meV (2S -состояние) можно использовать для сравнения с будущими экспериментальными данными колла-борации CREMA. Интервал сверхтонкой структуры Д12 = 8AEhfs(2S) — — AEhfs(1S) = -0.0379 meV можно использовать для прецизионной проверки квантовой электродинамики.
Ключевые слова: квантовая электродинамика, сверхтонкая структура,
квазипотенциальный метод.
doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1381
© 2015 Самарский государственный технический университет.
Образец для цитирования
Мартыненко А. П., Мартыненко Г. А., Сорокин В. В., Фаустов Р. Н. Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 3. С. 474-488. doi: 10.14498/vsgtu1381.
Сведения об авторах
Алексей Петрович Мартыненко (д.ф.-м.н., проф.; a.p.martynenko@samsu.ru; автор, ведущий переписку), профессор, каф. общей и теоретической физики1; профессор, каф. физики2 .
Григорий Алексеевич Мартыненко, студент, каф. общей и теоретической физики. Вячеслав Вадимович Сорокин (wws63rus@yandex.ru), студент, каф. общей и теоретической физики.
Рудольф Николаевич Фаустов (д.ф.-м.н., проф.; faustov@theory.sinp.msu.ru), руководитель сектора, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление».
‘Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа—1 сентября 2014).
474
Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия
В последние годы значительный интерес в исследовании тонкой и сверхтонкой структуры простейших атомов связан с легкими мюонными атомами: мюонный водород, мюонный дейтерий, ионы мюонного гелия. Это обусловлено существенным прогрессом, достигнутым экспериментальной коллабора-цией CREMA (Charge Radius Experiment with Muonic Atoms) при изучении таких мюонных атомов [2,3]. Так, например, из измерения частоты перехода 2Рз/=2 — в мюонном водороде было получено новое более точное значе-
ние зарядового радиуса протона rp = 0.84087(39) фм. Измерение частоты перехода 2P^/=1 — 2£^2° для синглетного 2S-состояния позволило найти сверхтонкое расщепление уровня энергии 2S в мюонном водороде, значения радиуса Земаха rZ = 1.082(37) фм и магнитного радиуса rM = 0.87(6) фм. Аналогичные измерения для мюонного дейтерия уже выполнены и готовятся к публикации. Необходимо подчеркнуть, что эксперименты коллаборации CREMA ставят одну очень важную задачу — улучшить на порядок точность определения зарядовых радиусов протона, дейтрона, гелиона и альфа-частицы, которые входят в теоретические выражения различных интервалов тонкой и сверхтонкой структуры. Для успешной реализации этой программы необходимы теоретические вычисления поправок различного порядка в тонкой и сверхтонкой структуре спектра энергии мюонных атомов [4-15]. Особый интерес могут представлять поправки на структуру ядра, с которыми может быть связано решение загадки радиуса протона [2,16].
Теоретические исследования энергетической структуры мюонных атомов выли выполнены в [4-15] на основе уравнения Дирака и в нерелятивистском подходе при помощи теории возмущений в квантовой электродинамике. В связи с экспериментальной активностью в последние годы появилась необходимость в анализе ранее выполненных вычислений с целью получить надежную оценку энергетических интервалов: лэмбовского сдвига (2P1/2—2S1/2), сверхтонкой структуры 2S-состояния, тонкой структуры (2P1/2—2P3/2), которые измеряются в экспериментах коллаборации CREMA. Цель нашей работы состоит в расчете поправок порядка a5 and а6 в сверхтонкой структуре мюонного дейтерия, которые определяются эффектами поляризации вакуума, отдачи, релятивистскими поправками и поправким на структуру дейтрона. Современные значения фундаментальных физических констант взяты из [17].
В нашем расчете мы используем квазипотенциальный метод в квантовой электродинамике [18], в котором двухчастичное связанное состояние описывается уравнением Шредингера. Основной вклад в оператор взаимодействия мюона и дейтрона в S-состоянии определяется гамильтонианом Брейта [19]:
Hb = H° + AV/s + AV/ H° = P — —,
B B 2g r
P4 P4 + nZa /+ 5j_ Wr) _ Za ( 2 + r(rP)P5
8m3 8m2 2 Vm2 m|/ 2m1m2r\ r2 )’
А/) = зттр».(^2Жг). (1)
где m1, m2 — массы мюона и дейтрона соответственно, mp — масса протона, gd, gu — гиромагнитные факторы дейтрона и мюона. Основной вклад в
Av/s
475
Мартыненко А. П., Мартыненко Г. А., Сорокин В. В., Фаустов Р. Н.
сверхтонкое расщепление S-уровней (энергия Ферми) дает потенциал спинспинового взаимодействия (1). Усредняя (1) по кулоновским волновым функциям 1S- и 2S-состояний, получим основной вклад в энергию сверхтонкого расщепления в мюонном дейтерии:
2^3а4^д { 1S : 49.0875 meV,
F П mimpn3 12S : 6.1359 meV.
Поправку на аномальный магнитный момент мюона (АММ) удобно представить отдельно, взяв экспериментальное значение АММ мюона из [17]:
AEhf (nS) = a. Ef (nS)
1S : 0.0572 meV, 2S : 0.0072 meV.
Релятивистская поправка порядка а6 в сверхтонкой структуре может быть получена при помощи аналитического выражения из [20]:
hfS( j 3(Za)2Ef(1S) f 1S : 0.0039 meV,
rel (П ) [ 17(Za)2EF(2S) | 2S : 0.0007 meV.
Важный класс поправок представляют поправки на поляризацию вакуума в первом, втором и третьем порядках теории возмущений (ТВ). Вначале рассмотрим вклад однопетлевой электронной поляризации вакуума в сверхтонкую структуру S-состояний, который определяется следующим потенциалом [5,19]:
дд'Ур (r) =
4a^d(1 + a.) ( 3mimp
a . m2A2 \
(sis2)—у p(s)ds(n£(r) - -^е-2т«г). (2
Мы также сохраняем фактор с АММ мюона, что приводит к учету поправки порядка а6. Усредняя (2) по волновым функциям, мы получаем поправку порядка а5 в сверхтонкой структуре 1S- и 2S-состояний:
ДЕ-
fVp (1S) =
2^3а5^д(1 + a.)
3m1mp п
1
Р(£ЖХ
i
22
Г xdxe-x( i+)
W 2
0
0.1039 meV, (3)
ДЕ
fvP (2S) =
^3а5^д(1 + a.)
1
3m 1mpn 4me2C2 fо
W2 ,/o
P(£KX
'i
1 - X -2
dxe
-x( 1+^ )
0.0134 meV. (4)
Заменяя массу электрона me на массу мюона m i в (3) и (4), получим вклад мюонной поляризации вакуума: 0.0009 meV (1S), 0.0001 meV (2S). Поправка мюонной поляризации вакуума имеет более высокий порядок а6 из-за W/m i ^ 1. Тот же порядок а6 дают и поправки двухпетлевой поляризации
476
Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия
вакуума. Потенциал двухпетлевой поляризации вакуума с двумя последовательными петлями имеет следующий вид:
AV1jfyp-vp (r) =
8na^d(1 + ap)
3m1 mp
(sis2К3П)2h p(£)d£h
P(£)d£ / p(n)dijx
5(r) —
me
nr(n2 — £2)
^n4g-2 menr — ^4g-2meg/j
Соответствующая поправка в сверхтонкую структуру 1S и 2S может быть представлена в интегральной форме с интегрированием по координате r и спектральным параметрам £ и п. Интегрирование по r может быть проведено аналитически, оставшиеся интегралы вычисляются численно при помощи системы Mathematica. Двухпетлевые поправки порядка a6 c двумя вложенными петлями вычисляются аналогично. В этом случае потенциал мюондейтронного взаимодействия определяется выражением
AV1YY,2-loop VP(r)
8a3^d(1 + ap)( ) f1 f(v)dv
9n2mimp (SlS2) J0 1 — v2
n£(r)
2
m2
---------e
r(1 — v2)
2 mer
V'l —v2
5
где f(v) —двухпетлевая спектральная функция [21]. Однопетлевые и двухпетлевые поправки порядка а5 и а6 должны быть также рассмотрены во втором порядке теории возмущений.
Во втором порядке ТВ поправки определяются редуцированной кулоновской функцией Грина G, которая имеет следующее парциальное разложение:
Gn(r, r0 = л gni(r,r')ylm(n)yim(n/).
l,m
Радиальная функция gni (r, r/) была получена в [22] в виде штурмовского разложения по полиномам Лаггера. Основной вклад электронной поляризации вакуума в сверхтонкой структуре во втором порядке ТВ имеет вид
AESOPT VP 1 = 2 \ ^\AVVP • G • AVB \ф
где модифицированный кулоновский потенциал
AVVp(r) = 0-1 “ p(£)d£ (—Za) e-2"^.
Потенциал AvBs(r) пропорционален £(r), поэтому необходимо использовать редуцированную кулоновскую функцию Грина с одним нулевым аргументом. Для этого случая она была получена в представлении Хостлера после вычитания полюсного члена в следующем виде [22]:
~ Zan2 e x
Gis(r, 0) = -П-----gis(x),
_ 4n x _
g1S(x) = [4x(ln2x + C) + 4x2 — 10x — 2] ,
(5)
477
Мартыненко А. П., Мартыненко Г. А., Сорокин В. В., Фаустов Р. Н.
~ Zau2 e x/2
G2S(Г, 0) = - АП 2x g2S(X),
g2S (x) = [4x(x — 2)(ln x + C) + x3 — 13x2 + 6x + 4],
(6)
где C = 0.5772 ... постоянная Эйлера, x = Wr. В результате необходимая поправка к сверхтонкой структуре (ud) может быть представлена в следующем виде:
дя£р i (is) =
a Г™
—Ef (1S) — (1 + aJJ p(£)d£x
1 ^ / meS \
х e-x(l+^)g1S(x)dx = 0.2056 meV, (7)
о
ДЕ^ i(2S) = Ef(2S)3n(i + aj J~ p(£)d£x
x j e-x(l+ ^)g2S(x)(1 — x)dx = 0.0207 meV. (8) о2
Фактор (1 + a^) включен в (7) и (8), поэтому эти выражения содержат поправки порядка а5 и а6. Заменой me ^ mi в (7), (8) мы вычисляем вклад однопетлевой мюонной поляризации вакуума во втором порядке ТВ порядка а6: 0.0009 meV (1S), 0.0001 meV (2S). Двухпетлевые поправки во втором порядке ТВ имеют порядок а6. Удобное представление для редуцированной кулоновской функции Грина с двумя ненулевыми аргументами было получено в [22]:
Gis(r, r') = — Za^e-(X1 +x2)gis(xi,x2),
n
gis(xi, x2) =
1
7 1- e2x<
------ln 2x> — ln 2x< + Ei(2x<) + - — 2C — (xi + x2) +-----
2x< 2 2x<
G2S(r, r') = —
Zau2
16nxix2
e-(xi+x2)g2s (xi,x2),
g2S (xi,x2) = 8x< — 4x< + 8x> + 12x<x> — 26x<x> +
+ 2x<x> — 4x> — 26x< x> + 23x< x> — x<x> + 2x<x> — x<x> + +4ex(1—x< )(x>—2)x>+4(x<—2)x<(x>—2)x>[—2C+Ei(x<)—ln(x<)—ln(x>)].
Вклады трех других диаграмм в сверхтонкую структуру могут быть вычислены с использованием следующих потенциалов [23]:
ДУур-vp(r) = (3П) / P(£)d£^ P(n)d^—х
х ^2 1 2 (е2е-2-У — n2e-2men^ ,
478
Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия
AV2-loop VP(r)
2Za3 f1 f(v)dv -^=4 3n2r J0 (1 - v2)6
Поправку порядка a6 к сверхтонкой структуре дает также поляризация вакуума в третьем порядке теории возмущений [24].
Основной вклад структуры ядра в сверхтонкую структуру S-состояний определяется двухфотонными обменными диаграммами. Параметризация электромагнитного тока дейтрона имеет вид
(P2,q2) = <Ы<
(Р2 + 92)м р F (k2) (P2 + 92)м kpka f , U2
2 m2 pa 1 2m2 2m2
F2(k2)-
- ^2mF3(fe2n(P2),
где p2, Q2 — 4-импульсы дейтрона в конечном и начальном состояниях, k = = q2 — p2. Вектор поляризации дейтрона е* удовлетворяет следующим соотношениям:
е**(к, Л)е*(к, Л') = —5лл, k*e*(к, Л) = 0,
^ е*(к Л)^(k, Л) = —P*v +
k* k
m
2
л ■■t2
Генератор инфинитезимальных преобразований Лоренца имеет вид
V*v = P*Pv _ P*Pv ^pa Pp Pa Pa Pp •
Электромагнитные формфакторы дейтрона Fj(k2) зависят от квадрата 4-импульса фотона. Они связаны с зарядовым Fc, магнитным Fm и квадруполь-ным Fq формфакторами дейтрона следующим образом:
2
Fc = Fi + зn [Fi + (1 + n)F2 — F3] , fm = Fз, fq = Fi + (1 + n)F2 — F3, П = —
Электромагнитный ток мюона имеет вид
"(pi + qi)*
J?(pi,qi) = u(qi)
i ^i; — (1 + a*)o*v — 2mi 2mi
k2
4m2
u(pi),
где pi, qi — начальный и конечный 4-импульсы мюона, a*v = (y*yv — yv7*)/2. Амплитуды виртуального комптоновского рассеяния мюона и дейтрона могут тогда быть представлены в виде [25]
M/*lV = u(qi)
pi + fc + mi
pi — fc + mi
f 1 7 \ 2 2Yv + Yv ! i\2 2
(pi + k)2 — m2 (pi — k)2 — mf
u(pi), (9)
479
Мартыненко А. П., Мартыненко Г. А., Сорокин В. В., Фаустов Р. Н.
м$ = <Ы
2m2
g I (P2-k)A(P2-kF
~gX“ + m2
(p2 — k)2 — m2
(92 + P2 — k)p (q2 + P2 — k)p kpk\ pa ka
9pXF1 ^ л 2 F2 n... F3
2m2
2m2
JpA 2m2 ‘
(P2 + 92 — k)v (P2 + 92 — k)v kwkCT
“5W F1-------—--------— o' F2 +
2m2
2m2
+ '£V/3-k^ F3 1 ша 2m2
2m2,
Sa (P2). (10)
Для построения потенциала сверхтонкого взаимодействия по амплитуде мы используем проекционные операторы 71^3/2 и Пр,1/2 на состояния мюон-дейтронной пары со спином 3/2 и 1/2. Перемножая амплитуды (9) и (10) и применяя проекционные операторы, с помощью пакета Form [26] мы получаем выражение для сверхтонкой части потенциала двухфотонного взаимодействия в кулоновской калибровке для обменных фотонов [25]:
rhfs =(Za)2 [ id4k 1__________1_________1 x
2Y,str J n2 (k2)2 k4 — 4k0m2 k4 — 4k^m2
x {2FiF3k6 (22 — 22 — 4) + 2F2F322 (4k0 + k4 — 4k2k2 — 22) +
l Vm2 m2 / m2 V m2J
+2F32k2k2 o*+mi )}■(11)
Инфракрасная расходимость при k ^ 0 связана со слагаемым F1F3k2. Она может быть устранена с помощью итерационного слагаемого квазипотенциала
AVhfs
iter
V1y x Gf x V1y
HFS E 16^a (S S )
= Ef w (S1S2)
~ F F1F3.
(12)
Интегрирование по углам в (11) в евклидовом импульсном пространстве можно выполнить аналитически. В результате вклад двухфотонных амплитуд в сверхтонкое расщепление S-уровня представляется в виде одномерного интеграла
r<x dk
Efs = Ef ay ^27 (k) =
T^nmmFmFmjl f{4m?m2F1F3/5<m2-^н8*2™?^-h >+
+ 16 m^m2(h2 — hi) — 32 m1m2(m2 — m1) + k4(m^h2 — m2h1)
I
iF^k2
k5(m4—m\)+6k3m2m2(m2—m2)+8k2m1m2 (m1(h2 — 2h1) + m2h1) +
+ 16 m\m44(h2 — h1) + k4(m\h2 — m2h1)
+ F|k2m2
k3(m1 — m°)(5m2 + ml)!
1
+ k2 (—5m[h2 + m^h1 + 4m^m^h-]) + 6km1 m^(m^ — ml) |, (
(13)
480
Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия
где произведено вычитание итерационного члена (12), hy2 = у k2 + 4mf2-
Численное интегрирование в (13) с использованием параметризации форфак-торов дейтрона из [27] дает следующий результат:
A Eftr (nS)
1S : -0.9305 meV, 2S : -0.1163 meV.
Выражение (13) может быть использовано для вычисления двухфотонных поправок с учетом поляризации вакуума. Соответствующая поправка на электронную поляризацию вакуума имеет вид
e hf s E2y ,VP
2a2 f™ f™
Ef -3^1 P(^)d^ V2y (k)
dk
k2 + 4m2{2
1S : 0.0152 meV, 2S : 0.0019 meV.
(14)
Аналогичный вклад мюонной поляризации вакуума может быть получен из формулы (14) при помощи замены массы электрона на массу мюона:
Ehfs [ 1S : 0.0015 meV,
2y,mvp I 2S : 0.0002 meV.
Для увеличения точности расчета мы учитываем адронную поляризацию вакуума [28]. Замена в фотонном пропагаторе для учета адронной поляризации вакуума имеет вид
1 fa\ f™ phad(s)ds
k2 U Jsth k2 + s
и приводит к следующему выражению для поправки на адронную поляризацию вакуума:
ufs 2a2 f™ 7™ dk
E2y,hvp = —Efу phad(s)ds V2y(k) k2 + s.
Основной вклад в адронную спектральную функцию phad(s) определяется пионным формфактором Fn (s) для энергии 4тП ^ 0.81 GeV2:
phad(s) = 12s5/2 |Fn(s)| .
Вклад порядка a6 дают также поправки на структуру ядра в однофотонном взаимодействии в первом и втором порядках теории возмущений. Потенциал поправки на структуру ядра в однофотонном взаимодействии в координатном представлении имеет вид
Avhfs(k)=9mmrM <s’s2>v2w. (15)
481
Мартыненко А. П., Мартыненко Г. А., Сорокин В. В., Фаустов Р. Н.
Усредняя (15) по кулоновским волновым функциям, получим аналитическое выражение для поправки. Численные значения для уровней 1S и 2S следующие:
A E
hfs I7 ,str
- 2 2 2
-pa2r2M
3 n2 + 1 n2
Ep
1S : 0.0082 meV, 2S : 0.0008 meV.
Во втором порядке теории возмущений оба потенциала пропорциональны £(r), что приводит к появлению расходящейся функции (7(0, 0). Поэтому удобно использовать потенциал поправки на структуру ядра в однофотонном взаимодействии в следующей форме:
AVCtU (r)
Za(2 + Лг) -Лг . ^ уТ2
8nr e , rd .
При получении данного потенциала мы используем дипольную параметризацию магнитного формфактора дейтрона. Используя функции Грина (5) и (6), можно провести аналитическое интегрирование поправки на структуру ядра во втором порядке теории возмущений. В результате получим
Л Clhfs>1S __ рIS
AEstr,SOPT — EF
ц.а
16 W
- 16T
1+W
2пЛ(1 + 2W )4 2WN
-21
1+
Л
coth
-1
WW
4 T(5 + 3 x> + 13
4W
1 + — ) - 3 J> — -0.0555 meV,
A Ehfs,2S AEstr,SOPT
_E 2 s № W
F 8пЛ(1 + W)П Л
WW
(л (14 + 3л
+ 31
W2
л2
+16
+
WW
+8т(1 + т
W
3+л
W2
л2
+4
coth
1
1+
2W
Л
+6 > — -0.0069 meV.
Вклад порядка a(Za)5 дают двухфотонные обменные диаграммы с радиационным фотоном в мюонной линии и учетом структуры ядра. Данные поправки были детально рассмотрены в нашей работе [29] и включены в итоговые значения для сверхтонких расщеплений.
В отличие от ранее проведенных исследований энергетического спектра легких мюонных атомов в [4], мы используем трехмерный квазипотенциальный подход для описания связанного состояния мюона и дейтрона. Все рассмотренные нами поправки представлены в интегральной форме и рассчитаны численно. Как уже отмечалось ранее, сверхтонкая структура мюонных атомов была исследована в [4,5]. В этих статьях были получены частоты переходов между уровнями энергии 2P и 2S в случае мюонного водорода, мюонного дейтерия и ионов мюонного гелия. Единственный детальный расчет сверхтонкого расщепления 2S-состояния в мюонном дейтерии представлен в [4]. Формула
3
AE2s — ^(1 + a/U)(1 + £VP + £vertex + £Breit + £Zemach) — 6.0584(7) meV,
482
Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия
полученная работе [4], содержит основные поправки к энергии Ферми: поляризацию вакуума, релятивистскую поправку, вершинную поправку и поправку Земаха. Важно отметить, что поправка Земаха (-0.1177(7)) meV для 25-состояния в мюонном дейтерии из [4] немного отличается от нашего значения (-0.1163) meV, что может быть связано с эффектами отдачи. Однопетлевые поправки на поляризацию вакуума в первом еурi = 0.00218 и втором еур2 = 0.00337 порядках теории возмущений в 25-состоянии из [4] полностью совпадает с нашими выражениями (4) и (8). Полное значение сверхтонкого расщепления 25-состояния 6.0683 meV без учета вклада поляризуемости дейтрона находится в хорошем согласии с результатом 6.0584 meV из [4]. Небольшая разница в значениях обусловлена прежде всего эффектами отдачи и структуры ядра в двухфотонных обменных диаграммах, которые мы вычисляем, используя современные экспериментальные данные по электромагнитным факторам дейтрона, а также учетом поправок на структуру ядра порядка а6. В конечные значения мы включаем эффекты поляризуемости дейтрона, вклад которых был вычислен при помощи аналитического выражения из [6], полученного для электронного дейтерия. Это основная часть поправки на поляризуемость. Мы также проводим оценку внутренней поляризуемости дейтрона на базе результатов для мюонного водорода [30].
Полагая, что параметризации электромагнитных формфакторов дейтрона были получены с неопределенностью порядка 0.5 процента на малых значениях квадрата импульса фотона Q2, мы получаем погрешность основной поправки на структуру ядра порядка (Za)5 не менее ±0.0010 meV для 25-состояния. Погрешность при определении поправки на внутреннюю поляризуемость можно оценить на основе результатов для мюонного водорода. Она составляет 0.0025 meV (в 25-состоянии) (около 25 процентов). Неопределенность в поправке на поляризуемость дейтрона оценена на основе результатов из [6] и примерно равна 0.0042 meV (2 процента). Вклад слабого взаимодействия в нерелятивистском приближении равен нулю, как было показано в работах [15,31]. Полная теоретическая неопределенность составляет 0.0050 meV в случае 25-состояния.
Интервал сверхтонкой структуры А12 не содержит неопределенностей, связанных со структурой и поляризуемостью ядра, поэтому полученное в нашей работе значение А12 = -0.0379 meV может быть использовано для проверки квантовой электродинамики для мюонного дейтерия с точностью
0.001 meV. Полученные итоговые численные значения сверхтонких расщеплений AEhfs(15) = 50.2814 ± 0.0410 meV и AEhfs(25) = 6.2804 ± 0.0050 meV являются надежной оценкой для сравнения с экспериментальными данными коллаборации CREMA.
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-02-00173-a) и при государственной поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках реализации мероприятий Программы повышения конкурентоспособности СГАУ среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2013-2020 годы.
ORCIDs
Алексей Петрович Мартыненко: http://orcid.org/0000-0003-3323-2177
Григорий Алексеевич Мартыненко: http://orcid.org/0000-0002-5962-2395
Вячеслав Вадимович Сорокин: http://orcid.org/0000-0002-1933-8234
Рудольф Николаевич Фаустов: http://orcid.org/0000-0002-7859-5732
483
Мартыненко А. П., Мартыненко Г. А., С о р окин В. В., Фаустов Р. Н.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мартыненко А. П., Мартыненко Г. А., Сорокин В. В., Фаустов Р. Н. Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 238-239.
2. Pohl R., Antognini A., Nez F. et al. The size of the proton // Nature, 2010. vol. 466, no. 7303. pp. 213-216. doi: 10.1038/nature09250.
3. Antognini A., Kottmann F., Biraben F., et al. Theory of the 2S-2P Lamb shift and 2S hyperfine splitting in muonic hydrogen // Annals of Physics, 2013. vol. 331. pp. 127-145, arXiv: 1208.2637 [physics.atom-ph]. doi: 10.1016/j.aop.2012.12.003.
4. Borie E. Lamb shift in light muonic atoms — Revisited // Annals of Physics, 2012. vol. 327, no. 3. pp. 733-763, arXiv: 1103.1772 [physics.atom-ph]. doi: 10.1016/j.aop.2011.11.017.
5. Pachucki K. a(Za)2EF correction to hyperfine splitting in hydrogenic atoms // Phys. Rev. A, 1996. vol. 54, no. 3. pp. 1994-2016. doi: 10.1103/physreva.54.1994.
6. Khriplovich I. B., Milstein A. I. Corrections to deuterium hyperfine structure due to deuteron excitations// JETP, 2004. vol. 98, no. 2. pp. 181-185, arXiv: nucl-th/0304069. doi: 10.1134/1.1675885.
7. Friar J. L., Martorell J., Sprung D. W. L. Nuclear sizes and the isotope shift // Phys. Rev. A, 1997. vol. 56, no. 6, 4579, arXiv: nucl-th/9707016. doi: 10.1103/physreva.56.4579.
8. Korzinin E. Yu., Ivanov V. G., Karshenboim S. G. a2(Za)4m contributions to the Lamb shift and the fine structure in light muonic atoms // Phys. Rev. D, 2013. vol. 88, no. 12, 125019, arXiv: 1311.5784 [physics.atom-ph]. doi: 10.1103/physrevd.88.125019.
9. Carlson C. E., Nazaryan V., Griffioen K. Proton-structure corrections to hyperfine splitting in muonic hydrogen// Phys. Rev. A, 2011. vol. 83, no. 4, 042509, arXiv: 1101.3239 [physics.atom-ph]. doi: 10.1103/physreva.83.042509.
10. Jentschura U. D. Lamb shift in muonic hydrogen—I. Verification and update of theoretical predictions// Annals of Physics, 2011. vol. 326, no. 2. pp. 500-515, arXiv: 1011.5275 [hep-ph]. doi: 10.1016/j.aop.2010.11.012.
11. Indelicato P. Nonperturbative evaluation of some QED contributions to the muonic hydrogen n = 2 Lamb shift and hyperfine structure// Phys. Rev. A, 2013. vol. 87, no. 2, 022501, arXiv: 1210.5828 [physics.atom-ph]. doi: 10.1103/physreva.87.022501.
12. Karshenboim S. G., Ivanov V. G., Korzinin E. Yu., Shelyuto V. A. Nonrelativistic contributions of order a6mMc2 to the Lamb shift in muonic hydrogen and deuterium, and in the muonic helium ion// Phys. Rev. A, 2010. vol. 81, no. 6, 060501. doi: 10.1103/physreva. 81.060501.
13. Мартыненко А. П. Тонкая и сверхтонкая структура P-уровней мюонного водорода // Ядерная физика, 2008. Т. 71, №1. С. 126-136.
14. Krutov A. A., Martynenko A. P. Hyperfine structure of the ground state muonic 3He atom // EPJ. D, 2011. vol. 62, no. 2. pp. 163—175, arXiv: 1007.1419 [hep-ph]. doi: 10.1140/epjd/ e2011-10401-5.
15. Eides M. I., Grotch H., Shelyuto V. A. Theory of light hydrogenlike atoms// Phys. Rep., 2001. vol. 342, no. 2-3. pp. 63-261, arXiv:hep-ph/0002158. doi: 10.1016/S0370-1573(00) 00077-6.
16. Miller G. A., Thomas A. W., Carroll J. D., Rafelski J. Toward a resolution of the proton size puzzle// Phys. Rev. A, 2011. vol. 84, no. 2, 020101. doi: 10.1103/physreva.84.020101.
17. Mohr P. J., Taylor B. N., Newell D. B. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010// Rev. Mod. Phys., 2012. vol. 84, no. 4. pp. 1527-1605. doi: 10. 1103/revmodphys.84.1527; doi:10.6028/nist.sp.961e2005; doi:10.1063/1.4724320.
18. Martynenko A. P. 2S Hyperfine splitting of muonic hydrogen // Phys. Rev. A, 2005. vol. 71, no. 2, 022506, arXiv: hep-ph/0409107. doi: 10.1103/physreva.71.022506.
19. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М.: Физматлит, 2006. 720 с.
484
Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия
20. Breit G. Possible Effects of Nuclear Spin on X-Ray Terms // Phys. Rev., 1930. vol. 35, no. 12. pp. 1447-1449. doi: 10.1103/physrev.35.1447.
21. Мартыненко А. П. Сверхтонкая структура S-уровней иона мюонного гелия // ЖЭТФ, 2008. Т. 133, №4. С. 794—804, http://www.jetp.ac.rU/cgi-bin/e/index/r/133/4/p794? a=list.
22. Hameka H. F. On the Use of Green Functions in Atomic and Molecular Calculations. I. The Green Function of the Hydrogen Atom // J. Chem. Phys., 1967. vol. 47, no. 8. pp. 2728-2735. doi: 10.1063/1.1712290.
23. Martynenko A. P. Lamb shift in the muonic helium ion// Phys. Rev. A, 2007. vol. 76, no. 1, 012505, arXiv: hep-ph/0612298. doi: 10.1103/physreva.76.012505.
24. Каршенбойм C. Г., Корзинин Е. Ю., Иванов В. Г. Сверхтонкое расщепление в мюонном водороде: КЭД поправки порядка а2 // Письма в ЖЭТФ, 2008. Т. 88, №10. С. 737-742; Каршенбойм C. Г., Корзинин Е. Ю., Иванов В. Г. Поправка// Письма в ЖЭТФ, 2009. Т. 89, №4. С. 240.
25. Faustov R. N., Martynenko A. P. Nuclear structure corrections in the energy spectra of electronic and muonic deuterium // Phys. Rev. A, 2003. vol. 67, no. 5, 052506, arXiv: hep-ph/0211445. doi: 10.1103/physreva.67.052506.
26. Vermaseren J. A. M. New features of FORM, 2000. 14 pp., arXiv: math-ph/0010025
27. The JLAB t20 collaboration (Abbott D., et al.) Phenomenology of the deuteron electromagnetic form factors // EPJ A, 2000. vol. 7, no. 3. pp. 421-427, arXiv: nucl-ex/0002003. doi:10.1007/PL00013629.
28. Faustov R. N., Martynenko A. P. Hadronic vacuum polarization contribution to the Lamb shift in muonic hydrogen // EPJ direct, 1999. vol. 1, no. 1. pp. 1-6, arXiv: hep-ph/9906315. doi: 10.1007/s1010599c0006.
29. Faustov R. N., Martynenko A. P., Martynenko G. A., Sorokin V. V. Radiative nonrecoil nuclear finite size corrections of order a(Za)5 to the hyperfine splitting of S-states in muonic hydrogen// Phys. Let. B, 2014. vol. 733. pp. 354-358, arXiv: 1402.5825 [hep-ph]. doi: 10. 1016/j.physletb.2014.04.056.
30. Мартыненко А. П. Эффект поляризуемости протона в лэмбовском сдвиге атома водорода// Ядерная физика, 2006. Т. 69, №8. С. 1344-1351.
31. Eides M. I. Weak-interaction contributions to hyperfine splitting and Lamb shift in light muonic atoms // Phys. Rev. A, 2012. vol. 85, no. 3, 034503, arXiv: 1201.2979 [physics.atom-ph]. doi: 10.1103/physreva.85.034503.
Поступила в редакцию 17/XII/2014; в окончательном варианте — 20/III/2015; принята в печать — 08/IV/2015.
485
Мартыненко А. П., Мартыненко Г. А., Сорокин В. В., Фаустов Р. Н.
Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 3, pp.474—488
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1381
MSC: 74E35, 74K20
HYPERFINE STRUCTURE OF S-STATES OF MUONIC DEUTERIUM*
A. P. Martynenko1,2, G. A. Martynenko1,
V. V. Sorokin1, R. N. Faustov R. N.
1 Samara State University,
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation.
2 Samara State Aerospace University,
34, Moskovskoye sh., Samara, 443086, Russian Federation.
3 Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences,
40, Vavilova str., Moscow, 119333, Russian Federation.
Abstract
On the basis of quasipotential method in quantum electrodynamics we calculate corrections of order a5 and a6 to hyperfine structure of S-wave energy levels of muonic deuterium. Relativistic corrections, effects of vacuum polarization in first, second and third orders of perturbation theory, nuclear structure and recoil corrections are taken into account. The obtained numerical values of hyperfine splitting AEhfs(lS) = 50.2814 meV (IS state) and ДЕhfs(2S) = 6.2804 meV (2S state) represent reliable estimate for a comparison with forthcoming experimental data of CREMA collaboration. The hyperfine structure interval Д12 = 8ДEhfs(2S) — ДEhfs (1S) =
= —0.0379 meV can be used for precision check of quantum electrodynamics prediction for muonic deuterium.
Keywords: quantum electrodynamics, hyperfine splitting, quasipotential method. doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1381
© 2015 Samara State Technical University.
Please cite this article in press as:
Martynenko A. P., Martynenko G. A., Sorokin V. V., Faustov R. N. Hyperfine structure of S-states of muonic deuterium, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 3, pp. 474-488. doi: 10.14498/vsgtu1381. (In Russian)
Authors Details:
Alexei P. Martynenko (Dr. Phys. & Math. Sci.; a.p.martynenko@samsu.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics1; Professor, Dept. of Physics2. Gregory A. Martynenko, Student, Dept. of General and Theoretical Physics.
Vyacheslav V. Sorokin (wws63rus@yandex.ru), Student, Dept. of General and Theoretical Physics.
Rudolf N. Faustov (Dr. Phys. & Math. Sci.; faustov@theory.sinp.msu.ru), Head of Sector, Federal Research Center “Computer Science and Control”.
*This paper is an extended version of the paper [1], presented at the Mathematical Physics and Its Applications 2014 Conference.
486
Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия
Acknowledgments. This work has been supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 14-02-00173-a) and by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation in the framework of the implementation of the Program of increasing the competitiveness of SSAU among the world’s leading scientific and educational centers over the period from 2013 till 2020.
ORCIDs
Alexei P. Martynenko: http://orcid.org/0000-0003-3323-2177 Gregory A. Martynenko: http://orcid.org/0000-0002-5962-2395 Vyacheslav V. Sorokin: http://orcid.org/0000-0002-1933-8234 Rudolf N. Faustov: http://orcid.org/0000-0002-7859-5732
REFERENCES
1. Martynenko A. P., Martynenko G. A., Sorokin V. V., Faustov R. N. Hyperfine structure of S-states of muonic deuterium, The fnd International Conference “Mathematical Physics and its Applications”, Book of Abstracts and Conference Materials; eds. I. V. Volovich; V. P. Radchenko. Samara, Samara State Technical Univ., 2014, pp. 238-239 (In Russian).
2. Pohl R., Antognini A., Nez F. et al. The size of the proton, Nature, 2010, vol. 466, no. 7303, pp. 213-216. doi: 10.1038/nature09250.
3. Antognini A., Kottmann F., Biraben F., et al. Theory of the 2S-2P Lamb shift and 2S hyperfine splitting in muonic hydrogen, Annals of Physics, 2013, vol. 331, pp. 127-145, arXiv: 1208.2637 [physics.atom-ph]. doi: 10.1016/j.aop.2012.12.003.
4. Borie E. Lamb shift in light muonic atoms — Revisited, Annals of Physics, 2012, vol. 327, no. 3, pp. 733-763, arXiv: 1103.1772 [physics.atom-ph]. doi: 10.1016/j.aop.2011.11.017.
5. Pachucki K. a(Za)2EF correction to hyperfine splitting in hydrogenic atoms, Phys. Rev. A,
1996, vol. 54, no. 3, pp. 1994-2016. doi: 10.1103/physreva.54.1994.
6. Khriplovich I. B., Milstein A. I. Corrections to deuterium hyperfine structure due to deuteron excitations, JETP, 2004, vol. 98, no. 2, pp. 181-185, arXiv: nucl-th/0304069. doi: 10.1134/1.1675885.
7. Friar J. L., Martorell J., Sprung D. W. L. Nuclear sizes and the isotope shift, Phys. Rev. A,
1997, vol. 56, no. 6, 4579, arXiv: nucl-th/9707016. doi: 10.1103/physreva.56.4579.
8. Korzinin E. Yu., Ivanov V. G., Karshenboim S. G. a2 (Za)4m contributions to the Lamb shift and the fine structure in light muonic atoms, Phys. Rev. D, 2013, vol. 88, no. 12, 125019, arXiv: 1311.5784 [physics.atom-ph]. doi: 10.1103/physrevd.88.125019.
9. Carlson C. E., Nazaryan V., Griffioen K. Proton-structure corrections to hyperfine splitting in muonic hydrogen, Phys. Rev. A, 2011, vol. 83, no. 4, 042509, arXiv: 1101.3239 [physics.atom-ph]. doi: 10.1103/physreva.83.042509.
10. Jentschura U. D. Lamb shift in muonic hydrogen—I. Verification and update of theoretical predictions, Annals of Physics, 2011, vol. 326, no. 2, pp. 500-515, arXiv: 1011.5275 [hep-ph]. doi: 10.1016/j.aop.2010.11.012.
11. Indelicato P. Nonperturbative evaluation of some QED contributions to the muonic hydrogen n = 2 Lamb shift and hyperfine structure, Phys. Rev. A, 2013, vol. 87, no. 2, 022501, arXiv: 1210.5828 [physics.atom-ph]. doi: 10.1103/physreva.87.022501.
12. Karshenboim S. G., Ivanov V. G., Korzinin E. Yu., Shelyuto V. A. Nonrelativistic contributions of order a6mMc2 to the Lamb shift in muonic hydrogen and deuterium, and in the muonic helium ion, Phys. Rev. A, 2010, vol. 81, no. 6, 060501. doi: 10.1103/physreva. 81.060501.
13. Martynenko A. P. Fine and hyperfine structure of P-wave levels in muonic hydrogen, Phys. Atom. Nuclei, 2008, vol. 71, no. 1, pp. 125-135, arXiv: hep-ph/0610226. doi: 10.1134/ s1063778808010146.
14. Krutov A. A., Martynenko A. P. Hyperfine structure of the ground state muonic 3He atom, EPJ. D, 2011, vol. 62, no. 2, pp. 163—175, arXiv: 1007.1419 [hep-ph]. doi: 10.1140/epjd/ e2011-10401-5.
487
Мартыненко А. П., Мартыненко Г. А., С о р окин В. В., Фаустов Р. Н.
15. Eides M. I., Grotch H., Shelyuto V. A. Theory of light hydrogenlike atoms, Phys. Rep., 2001, vol. 342, no. 2-3, pp. 63-261, arXiv:hep-ph/0002158. doi: 10.1016/S0370-1573(00) 00077-6.
16. Miller G. A., Thomas A. W., Carroll J. D., Rafelski J. Toward a resolution of the proton size puzzle, Phys. Rev. A, 2011, vol. 84, no. 2, 020101. doi: 10.1103/physreva.84.020101.
17. Mohr P. J., Taylor B. N., Newell D. B. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010, Rev. Mod. Phys., 2012, vol. 84, no. 4, pp. 1527-1605. doi: 10.1103/ revmodphys.84.1527; doi:10.6028/nist.sp.961e2005; doi:10.1063/1.4724320.
18. Martynenko A. P. 2S Hyperfine splitting of muonic hydrogen, Phys. Rev. A, 2005, vol. 71, no. 2, 022506, arXiv: hep-ph/0409107. doi: 10.1103/physreva.71.022506.
19. Berestetskiy V. B., Lifshits E. M., Pitaevskiy L. P. Quantum Electrodynamics. Oxford, Elsevier, 1982. xv+652 pp.. doi: 10.1016/B978-0-08-050346-2.50001-5.
20. Breit G. Possible Effects of Nuclear Spin on X-Ray Terms, Phys. Rev., 1930, vol. 35, no. 12, pp. 1447-1449. doi: 10.1103/physrev.35.1447.
21. Martynenko A. P. Hyperfine structure of the S levels of the muonic helium ion, JETP, 2008, vol. 106, no. 4, pp. 690-699, arXiv: 0710.3237 [hep-ph]. doi: 10.1134/S1063776108040079.
22. Hameka H. F. On the Use of Green Functions in Atomic and Molecular Calculations. I. The Green Function of the Hydrogen Atom, J. Chem. Phys., 1967, vol. 47, no. 8, pp. 2728-2735. doi: 10.1063/1.1712290.
23. Martynenko A. P. Lamb shift in the muonic helium ion, Phys. Rev. A, 2007, vol. 76, no. 1, 012505, arXiv: hep-ph/0612298. doi: 10.1103/physreva.76.012505.
24. Korzinin E. Yu., Ivanov V. G., Karshenboim S. G. Hyperfine splitting in muonic hydrogen: QED corrections of the a2 order, JETP Letters, 2008, vol. 88, no. 4, pp. 641-646. doi: 10. 1134/S0021364008220013 ; Erratum, JETP Letters, 2009, vol. 89, no. 4, pp. 216. doi: 10. 1134/S0021364009040110.
25. Faustov R. N., Martynenko A. P. Nuclear structure corrections in the energy spectra of electronic and muonic deuterium, Phys. Rev. A, 2003, vol. 67, no. 5, 052506, arXiv: hep-ph/0211445. doi: 10.1103/physreva.67.052506.
26. Vermaseren J. A. M. New features of FORM, 2000, 14 pp., arXiv: math-ph/0010025
27. The JLAB t20 collaboration (Abbott D., et al.) Phenomenology of the deuteron electromagnetic form factors, EPJ A, 2000, vol. 7, no. 3, pp. 421-427, arXiv: nucl-ex/0002003. doi:10.1007/PL00013629.
28. Faustov R. N., Martynenko A. P. Hadronic vacuum polarization contribution to the Lamb shift in muonic hydrogen, EPJ direct, 1999, vol. 1, no. 1, pp. 1-6, arXiv: hep-ph/9906315. doi: 10.1007/s1010599c0006.
29. Faustov R. N., Martynenko A. P., Martynenko G. A., Sorokin V. V. Radiative nonrecoil nuclear finite size corrections of order a(Za)5 to the hyperfine splitting of S-states in muonic hydrogen, Phys. Let. B, 2014, vol. 733, pp. 354-358, arXiv: 1402.5825 [hep-ph]. doi: 10. 1016/j.physletb.2014.04.056.
30. Martynenko A. P. Proton-polarizability effect in the Lamb shift for the hydrogen atom, Phys. Atom. Nuclei, 2006, vol. 69, no. 8, pp. 1309-1316, arXiv: hep-ph/0509236. doi: 10. 1134/s1063778806080072.
31. Eides M. I. Weak-interaction contributions to hyperfine splitting and Lamb shift in light muonic atoms, Phys. Rev. A, 2012, vol. 85, no. 3, 034503, arXiv: 1201.2979 [physics.atom-ph]. doi: 10.1103/physreva.85.034503.
Received 17/XII/2014;
received in revised form 20/III/2015;
accepted 08/IV/2015.
488
