CC BY
9
УДК 539.184
УРОВНИ ЭНЕРГИИ МЕЗОМОЛЕКУЛЯРНЫХ ИОНОВ ВОДОРОДА В ВАРИАЦИОННОМ ПОДХОДЕ
А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко, В. В. Сорокин, О. С. Сухорукова, А. В. Эскин
Выполнен расчет энергий основных и возбужденных состояний мюонных молекулярных ионов td¡j,dp¡j и tp^ на основе стохастического вариационного метода в квантовой электродинамике. Базисные волновые функции выбраны в гауссовой форме. Матричные элементы гамильтониана вычислены аналитически. Для численного расчета написан компьютерный код в системе MATLAB. Получены численные значения энергии основных и возбужденных состояний.
Ключевые слова: вариационный метод, мюонные молекулярные ионы водорода, квантовая электродинамика.
Начиная с 2000 г., значительно возрос интерес к прецизионной физике мюонов, мюонных атомов и молекул. Измерения аномального магнитного момента (АММ) мюона выявили расхождение теории и эксперимента и дали импульс новым теоретическим исследованиям [1]. В течение длительного времени готовилось измерение лэмбовского сдвига в мюонном водороде коллаборацией CREMA (Charge Radius Experiments with Muonic Atoms) [2], а полученный ими экспериментальный результат для частоты перехода (2Р^Г2 — 2S/j1) в мюонном водороде дал более точное значение зарядового радиуса протона rp = 0.84184(67) фм, которое оказалось меньше значения, рекомендованного CODATA, на 7а. Недавние исследования частот перехода (2S-4P), (1S-3S) в атоме электронного водорода дали различные значения зарядового радиуса протона [3-4]. Еще одна важная и интересная проблема в физике мюоных систем связана с мюонными молекулярными ионами водорода (td^,tp^,dp^ и др.), после образования которых происходит слияние их ядер за счет сильного взаимодействия (реакции
Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское шоссе, 34; e-mail: a.p.martynenko@samsu.ru, o.skhrkv@gmail.com.
мюонного катализа [5]). Для теоретического описания протекающих при этом физических процессов, связаных с мезоатомными, мезомолекулярными и ядерными явлениями, необходимо знать структуру уровней энергии мезоатомов и мезомолекул. В случае мезоатомов цр) расчет тонкой и сверхтонкой структуры (СТС) спектра выпол-
нен в последние годы с высокой точностью [6-9]. Использование вариационного метода для трехчастичных систем (мезомолекул) позволило достичь очень высокой точности решения уравнения Шредингера [10, 11] с базовыми членами гамильтониана системы. Однако прецизионное исследование уровней энергии требует учета различных поправок в гамильтониане взаимодействия в рамках квантовой электродинамики. В данной работе мы исследуем уровни энергии мезомолекул с различными частицами в рамках стохастического вариационного метода [12]. Цель работы состоит в расчете уровней энергии основных и возбужденных состояний, а также сверхтонкой структуры спектра с учетом релятивистских поправок и эффектов поляризации вакуума.
Пробная волновая функция мезомолекулы с ненулевым угловым моментом имеет вид суперпозиции базисных волновых функций гауссовского типа:
Ф^(х, А) = е-1/2ХАхвь(х)хям3, (1)
где х = (р, А) - координаты Якоби, А - матрица вариационных параметров 2 х 2, Хвм3 - спиновая волновая функция, 9^(х) - угловая часть волновой функции. В случае ¿"-состояний координатная часть волновой функции для трех различных частиц имеет вид
фоо(р, А) = е-1/2[А"Р2+А^2+2А12рА]. (2)
В случае Р-состояний (Ь =1) имеется три варианта представления волновой функции: ф1о(р, А) = е-1/21А11Р2+А22Л2+2А12рА](£р),фо1(р, А) = е-1/2[А"Р2+А22А2+2А12рА] (еА),
фп(р, А) = е-1/2[АиР2 +А22л2+2А12рА](£[р х А]), (3)
где использовано тензорное представление для угловой части волновой функции. Первые две волновые функции имеют четность (-1)^, а третья - (-1)ь+1. Мы исследуем далее оба случая. Базисная волновая функция Р-состояния определяется суммой функций из (3) в виде ф(р, А) = с1ф10(р, А) + с2ф01(р, А) для состояний с четностью (-1)ь и третьей функцией из (3) для состояний с четностью (-1)ь+1. Зная базисные волновые
функции, мы вычислили аналитически матричные элементы нормировки и гамильтониана. Так в нормировке волновых функций основного состояния имеем:
'I Л.\00
<Ф 1Ф>
8п3
^ В)3/2 :
(4)
где Вы = Агк1 + Л3к1. Для возбужденных состояний матричные элементы имеют вид:
<ф'|ф>10 = 11 dp ■ dЛ ■ е-1/2[В11р2+В22Л2+2В12(рЛ)](в*р)(вр) = (|П2В22/2,
<Ф'1Ф>0! = Т^^, <Ф'1Ф>П = ТГ12^, <Ф,|Ф>(0И10) = 6п2В
12
" (ёе;В)5/2' <Г|Г> (ёе;В)5/2' <г |Г> ^В)5/2'
В координатах Якоби оператор кинетической энергии имеет вид:
К2 К2 Т= -—Ар - Ад, 1
2^1 р 2^'
(Ш1 + Ж2)тз
где = -, = -. Действуя операторами Лапласа Ар и Ад на
т1 + т2 т1 + т2 + т3
волновые функции (3) и вычисляя соответствующие матричные элементы, получим:
<Ф1Т|ф>
00,10,01,11,(01|10)
6п2
^В )7/2
К2
К2
К /00,10,01,11, (01110) + 100,10,01,11,(01|10) 1
р ' д
1р00 = А22В11 - 2Л11Л12В12 + Л11 (В22 + (Л11 - Вц)В22),
/л = Л12 В22 — 2Л22Л12В12 + Л22 (В12 + (Л22 — В22)В11)
/р10 = 5Л11В22[В?2 + (Лц - Вц)Вц]
— 2Л12В12(В22 + 5Л11В22 - ВцВц) + Л^(2В22 + ЗВцВц),
:ю)
/10 = 5Л12 в22 + ЛцВиМоЛцВц + зВ22 - зВцВ^) + Л22(2В22 + зВцВ^), (11)
01
5Л12 в21 + ЛИВ11(-10Л12В12 + зВ22 - ЗВ22В11) + Л21(2В22 + ЗВ22В11), (12)
р
/Л1 = 5А22£и[£122 + (А22 — ^22)^11]-
-2А12^12(В22 + 5А22В11 — ВцВц) + А?2 (2В22 + ЗВиВц), (13)
/р1 = А^Вц — 2А11А12 Вц + Аи[В?2 + (Ац — ВИ)В22 ], (14)
/11 = А^Вц — 2А22А12 В12 + А22[В22 + (А22 — В22)В11 ], (15)
/Р01|10) = — Вц[—2А12В12(4А11 + В11) + 5А11В22 + 5А22В11] —
—В22(А11 — ВП)(5АПВ12 — 2А12В11), (16)
/(01|10) = 5А12В12В22 — А22 (2А12В11В22 + 8A12B?2 + 3В11В12В22 — 3В32 )+5А22 В11В12. (17)
Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия трех частиц равна
у= ^ + е1е3 + е2ез (18)
|р| + 1А + + 1А — тт12р1, ( )
где радиусы-векторы относительных расстояний выражены через координаты Якоби:
т2 т1
Г12 = Г1 — г2 =р, Г13 = Г1 — Гз =А +--р, Г23 = Г2 — Г3 =А--р, е1,б2,бз -заряды
Ш12 Ш12
частиц. После аналитического вычисления интегралов получим следующие выражения
для матричных элементов (18):
(ф'|1/ |ф>00,10,01,11,(01|10) = е1е2/020)10)01)11)(01|10) + е1вз/103°'10'01'11'(01|10) +
,-00,10,01,11,(01110) /1Г.ч
+е2ез/23 ( 1 ), (19)
,00 = 8у/2п5/2 = ^У/2п5/2 _ 10 = 4^/2п3/2^/B?2 (20)
= ^—1 , г), 113,23 = /--, = /1 , и\2 , (20)
уВ22 ае1 В р 13,23(в22^ 13,23 — (р 13,23)2) (аех В)2
, 10 = 2У2п3/2(3В22Р113,23 — (Р213,23)2) = 2У2п3/2(3ВиВ22 — В2^) (21
113,23 = , ^13,234 3/2 г п 7713,23 / 7713,23\212 ,/12 = — — - — , (21
(р13,23 )3/2 [В22р113,23 — (р213,23)2]^ 12 (Вц)3/2^ В )2
= 2у/2п3/2
/13,23 [В22^13,23 - (Р213,23)2]2 Х
х , 2 ,р 13,23 + (ЗВцР!3,23 - (Р^,23)2) «Л2 ± 4^213,23
* У 1 (^13,23 )3/2 Ш22 у^^З23 Ш12
/11 = 8л/2п3/2 /11 =_8л/2п3/2_
12 /ЭД^^2 , 13,23 у^13,23[В22Р113,23 - (^213,23)2]2 1
г(01|ю) _ _ 4^2п3/2В12 ^Вц(ае; В)2'
/(01|10) =---у- -12 , (22)
/ (01|10) = 2^2п3/2
13,23 [В22^13,23 - (Р213,23)2]2
х< 2-^1 т т2323 >, (23)
4 ^ Ш12 (к13,23)3/2 ' к ;
( 13,23)2 13,23 13,23
к13,23 = В11 + В22 (Ш2,12 ) Т 2В12, к13,23 = В12 Т В22. (24)
т22 тц тц
Для увеличения точности расчетов уровней энергии мы включили в гамильтониан
системы следующие поправки [6-9]:
2 3 4 2 3
А"=-^ет-т е «<*(Ш+л)^)-
8 ' т3 2 ', 7 V т,2 т2 '
г=1 ' ¿,7=1;г=7 4 ' 7
а2 ^ р4 па2 ^ /1 1
7Т У -"-"-+
2 ' , т,т7г, -
.... ,7
г,7=1;г=7
3 /-
+ ^ Е ^ / ^ + 1) . (25)
г,7=1;г=7 7 1
Представим здесь матричные элементы А" с дельта-функциями, которые дают также СТС спектра энергии:
<Ф, 1^(Г12)1Ф-> = ■^72, <Ф, 1^(П3)1Ф7> = 7-^--3/2, (26)
^ ' ' ~ ~ ~ ТО2 + В | т2
В11 — 2В-Ц --+ В2 2 I
11 12 То12 22 ( И12
<Ф^(Г23)1Ф- > = --^--3/2 . (27)
, ч 2\ I
Бц + 2Б^ + ^
(2п)3/2_
( V
11 + 2B12 — + ^
В рамках стохастического вариационного метода [12] написан компьютерный код для решения уравнения Шредингера в системе MATLAB. В этом подходе матрица вариационных параметров генерируется случайным образом. Для вариационных параметров использована процедура стохастической оптимизации. В компьютерную программу введены матричные элементы нормировки волновой функции и гамильтониана для основного и возбужденных состояний. Изменена функция генерации случайных чисел по сравнению с [12]. В результате численного расчета получены значения энергии основного и возбужденного состояний мезомолекул в мюонных атомных единицах. В случае мезомолекулы (td^) результаты имеют вид: EÄ0,0) = -0.538594971, £^(0,1) = -0.488056287, £^(1,0) = -0.523191450, £^(1,1) = -0.481772186, EtoT((—1)L+1)) = -0.123867812. Индекс "tot" означает учёт всех поправок. Полученные результаты хорошо согласуются с предыдущими вычислениями в [10, 11]. Некоторое различие в результатах для состояний (0,1) и (1,1) связано с меньшим размером базиса, который мы используем, а также с выбором оптимальных областей для генерации случайных параметров. Расчет дельта-членов потенциала дал оценку сверхтонких расщеплений уровней энергии. В случае молекулы (tp^) имеем: Av(1) = 1.31 • 107 МГц, Av(2) = 3.32 • 107 МГц.
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (грант 18-12-00128).
ЛИТЕРАТУРА
[1] F. Jegerlehner and A. Nyffeler, Phys. Rep. 477, 1 (2009).
[2] R. Pohl, A. Antognini, F. Nez, et al., Nature 466, 213 (2010).
[3] A. Beyer et al., Science 358, 79 (2017).
[4] H. Fleurbaey, S. Galtier, S. Thomas, et al., Phys. Rev. Lett. 120, 183001 (2018).
[5] С. С. Герштейн, Ю. В. Петров, Л. И. Пономарев, УФН 160(8), 3 (1990).
[6] A. E. Dorokhov, N. I. Kochelev, A. P. Martynenko, et al., Eur. Phys. J. A 54, 131 (2018).
[7] R. N. Faustov et al., Phys. Rev. A 92(5), 052512 (2015).
[8] А. П. Мартыненко, Ф. А. Мартыненко, Р. Н. Фаустов, ЖЭТФ 151(6), 1052 (2017).
[9] R. N. Faustov et al., Phys. Rev. A 90(1), 012520 (2014).
[10] A. M. Frolov and D. M. Wardlaw, Eur. Phys. J. D 63, 339 (2011).
[11] V. I. Korobov, I. V. Puzynin and S. I. Vinitsky, Phys. Lett. B 196, 272 (1987).
[12] K. Varga and Y. Suzuki, Comp. Phys. Comm. 106, 157 (1997).
Поступила в редакцию 29 декабря 2018 г. После доработки 3 апреля 2019 г. Принята к публикации 4 апреля 2019 г.
Публикуется по результатам XVI Всероссийского молодежного Самарского конкурса-конференции по оптике и лазерной физике (Самара).
