CC BY
15
В.Ф. Борулько: ПОПЕРЕЧНО-ЕЛЕКТРИЧН1 ХВИЛ1 У ДВОВИМ1РНОМУ БРЕПВСЬКОМУ РЕЗОНАТОР1 3 НЕПЕРЮДИЧНИМ РАД1АЛЬНИМ ЗБУРЕННЯМ Д1ЕЛЕКТРИЧНО1 ПРОНИКНОСТ1
Рассмотрена возможность применения линейных подходов для аппроксимации спектральных данных однополюсной функцией и использование дробно-рациональной интерполяции спектральных данных с целью ускорения процедуры определения параметров аддитивной экспоненциальной модели. Проанализированы точностные характеристики предложенных методов и проведено их сравнение с аналогичными характеристиками других методов данного класса.
An opportunity of use of the linear approaches for approximation of the spectral data by unipolar function and use of rational in-terpolation of the spectral data with the purpose of acceleration of a procedure of parameter determination of the additive exponential model has been considered. The properties of these methods and their comparison with analogous properties of other methods of the given class are presented.
УДК 537.86
В.Ф. Борулько
П0ПЕРЕЧН0-ЕЛЕКТРИЧН1 ХВИЛ1 У ДВ0ВИМ1РН0МУ БРЕПВСЬКОМУ PE30HAT0PI 3 НЕПЕРЮДИЧНИМ РАД1АЛЬНИМ ЗБУРЕННЯМ
Д1ЕЛЕКТРИЧН01 ПР0НИКН0СТ1
Розглянуто 6peiiecbKe вiдбummя поперечно-електричних хвиль, що поширюються в ceрeдовuщi з малою рaдiaльною квaзiпeрiодuчною нeоднорiднicmю дieлeкmрuчно'i проникно-cmi. 3 використанням комплeкcно'i форми мemоду Крилова-Боголюбова-Митропольского оmрuмaнi вирази коeфiцieнmiв зв'язку хвиль, що потирют^я. Доcлiджeнi рeзонaнcнi влacmuвоcmi для рiзнuх кутових номeрiв.
ВСТУП
Увага до брепвських структур обумовлена багатством радюф1зичних ефекпв, що можуть спостер1гатися в них [1]: вщбиття хвиль, перетворення мод, зв'язок повер-хневих i просторових хвиль. Додаткова розматсть ефе-кив може бути реалiзована, якщо збурення параметрiв стае неперюдичним [2]. Останшм часом привертають увагу в^есиметричш хвилевщш структури з перюдич-ним збуренням параметрiв уздовж радiальноi' координа-ти [3-6]. Найбшьш популярш методи, звичайно викори-стовуваш для дослiдження брепвсько!' взаемодп - це метод, заснований на розкладанш Флоке [1], i набли-ження зв'язаних хвиль [1]. У пропонованш робот роз-глядаеться двовимiрна хвилевщна структура, неперю-дично неоднорiдна по радiальнiй координатi р . У цьому випадку метод Флоке [1] не придатний через непе-рюдичшсть структури, а традицшний метод зв'язаних хвиль [1] не придатний бшя радiусiв вiдсiчення (радiусiв повороту).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1 ТА АСИМПТОТИЧНИЙ МЕТОД II РОЗВ'ЯЗАННЯ
Розглянемо неоднорщне середовище, в якому дiеле-ктрична проникшсть представлена у виглядi суми си-нусо'дальних просторово осцилюючих гармонiк збурення. Амплиуда Ej i хвильове число Xj кожно! гармонiки
плавно змшюеться уздовж радiальноl координати р
е = es + ^^ 6j ()exp [ (р)] , (1)
j
де Yj(р) = |Xj(Рр)dp - подовжня фаза гармошки
збурення. Припускаемо, що малшть амплиуд збурення i плавностi змiни параметрiв визначаеться тим самим малим параметром в [7]. Одночасно з радiальною координатою р ми введемо "плавну" змшну Z = вр ^
У данш статтi розглядаються хвилi з компонентами
E , Hр , Нф , у випадку коли — = 0 . Функщя E z РФ dz z
повинна задовольняти рiвнянню
[ А + k2 (р) ]Ez = 0
(2)
3 урахуванням симетрi'i структури ми введемо потенцшну функцiю П(р) спiввiдношенням
Ez = р-12П(р)exp(/'wф) . Для П(р) одержуемо рiвняння
d 2П dp 2
+ [ ко2 е(Р) — ^^^^ ]П
= о
(3)
р
При в = 0 розв'язок незбурено!' крайово!' задачi одержуемо у виглядi суми розбiжних i збiжних цилiндричних хвиль
П(р) = a^ Hn?(ks р)+ а2р^ H4(ks р) =
= aj ехр['0(р)] + а2 exp [— iQ* (р)],
(4)
де Hn (р) - функцП Ханкеля, 0р) - комплексна просто-рова фаза, i ks = k0^E7 " хвильове число незбуреного середовища.
На вщмшу вщ традицшно! брепвсько! структури [1,2], у розглянутш задач1 незбурене рад1альне хвильове число h не е константою i визначаеться за допомогою функцш Бесселя в такий споаб:
h(t/ks ) = iksj-t { H®(t )]}=
= kit 1 d lnK21)]+ 2/ [ (()]
(5)
= ks {/(2t) +1 J (J (() + Yn/tt)Yn (t)]/M2 (() + 2[ntM2 (t)]}
де t - допомiжна безрозмiрна змiнна. Для хвиль, що сходяться, дшсш частини h мають протилежний знак. Для обчислення h(p) досить мати тдпрограми для функцiй Бесселя першого i другого роду. Для яюсного аналiзу бажано знати поведшку h(p) при великих i ма-лих значеннях р . Для одержання вщповщних наближе-них формул скористаемося вiдомими асимптотичними
зображеннями для MП (t) [8]. При великих значеннях р справедливi наступи асимптотичнi вирази:
хвилi, що сходиться. Функцп exp (г9) i exp(-i9 *) строго задовольняють незбуреному рiвнянню i визнача-ються формулою (4).
Пiдставляючи розкладання (6) у рiвняннi (3) з обль ком (1) i (4) i дорiвнюючи доданки з однаковими ступенями параметра в , одержуемо послщовшсть дифе-
ренцiальних рiвнянь для функцш uq .
q
У першому наближеннi по в маемо наступне неоднорщне диференцiальне рiвняння для функцп Ui :
d u1 dp 2
^2 n2 - 1/4
щ +
+ \а1 exp(- t9) + а2 exp(t9* )]Уд е jk0 exp(t'Y j) = 0. (7)
Виходячи з виду збурення, розв'язок для функци Ui будемо шукати у формi
Щ = X j exp\(^ 9 + Yj )] + C2j exp[t(9* + Yj)] . (8)
tM2 ((1 + 4
2 I 1 (4n2 -1) 3 (4n2 - l)n2 - 9
2
'2 + 8
(2t )2
+...,
Re[ h(t/ks )/ks ]« 1 -
4n2 -1 (4n2 - l)n2 - 25
8t2
128t4
Im\ h((/ks)/ks ]=-4П--1\1 -~2 8t3 V t
При малiй величинi p отриманi наступнi наближенi формули:
((
-1)!
2 / \ l-2n
M (t )
Re\h((/ks ))ks ] n22-2n \(n - 1)l]-212n-1, Im \h((/ks )/ks ]] 1 - n^jt.
При фiксованiй величинi малого параметра в е таке значення радiальноl координати р0 = Рд(в> п) , Що для
р > Ро величини h i k2s - (n2 - 1/4)/р2 можна вважати плавно мiнливими уздовж р .
Розв'язок рiвняння (3) розшукуеться у виглядi асим-птотичного ряду по ступенях параметра в
П(р) = а1 exp(t9) + а2 exp(- t9*) +
+ вщ (а, 9, y, ?) + в2"2(а, 9, Y, q) + ... (6)
де Uq (q = 1, 2,...) е шуканими функцiями, a 1 - ампль туда розбiжноl цилшдрично! хвилi, i a2 - амплiтуда
Пiдставляючи (8) у (7), знаходимо значення коефщенпв Cy i C2j
Q; = ko2ej/[;(; -2h) C2; = k2е\xj(Xj + 2h*)].(9)
1снують такi значення ко, р, i, p, для яких
величини Xp - 2h i Х-p + 2h стають малими й отри-маний розв'язок виявляеться непридатним, тобто перше наближення не е малим в порiвняннi з нульовим набли-женням. Це зв'язано з тим, що хвильовi числа деяких просторових гармошк збурення рiвняння (7) близью до хвильових чисел гармошк нульового наближення [1].
Брепвська взаeмодiя хвиль вщбуваеться, коли рiзниця хвильових чисел хвиль, що поширюються, близька до хвильового числа одше! з просторових гар-
монiк збурення ( П = 2 Re(h)
- X p - розстройка хвильового числа). Розв'язок, придатний поблизу просторового параметричного резонансу вщшукуеться за допомогою комплексно! форми [2] асимптотичного методу Крилова, Боголюбова i Митропольського (КБМ) [7]. Передба-чаеться що, комплекснi амплиуди a1 i a2 цилшдрич-них хвиль е функцiями р i задовольняють наступним рiвнянням [2]:
dam dp
• = вB[m)(а,q,а) + в2B2m)(a,q,а) + ..., (m = 12) , (10)
де а = -9 - 9* - Yp = -2 Re(9) - Yp - фазовi розстрой-
ки вiд резонансу, ?(m)
Bq (q = 1, 2,...) - функцп, що тдбираються з умови ут
р ^ ~ i П ^ 0
вщсутносп нескiнченно зростаючих членiв у u при
q
+
В.Ф. Борулько: ПOПEPEЧHO-EЛEKTPИЧHI XBИЛI У ДBOBИMIPHOMУ БPEГIBCЬKOMУ PEЗOHATOPI З HEПEPIOДИЧHИM PAДIAЛЬHИM ЗБУPEHHЯM ДIEЛEKTPИЧHOÏ ПPOHИKHOCTI
Пiдcтaвляючи poзклaдaння (б) y piвняння (3) з вpaxyвaнням (1О), i зpiвнюючи члeни з oднaкoвим го-pядкoм мaлocтi, oдepжyeмo пocлiдoвнicть piвнянь для
ич . У кoжнiм пopядкy мaлocтi ми шyкaeмo poзв'язoк ч
пpи "зaмopoжeниx" am i Z . Boни пoвиннi 6ути пpидaтнi як для мaлиx вeличин n , тaк i нe мaлиx. У пepшoмy нaближeннi пo ß мaeмo нacтyпнe нeoднopiднe дифepe-нцiaльнe piвняння для Uj :
Baжливoю ocoбливicтю oтpимaнoгo poзв'язкy e тe, щo
•+[[ -(n2 - i/4)2 ]ui
dai = ßa2G1 exp(ia) dt = ßaiG2 exp(- ia),
da
dp
dp
(l2)
дe
G = - /кое-pi(2h - n) = - /кое-p/[хp + 2i Im(h)]
j * p
J p
вeличини
mJ е J i Gm
d2u1 dp 2
+ ex p(i0) (- 2йв( +цЪв()1Ъа) + + exp(- W *) (ш* b(+ ??Эв(/Эа) +
+ [a1 exp(i0) + a2 exp(- W* )] ] к^еj exp(/(j ) = о. (ll)
J
Пpи n = О функцп B ( m) знaxoдятьcя з yмoви вщ-ч
cyтнocтi y фyнкцiяx Uq peзoнaнcниx члeнiв, пpoпop-цiйниx exp (г9 ) i exp(-¿9 *). Пpи нeмaлиx знaчeнняx n
вeличини ВЧ,m) визнaчaютьcя нeoднoзнaчнo. У дaнiй po-4
бoтi для ycyнeння нeoднoзнaчнocтi визнaчeння фyнкцiй
ВЧm) дoдaткoвo вимaгaeмo вiдcyтнocтi "пoтeнцiйнo" 4
peзoнaнcниx дoдaнкiв, пpoпopцiйниx exp (г 9 +i a ) i exp(-¿ 9 *-i a ).
^и вивoдi piвняння (11) пepeдбачаeтьcя, щo dh / d p вiднeceнo дo нyльoвoгo нaближeння, нeзвaжa-ючи нa тe, щo h ввaжaeтьcя плaвнo мiнливим. Öe зв'я-зaнo з тим, щo як нyльoвe нaближeння викopиcтoвy-ютьcя те eкcпoнeнти, a фyнкцiï Бecceля, пpeдcтaвлeнi в eкcпoнeнтoпoдiбнoмy виглядi.
Пpиймaючи дo yвaги, щo - 9* - a = 9 + уp ,
9 + a = -9* - уp = -9 + у-p знаxoдимo B{m) . У rnp-
шoмy нaближeннi пo ß oтpимaнo cиcтeмy лiнiйниx дифepeнцiaльниx piвнянь для кoмплeкcниx aмплiтyд al i a2 . Ця cиcтeма oпиcye зв'язoк poзбiжниx i збiжниx цилiндpичниx xвиль з iдeнтичнoю кyтoвoю зaлeжнicтю
G2 = /коеp¡(2h* - n) = /коеp/[p - 2/ Im(h)]
Poзв'язoк для Uj нe мicтить peзoнaнcниx дoдaнкiв i мae фopмy
u1 = x c1 j exp(i9 + 'у j )+ s c 2 j exp(- i9* + У j), (13)
m¡bp\ пpoпopцiйHi пepшoмy студню p пpи мaлиx знaчeнняx p . Цe пiдбaдьopюючий фaкт iз пoглядy пpидaтнocтi oтpимaнoгo acимптoтичнoгo poзв'язкy нe тiльки пpи вeликиx знaчeнняx p , aлe тaкoж cepeднix i нaвiть мaлиx p .
PE3OHAHCH1 BЛACTИBOCTt PAÂtAËbHO
НEOДНOPtДНИX CTPÓKTÓP
Cиcтeмa y фopмi (12) пpи пocтiйниx вeличинax Gm i n мae aнaлiтичний poзв'язoк y виглядi cyми пoкaзoвиx фyнкцiй [2]. ^й poзв'язoк e ocнoвoю для мeтoдy чи-ceльнoгo iнтeгpyвaння (12) пpи плaвнiй змiнi Gm i n.
Для чacткoвoгo випaдкy кушчш пocтiйнoï вeличини дь eлeктpичнoï пpoникнocтi acимптoтичний poзв'язoк пopiв-нювaвcя зi cтpoгим, oтpимaним мeтoдoм мaтpиць пepeдa-чi. Ha pиc. 1 нaвeдeнi peзyльтaти для двox знaчeнь ce-peдньoï aмплiтyди збypeння (a- е^ =О,15, б-е^ =О,О5; 1, 2 - acимптoтичний poзв'язoк; 3, 4 - г^гий poзв'язoк; 1, 3-n = О; 2, 4-и = 16). Bвaжaeмo, aмплiтyдa збypeння нe е пocтiйнoю в paдiaльнoмy нaпpямкy, a змiнюeтьcя зa зaкoнoм "кocинyc у квaдpaтi". Ha pиc. 2 пoкaзaнo як змiнюютьcя peзoнaнcнe бpeгiвcькe вiдбиття пpи збiльшeннi кyтoвoгo нoмepa пaдaючoï цилiндpичнoï xвилi пpи збiльшeннi кyтoвoгo нoмepa вiд n = О дo n = 16. Явищe зpocтaння aмплiтyди eлeктpoмaгнiтниx xвиль в cepeдинi бpeгiвcькoгo peзoнaтopa пpoiлюcтpoвaнo нa p^. 3 (пpи Рo = 3п /2 i piзниx кyтoвиx нoмepax) тa нa pиc. 4 (пpи n = О i piзниx пoчaткoвиx paдiycax).
BИCНOBКИ
Acимптoтичний мeтoд дoзвoляe oтpимaти peзyльтaти близью дo тoчниx пpи мaлиx aмплiтyдax збypeння зaвдяки викopиcтaнню в нyльoвoмy нaближeннi фyнкцiй Бecceля зaмicть eкcпoнeнцiaльниx. Bикopиcтaння aпoди-зoвaнoгo нeпepioдичнoгo збypeння знaчнo знижуе piвeнь бiчниx пeлюcтoк чacтoтнoï зaлeжнocтi бpeгiвcькoгo вiдбиття. ^и зpocтaннi кyтoвoгo нoмepa пaдaючиx цилiндpичниx xвиль cмyгa бpeгiвcькoгo вiдбиття для пoпepeчнo-eлeктpичниx xвиль зcyвaeтьcя в бж бiльш виcoкиx чacтoт. Peзoнaнcнi влacтивocтi paдiaльнo збype-нoгo бpeгiвcькoгo peзoнaтopa cyттeвo зaлeжaть нe тiльки вщ пoчaткoвoгo paдiyca збypeння, aлe й вщ кyтoвoгo нoмepa. Для xвиль з oднaкoвoю пapнicтю дoбpoтнocтi тa peзoнaнcнi чacтoти вiдpiзняютьcя нe cильнo, a пpи змiнi кyтoвoгo нoмepa нa oдиницю peзoнaнcнi влacтивocтi змiнюютьcя мaйжe нa пpoтилeжнi.
Poзглянyтi paдioфiзичнi eфeкти мoжyть бути кopиcнi пpи пpoeктyвaннi вiдбивaючиx, peзoнaтopниx тa reœpa-тopниx eлeмeнтiв cyбмiлiмeтpoвиx тa мiлiмeтpoвиx дiaпaзoнiв xвиль.
дe Cmj (m = 1,2) мae тoй œe вигляд, щo й у виpaзi (9).
0.4 0.5 0.6 0.7 к/7 0.45 0.5 0.55 к/7
а) б)
Рисунок 1 - Частотт залежностг коефщ[енту вгдбиття вгд неперюдичног брег1вськог структуры для
азимутальных номерiв п = 0 та п = 16
0.4 0.5 0.6 0.7 к/х.
Рисунок 2 - Частотна залежтсть коефгщенту вгдбиття вiд неперюдичног брегiвськоi структуры для
азимутальных номергв п = 0, 4, 8, 12, 16
В.Ф. Борулько: ПОПЕРЕЧНО-ЕЛЕКТРИЧН1 ХВИЛ1 У ДВОВИМ1РНОМУ БРЕПВСЬКОМУ РЕЗОНАТОР1 3 НЕПЕРЮДИЧНИМ РАД1АЛЬНИМ ЗБУРЕННЯМ Д1ЕЛЕКТРИЧНО1 ПРОНИКНОСТ1
Рисунок 3 - Частотна залежтсть коефщ[енту nepedaui в центр1 неперюдичног 6рег1вськог структури для
азимутальних номeрiв n = 0, 1, 2, 3
Рисунок 4 - Частотна залежтсть коеф^енту neрeдaчi в цeнтрi неперюдичног 6рeгiвськоi структури
для рiзних початкових рaдiусiв р0 = 0, п /2, п, 3П /2
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
1. Элаши Ш. Волны в активных и пассивных периодических структурах: Обзор // ТИИЭР. - 1976. - Т. 64, № 12. - с. 22
- 59.
2. BorulkoV.F. Polarization and mode conversions in nonperi-odically corrugated waveguides with a gyrotropic filling // Proc. of the 1995 URSI International Symposium on electro-
magnetic Theory, St. Petersburg, Russia, May 23-26. -1995, - p. 729-731.
3. Барташевский Е.Л., Борулько В.Ф., Иванилов B.E., Тимофеев C.B. Исследование генераторно-излучающих модулей на зеркальном диэлектрическом волноводе с брэгговским резонатором // Радиотехника. - 1992. - № 5-6. - c.81-85.
4. Kawanishi T. and Izutsu M. Coaxial periodic optical waveguide // Opt. Express. - 2000. - V. 7, N. 1. - p. 10-22.
5. I. M. Bassett and A. Argyros, Elimination of polarization degeneracy in round waveguides // Opt. Express. - 2002. -V. 10, N. 23. - p. 1342-1346.
6. G. Ouyang, Y. Xu, and A. Yariv Theoretical study on dispersion compensation in air-core Bragg fibers // Opt. Express. - 2002. - V. 10, N. 17. - p. 899-908.
7. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 452 c.
8. М. Абрамовиц и И. Стиган "Справочник по Специальным Функциям". М.: Наука, 1979.-830 с.
Надшшла 06.11.2003
Рассмотрено брэгговсое отражение поперечно-электрических волн, распространяющихся в среде с малой радиальной квазипериодической неоднородностью диэлектрической
проницаемости. С использованием комплексной формы метода Крылова-Боголюбова-Митрополъского получены выражения коэффициентов связи распространяющихся волн. Исследованы резонансные свойства для различных угловых индексов.
Bragg reflection of transverse electric wave propagating in medium with small two-dimensional quasi-periodic inhomoge-neity of permittivity is theoretically considered. Using complex form of the asymptotic method of Krylov, Bogoliubov and Mitropolsky, expressions for coupling coefficients of propagating waves are derived. Resonance properties for different angular numbers are investigated.
УДК 621. 372
0.0. Дробахин, E.B. Кондратьев, В.Г. Короткая, Л.А. Филинский
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОТРАЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН СВЧ-ДИАПАЗОНА (8 - 12 ГГЦ) ОТ ПЕННЫХ СТРУКТУР НА ОСНОВЕ ВОДНЫХ РАСТВОРОВ
Представлены экспериментальные результаты измерения отражения и поглощения электромагнитных волн СВЧ диапазона (8 - 12 ГГц) от размещенных в свободном пространстве образцов пены на основе водных растворов в зависимости от толщины (пределы изменения от 110 до 2 мм) и времени существования пены.
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время фрактальные структуры привлекают значительное внимание исследователей. Одним из примеров фрактальных структур естественного происхождения являются пенные образования, например, губчатые образования [1]. Грубой математической моделью таких образований может служить "дырявый" куб с хаусдорфовой размерностью, принимающей значение в диапазоне от двух до трех. Многие биологические ткани являются по своей природе губчатыми. Использование электромагнитных волн в связи, телевидении, промышленности, медицине приводит к постоянному взаимодействию биологических объектов с электромагнитными волнами, поэтому исследование такого взаимодействия является важным.
Проведение натурных экспериментов представляет собой известную трудность, более очевидным является проведение исследований на моделях. Пенные структуры на основе водных растворов могут быть легко образованы, при этом существует возможность варьировать их параметры в широких пределах. Трудность экспериментального исследования заключается в динамическом характере объекта и малом времени его существования. Исследования отражающих и поглощающих свойств указанных структур на СВЧ носят фундаментальный характер . При этом вследствие динамического поведения
исследуемых образцов применение традиционных волно-водно-резонаторных методов измерений на СВЧ [2] будет приводить к получению некорректных результатов. Для пенных образований принципиальным является проведение измерений в свободном пространстве.
Цель данной статьи - продемонстрировать аппаратурные возможности экспериментального исследования структур указанного класса на основе широкополосных многочастотных рефлектометров реального времени [3] и получить корректные результаты об отражающих и поглощающих свойствах пенных образований.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
УСТАНОВКИ
Для измерений был использован измерительно-вычислительный комплекс для измерения коэффициента отражения (КО) на многих частотах [3] на базе стандартного измерителя коэффициента стоячей волны (КСВ) Р2-61 (рис.1). Измерения были проведены в полосе частот от 8 до 12 ГГц. В измерительную установку входят: генератор качающейся частоты (ГКЧ) типа Р2-61, выход которого через СВЧ коаксиальный кабель и коаксиально-волноводный переход соединен со входом рефлектометра, который состоит из двух направленных волноводных детекторов, включенных для измерения "на отражение", индикатор Я2Р-67, ПЭВМ с интерфейсным блоком, цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП) и аналого-цифровым преобразователем (АЦП) для управления и ввода в ПЭВМ результатов измерений. Особенностью использования указанного индикатора является осуществление синхронного детектирования, что позволяет существенно повысить отно-
