CC BY
14
УДК 533.95
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ В ПРОЦЕССЕ ЭВОЛЮЦИИ ВОЛНЫ, НАГРУЖЕННОЙ ЗАХВАЧЕННЫМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
© 2008 г А.И. Матвеев
Таганрогский технологический институт Technological institute of Southern Federal University
Южного федерального университета 347928, Taganrog, GSP-17A, Nekrasovskiy, 44
347928, г.Таганрог, ГСП-17А, Некрасовский, 44 [email protected]
Проведен анализ эволюции ленгмюровской волны, нагруженной захваченными электронами, в слабонеоднородной плазме с положительным градиентом концентрации. Вычислен вклад поляризационных потерь, возникающий в процессе затухания волны.
Ключевые слова: плазма, волна.
The analysis of the Lengmuir wave evolution, loaded with trapped electrons in weak nonhomogeneous plasma with positive concentration gradient is made. Calculate deposit polarizations losses beginnings in process evolution waves.
Keywords: plasma, wave.
В работе [1] рассмотрено затухания ленгмюровской волны, нагруженной захваченными электронами, в слабонеоднородной плазме с положительным градиентом концентрации. На основе закона сохранения средней плотности потока энергии установлена зависимость амплитуды от фазовой скорости волны. Показано, что существует максимальное значение фазо-
вой скорости, при которой волна полностью затухает. В [2] с помощью антисимметричной составляющей тензора диэлектрической проницаемости в слабонеоднородной бесстолкновительной плазме учтена убыль плотности потока энергии волны. В качестве примера рассмотрена задача об эволюции волны в плазме с продольным электростатическим полем.
Убыль средней плотности потока энергии волны объясняется тормозным излучением, возникающим из-за ускорения электронов электростатическим полем. В нерелятивистском случае уменьшение средней плотности потока энергии может быть заметным из-за столкновения электронов, захваченных в потенциальные ямы волны, с ионами плазмы, т.е. когда плазму нельзя считать бесстолкновительной.
В данной статье рассмотрена эволюция ленгмюров-ской волны, нагруженной захваченными электронами, в слабонеоднородной плазме с положительным градиентом концентрации, в процессе которой учитываются столкновения захваченных электронов с ионами плазмы. Возникает своеобразное трение захваченных электронов о частицы невозмущенной плазмы, вследствие которого уменьшается плотность потока энергии волны. Так как изменение фазовой скорости и убыль средней плотности потока энергии на расстоянии, сравнимом с длиной волны, малы, то эволюцию можно считать адиабатически медленной. Показано, что поляризационные потери [3], которые появляются у потока электронов, захваченных в потенциальные ямы волны, вносят заметный вклад в убыль плотности потока энергии волны лишь в начале эволюции. После длительной эволюции плотность потока энергии волны убывает в основном из-за увеличения кинетической энергии потока захваченных электронов.
Наибольшие потери от движения захваченных волной электронов в свободной плазме обусловлены двумя силами: силой поляризационного трения Fp, учитывающей столкновения на дальних расстояниях и не приводящей к высыпанию электронов из потенциальных ям, и силой торможения Fps, возникающей при
парных столкновениях на близких расстояниях, из-за которой электроны покидают потенциальные ямы:
Fp = Ze 2
-„ о
F = 7e
о
2 1 2 ®e Jïï —max
k„
(1)
сопоставимо с поляризационным трением только при условии v к u <vr, т.е. в области, где плазменная волна не существует. Поэтому флуктуацию полей также не принимаем во внимание.
Таким образом, основной вклад в убыль плотности потока энергии в процессе эволюции волны в слабонеоднородной плазме вносится из-за поляризационных потерь. Далее принята форма записи, в которой: время t и координата z обезразмерены делением соответственно на и kg1 ; k0 = k(0) ; фазовая скорость волны u и скорость электрона - на u0 = alк0; функция распределения f0(v2/vT ) , нормированная на единицу, - на k0 la ; концентрация электронов N - на
ncr = ma2 /(Ane2) ; заряд электрона е - на u0^Jmlk0 ; плотность тока j - на eancrl k0 ; электронная температура T = mv2 /2 - на mu2 ; потенциал <р - на mu0 le ; плотность потока S - на mncpai/k0 ; сила -
на ma2jk0. В безразмерной форме сила поляризационного трения принимает вид
e 2 k„ о Fp=ZN In -gо . p о2 y/N
(2)
Для оценки убыли рассмотрим фазовое движение захваченных электронов в неинерциальной системе отсчета, связанной с волной, описываемое уравнением
dt2
du
—— = ----F„--, где Е - координата в этой
ду p dt
системе отсчета. Уравнение упрощается, если, полагая и & и, записать его в виде —т- = —к-—, где
dt2
ду
где ае - плазменная частота; е, и - заряд и скорость электронов; ктах = 2л/ХтПх - максимальное волновое число; ЛтП = 2е 2/т* и2 ; т* = тетг/(те + т{) , те , - массы электрона и иона. Значение к^ - разделяет
электроны, покидающие и не покидающие потенциальные ямы. Последнее определяется равенством 2е2Ьг = еА, где - расстояние сближения электронов с частицами; еА - максимальная энергия электрона в потенциальной яме волны с амплитудой А. Откуда = 2л/= 2лА/2е . Такого рода разбиение при исследовании движения частиц в плазме известно [3, 4], только в этих работах в качестве критерия разбиения взят параметр удара, отделяющий парные взаимодействия электронов с частицами плазмы от коллективных.
Условие ^ << Ер эквивалентно и << а е А2 / Ые 2,
поэтому для конечных значений А убылью плотности потока энергии из-за высыпания электронов из потенциальных ям в процессе их столкновений с частицами плазмы можно пренебречь. Как показано в [4], влияние флуктуационных полей на движение заряда в плазме
(V) = ф — еи V - uFpy = А(1 - ооз(у + б)), б = —(еи2 + uFp)/А , s=du/dz. (3)
Волна, нагруженная захваченными электронами, имеет некоторые общие черты с конвективной волной в потоке электронов [5]. Ее динамика в обоих случаях определяется смещением равновесного состояния электронов б . Если равновесные электроны находятся в тормозящей фазе, то происходит увеличение амплитуды волны [5], и наоборот, амплитуда уменьшается, если эти электроны находятся в ускоряющей фазе. В случае dN/dz>0 электроны из-за действия сил инерции и сил трения Ер выталкиваются в ускоряющую фазу, что приводит к диссипации средней плотности потока энергии волны. Ток ленгмюровской волны, эволюционирующей в слабонеоднородной плазме, с учетом (3)
равен 6] ](ф) = Зг (V) + Зга(V), где
Vm
j = U I
F (J )dh
Jut = U I
v flh-^UFy-Uy)
(f+ + f-)dh _ Vmyj 2(h - p + uFpy -su 2у)
(4)
токи захваченных и пролетных электронов; F (J ) = f0 ((u 2/2 + Jr )/т) - функция распределения
2
e
захваченных электронов [1]; /± = /± (/±) - функция распределения пролетных электронов; h - полная энергия электрона.
В случае адиабатически медленной эволюции волны изменение распределения электронов в поле волны удобно описывать с помощью адиабатических инвариантов [1]: для пролетных электронов -
,2
I± = — + h ± Jut , Jut = — uJAkE(k ') , и для захва-2 n
ченных электронов -
4
Jr = — u4ÄK2B(k) , (5)
ß(K) = = (e(k)-(1 -K2)K(K))IK2 ; K(k) ,
л
2 И
где к = — 2 А
Е(к) - эллиптические интегралы первого и второго рода.
Распределение опережающих и отстающих пролетных электронов будем считать невозмущенным
/ (/+) = /о(/+), о> и + ОЕ, /+> О + Я; /_ (/-) = /о(/_), и< и-иЕ, /_ < О - Я , где О = и2 ¡2 + <т и и 2/2 , Я =
= (<Рт ) = (<Рт ) •
Теорему Пойтинга для волны в слабонеоднородной плазме запишем в виде
dSA dz
=-i j+jt)
где Sa = A2j4u , (...) = (2n) -
(6)
усреднение
по фазе; ±^0 - точки поворота захваченных электронов; для пролетных электронов - ±¥0 = ±л . Подставив (4) в (6) после интегрирования полученного выражения по частям в пренебрежении слагаемыми, пропорциональными dA/dz, имеем [7]
dSA dz
~(jtrFp) -Su(jtr) -eu{jut) ,
(7)
я йЯ
где (]{г ) = |F(Я) — йО - средняя плотность тока
0 йО
захваченных электронов. Первое слагаемое в правой части (7) связано с диссипацией средней плотности потока энергии вследствие поляризационного трения, два последних слагаемых - с убылью этого потока, обусловленной инертностью резонансных пролетных и захваченных электронов. После внесения под знак производной двух последних слагаемых в правой части (7) получим
dS / .
ddS = i jt*FP
(8)
3ZA2 1 2/
где £ =--—I— и ( и) - средняя плотность пото-
2и3 2 Т
ка энергии волны в слабонеоднородной плазме [1]. С другой стороны суммарная мощность поляризационных потерь равна
1 <т ¥0 оГ„
— ¡йИГ(Г) I \^
■1 ги VI' / \
~ j dhF(J) J J dW =jtrFp .
2n v -wj2(H -ф) x P'
Так как правые части последнего выражения и (8) одинаковы по величине, то убыль полного потока энергии волны в слабонеоднородной плазме является
следствием диссипации энергии захваченных волной электронов из-за поляризационного трения.
Считая распределение электронов максвелловским
/0(о2/и?) = (1Л/2лТ)ехр(-о2/иТ) , проинтегрируем выражение для средней плотности тока захваченных
( / \ ( \Л
erf 1 — 1- erf l^-
электронов: (jtr ) =-VA
В случае u0 >> vt , u >> vt эту формулу можно упростить:
<jrr) = IVAle-uo2/V2 - e-u2lV n V.
(9)
После подстановки (2) в (8) и интегрирования полученного результата по z, найдем уравнение баланса энергии, учитывающее поляризационные потери:
z dz
S + Ze 2 J N (z)2ln(]u)( jtr)— = So
o
tr 2 o ^ u2
(10)
где т = kJJN . Второе слагаемое в левой части
7 =
уравнения - средняя плотность потока энергии поляризационных потерь.
Подстановка (9) в (10) при условии и >> ит дает
4 „ 7 гг -и2002 ,
,2
S + - Ze 24Ae-u°!V JN(z) 2 ln(]u) ^ = S0. (11)
Чтобы проинтегрировать это выражение, восполь-
3Т
зуемся дисперсионным уравнением N (г) = 1--—.
и
Интегрирование в (11) по z без знания профиля N(z) невозможно, поэтому ограничимся случаем линейной зависимости N (г) = , = dN¡dz =00^1 В (11) удобно перейти, используя дисперсионное уравнение, к новой переменной интегрирования:
яеА
uo
S + ^Tze^e-ut/V jfi-In]u)dl = S0 .
Пренебрегая слагаемым, пропорциональным T/u2 после вычисления интеграла найдем
So =
33TA_
2u 3
+ 2ue-uo2/v2 -e-u2/VT 1 +
+ a
где
ln(]uo) ln(]u)
с = 6T Ze2 JAexp(-Mj^/vT2).
1
1
4u— 4u
(12)
ne.
Так как 77 = юе > 1/ иТ >> 1, е1 « Я/Ь << 1 ^ -
характерный размер неоднородности), то поляризационные потери (слагаемое, пропорциональное о) могут внести в полный поток энергии вклад, сравнимый с вкладом от средней плотности потока энергии захваченных электронов (второе слагаемое в правой части (12)). Это приводит к убыли средней плотности потока энергии самой волны 8А = 3ТА2 ¡2и3. Из (12) видно, что поляризационные потери растут лишь в начале эволюции и и и0 = 1. После достаточно длительной эволюции волны они практически не меняются, в то
nv
и
и
T
T
T
o
u
u
+
4
4
u
u
o
время как плотность потока энергии захваченных
2
электронов растет ~ и .
Литература
1. Красовский В.Л. Адиабатическое взаимодействие волна-частица в слабонеоднородной плазме // ЖЭТФ. 1995. Т. 107. Вып. 3. С. 741-761.
2. Бескин В.С., Гуревич А.В., Истомин Я.И. Диэлектрическая проницаемость слабонеоднородной плазмы // ЖЭТФ. 1987. Т. 92. С. 1277-1287.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., 1982. С. 542.
Поступила в редакцию_
4. Ахиезер А.И. и др. Электродинамика плазмы. М., 1974. С. 651.
5. Давыдовский В.Я. и др. Усиление конвективной волны в продольном электростатическом поле // Радиофизика, 1989. Т. 32. № 8. С. 1026-1033.
6. Матвеев А.И. Эволюция ленгмюровской волны в слабонеоднородной плазме с положительным градиентом концентрации // ЖЭТФ. 2005. Т. 128. Вып. 5. С. 1085-1097.
7. Матвеев А.И. Эволюция ленгмюровской волны в слабонеоднородной плазме с продольным электрическим полем // Физика плазмы. 2008. Т. 34. Вып. 1. С. 1-8.
24 декабря 2007 г.
