CC BY
12
УДК. 533. 951
АДИАБАТИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ВОЛНЫ С РЕЗОНАНСНЫМИ ЭЛЕКТРОНАМИ СЛАБОНЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ
© 2006г. А.И. Матвеев
The evolution of Langmuir wave in weak nonhomogeneous plasma, which concentration is increasing along wave propagation, is considered. The dispersion equation for phase velocities in region of warm velocities is obtained.
Описана эволюция ленгмюровской волны
р(г, у), у = |к(т,)йг -а, и = а/к < 1,
в слабонеоднородной плазме с положительным градиентом ёШёг>о концентрации электронов после ее включения внешними источниками. Предполагается, что внешние источники, расположенные в области г<0, где плазма в отсутствии поля однородна, слабо подпитывают включаемую замедленную волну, работая так, что амплитуда волны, которая распространяется вдоль оси г, увеличивается от нуля при г ^ -ж до А(0) при г = 0. Аналогичная задача рассматривалась в [1], однако результаты, полученные в этой работе, верны лишь в хвосте распределения электронов при условии малости их невозмущенной функции
распределения /0(ти2/2Т)<< д/еА/(ти^), где е , т,
и - заряд, масса и скорость электронов; А - амплитуда волны; ио - ее начальная скорость. В диапазоне
фазовых скоростей, близких к тепловой и ~ иТ,
функция /о (ти2/2Т) конечна, поэтому установить закон дисперсии с помощью нелинейной поправки к линейному дисперсионному уравнению, как это сделано в [1], невозможно. Нелинейная поправки к линейному дисперсионному уравнению ленгмюровской волны в плазме с положительным градиентом концентрации находятся в [1] путем разложения полного тока электронов в ряд по р. Такое разложение неприменимо в случае конечных амплитуд и некорректно, так как в окрестности р~рт расходится (рт -
максимальное значение р). Поэтому вычисление дисперсионного уравнения проводится здесь так, что разложение в ряд по р не приводит к расходящимся рядам. Вследствие этого нелинейные дисперсионные уравнения, полученные на основе строгого решения уравнений Власова-Максвелла, применимы для амплитуд конечной величины вплоть до длин волн, ограниченных условием кта< 1, где та - электронный радиус Дебая.
Далее принята безразмерная форма записи, в которой время t и координата г поделены соответственно на а"1 и ко-1; фазовая скорость и скорости электронов - на ио = а/ко; функция распределения
/о (и2/и 2), нормированная на единицу, - на ко /а ;
2 2
концентрация электронов N - на псг = та /(4ле ); плотность тока ] - на еапсг / ко ; электронная темпе-
ратура Т = ти^/2 -на т/ипотенциал р- на
ти% / е .
В [1] показано, что в качестве функции распределения для ленгмюровской волны в слабонеоднородной плазме в случае пролетных электронов можно
взять произвольную функцию /± (I ±) адиабатического инварианта
I±=(и2/2) = и2/2 + Н ±иЦ2(Н - р)> ,
(V2(Н -р)) = 2(Н -р) ,
о 2п
где знаки «±» относятся соответственно к пролетным опережающим и отстающим электронам; 2
Н = (и-и) /2 + р - энергия электрона в неинерци-альной системе отсчета. Для захваченных электронов решением системы уравнений Власова-Максвелла является произвольная функция распределения /т (J) адиабатического инварианта
У2 Лу ГТ—---
и = и ] —— ^/2(Н -р) , где щ, у2 -точки поворо-
2 п
та, при которых подкоренное выражение под знаком интеграла обращается в нуль. При малом ангармо-низме волны [2]
J = — uJÄk2 B(k), л
где к2 = H /2 A
(1)
параметр
захвата,
В(к) = (е(к) - (1 -к2)К (к))/к2, К (к), Е(к) - эллиптические интегралы первого и второго рода.
В области г<о фазовая скорость волны не меняется, увеличение амплитуды волны сопровождается захватом как опережающих, так и отстающих пролетных электронов. Так как для захваченных электронов
/ + = / , то в старшем порядке по Я [3]:
2NTfT (J) = Nf" (I- (R)) + f + (I+ (R))j « 2Nfo(G(R)/ T)| R=J ,
R=J
(2)
где 1± (Я) = О ± Я , Я = J(Н = рт) - значения адиабатических инвариантов пролетных и захваченных электронов на сепаратрисе, О = и /2 + рт .
В области г>о с увеличением фазовой скорости захватываются только опережающие пролетные электроны:
Nrfr (J) = Nf + (G + Л) R=j.
(3)
где Ыт - концентрация захваченных электронов.
Чтобы найти функции распределения резонансных электронов в процессе эволюции волны в слабонеоднородной плазме воспользуемся, следуя [1], условием сохранения среднего значения тока:
х + + + х 1-0 I Г+ (I + уп +- |(I -уп -+ | /- (I -уи
г,
Im
Im
1 - R
+ J fN (I - )dI 2 J NTfT (J )dJ = 0,
I-o 0
(4)
где
I m
- минимальное значение I ;
/± = -/± (I±); I- = I* (мо). Дифференцируя (4) по Я и используя (2), (3), как в случае г>0, так, по крайней мере, в старшем порядке по Я, и в случае г<0, имеем
f - (G - R) = f + (G + R).
(5)
С помощью (2), (5) и граничного условия
_ _ 2 2 f (I ) = fo(u /ит) при z ^_<х> найдем
f _(I_) = fo(I_ /T), I_<I_ ,
f+ (I+) = fo( I + / T) _ 2Rdfo(G T), I+> I+
dG
- распределение пролетных электронов, которое устанавливается по окончании работы внешних источников (z = 0).
Аналогично в области z > 0
Г (I_) = fo(I_ /T), I" <I_o , f-(I_) = fo(I_ /T),
I_0 < I" < I_, f + (I+) = fo(I + / T) _ 2RfGT),
dG
I +> I+ . (6)
Зная распределение захваченных электронов (2) в точке z=o, а также функцию распределения пролетных опережающих электронов в момент их захвата (6), для распределения захваченных электронов запишем
NTfT(J)-
N sus
u
2N о
fo ((G(R)-R)/T)R=j, J > Ro;
(7)
u
fo(Go(Ro)/T;Ro =j, J <Ro
где = N (и*), и* -концентрация и скорость электронов в момент захвата их волной; О и и*2/2, Яо = Я( г = 0), N(>=N(2=0). В (7) концентрация захваченных электронов определена с помощью уравнения Лиувилля. Приравняв значение адиабатического инварианта (1) в момент захвата электронов волной его значению в любой точке г > 0 , где амплитуда и фазовая скорость равны А, и > и*, полагая А и А0, В(к)и1,
выразим О через и, к: О ик4и2/2. Откуда пренебрегая слагаемыми, пропорциональными Я:
NTfT (J) =
(Nsus / u)fo (уИ2 ), H > Ho;
2fo(u-2), H < Ho. u
(8)
где у = и2/кГА2 ; Н0 - значение энергии, отделяющее электроны, захваченные в процессе включения волны (г < 0 ), от электронов, захваченных в области г > 0 , где нет внешних источников. Если в точке г = 0 происходит захват электронов (к = 1), то в точке г > 0 параметр захвата этих электронов уменьшается до
величины К0 = ^Н0 / 2А . Из равенства значений адиабатических инвариантов в этих точках найдем Н0 и 2Л[АА 0 /и .
Используя (3), (4), ток электронов в области г>0 запишем в виде
Г л(рХ р> Н 0;
№ =
Í2(VX Ф< Ho,
m) /Т Nsusfo(H2) ЫФ) = 2 J —I
ф p(H -Ф)
dH + ju;
(9)
H,
í2 (Ф) = 2No J
fo U-2 )dH P(H -ф)
+ Nsusfo (H ) H o д/2(H -Ф)
где
dH + jU:
(Ю)
í
\
л/^тах / (и2 /иГ ын
]и = иN Р(р-<р)) + 2 I ■/0< Г/
^ Ртах л/2(Н -Р) ,
-<]Г )-<]Г0 >-<}ит ) .
Первое слагаемое в (10) - ток электронов, захваченных в процессе включения волны и ускоренных волной до скорости, равной и; первое слагаемое в (9) и второе слагаемое в (10) - ток электронов, захваченных в области г > 0 ; второе слагаемое в ]и - ток резонансных пролетных электронов. Их средние токи соответственно равны:
<Г0 ) = 23(Н0)N0 /0(и-2)/ и ;
О ЛЯ
<Г) = 2 IN,/0(0/Г) — ёО;
О0
-2ч
dG
<]иг) = -2ЯN/0 (и Г ), где 3(Н0) = иЦ2(Н0 -р)). Средний ток <]Г0 + +Г + Гиг) совпадает по величине с импульсом отдачи плазмы. Можно показать, что в процессе включения резонансные токи пролетных и захваченных электронов компенсируют друг друга, т.е. их средний ток равен нулю. Поэтому в любой момент эволюции средняя плотность тока электронов сохраняется и равна нулю, в чем легко убедиться непосредственной проверкой. Из (9), (10) видно, что в процессе длительной эволюции волны /0(и2/и2) << /0(и-2) ток резонансных пролетных электронов становится пренебрежимо малым и поэтому далее не учитывается.
ф
Так как /о(Н ) под знаком первого интеграла в 71(р) и второго интеграла в ^(р) в случае максвел-ловского распределения /о(уН2) = ехр(-уН 2)Д/2лТ
экспоненциально быстро убывает с ростом Н, то основной вклад в ток вносят электроны с энергией Н = Но), поэтому при интегрирование (1о) в пределах
Но < Н < ршах вынесем за знак интеграла ^Н -р , положив Н = Но, и Nsus и N, остальные интегралы вычисляются точно [3]:
ся, а ро вместе с ()т > ~ и^ро увеличивается. Здесь рассматривается начало эволюции волны, когда Но > ро. В этом случае у эффективного потенциала и(р), согласно (14), только один минимум, поэтому изменение р происходит в односвязанной области
ршт ртах , ртт, ртах - корни ур^ШИЯ
Ж - и (р) = о.
Для нахождения дисперсионного уравнения на первом этапе эволюции волны подставим (11), (12) в условие периодичности потенциала по фазе:
h(9) = uNpL-щ + ^eXp{-Yp2 jD_V2 (Ц, п = T dp/jW - U(p)
(13)
P> Hо;
j2(p) = uNp\pp-po + bj(4,]Hо -p) + 4b2y]Hо -pjx
xp < H о, где
bo =
2N о
uNPjT (2y)3/4
2No
bi = "'Ьг (max) - Ф^ о)), uNP-yj yT
b =
8V2n о
/о(и~Т 2;;
3uNP
Po = (p) + ( jT + jT о + jUr >/uNP >
P = 5
du д/о(и2/и2т)
-ю u-u
du
0-у(х) - функция параболического цилиндра,
Ф(х) - интеграл ошибок.
Интегрируя (9), (1о) сначала по р, а затем по Н, для эффективного потенциала имеем
\их(р), р> Но;
U(p)= 2u5 j(p) dp=
и2 (p), p< Hо,
где
max -p)3/2 \ , (11)
их(р) = и 2 ^\(р-ро)2-
-¿оехр{^--2р2^0-3/2 ((2Гр)+ьз(р и2 (р) = и2^(р-ро)2 -
- Ь1Л/ Н о -р - ¿2(Но -р)3/2 + ¿з(ртах -р)3/2 }. (12) Рельеф и(р) на первом этапе эволюции определяется в основном двумя точками: потенциалом ро , при котором достигается минимум эффективного потенциала, и потенциалом, равным Но. Потенциал р = Но отделяет область р > Но , в которой и(р) очень близок к эффективному потенциалу в линейном случае, от области р < Ноо, где происходят накопления качественных изменений, вызванных конденсацией электронов у дна потенциальной ямы. С ростом
фазовой скорости волны Но = 2^ААо ум уменьшает-
предварительно разбив область интегрирования точкой р = Но . Чтобы проинтегрировать (13) в интервале рт;п < р < Но, избавимся в (12) от дробных степеней Но - р подстановкой р = Но - х и, ограничившись линейным по ¿1, ¿2, ¿3 приближением, разложим полученный таким образом многочлен на множители
ж - и2(Но - х 2) = и 2 ^(х 2+ + 2хр+ - х 2 )х
х (х2 + 2хр- + х 2_), (14)
где х2±=>/^±(Но -ро) - исходные приближения для корней,
р±= (ь ± (¿2 - ¿3)х 2±)/(44м>) , м> = Ж /(и2Ш). Для интегрирования (13) в интервале Но < р < ртах разложим (11) в ряд по р = р - ро, оставив в полученном выражении слагаемые не выше четвертой степени
и (ртах ) - и (р) = и 2 ^(А 2 - р2 )х
x-1 - B2 +
B1 + B3 (A 2 + Ap + p2)| A + ~ |
4m/2
(15)
где Вт = Ьо(у/2)т/2ехр(-Гро2/2)0(2т-3)/2 (¡2/ро),
2
т=1, 2, 3. При условии ур$ >> 1 коэффициенты В^ В2 , В3 экспоненциально малы, поэтому ими можно пренебречь. Так как у вторых множителей (14) нет действительных корней, то их разложение под знаком интеграла не приводит к расходящимся рядам. Таким
образом, раскладывая х - р+ )2 + 2х(р+ + р-) + х в ряд по 2(р+ + р-)х, после интегрирования (13) в линейном приближении по параметрам разложения найдем
Н о
и^Р = |
dp
pmin П Дjw - U2(p)/(u 2 NP)
dp
■ = 1 +
p max
+ 5 —f- - 1
H о Пw - U1( p) /(u 2 NP) П
/2
x K1 -t2)K( t) - (2t2 - 1)E(t) - b
}- b1
(K (t) - E (t)) 2^лА3'2
(16)
эо
X
где т = (1/2 + (H0 -p0)/(2A))/2. При упрощении (16)
использовалось приближение (ро ~ A, yfw и A . Полученное дисперсионное уравнение описывает эволюцию волны, в процессе которой Hо уменьшается от H0 = pmax И 2A до H0 = ро. В пределе H0 — pmax = 2A , lim ((1 - т2)K(т)) — 0 и b1 — 0 ,
т—
поэтому (16) переходит в линейное дисперсионное
уравнение: u NP = 1. Последнее согласуется с замечанием о линейности дисперсионного уравнения в процессе включения. При условии
H о < A
2--
4ufo(uT 2)
(17)
нелинейная поправка в (16) оказывается больше тепловой, поэтому последнюю можно учитывать. Окон-
2 2 чательно, полагая и Р и 1, (1 - т )К(т) и п / 4 , дисперсионное уравнение (16) можно упростить 3лЦ
u = -
-N (¡N -1).
нелинейная поправка оказывается положительной и волна способна проникать в закритические области плазмы. Возможность проникновения ленгмюровской волны, нагруженной захваченными электронами, в закритические области плазмы отмечалась во многих работах [1, 4, 5]. Из (17) видно, что проникновение волны в закритические области плазмы возможно, если её эволюция является достаточно длительной
и > 3л/А/(в/0(и-2)).
Если уменьшение Н0 невелико Р0 < Н0 <Рт , то Ь экспоненциально мало. В случае /0(и2/Ц2) > VI
4foU~ )
Из этого выражения следует, что с ростом концентрации фазовая скорость растет пропорционально
3/2
N . Не только в хвосте распределения, но и когда фазовая скорость достаточно близка к тепловой скорости электронов, u > 3иТ .
Литература
1. Красовский В.Л. // ЖЭТФ. 1995. Т. 107. C. 741.
2. Давыдовский В.Я., Матвеев А.И. // Физика плазмы. 1985. № 11. С. 1368.
3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М., 1981.
4. Истомин Я.И., Карпман В.И., Шкляр Д.Р. // ЖЭТФ. 1973. Т.64. С. 2072.
5. Asseo E., Laval G., Pellat R. // J. Plasma Phys. 1972. Vol. 8. С. 341.
Таганрогский государственный радиотехнический университет
28 октября 2005 г.
