Циркулярно-поляризованная волна в потоке электронов убывающей плотности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.95

ЦИРКУЛЯРНО-ПОЛЯРИЗОВАННАЯ ВОЛНА В ПОТОКЕ ЭЛЕКТРОНОВ УБЫВАЮЩЕЙ ПЛОТНОСТИ

© 2008 г А.И. Матвеев

It is considered the evolution of circular polarized wave in electron flow with decreasing density. It is determined the maximal velocity of electrons in flow after its acceleration.

Исходя из уравнения движения электронов в поле поперечной электромагнитной волны и самосогласованного волнового уравнения этой волны в релятивистской плазме, в приближении, когда амплитуда волны мала, найдены зависимости этой амплитуды, фазовой скорости волны и энергии, захваченных волной электронов от величины потока этих электронов, которая является произвольной функцией продольной координаты. Анализ полученных результатов показывает, что при эволюции конвективной волны в потоке электронов с уменьшением величины этого потока амплитуда волны уменьшается, а фазовая скорость волны и энергия потока электронов увеличиваются.

Пусть поперечная электромагнитная волна в стационарной слабонеоднородной плазме описывается потенциалами

Ax = A(z) cos Ay = A(z) sin , (1)

где y = \ к(z)dz -mt, u = т/к < 1. Зная начальные амплитуду Aq , фазовую скорость u начальный угол между векторами А и С в точке z = 0, необходимо описать эволюцию самосогласованной системы полей и токов плазмы в области z > 0; С - обобщенный поперечный импульс. При этом необходимо учитывать, что захваченные электроны плазмы образуют поток, величина которого изменяется вдоль направления распространения волны.

Движение электрона в поле потенциалов (1) описывается уравнением ду AC

■ = а-sin в,

С Pz

(2)

где в - угол между векторами А и С, удовлетворяющий уравнению

de _ dy

dz dz

= к - а/ u ;

(3)

р2, у - продольный импульс и энергия электрона; и -фазовая скорость волны. Уравнение для поля поперечной волны в плазме с потоком захваченных электронов запишем в виде

С2А С2А

cZ

2

= ab¡u±fb *z0dn + a2p¡u±fpdD., (4) at2 °z

где ар = 4лЫьв2 / т; ар = 4^рв2 /т; Ыь (z) Ыр (z) -

концентрации электронов потока и плазмы; и_|_ = (А - Ссоъв)!у; vz = рг)у ; и^ - начальная скорость электронов потока; /ь, /р - их нормированные функции распределения в фазовом пространстве pz, С, в, dO. = dpzCdCdв. При вычислении то-

ка потока электронов использовано уравнению Лиу-вилля N^uz =const. Сделаем следующие допущения, облегчающие вычисление тока электронов. При нахождении тока захваченных волной электронов необходимо учесть, что с увеличением фазовой скорости волны в слабонеоднородной плазме происходит релаксация фазовых колебаний этих электронов [1]. Поэтому будем полагать, что у захваченных волной электронов отсутствует разброс по 0 и pz. Разброс по поперечным импульсам у захваченных электронов для простоты учитывать не будем. Тогда, принимая во внимание, что ток пролетных электронов в линейном приближении по А пропорционален А, подставив (1) в (4), получим

d „ ,2ч 2 AC .

— (kA ) = -ab vzq-sin 0 ,

dz Pz

d 2 A

dz2

, 2 7 2ч ^ 2 A - Ccose 2 л + (а - к )A = a¿vz0-uz-apA .(5)

Pz

Исключив из этой системы уравнений в с помощью (2), имеем

± (па2л dу

-(na2) = - g (2)1 Aq

а

-2 d 2 a

— - (n2 - 1)a = (a - CA) - (ар/а)2a dz2 Pz

2 ,

(6)

где а = А/А , Са = С/А , 8= (®bVzo/а2). Так как плазма слабонеоднородна и изменение концентрации потока электронов на расстоянии, сравнимом с длиной волны, мало, то параметры волны на этом расстоянии также изменяются мало, поэтому второй производной в (6) можно пренебречь. Отклонение в электронов от равновесной фазы далее будем считать малым в <<1, dв/dz <<1, тогда из (3) следует Vz = и. (7)

Исключив 8из системы (6) и выражая у с помощью тождества у2 = рр +1, с учетом (7), получим

dy'

2 i n2 - ар а2 I-1 \na I =---—— a ,

( 2)

-\na ) =

\а

2nA2 (CA - a)

У = n

>/(r2 - if2 Ar2 , R=(\Ca - a? + A )/2.

(8)

В свою очередь, исключив из последней системы уравнений у , приходим к одному уравнению, связывающему а и п

( 2/2 А ю„/ю

1 +-

2 1 n -1

Rz

in 2 - 1)(Ca - а) [

dn da

1+

2 1 2 А

СО p ю

2 Г

n -1

(9)

na = 0.

Так как наибольший интерес представляет конечная стадия ускорения, когда волна практически полностью отдает свою энергию электронам и ее амплитуда мала, то далее будем полагать

а <<1. (10)

В этом приближении (9) легко интегрируется

2 1 ¡2/2 n -1- (юр ю

)2 г

bn2(v+1)

(n2 - Г ~((CA - а)2 + Г

(11)

где Ь - постоянная интегрирования, у = {ар/а2 Из (5) в рассматриваемом приближении следует, что если п2 -1=

(юр/ю2), то dn/da > 0, т.е. с уменьше-

стремятся к конечному значению, меньшему скорости света. В случае а р = 0 из (11) имеем

n2 -1

А

C - Af)2 -1)

no2 -1 no2 ((C - Ao )2 +1

(12)

нием А фазовая скорость волны, а значит и скорость

электронов потока и2, увеличиваются. Анализ (11) показывает, что чем больше концентрация плазмы, тем до меньшей величины происходит увеличение фазовой скорости и при одном и том же уменьшении А . Из (11) также видно, что при полном исчезновении волны её фазовая скорость и скорость потока и2

где п0 , Пу - начальное и конечное значения п ; А^ -

конечное значение А . Очевидно наибольшее значение и2 достижимо при полном исчезновении волны и при условии С и Ао, кроме того, и2 тем больше, чем больше С и Ао.

Оценим максимально возможные в реальных условиях значения ц,. Так, для метровых волн а = 2-10 с4, полагая С > А и 1, найдем Е = 5-104 В/см, что соответствует релятивистски-сильной волне. Полагая так же п > 10, А =0 и подставив эти данные в (12), получим и2 =3/4, у =0,9 Мэв.

Таким образом, наибольшее значение продольной скорости потока электронов в процессе их ускорения конвективной волной определяется начальной амплитудой волны. Скорость потока при этом может быть близкой к скорости света лишь в релятивистской плазме, когда волна является сильной. Электромагнитная волна при этом полностью отдает свою энергию, и ее амплитуда обращается в нуль при скорости, меньшей скорости света.

Литература

1. Давыдовский В.Я. // ЖЭТФ. 1981. Т. 81. С. 1701.

Таганрогский технологический институт Южного федерального университета

23 апреля 2007 г.

а -

\

У

+

V

У