Моменты функции распределения электронов в поле поперечной электромагнитной волны. Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533 951

А.И. Матвеев

МОМЕНТЫ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В ПОЛЕ ПОПЕРЕЧНОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ.

Моменты функции распределения - средняя плотность электронов ИА , средняя плотность захваченных электронов N , средняя энергия <у > , средняя плотность потока энергии < £ >=< рг > электронов являются важными параметрами плазмы и нелинейной волны в этой плазме. С ростом амплитуды и фазовой скорости замедленной волны (волны у которых фазовая скорость меньше скорости света) электроны плазмы с продольными скоростями, близкими к фазовой скорости волны (резонансные электроны) захватываются в потенциальную яму волны. Как с практической так и с теоретической точки зрения большой интерес представляет вычисление числа захваченных волной электронов, их средней плотности потока энергии <Бь>.

Здесь в адиабатическом приближении, считая известным распределение

<Ж(1,С,а) = 1(1)г~ёа С<С<1 (1)

Ор(кр2- ау)

электронов по интегральному инварианту

1 2п

I± = — [у±<а , (2)

2п о

обобщенному поперечному импульсу

С=р-А,

и фазовому смещению а=цг-а0 электрона, найдены основные моменты функции распределения электронов в поле поперечной волны

Лх=Лсо8у , Ay=Asin/, у/=Ш-кі . (3)

Знак <<+>> в (2) относится к опережающим, а знак <<->> - к отстающим пролетным электронам, Qp нормировочная постоянная.

Предполагается, что поле (3) возбуждается внешними источниками, которые работают так, что амплитуда А и фазовая скорость V волны адиабатически медленно увеличиваются соответственно от нуля до А и от Vo до V.

В (1) и далее используется система единиц в которой импульс р электрона

2 л / 2

разделен на тс, у- на тс , потенциал А на е/тс .

Используя распределение (1) искомые моменты сразу после включения волны запишем в виде

МА = |= N < /'

> + N < / ">

/- >1тп

О0 > 1 > 1„

+

+ < ^/ +>а,<I*<о + + N < / +>

<

Г >= | NsУ/duz = N <Г /

—Ж

+ < Г+Ns/ + >

>т— т + N <у / > О_ т— т +

Г > 1т

О0 >1 >1 т

+ *' со < 1+< о^ <^+/ + >

I +> о+

(5)

s = |NsuzУ/duz = —N < и, Г У

>т— т + N < и, г / >г— - - - +

Г > 1т

О0 >1 >1т

+ < и> + ^/ +>

О0 < I +< о+

+N < и>+ / +>

I +> о+

(6)

где N8 - концентрация электронов в момент их перехода через сепаратрису, иг=р/у

Символ <>

-означает усреднение по ансамблю электронов с интегральными

инвариантами в диапазоне Iтт < I < О0

< и2 У / >

о° С! + 2п

(N/2^|CdC | | / (у р2/(пр2 —y))dа.(7)

0 I ■ Ор о

^ х тгп г V

В правых частях (4,5,6) первые два слагаемых обусловлены вкладами пролетных электронов ( -минимальное значение I ) , третьи слагаемые

возникают из-за вклада электронов, захваченных волной в процессе увеличения ее фазовой скорости от у0 до V, ( О0, О -значения I в момент перехода электронов сепаратрисы соответственно при фазовых скоростях у0 и у ). Последние слагаемые - это вклады пролетных опережающих электронов.

Вычисляя значение предпоследнего слагаемого правой части (4) найдем число резонансных состояний

Ж О + d Т + а2

Nb =(1 /2|CdC | ~^Ns I/+(у+ /(пР, —y))dа

0 о0+ УР

(8)

а

где а1,а2 -корни подкоренного выражения пр-у. Учитывая нормировку функции распределения по фазе

Ор =|р±^/ 2п(пр, —у) ,

00

формулу V =< иг >= Ор / О7,

=§г±йа/2ж(прг -у) ,

приближенное выражение I = у\ = (1 + С2)/(1 -иг20) и переходя к переменной интегрирования иг 0 (продольная скорость в отсутствии поля) по формуле

.2)1/2, (1 - ^

(1 + С 2Г2 и2 0Л

0 = ч 3/2 йиг0

для (8) в случае Ау << у0 имеем

да у

Мь = п/ СйС(1 + С2 )1/2 | иг0йилМ3/ + / (1 - и20)

0 у0

да

«А у(1-у2)-3/2 N| СйС (1 + С 2)1/2 / (у„)

(9)

где /I = (1 + С 2)/(1 - у2). Откуда видно, что число резонансных состояний пропорционально изменению фазовой скорости волны. Из (9) также видно, что с

2 _з / 2

ростом у концентрация захваченных электронов увеличивается ~ (1 - \0) .

Если вычислить число захваченных электронов после включения волны посредством увеличения только амплитуды А, то установим, что число захваченных электронов при таком включении пропорционально А12. Т.к. число резонансных электронов при включении волны посредством увеличения ее фазовой скорости пропорционально А у, то прейдем к следующему выводу: в реальных условиях А<<1 (например для метровых волн это условие справедливо вплоть до амплитуд 30 кв/см) захват электронов в случае увеличения амплитуды волны малоэффективен. Более эффективным с точки зрения создания релятивистских потоков большой интенсивности оказывается включение волны с одновременным увеличением ее амплитуды и фазовой скорости.

Вычисляя значение предпоследнего слагаемого правой части (6) найдем средний импульс потока захваченных электронов <8ъ>=у£ь /(1 - у2 ) , где

СйС 1 ^/ +РВ(р )Н2«в) + 4АС(П2 - вВ(/,{ йв, (10)

2 (п2 -I) 0 / (в2 В2 (в ) + (п1 -I) в// в2 /'2

или плотность потока энергии захваченных электронов (ее часть,

пропорциональная Н2К(в ) связана с кинетической энергией поступательного движения электронов, другая часть, пропорциональная 4 АС (п2 -1) в В (в ), -с их колебательной энергией). В формуле (10)

=

Ь '2

0

Р=(И2-(п2-1)(1-(С-А)2))/4(п2-1)АС,

- параметр захвата электрона [3], // - его минимальное значение, И=ку-а>рг -интеграл движения , п=1/у.

Аналогично (9) найдем приближенное значение плотности импульса потока захваченных электронов

8„ = |СйС(1 + С2)}йилN3 / + 4, / (1 - «2о):

у0

да

(11)

А у N у, (1 - у,)-2 } СйС (1 + С2)2 / (го)

0

При прохождении волны плазма приобретает связанный с этим импульс отдачи

^ =< и-г- >,->/ии - < и~-Г~ >0->/->,тп - < «+Г+ >/а + (12)

-плотность потока энергии пролетных электронов, ао- = а- (А0, п0) .Т.к. импульс отдачи, возникающий в плазме при прохождении волны, не может быть больше импульса потока электронов, то у8Ь /(1 -у2)>| £р | . После разложения 8р по А ,

опуская слагаемые, пропорциональные А , при условии < иг 0 у 0 >= 0 , в приближении А у <<уо найдем

да у

=-}СйС(1 + С2)}йилN3/(/о)и?о/(1 -и?о)2 *

0 у0 .

да

*-А у N у, (1 - у, )-2 } СйС(1 + С2)2 / (у,)

о

Знаком << - >> в последнем выражении учитывается, что 8р направлен против

направления распространения волны. Из сравнения (11) и последнего выражения видно, что в рассматриваемом приближении импульсы потока энергии захваченных электронов и отдачи плазмы равны.

Плотность энергии захваченных электронов (предпоследнее слагаемое (5)) запишем в виде

да а + й / + «2

<у>= (1/2 тг)} СйС } —— } Ns/ + ((> + )2/( пр2 -у))й а.

о ао+ ^р а1

Откуда аналогично (11)

да V

</>= п } С й С(1 + С2)} йи2 о N3/ + /(1 - и2о)2 *

о V0

да

* А у N(1 - у,)-2 }СйС(1 + С2)2/(Го)

о

Из полученного выражения и (11) видно, что с ростом у плотность импульса и

2 -2

энергии захваченных электронов увеличиваются ~ (1 -v0/ .

1. Красовский В.Л., ЖЭТФ// 1995, Ш, С.111.

2. Давыдовский В.Я., Матвеев А.И.// 1987, Физика плазмы, 13, С.443 .

3 Давыдовский В.Я., Матвеев А.И.// 1983, ЖТФ, 53, С.2125 .

4. Давыдовский В.Я., Матвеев А.И.// 1985, Физика плазмы, 11, С.1368.