Включение ленгмюровской волны конечной амплитуды в однородной плазме Текст научной статьи по специальности «Физика»

Секция физики

УДК 533. 951

А.И. Матвеев

ВКЛЮЧЕНИЕ ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ

В ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ

Рассмотрена стационарная неоднородная задача включения ленгмюровской волны

р = р(у),у = ккА2 -М, и = о/к < с (1)

конечной амплитуды в однородной плазме. В области 2 < 0 работают внешние источники, слабо подпитывающие поле волны. Вследствие чего её амплитуда А увеличивается от нуля при 2 ® —¥ до А = Ао при 2 = 0 . В области 2 > 0 , где

нет внешних источников, волна распространяется в однородной плазме. Задача о самосогласованной эволюции ленгмюровской волны конечной амплитуды в плазме решается в адиабатическом приближении, на основе уравнений Власова-Максвелла. Получено дисперсионное уравнение, у которого нелинейная поправка в

однородной плазме в случае малых амплитуд пропорциональна -\[А и в отличие от дисперсии волны в слабонеоднородной плазме отрицательна. То есть волна не способна проникать в закритические области плазмы N < 1. Показано, что с ростом амплитуды волны ее фазовая скорость уменьшается.

Следуя [1], можно показать, что распределение пролетных и захваченных электронов в поле ленгмюровской волны с продольным электростатическим полем можно описать произвольными функциями адиабатических инвариантов: и 2

1 = Т+И±, = и(V2(И—р)>, И>Рт;

Jt = и(д/2(И —р)> , И <рт , (2)

где Рз1 = — ко2 Ей2, (...) = к ..Ау/(2р) - усреднение по фазе, рт — максимальное значение потенциала волны, И - энергия электрона.

Далее принята безразмерная форма записи, в которой время t и координата

2 поделены соответственно на О 1 и к0 1, фазовая скорость и скорости электронов — на Ко = о/ко , функция распределения ^(о2/V Т), нормированная на единицу, — на ко /О, концентрация электронов N — на Псг ° МО2 /(4я£2) ,

плотность тока ] - на еЮПсг / к0 , электронная температура Т = ШЬ 2/2 - на

2 2 , ты0 , потенциал р - на ШМ0 / е .

В случае синусоидальной волны

Jt = — ыу[Лк2Б(к), Ти1 = — ил[ЛкЕ(к !)г

(3)

к

к

где к2 = И /(2 Л), В(к) = (е (к) - (1 -к2)К (к) У к2 , К (к), Е(к) - эллиптические интегралы первого и второго рода. Приведенные адиабатические инварианты показывают, что с ростом фазовой скорости или амплитуды волны И уменьшается и стремится к нулю, то есть электроны после их захвата в потенциальные ямы не могут покинуть эти ямы.

В процессе включения волны захватываются как опережающие, так и отстающие электроны, поэтому функция распределения захваченных электронов такова:

Р(И) = /о ((и 2 / 2 + Jt)/Т)+ /о ((и 2 / 2 - J,)/Т), И < Рт.

Для отстающих и опережающих пролетных электронов функции распреде-

/- (I-) = /о ((С - )/Т), I-< О - К,

/+ (1+) = /о ((О + Ju,)/Т) 1+> О + К,

где К = (Рт ) = . (Рт ), О = и /2 + Р„, » и /2 .

Ток в однородной плазме с продольным электростатическим полем после включения волны, вычисленный с помощью найденных функций распределения,

равен

где

у(р)=л р)+л, (р),

(/+ + /-)ЛИ

Рт Р(Иу/И

МИ -рр

= и | —\ , ]и, = и *

I

р

Рт

МИ -рр

(4)

♦ токи захваченных и пролетных электронов, /± = /± (I±) . Интегрируя по частям, найдем

г / К Л

2

3/2^3

кТ

1 Рт / Т \ __________ \ 'г >

~т= I *И 2Т ^(И - р)/и - 1

Р V 0 Рт

сИ V Ч2ТУ

\/Р-р -

sИ

^ Т ^

и и,

2Т

V /

у/Й-р

/И

42И

(5)

В случае максвелловского распределения и малых амплитуд в старшем порядке по А

(рТ)

5/2

9 + 9т-9 3 5

Раскладывая этот ток в ряд по р-ро , после подстановки в уравнение

Э 2 9 ду2

= -иЛ9)>

(6)

полученное из уравнений Максвелла, установим, что поправка к линейному дисперсионному уравнению в процессе включения волны порядка у1~Л :

N = 1 - - 32ие-и2/ьТ

и2 3к5/2ь5 .

(7)

Нелинейная поправка для волны в однородной плазме с продольным электростатическим полем пропорциональна -\[Л и в отличие от дисперсии волны в слабонеоднородной плазме отрицательна. То есть волна не способна проникать в за-критические области плазмы N < 1.

Волновое уравнение (6) имеет первый интеграл

2

+ и (9)

(8)

с эффективным потенциалом и(р) = 2и 1(р)/р . Величина 2 является

полной энергией волны в системе отчета, связанной с ней. Интегрируя (5) по р, получим

К V I----- \3/2

— УРт -Р) -

и(9) = Р(9-9о)2 + . е2и

2 иТ

3р3/2Т 3

ек

2Т

і 9т ( Т Л 9 /г N

—1= [ sn[ )(к - 9)3/2 ёк - [ sn| —— \к - <р)3/2

у[Л J 2Т У 2Т

^ 9 V У 9т ^ ^

ёк

42и

Интегрирование по И дает

и (р) = р(р-ро)2 + Ъ

ек V V

2 РТек(Рт (9т -9)) (9т -9)7/21 ^

7 113 ^ . ч2

(9т -9)

4 4 2 4

где р (а; Ъ; с; х) - гипергеометрическая функция, К = 4ил/л/;

//

ь =

4и

3р3 7 2Т3

,-и 2/

рт

2и

Л'

Дисперсионное уравнение (7) получено для случая малых амплитуд. Для конечных амплитуд при получении дисперсионного уравнения воспользуемся условием периодичности по фазе

Численные расчеты показывают, что, как и в случае малых амплитуд (7), фазовая скорость в процессе включения волны уменьшается.

Таким образом, в процессе включения с ростом амплитуды волны наблюдается нелинейный сдвиг фазовой скорости в сторону ее уменьшения.

1. Давыдовский В.Я. // ЖЭТФ. 1981. Т.81. №3. С. 1701.

УДК 538.12(075.8)

И.И. Красюк, Е.Е. Нестюрина, А.А. Кожаров, А.А. Рокотянский

ПАКЕТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ ДЕМОНСТРАЦИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

Успешному усвоению сложного материала курса физики способствует наглядность демонстрации изучаемого физического материала. Повысить наглядность позволяет моделирование процессов на ЭВМ.

Целью настоящей работы была разработка пакета прикладных программ, реализующего моделирование колебательных процессов.

Для изучения колебательных процессов создан удобный графический интерфейс пользователя для управления, ввода и корректировки параметров рассматриваемой колебательной системы. При работе с программой не требуется предварительного ее изучения. Она легка в использовании и не загромождена дополнительными функциями. Особое внимание было уделено созданию удобства и наглядности работы.

В процессе выполнения данной работы были решены следующие задачи: графическая реализация модели колебательного контура с возможностью задания параметров различных колебательных процессов (свободных, затухающих и вынужденных) и графическое отображение процесса перезарядки конденсатора, изменения тока и напряжения на обкладках конденсатора.

Особенностью данного пакета прикладных программ является то, что чувствительность измерительных приборов и диапазон параметров колебательной системы превосходит параметры установок, имеющихся в наличии в лабораторном практикуме кафедры. При работе с программой имеется возможность фиксировать и отображать графики зависимостей заряда, тока и напряжения в любой момент времени.

Программа разработана в интегрированной среде разработки Borland C++ Builder 6.0. Данный пакет прикладных программ обладает рядом существенных преимуществ. Он прост в использовании, нагляден. Кроме того, программный пакет может применяться в качестве демонстраций при чтении лекций.

Использование предлагаемого пакета программ делает также доступным проведение сложного физического эксперимента в лабораторном практикуме.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК