Поляризационное сканирование в задаче дистанционного зондирования периодически возмущенной земной поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 573.874

ПОЛЯРИЗАЦИОННОЕ СКАНИРОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ДИСТАНЦИОННОГО ЗОНДИРОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОЙ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

С.В. БОЯРКИН, В.Л. КУЗНЕЦОВ, Т.В. ЛОССИЕВСКАЯ

Рассмотрена задача о дифракции векторного электромагнитного поля на периодически возмущенной земной поверхности с увлажненным верхним слоем. Представлены результаты численных расчетов, соответствующие различным параметрам земной поверхности и поляризации зондирующего поля.

Ключевые слова: дистанционное зондирование, метод инвариантного погружения, поляризация.

Введение

Дистанционное зондирование представляет собой весьма перспективный метод исследования геофизических объектов. Его конечной целью является решение обратной задачи - распознавание образов или оценка параметров исследуемого объекта. В этом направлении исследований развиваются два подхода. Первый основан на выделении информационных параметров и накоплении баз экспериментальных данных, которые позволят для конкретного эксперимента оценить справедливость гипотезы о принадлежности исследуемого объекта к тому или иному классу. Другой подход базируется на использовании модельных представлений и расчете характеристик отраженного поля от заданного класса объектов. Развитию такого подхода посвящена данная работа.

В качестве объекта исследования выбрана периодически возмущенная земная поверхность с увлажненным верхним слоем. Целью работы является исследование характеристик отраженного поля при различных поляризациях зондирующей волны. Целесообразность использования поляризационного сканирования основана на том, что волны разных поляризаций по-разному отражаются такой поверхностью и их амплитудно-фазовое соотношение содержит дополнительную, в сравнении с моделью скалярного поля, информацию об объекте зондирования.

Сама по себе модель выбранного геофизического объекта, с точки зрения расчета его отражательной способности, представляет собой достаточно сложную математическую задачу. Для ее решения предполагается использовать метод инвариантного погружения, хорошо зарекомендовавший себя в различных областях электродинамики. Основная идея метода заключается в переходе от полевого способа описания, где в конечных формулах фигурируют амплитуды электромагнитного поля, к описанию с помощью таких характеристик объекта, как операторы отражения и прохождения слоев почвы конечной толщины.

Отметим, что в решаемой задаче используются 2Б-модель земной поверхности и 3Б-модель электромагнитного поля, т.е. полная система может классифицироваться как квазитрехмерная.

1. Постановка задачи

Рассмотрим периодически возмущенную земную поверхность, облучаемую электромагнитным полем с борта летательного аппарата (ЛА), который осуществляет мониторинг земной поверхности. Последнюю мы будем моделировать в виде цилиндрической поверхности, направляющая которой имеет вид косинусоиды. Изменение влажности почвы смоделируем введением конечного слоя с повышенным содержанием влаги. Наличие

повышенной концентрации влаги в почве приводит к увеличению ее диэлектрическом проницаемости. Обозначим через е2 диэлектрическую проницаемость сухой почвы, находящуюся в нижних слоях почвенного слоя, а через е1 - диэлектрическую проницаемость влажной почвы, причем е1 > е2. При таком обозначении величина (е1 - е2) зависит от избытка влаги в верхнем слое почвы.

Основываясь на таком представлении отражающего объекта, смоделируем неоднородность диэлектрической проницаемости увлажненной почвы следующим образом

Обозначения на рис. 1.

є(г ) =

е1 при г є 01 е2 при г є G2 е0 при г ї 01, г ї G2

а

(1)

Рис. 1. Схематическая модель промокания почвы

Сверху на такую структуру падает электромагнитное поле, которое мы будем моделировать

плоской волной с произвольной поляризацией и волновым вектором к = (дх, ду, к2). Это

плоская волна представляет собой одну из компонент углового спектра поля РЛС, установленной на борту ЛА. Требуется определить угловой спектр отраженного земной поверхностью поля с учетом его поляризации и исследовать зависимость коэффициента отражения не только от ее параметров (толщины увлажненного слоя и его влажности), но и от изменяющейся поляризации зондирующего поля.

2. Кинематические характеристики отраженного поля и метод исследования

Известно, что при взаимодействии плоской электромагнитной волны (ЭМВ) с периодической структурой в дифрагированном спектре возникает набор плоских волн с волновыми векторами, определяемыми соотношениями

кп = (Я + пКк2П), кп =УІк0 - (до +К• п)

(2)

2р

где к =— - вектор обратной решетки; Л - период структуры. В нашем случае (рис. 1) Л

к = (к,0,0).

2

Это обстоятельство позволяет представить отраженное поле в виде дискретного разложения в угловой спектр

Ё = ... + Ё_1 ■ еік_іГ + Ё0 ■ екг.... (3)

Или в виде вектора

Ё = (... Ё_ Ё„ Ё -.). (4)

В соотношениях (3) и (4) Ё1 - комплексная амплитуда і -й компоненты углового спектра отраженного поля.

Отметим, что при произвольном падении зондирующей волны вектора {кп},п є 2 не лежат

в одной плоскости, т.е. имеет место некомпланарное рассеяние (нарушается закон В. Снеллиуса). Это обстоятельство весьма осложняет запись компонент рассеянного поля в системе координат, связанной с земной поверхностью. Для упрощения записи воспользуемся так называемой мультибазисной системой отсчета, которая предполагает, что для каждой из компонент углового спектра поля выбирается своя координатная система, в которой ось Ъ

совпадает с направлением вектора кп, а ось X параллельна плоскости усредненной

поверхности почвенного слоя. Такое преобразование для каждой п-й компоненты поля реализуется с помощью матрицы поворота Пп.

В такой системе отсчета комплексная амплитуда компоненты углового спектра

отраженного ЭМП - Ё1 представима в виде упорядоченной пары или 2-вектора

{ ІтЛ { Тг\

ЬЁ

V VЁ У

ЬЁ

V яЁ У

(5)

Здесь индексам Ь , п соответствуют горизонтальная и вертикальная компоненты, а Ь, Я -левому и правому кругу циркулярной поляризации.

В таких обозначениях матричный коэффициент отражения поверхности может быть определен следующим соотношением

аЁп а@Япт ЬЁт . (6)

Здесь аЁп, рЁт -а-я и Ь-я компоненты дифрагированного и падающего полей,

соответственно, а ар Япт - компонента 4-индексной матрицы коэффициента отражения. В (6) по

повторяющимся индексам предполагается суммирование.

Из приведенного следует, что для решения задачи достаточно найти вид матричного

коэффициента Я. Для решения этой задачи воспользуемся методом инвариантного погружения, который формулируется для коэффициентов отражения и прозрачности слоя [1,2]. Уравнение

погружения для Я имеет вид

(а/3 пт ) _ X 1 А + — - ТТ + ■ X 1 Тт + £~ \ \ 1 £ + ТА + + — + ¿П\

т / , ат Апк тдгЫ &ЬА1т / , ат Апк ЬТ кт / , атТ пк т/3Акт арРпт •

к ,1 ,т,д к ,т к ,т

Здесь р и т - матричные характеристики так называемого элементарного слоя, играющие

фундаментальную роль в методе погружения. Отметим, что функциональный вид уравнения погружения одинаков для широкого круга задач [3-5] и основное отличие заключается в явном виде матричных коэффициентов р и т .

3. Уравнения погружения для рассматриваемой задачи

Для получения явного вида выражений для /3 и т рассмотрим элементарный слой - узкий срез почвы в переходном слое. Диэлектрическая проницаемость почвы в этом срезе зависит только от координаты X и ее вид представлен на рис. 2.

Рис. 2. Эволюция профиля е( х, z) с ростом высоты сечения z

Рассмотрим взаимодействие поля с элементарным слоем. В основе его описания лежит уравнение

—® ® /• /\ —®

E (r) = E 0( r) + I dr ’G(r, r') • [e( r') -1] • k2 • En (r'),

(8)

AW

где G(r, r') - тензорная функция Грина; DW - часть пространства, занимаемая элементарным —® ® ®

слоем; E(г) и E0(r) - поля вне элементарного слоя, а Ein (Г') - поля внутри элементарного слоя, определяющиеся по формуле

En (Ґ) = i AE0(R,) при r eAQ',

[ E0(r') при r ї AW'

(9)

где Л - матрица учета поля поляризационных зарядов на верхней и нижней границе элементарного слоя

A =

Ґ1 0 0 Л

0 1 0

0 0 1/e

(10)

Второе слагаемое в (8) можно интерпретировать как результат излучения вторичных источников в среде. Ранее, в известных работах, структура e(r) принималась достаточно простой: e(r)= 1 в воздухе, e(r)= const, отличная от единицы, в среде. Покажем, что нашу задачу с зависимостью e( r), представленной на рис. 2, можно свести к известной задаче [4, 5], представив поле вторичных источников как суперпозицию двух полей порожденных средами с различными эффективными диэлектрическими проницаемостями. Другими словами, покажем, что

e (х) -1 е(х)

e -1

e—П 2 +#п,,

е2

(11)

где П1 и П 2 - функции, отличные от нуля и равные единице лишь в областях с границами влажной и сухой почв. Их суперпозиция с весом представлена в правой части рис. 2. Выражение для X имеет вид

(£2 — 1) ' (£2 — £1 )

- (e2 ei )

ei e2

e2 ' ei

(12)

Обсудим теперь, какие значения должна принимать комплексная диэлектрическая проницаемость влажной почвы. Существует значительное количество формул, описывающих диэлектрическую проницаемость увлажненных почв [6-8]. При этом наибольшее распространение получила четырёхкомпонентная рефракционная модель, в которой учитывается наличие как связанной, так и свободной воды. Записанная в таком представлении формула рефракционной модели при положительных температурах смеси имеет вид

Ге =

ed +

ed +1

(Je - 1)w W £ W,

(e-1)w, +(e- 1(W-W,), W>W,.

(13)

Здесь £а = £2 - диэлектрическая проницаемость сухой смеси; £Ък - диэлектрическая проницаемость связанной воды; £ ^ - диэлектрическая проницаемость свободной воды;

Ж - определяет содержание воды в почве. Величина Ж зависит, в основном, от содержания глины в почве и является обобщенной электрофизической характеристикой конкретного типа почвы. При влажностях меньших Ж вода в грунте находится в связанном состоянии, а при избытке влаги еще и в свободном состоянии.

Конкретные значения величин, фигурирующих в формуле (13), кроме Ж, которая в наших исследованиях будет варьироваться, получены в работе [9]. Таким образом определены все параметры, необходимые для расчета матричных коэффициентов р и т .

Можно показать [2], что аналитические выражения для этих коэффициентов имеют вид

*nm = Snm • t- i • kz (n) • Sa.ß+a.ß G,

k (2

aß nm

aß aß nm , V° 2

p(n - m)

+ e • Ä • sin

2 И f z - Ä2 >

arccos n l m)

Lk 2 Ä2

(e2 -1) • Ä • sin

2 И 4 1 1 f

Lk • arccos v Ä1 J 1 )m -

+

(14)

k 2

( Pnm =aß G±nm ' , ^ , \ (e2 - 1) • Ä • Sin

p(n - m)

2p

Lk

• arccos

v

-S-Äx

(n - m)

+

+ e • Ä • sin

2p

Lk

•arccos

f z-Ä1 > V Ä2 J

(n - m)

(15)

Для перехода к мультибазисной системе воспользуемся блочной матрицей с блоками вида

и =

( cos#-cosa cos#-sina sin#l

- sina cosa 0

- sin#-cosa - sin^-sina cos#y

(16)

Здесь углы в и а - определяют направление волнового вектора п -й гармоники углового спектра дифрагированного поля.

Матричное уравнение (7) домножаем слева на блочную матрицу и, а справа на и— . При этом коэффициенты р и т преобразуются следующим образом

/V т т т Т—1

af Pnm ® Un af Pnm ;

t =tt . t •T/—1

af nm n af nm m

(17)

4. Представление матричного коэффициента отражения в произвольном поляризационном базисе

Приведенные выше результаты получены в поляризационном базисе линейных вертикально и горизонтально поляризованных волн. При работе с радиолокационной целью с одной приемной антенной в таком поляризационном базисе происходит частичная потеря информации, связанной с расфазировкой отраженных волн на ортогональных поляризациях. Такой потери можно избежать, используя, например, базис циркулярно-поляризованных волн.

Поскольку пространство поляризаций является унитарным [10], смена поляризационных базисов может быть реализована с помощью унитарной матрицы 5

ґї'л

е1

Vе 2

=й-

иЛ 1

V^ 2 J

Q-й + = !■

(18)

Здесь знак “+” у матрицы у означает эрмитово сопряжение, а I - единичная матрица размером (2^2). Векторы е1 = {1,0}т , е2 = {0,1}т, е[ = -^{1,-/'}т, ё?2 = —^^{1,¿}т - орты различных

у12 л/2

поляризационных базисов.

Так для синфазного линейного поляризационного базиса п -й компоненты углового спектра дифрагированного поля е1 = {1,0}т, е2 = {0,1}т переход в циркулярно-поляризационный базис с

ортами е[ = —^{1,-¿}т, е = —^{1,¿}т реализуется с помощью матрицы (5 , имеющей вид

у12 л/2

й =

1 Í1 - Л

V1 i J

(19)

Нетрудно убедиться, опираясь на изложенное выше, что матрица рассеяния для исследуемой нами поверхности в циркулярно-поляризационном базисе будет иметь следующий вид

1

Re = й-RL-й + =-

2

Rhh + iR- iR+ R,

vh

hv

VRhh - iRvh - iRhv - Rv

Rhh + iRvh + iRhv - Rv Л Rhh - iRvh + iRhv + Rvv J

(20)

Для простоты здесь опущены индексы, описывающие угловые компоненты взаимодействующих мод. Эти и подобные соотношения будут использованы нами далее при численном моделировании рассеяния электромагнитных волн на исследуемой поверхности.

5. Результаты численного эксперимента

Соотношения (7) и (14) - (17) положены в основу построенной компьютерной модели взаимодействия поля с земной поверхностью исследуемого типа. Результаты некоторых расчетов и наиболее интересные зависимости приведены на рис. 3 - 8.

Рис. 3. Зависимость модуля элемента

матричного коэффициента отражения для нулевой моды от безразмерной толщины увлажненного слоя при горизонтальной и вертикальной поляризациях падающего поля

О 05 1 15 2 25 3

Рис. 4. Зависимость аргумента элемента матричного коэффициента отражения для первой моды от безразмерной толщины увлажненного слоя в циркулярно-

поляризованном базисе на кроссовых поляризациях падающего поля

Рис. 5. Зависимость модуля элемента

матричного коэффициента отражения для нулевой моды как функции от влажности верхнего слоя при горизонтальной и вертикальной поляризациях падающего поля

Рис. 6. Зависимость аргумента элемента матричного коэффициента отражения для нулевой моды как функции от влажности верхнего слоя на кроссовых поляризациях падающего поля

Рис. 7. Зависимость модуля элемента Рис. 8. Зависимость аргумента элемента

матричного коэффициента отражения для матричного коэффициента отражения для нулевой моды от угла поворота плоскости нулевой моды от моды от угла поворота поляризации зондирующего поля плоскости поляризации зондирующего поля

На рис. 3, 4 изображены графики зависимости коэффициентов отражения на основной и кроссовой поляризациях как функции толщины увлажненного слоя.

На рис. 5, 6 представлены зависимости отражательных характеристик слоя как функции от влажности верхнего слоя почвы.

На рис. 7, 8 представлены изменения указанных выше характеристик при повороте плоскости поляризации линейно поляризованной зондирующей волны.

Заключение

На основе метода инвариантного погружения построена математическая модель взаимодействия поляризованного электромагнитного поля с периодически возмущенной земной поверхностью с увлажненным верхним слоем. Построенная модель позволяет исследовать отражательные характеристики анализируемого элемента земной поверхности при изменении поляризации зондирующего поля, т. е. при поляризационном сканировании.

В работе приводятся результаты лишь численных экспериментов, соответствующих вращению плоскости поляризации зондирующей волны. Однако другие случаи поляризационного сканирования также могут быть рассчитаны на основании используемой методики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Уравнения погружения для обобщенной матрицы рассеяния в теории нерегулярных волноводов // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2010. - № 157.

2. Бояркин С.В. Математическая модель отражения электромагнитного поля от гофрированной поверхности с увлажненным верхним слоем // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2011. - № 169.

3. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Математическая модель излучения рупорной антенной решетки: переход от краевой задачи к задаче Коши // Научный Вестник МГТУ ГА. - № 91.

4. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Об интегрируемости уравнений погружения с сингулярными коэффициентами в задаче о рупорном переходе // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2010. - № 157.

5. Кузнецов В.Л., Рудковский А.С. Трехмерная модель взаимодействия электромагнитного поля с фотонным кристаллом конечной толщины // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2009. - № 145.

6. Birchack J.R., Gardner C.G., Hipp J.E. and Victor J.M. High Dielectric Constant Microwave Probes for

Sensing Soil Moisture // Proc. IEEE. 1974. V.62, P. 93-98.

7. Wang J.R., Schmugge T. J. An Empirical Model for the Complex Dielectric Pertmittiviti of Soils as a Function

of Water Content // IEEE Trans. Geosci. Remote Sensing. 1980. V. GE-18, P. 288-295.

8. Dobson M.C., Ulaby F.T., Hallikainen M., El-Rayes M.A. Microwave Dielectric Behavior of Wet Soil. Part II: Dielectric Mixing Models // IEEE Trans. on Geosci. and Remote Sensing. 1985. V. GE-23, № 1, P. 35-45.

9. Миронов В.Л., Комаров С.А., Рычкова Н.В., Клещенко В.Н. Изучение диэлектрических свойств влажных почвогрунтов в СВЧ-диапазоне // Исследование Земли из космоса. - 1994. - № 4. - С.18-24.

10. Козлов А.И., Логвин А.И., Сарычев В.А. Поляризация радиоволн. Поляризационная структура радиолокационных сигналов // Радиотехника. - 2005.

POLARIZING SCANNING IN THE PROBLEM OF REMOTE SENSING OF PERIODICALLY INDIGNANT TERRESTRIAL SURFACE

Boyarkin S.V., Kuznetsov V.L., Lossiyevskaya T.V.

The task about diffraction of a vector electromagnetic field on periodically indignant terrestrial surface with the humidified top layer is considered. Results of numerical calculations corresponding to various parameters of a terrestrial surface and polarization of a probing field are presented.

Key words: remote sensing, invariant embedding method, polarization.

Сведения об авторах

Бояркин Сергей Валерьевич, 1987 г.р., окончил МГТУ ГА (2010), аспирант МГТУ ГА, автор 2 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование взаимодействия поля с периодическими структурами.

Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах, УВД, безопасность полетов.

Лоссиевская Татьяна Владимировна, окончила МГУ им. М.В. Ломоносова (1965), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор более 30 научных работ, область научных интересов - методы решения уравнений математической физики, моделирование электродинамических систем.