CC BY
58
2007
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
№ 117
УДК 537.874
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА С ОДНОМЕРНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ. ВЕРТИКАЛЬНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В.Л. КУЗНЕЦОВ, Е.А. МУХАЙ
Рассмотрена задача об отражении фазомодулированного электромагнитного импульса гауссовой формы от одномерной периодической поверхности для случая вертикальной поляризации электрического поля. Исследовано влияние вида фазовой зависимости Фn(w)=argRn(w) коэффициента отражения Rn(w) на трансформацию отраженного импульса. Зависимость Фп(ю) получается в результате численного решения матричного уравнения Риккати [1, 2] для коэффициента отражения Rn(w) плоской волны от периодической поверхности. Показано, что при определенных соотношениях между параметрами задачи можно добиться компрессии электромагнитного импульса.
ВВЕДЕНИЕ
Особенности взаимодействия электромагнитных волн с периодическими структурами уже достаточно давно находятся в области пристального внимания [3-5]. Это, во-первых, связано с тем, что такие структуры часто встречаются в различных областях физики и ее приложениях и моделируют объекты, характеризуемые дальним порядком. Во-вторых, строгая пространственная периодичность среды, с которой взаимодействует поле, благодаря резонансным эффектам способствует детальному проявлению особенностей, присущих многократному перерассеянию волн. Последнее может улучшить понимание физической сущности процессов, наблюдаемых при рассеянии волн на сложных структурах. Так, например, известно, что при распространении электромагнитного импульса в периодической плоскослоистой среде (одномерном фотонном кристалле) при определенных условиях могут возникать эффекты частотной модуляции, которые в случае предварительной фазовой модуляции зондирующего импульса приводят к его сжатию по времени [6,7]. В основе этого явления лежат особенности дисперсионной зависимости для фотонных кристаллов [7]. Возможность сжатия импульса и управления его фазой используются, в частности, при получении сверхкоротких лазерных импульсов.
В одномерных структурах брэгговский спектр поля выглядит достаточно просто, и поэтому несомненный интерес представляет вопрос о наличии подобных эффектов в двух- и трехмерных структурах, в которых угловой спектр поля не является вырожденным. В последнем случае
- в отличие от одномерного фотонного кристалла - интересующие нас явления частотной модуляции в той или иной мере присущи всем компонентам углового спектра отраженного поля.
По своей структуре и физике процессов рассеяния двухмерные фотонные кристаллы близки к одномерным периодическим поверхностям. Особенно отчетливо это родство проявляется при рассмотрении взаимодействия поля с такой средой в рамках метода погружения, исходные уравнения которого в применении к задаче рассеяния на поверхности получены недавно в работах [1, 2].
Решение уравнений для поля, полученных методом погружения, приводит к вычислению комплексной матрицы коэффициента отражения, т.е. к нахождению не только амплитуд рассеянных компонент углового спектра, но и их фаз. Возможность вычисления фазовых соотношений позволяет проследить трансформацию импульса при его отражении от периодической структуры. Исследованию этого вопроса и посвящается настоящая работа.
1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим плоский переходной слой 0 < г < Н на границе раздела двух сред. Диэлектрические проницаемости сред, заполняющих области I и II, равны £1 и е2 соответственно, диэлектрическая проницаемость внутри переходного слоя определяется функцией
еслоя (Г ) ■
(1)
е при / (х) < г < Н; е(г) при 0 < г < /(х),
где Г(х) - регулярная периодическая функция с периодом Л (рис. 1). В дальнейшем для простоты будем полагать, что е1 = 1.
Из области I на переходной слой падает фазомодулированный (ФМ) электромагнитный импульс гауссовой формы, поляризованный вертикально:
EQ—)( x ^ t) = EQ—) р
<-) й(-)
а2 + iaQ kQ )г
2 %
ikQ )r — iWQt
(2)
Здесь константа aQ определяет скорость изменения частоты импульса, волновой вектор kQ ) лежит в плоскости (x,z) и равен kQ(—) = {—kQsina, Q, — kQcosa}, где kQ = wQ/c, % - несущая частота импульса. Единичный вектор поляризации р(_) лежит в плоскости падения, перпендикулярен вектору kQ(—) и имеет координаты p(_) = {cosa, Q, — sin a}. Задача состоит в том, чтобы найти параметры отраженного импульса.
2.ОТРАЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА ОТ ОДНОМЕРНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Выражение (2) для падающего импульса можно записать в следующем виде:
EQ—)(x zt) = EQ_) р
(-) (-)
а ' 2
t — -
k( )г*
*0_____
%
-i[wQ—)(t )-t + yQ—)]
где частота фазовой модуляции ^0 )(^) линейно зависит от времени, а скорость ее изменения
(3)
равна
d
~Т WQ—) (t) ^aQ.
1
dt Q ч' 2 Спектральное разложение поля (2) имеет вид:
2
e
2
e
(w-W)2
+¥ 7—'(—) ~* (—)-----------------О *--- :
E(-)(x z t) = Г E0 p „ 2[s2 + ia0] _Jk(-\w)r — iwt
0 —^ 2p(s2 + ia0)
dw, (5)
где k( ) (w) = {—k(w) sin a, 0, — k(w) cos a}, k(w) = w/c.
При рассеянии плоской волны на периодической поверхности образуется дискретный угловой спектр [1, 2]. Каждая компонента спектра при z = H может быть представлена в виде падающего поля, умноженного на соответствующий коэффициент отражения Rn0(w). Учитывая, что в спектре падающего сигнала присутствует множество различных частот, отраженное поле находится в виде интеграла по w:
(w — w)2
Е(п+\х,H,г) = Е0-) Г р } п0 = є 22 + - еШ " (т)Г + 2жіпх/Л-iwdw , (6)
” -^у] 2к(а2 + і"0)
где рп+)(т) = [-kг (т, п)ех + kx (т, п)вг ^ (т)-1, k (т) = т/ c, kx (т, п) = ^ (т^іп"+2рп/ Л,
kz (т, п) = .¡кХт—кХтП2.
Для достаточно узкого распределения Г аусса в (6) можно приближенно положить
Л,„(т) = I Rno(w) І єІФп(т) » АпЄіфп(т), где А,, = | Л„0(т0) |, (7)
а вектор поляризации р(п+) (т) - заменить на независящий от частоты вектор р(п+) = р(п+) (т0) :
Рп} = [-kz (то, п)ех + К (т0, п)є ]*о-1 , (8)
где kx(т0,п) = -^іп"+2рп/Л, kz(т0,п) = , k0 =т0/с.
Тогда формула (6) перепишется в виде:
+. ,,Фп (т) - -() -
ЕП+>(х,н,г) = е0-) ^п*’ Г , п є 22 + '"0] -^ (т)г +2РіпХЛ-'“^т . (9)
п п -^ 2р(2 + і"0)
Иногда возникает ситуация, когда в области полосы частот, занимаемой спектром сигнала, функцию Фп(т), получаемую в результате численного расчета матричного коэффициента отражения (см. ниже), можно аппроксимировать линейной или квадратичной зависимостью.
Изучим аналитически эти два случая. Для линейной зависимости Фп(т) = апа+ Ъп из (9) находим:
: 2 £™( х, H, t) = E0— p n+ > A„e
ei[k0( V —wt + 2pnxlЛ + Ф„(w,)] (10)
^0
По сравнению с приходящим сигналом (2) сигнал (10) сдвинут по времени на величину Фп (®0) = ап и имеет ту же длительность.
Критерием применимости формулы (10) является выполнение следующих двух условий:
Г |^2 + iao\<<Wos, 1 4,1 п \ << Л.
Для квадратичной зависимости Фп (w) = anw + bnw+ cn из (9) получаем:
— rt+iAt—w—Фпw) ^()
E[+)(x,H,t) = E0—) P+ Bne L w J . ei[k0()r — wt + 2pnxЛ + фп(w)]
где s2 = S g = a0[1 + 2ana0] + 2anS
n [1 + 2aa ]2 + 4a^s4 ’ Pn [1 + 2ana0 ]2 + 4a]S
2
Фп (Щ,) = ап^> + ЬпЩ> + Сп , Ф'п Ш = 2апЧ + Ьп , Вп = Ап/V1 + 2апа0 - 2К°2 , Г = Iх. У, НЬ
Рп } = \-к? (К . п)ех + кх (К . п)ег К1 . к0 = К0 /С .
Критерием применимости формулы (12) является выполнение следующих двух условий:
Г \^п2 + Ьп \ <<КА,. (13)
1 4| п \ << Л.
Заметим, что для зеркально отраженного импульса (п = 0) второе условие в (11) и (13) выполнено автоматически. Второе условие означает “узость” комплексного распределения Г аусса в спектральном разложении отраженного сигнала.
Выражение (12) можно также записать в следующем эквивалентном виде:
е:<(х,H,t)=£<-> p? B„e "L 0 >(+)
s2 Г -(~)г 12
■s t - w-ф; (wo)
e-i [Q(„+)(t )t + Y(„+)] (14)
где частота фазовой модуляции W(n (t) линейно зависит от времени, и скорость ее изменения равна
d n->(t >=2b (15)
Характерные длительности падающего и отраженного импульсов определяются формулами
70(-) = s_1; T(n+) = s-1 • Коэффициент сжатия импульса равен
Р, = TfVT(+’ = l/V(1 + 2йп«о)2 + 4a,2s4 . (16)
Отраженный импульс будет сжат по времени (T(n+> < T0(-)), если выполнены следующие условия для а0 и ап:
-1/2ап -V 1/4а2 -s4 < а <-1/2ап + V1/4аП -s4 , | ап | < 1/2s2 .
Максимальное сжатие достигается при
а? =-т1-, К|<-^. (17)
2ап 2S
При этом оказывается выполненным неравенство | а0р | > s2, а минимальная длительность отраженного импульса и максимальный коэффициент сжатия равны
Т{+) = 2 | а | s, р = 1/21 а | s2 > 1.
пmm I п \ ’ А^пmax / I п I
Заметим, что а0р можно записать в виде:
а0р=-1/ф; (®о). (18)
В случае, если условие | ап | < 1/2s2 не выполнено, то сжатие отраженного импульса не
возможно, однако выбором а0 согласно формулам (17) или (18) достигается минимально возможная длительность отраженного сигнала.
Для максимально сжатого импульса величина ДГ = 1/2ап (ДГ =-а0кр), и для скорости изменения частоты фазовой модуляции во времени имеем:
d a+Ht)=41-, (19)
dt 4а„
тогда как для падающего импульса
d W0-)(t) = - 41-. (20)
dt 4а
п
Видно, что знак скорости изменения частоты фазовой модуляции меняется на противоположный. Равенство /5п = —а0 также выполняется при
а =—1/2а ±>/ 1/4а2 —а ,
где | ап | < 1/2а2, что соответствует равенству длительностей падающего и отраженного импульсов т(п+} = т0(—).
Перейдем теперь к рассмотрению метода, позволяющего рассчитать коэффициент отражения плоской электромагнитной волны от рассматриваемой изрезанной поверхности.
3.УРАВНЕНИЕ РИККАТИ ДЛЯ МАТРИЧНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ОТРАЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПОЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
В работах [1, 2] решена задача о рассеянии на одномерной периодической поверхности плоской электромагнитной волны, падающей на переходной слой под углом а (см. рис. 1). В основе примененного к решению задачи подхода лежит так называемый метод расслоения, развитый в [8, 9]. Однако при внимательном рассмотрении в нем можно обнаружить элементы метода погружения [10]. Идея метода заключается в следующем: внутри переходного слоя выделяется тонкий слой толщины АЬ (И < г < И + АИ ) и окружается бесконечно узкими зазорами, в которых е = 1. Далее рассматривается вспомогательная задача о рассеянии падающих на элементарный слой А^ плоских волн. Выводимые в рамках метода уравнения строятся именно для полей в этих зазорах. Поля в зазорах являются действующими и совпадают с измеряемыми лишь на верхней границе переходного слоя и в промежутках между горбами периодической поверхности, где е = 1. Также одним из существенных пунктов метода является предположение о выполнении гипотезы Рэлея для полей в зазорах [11]:
Е(±)(х, г) = £ ЕП±)(г) • ехр[/1х(п) х ± ік2 (п) г], (21)
где компоненты волнового вектора определяются следующими выражениями:
кх(п) = —кБта + 2рп/Л, кг(п) = к2 — кх(п)2 , к = ю/с .
Для поля вертикальной поляризации амплитуды Еп(±)( г) имеют вид:
Ё*п(±) (г) = [+кг (п) ех + кх (п) ег ] • к-Е(±) (г). (22)
Вычисляя от поля (21) фурье-образ в соответствии с формулой
- +¥
Ё(а, г) = — Г Ё(х, г) в~щх dx,
2к*
с учетом (22) получаем:
Е±\я,2) = £ ЕП±>(2)¿¡[кх(п)-q], (23)
П=-¥
где
Еп±)(г) = [+к:(п) ё, + К(п) ё,]• к-‘^’(г). (24)
Здесь скалярные функции Е^±)(г) определяются выражением:
Еп )(г) = Е„(± )(г)ехр[± ¡кг (п) г ] . (25)
Подставляя (24) в полученную в [1, 2] систему дифференциальных уравнений для векторных функций Е^\г)
± ^Ё;±'( г) = к (п) Ё?( г) + к 2[е(1) ~1] Гт(») А( г) • £ Р.., (г )[Ё,*>( г)+Ё'Л г)],
аг р ,
П=—¥
где матрицы Г(+)(и) и А( г) определяются выражениями
(п) кг 0 +кг (п) • кх (п)^ Г1 0 0 Л
Г№(п) = 2к2 к2 (п) 0 к2 0 II и 0 1 0
г У у ч+кг (п) • кх (п) 0 ()п к V 0 0 е( г )-1,
получим следующую систему для скалярных функций Е<(±\г) :
±—-Е?’ (г) = ¡К(«)Е;1)(г) +, к[е(;>~11X
аг 2>
XIФ^ (г)[ЕІ+} ( г) + Е« (г )] ± Ф« ( г )[ Е« (г) - Е« ( г)]
(26)
где ФПт)(г) = рп-ш(г) ?х(т\ - резонансная матрица-функция; Ф1!)(г) = рп_т (г)к2 (т)к-1 -
к(п) •к е(г)
нерезонансная матрица-функция; Гп (г) = п_1 $,т[2яп/ _1(г)/ Л] - функция, определяемая геометрией задачи; /_1(г) - функция, обратная Дх) на интервале х є [0, Л/2].
При подстановке умножение матрицы на вектор следует трактовать как умножение матрицы на столбец, составленный из декартовых координат этого вектора. Затем, чтобы перейти от векторной записи к скалярной, надо спроектировать уравнения на оси координат. При этом проектирование на оси Ох и 02 дает один и тот же результат, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой.
Введем в рассмотрение матричный коэффициент отражения согласно формуле
ЕП+)( г) = I К, (г) • Ет_)(г), (27)
т
и ограничимся в (26) и (27) рассмотрением конечного набора из N мод Е((±\г) , п є I. Множество индексов I определяется как I = {п1, п2,..., пы }, и все индексы упорядочены по возрастанию (п1 < п2 < ... < пы). Тогда систему (26) можно переписать в матричном виде:
— X (г) = А( г) • X + В( г) • У,
ёг
—У( г) = С( г) • X + Б( г) • У,
ёг
где неизвестные вектора X (г) и У (г) записываются в виде столбцов
ҐТ7(+)^\Л ҐТ7(-)Ґ~\Л
(28)
X (г) =
Е+)( г)
ЕП+Ч г)
и У ( г ) =
ЕП_)( г)
Е(~)( г)
V ^ ^ ',
а матрицы коэффициентов определяются следующим образом:
К, (г) = ік, Шт, + і кИ,г) _1] [ФПт) (г) + Фпт)(г)],
2>
• к[е( г) _ 1],
В (г) = ^ [Ф(Г)(г) _Ф(п)(г)],
пт У у •- пт У у пт У ' і ’
2>
С (г) = _В (г), Б ( г ) = _ А ( г ).
пт У ' пт У ' ’ птУ ' пт У '
Для векторов X и У связь (27) можно записать в виде:
Xn (г) = I Кпт (г) • Ут (г), п є 1 .
т
Тогда в соответствии с теорией матричного уравнения Риккати [12] коэффициент отражения R(z) удовлетворяет уравнению
dR
— = A( z) • R( z) + B( z) - R( z) • C( z) • R( z) - R( z) • D( z). (30)
dz
Подставляя сюда выражения (29) для матриц A, B, С и D, получим уравнение для Rnm (z) в явном виде:
d Rnm (z) = i[kz (n) + kz (m)] Rnm (z) + i k[e(P 1] X
dz 2p
X«’ (z )R,„ (z) + R„t (z )Ф «(z ) + Rnk (z^« (z ) Rpm (z ) + Ф« (z ) + (31)
+ ®C’(z )Rm (z ) + R* (z)F(;>(z ) - Rnk ( z )Ф«( z ) Rpm (z )-Ф^ z )}.
Здесь по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. При z=0 происходит отражение плоских волн от плоской границы полупространства, заполненного однородным веществом с e=e2, и поэтому граничное условие для Rnm (z) следует из выражения для френелев-ского коэффициента отражения в случае волн вертикальной поляризации:
Rm(0) = R|(n) S„„ (32)
где RYn) = eikz<ei-n)-eA(e-n), k (e n) = Jkге-k (n)2 , n,ms I.
Д R|' ’ e2k.(e,n)+ekz(e,n)' Л ' ’ V A ’
Уравнение (31) можно переписать в матричном виде:
— = ik • K х R( z)+ik[e( z) -1] [ R( z)+/] Ф(г) (z) [ R( z)+/] -
dz 2p (33)
-ik[e(z) -1] [R(z) - /] Ф(п) (z) [R(z) - /].
2p
Здесь Knm = [kz (n) + kz (m)]k- - симметричная матрица размера (N*N); (K хR)nm = Knm • Rnm - по-
ж(г), ч ^ / ч kx(n)• kx(m)
элементное произведение матриц; Ф^ (z) = Fn-m (z) —-------------x----- - резонансная матрица-
k(n) •k e(z)
функция; ФППя1( z) = Fn-m (z)kz (m)k- - нерезонансная матрица-функция;
Fn (z) = n-1 sin[2pnf_1(z)/Л] - функция, определяемая геометрией задачи; f _1(z) - функция, обратная f(x) на интервале x s [0, Л/2]; kx (n) = -k sin a + 2pn/Л, kz (n) = yjk2 - kx(n)2 , k = Wc;
I - единичная матрица размера (N*N); индексы n, m s I = {n1, n2,..., nw }; z s [0, H ].
Начальное условие для уравнения (33) имеет вид:
R(0) = diag R| (n), (34)
nsI
где Ri(n) = ek(en en), kz(en) = 4k2e-kx(n)2, e =1.
e2kz (e n) + £1k z n)
4.ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
В данной работе рассматривалось нормальное падение импульса электромагнитного излучения на переходной слой (a=0°). Несущая частота была выбрана равной f0=1 ГГц (w0= 2pf0 » 6,3 ГГц), что соответствует длине волны 10=30 см. Полуширина импульса (2) составляла о=2я10 Гц, константа Оо подбиралась из условия (18) для максимального сжатия отраженного импульса.
а)
б)
Рис. 2
График зависимости фазы коэффициента отражения Фп0 от величины ю' = Л/1 (1 =
2рс/ю) для случая е = 3,7 + 0,11 (сухая почва, Г0 = 1 ГГц). Параметры модели: а = 0°, Л = 105 см, Н = 29,6 см, N = 45, о = 2р 107 Гц, 10 = 30 см, пилообразный профиль поверхности
График зависимости модуля коэффициента отражения |Яп0| от величины ю' = Л/1 (1 = 2рс/ю) для случая е = 3,7 + 0,1 (сухая почва, ^ = 1 ГГц). Параметры модели: а = 0°, Л = 105 см, Н = 29,6 см, N = 45,
о = 2р107 Гц, 10 = 30 см, пилообразный профиль поверхности
а)
Рис
График зависимости фазы коэффициента отражения Фп0 от величины ю' = Л/1 (1 =
2рс/ю) для случая е = 14,0 + 1,81 (влажная почва, ^ = 1 ГГц). Параметры модели: а = 0°, Л = 105 см, Н = 29,6 см, N = 45,
о = 2р 107 Гц, 10 = 30 см, пилообразный профиль поверхности
б;
3
График зависимости модуля коэффициента отражения |Яп0| от величины ю' = Л/1 (1 = 2рс/ю) для случая е =14,0 + 1,81 (влажная почва, ^ = 1 ГГц). Параметры модели: а = 0°, Л = 105 см, Н = 29,6 см,
N = 45, о = 2р107 Гц, 10 = 30 см, пилообразный профиль поверхности
Периодическая поверхность имела вид пилы и на участке хе [0, Л/2] определялась функцией Г(х)=Н(1-2х/Л). Такой поверхности соответствует следующая функция Ц (г), определяющая
коэффициенты уравнений (26) и (33): Ц (г) = I -1 б1п[Р (1 - г/И)]. Среда внутри переходного
слоя при ъ < Г(х) предполагалась однородной, и расчеты производились при е = 3,7 + 0,11 и е = 14,0 + 1,81, что соответствует диэлектрической проницаемости почвы при объемной влажности, равной 4,3% и 24,3%, на частоте Г0=1 ГГц [13]. Значение е2 каждый раз выбиралось равным е. Коэффициент отражения рассчитывался на интервале частот, для которого величина ю' = Л/1
меняется в пределах w' s (3, 4). На этом интервале моды с n = 0, ±1, ±2, ±3 являются однородными, а все остальные - неоднородными. Период функции f(x) был выбран равным Л = 105 см, что соответствует w = Л/1 = 3,5 (середина интервала изменения для w'); высота переходного слоя равнялась H = 29.6 см. Система (33) решалась методом Адамса-Бэшфорта-Мултона переменного порядка точности. Результаты расчета фазы Фп(ю) и модуля коэффициента отражения |Rn(w)| представлены графически на рис. 2-3. Разрывы в фазовых зависимостях обусловлены скачками фазы на p и на 2p. На краях интервала наблюдается резкое увеличение коэффициента отражения, соответствующее так называемым аномалиям Вуда [14]. Условие резонанса на n-й моде имеет вид:
Л =------Ini1----. (35)
1 + sgn n • sin a
Для e = 3,7 + 0,1i при решении (33) общее число уравнений равнялось N = 45 и рассматривались моды с номерами n = -22, -21, ..., +21, +22. Фазовая кривая, соответствующая центральной однородной моде n = 0 (рис. 2, а), аппроксимировалась вблизи точки w0 = 6,3 Гц (w0 = 3.5) параболой методом наименьших квадратов. Коэффициенты параболы оказались равны а0 = -4,210-17 с2, b0 = 5,210-7 с и с0 =-1630. Начальная фазовая модуляция импульса подбиралась в соответствии с формулой (18), что дало значение a0 = 1.2-10 Гц и скорость изменения частоты (4) падающего импульса:
— W0-)(t) = 6.0 -1015 Гц/с.
dt
За время длительности падающего импульса Г0(-) = <т_1 = 16 нс частота падающего импульса изменяется на величину DW0-) = 0.1 ГГц .
Параметры отраженного импульса в соответствии с соотношениями, следующими за формулой (12), оказались равными s0 = 0,2 ГГц, b0 = -1,2-10 Гц . Длительность отраженного импульса при этом равнаT0(+) = 5.2 нс, что соответствует сжатию в р0 = 3,0 раза. Отраженный импульс “опережает” по времени падающий на величину Dt = -Фг(®0) = 2 нс . Скорость изменения частоты отраженного импульса (15) отличается от скорости изменения частоты падающего импульса знаком:
d W0+)(t) = -6.0 -1015 Гц/с. dt 0
Для e = 14,0 + 1,8i при решении системы (33) также учитывались моды с номерами n = -22, -21, ., +22, и число уравнений в (33) составило N = 45. Фазовая кривая для n = 0 (рис. 3, а) была аппроксимирована вблизи точки w0 = 6,3 ГГц (со0 = 3,5) параболой с коэффициентами а0 =
—1,7-10-16 с2, b0 = 2,110-6 с и с0 = -6660. Константа a0 = 2,91015 Гц2 для обеспечения максимального сжатия отраженного импульса была выбрана в соответствии с формулой (18). При этом параметры отраженного импульса оказались равны s0 = 0,05 ГГц, b0 = -2,9-10 Гц . Отраженный импульс имеет длительность Г0(+) = 21,4 нс, что с учетом продолжительности падающего импульса T0(-) = 15,9 нс дает величину коэффициента сжатия р0 = 0,75. Коэффициент отражения оказался меньше единицы, т.к. несущая частота со0 = 3,5 попала на плоское плато левее крутой параболы (см. рис. 3, а), и при найденном значении коэффициента а0 условие
1 a0 1 £ V2s" оказалось невыполненным. В подобной ситуации выбор начального чирпа a0 в соответствии с формулой (18) обеспечивает максимальное сжатие отраженного импульса, однако продолжительность этого максимально сжатого импульса все же оказывается больше продол-
жительности падающего. Отраженный сигнал “опережает” падающий на At = -F/(w0) = 7,4 нс, а скорость изменения его частоты согласно (15) равна
d W0+)(t) = -15-1015 Гц/с, dt
тогда как для приходящего сигнала в соответствии с (4)
d W0-)(t) = +1.5-1015 Гц/с . dt 0
За время длительности падающего импульса 70(-) = 15 9 нс частота падающего импульса изменяется на величину AW0-) = 0.02 ГГц .
Из рис. 2-3 видно, что при увеличении диэлектрической проницаемости e вещества внутри слоя коэффициент отражения возрастет по модулю, а фазовые зависимости сглаживаются и несколько деформируются. В целом же, при прочих равных условиях задачи общий вид кривых Rn(w) и Ф„(ю), их взаимное расположение и характер изменения остаются неизменны.
5.КРАТКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
Исследован процесс отражения ФМ импульса с вертикальной поляризацией электрического поля от диэлектрического слоя с периодически модулированной поверхностью. Пространственный масштаб Л и высота H пилообразных выступов на поверхности переходного слоя были выбраны сравнимыми со средней длиной волны 10 ~ Л, H падающего импульса. Значения комплексной диэлектрической проницаемости e вещества внутри слоя соответствуют двум различающимся по влажности состояниям земного грунта. Для решения задачи использовался развитый в работах [1,2] метод расслоения, позволяющий построить матричное уравнение Риккати для комплексной матрицы коэффициента отражения Rn(ff>), описывающей многомодовый спектр рассеянного излучения. Показано, что поведение отраженного импульса определяется характером фазовой зависимости Фп(ю) матричного коэффициента отражения Rn(w). В случае, когда зависимость Фп(ю) имеет вид параболы, подбором начальной фазовой модуляции падающего импульса можно добиться его эффективного сжатия при отражении.
ЛИТЕРАТУРА
1.Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimensional interface: TE polarization. // Progress In Electromagnetic Research, PIER 24, 1999.
2.Барабаненков Ю.Н., Кузнецов В.Л. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности. // Радиотехника и электроника, Т.44, № 6, 1999.
3.Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М. : Иностранная литература, 1959.
4.Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.
5.Elachi C. Waves in active and passive periodic structures: a review. // Proceedings of IEEE, V.64, 1976.
6.Ахманов С.А., Выслоух В. А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988.
7.Желтиков А.М., Коротеев Н.И., Магницкий С.А., Тарасишин А.В. Компрессия световых импульсов в фотонных кристаллах. // Квантовая электроника, Т.25, № 10, 1998.
8.Кузнецов В.Л., Буданов В.Г. Поляризационные характеристики электромагнитного поля, многократно рассеянного в ансамбле точечных рассеивателей. // Известия вузов, Радиофизика, Т.31, №4, 1988.
9.Rino C.L. A spectral domain method for multiple scattering in continuous randomly irregular media. // IEEE Transactions on Antennas Propagation, V.36, № 8, 1988.
10.Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука, 1986.
11.Гандельман Г.М., Кондратенко П.С. Полное подавление металлического отражения при резонансном возбуждении поверхностных плазменных волн. // Письма в ЖЭТФ, Т.38, Вып.5, 1983.
12.Математическая энциклопедия. Т. 4. М.: Советская энциклопедия, 1984.
13.Боярский Д.А., Тихонов В.В. Учет диэлектрических свойств связанной воды при моделировании эффективной диэлектрической проницаемости влажных почв в СВЧ-диапазоне. // Радиотехника и электроника, Т.43, №4, 1998.
14.Wood R.W. Anomalous Diffraction Gratings. // Physical Review, V.48, №12, 1935.
INTERACTION OF ELECTROMAGNETIC IMPULSE WITH ONE-DIMENSIONAL PERIODIC SURFACE. THE CASE OF VERTICALLY POLARIZED ELECTRIC FIELD
Kuznetsov V.L., Mukhay E.A.
The task of Gaussian frequency-modulated electromagnetic impulse scattering from one-dimensional periodic surface in case of vertically polarized electric field is considered. Influence of reflection coefficient Rn(w) phase-dependence Fn(w) = arg Rn(w) character on scattered impulse transformation is analyzed. Dependence Fn(w) is derived as a result of numerical evaluation by variable order Adams-Bashforth-Moulton method of matrix Riccati equation [1, 2] for reflection coefficient Rn(w), which describes plane wave scattering from the considered periodic surface. It is shown that specific relations between task parameters yield electromagnetic impulse compression. Similarity between one-dimensional periodic surfaces and one-dimensional photonic crystals is emphasized.
Сведения об авторах
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. Ломоносова (1972), доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 60 научных работ, область научных интересов - распространение волн в случайно-неоднородных средах, дистанционное зондирование, фотонные кристаллы.
Мухай Евгений Александрович, 1975 г.р., окончил МИФИ (1998), аспирант МГТУ ГА, автор
3 научных работ, область научных интересов - радиолокация, дистанционное зондирование.
