CC BY
31
2009
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА серия Прикладная математика. Информатика
№ 145
УДК 537.874
ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ С ФОТОННЫМ КРИСТАЛЛОМ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ
В.Л. КУЗНЕЦОВ, А.С. РУДКОВСКИЙ
Построена трехмерная электродинамическая модель фотонного кристалла Лина-Флеминга, описывающая дифракцию векторного поля.
Ключевые слова: фотонный кристалл Лина-Флеминга, метод погружения, поляризация.
Введение
В настоящее время развивается несколько подходов к решению задачи взаимодействии электромагнитного излучения с периодическими 3Б—структурами. Это метод композиции операторов рассеяния Ватсона (техника Т-матрицы) [1], метод инвариантного погружения [2] и метод трансфер-матриц [3]. В настоящей работе развивается подход на основе метода инвариантного погружения. Он позволяет свести краевую задачу для уравнения Г ельмгольца к решению начальной задачи (задаче Коши). Уравнения погружения строятся относительно новых переменных - коэффициентов отражения и прозрачности, удовлетворяющих принципу динамической причинности.
Данная статья посвящена разработке математической модели фотонного кристалла (ФК) Лина-Флеминга, представляющего собой «поленницу» из диэлектрических цилиндров (рис. 1).
При такой геометрии в пространственном спектре отраженного и прошедшего поля, как во всяком 3Б-ФК, присутствует весь спектр плоских волн с векторами кр = {кг, д0 + кх ■ п + ку ■ р}, п,р е 2.
Здесь кх, к - базисные векторы обратной решетки ФК, а д0 - проекция к0 - волнового вектора поля, падающего на ФК. Отличие
модели рассматриваемого кристалла от общего случая заключается в том, что для ФК Лина-Флеминга, как показано далее, значитель-Рис. 1. Общий вид ФК ная доля уравнений погружения вырождается в легко интегрируе-Лина-Флеминга мые уравнения, что существенно сокращает объем вычислений.
1. Постановка задачи
Периодическая структура, моделирующая ФК Лина-Флеминга (рис. 1), представляется совокупностью слоев, образованных прямоугольными брусьями с диэлектрической проницаемостью е, шириной ёх для всех нечетных слоев и ёу — для четных. Периодичность структуры
слоев вдоль соответствующих осей задается периодами Лх и Лу соответственно. Сверху на структуру падает плоская монохроматическая электромагнитная волна с заданной поляризацией и волновым вектором к = (цпх., дру, к2), где дтх и дру определяются аналогично соотноше-
О тг О
ниями вида: Чтх = дох + — ■ т, т е 2, Чйх < — .
Лх Л х
Определим матричные коэффициенты отражения арВП^п(И) и прозрачности арТп^гР(И) как функции толщины ФК — И. Параметр / характеризует поляризацию падающей волны, а а-поляризацию; (п, ^)- компоненты пространственного спектра дифрагированного поля. При решении задачи будем использовать метод инвариантного погружения [2,4-6].
2. Математическая модель расчета ФК Лина-Флеминга
2.1. Математическая модель 3D ФК. Переход к архитектуре Лина-Флеминга
Несмотря на относительную простоту каждого слоя, их взаимное расположение приводит к тому, что при описании ФК Лина-Флеминга необходимо учитывать все особенности взаимодействия поля с кристаллом, присущие 3D моделям. Предпочтительнее рассмотреть общую трехмерную модель, а затем перейти к архитектуре Лина-Флеминга с помощью предельного перехода (dy ® L ), как это показано на рис. 2.
В соответствии с идеологией развиваемого метода [5,6] выделим тонкий (элементарный) слой ФК, ограниченный плоскостями z = const, z + Dz = const. Толщина элементарного слоя Dz мала, так что рассеяние поля на нем можно рассчитывать в борновском приближении:
Рис. 2. Переход к архитектуре Лина-Флеминга
—® ® {• /\ —®
E (r ) = E0 (r ) + \ dr'Г (r, r)[(e (f) - 1]k2 En (r) :
(1)
AW
где Г - тензорная функция Грина; AW - часть пространства, занимаемая элементарным слоем;
E0(r) - общее решение однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее краевым условиям для элементарного слоя.
—® ® ®
E (r) и E0(r) - поля вне элементарного слоя, а Ein (r) - поле внутри элементарного слоя, определяющееся по формуле:
AE0(r) при r е AW'
^ E0 (r) при r £ AW'
Здесь AW' - часть пространства элементарного слоя AW, характеризуемая e(r) = e, а A = diag{\, 1,1/ e}.
В (q, z) - представлении (ось Oz направлена наружу по нормали к верхней границе ФК) соотношение (1) может быть переписано в виде:
—®
' 4(e- 1)^о2 • Em
Ein (r ) :
(2)
E± (q, z ±Az) = E (q, z)eikzAz + £ Г± (q, ±0)A
L x (4mx- qx )L v (qm - )
-X
y\!py
Xsin(^ (qna - qx)) sin(i (qpy - qy )) £ S(qx - qtm - L j) £ S(qy - qw - ^ k> Az-
2 2 j =-¥ L x k = -¥ L y
(3)
Знак «+» соответствует плоским волнам, распространяющимся в направлении оси 02, знак «-» соответствует волнам противоположного направления, ^ - проекция волнового вектора к на верхнюю границу ФК. Функция Грина имеет вид
Г±Д^ +0):
k 2d
-ka• kß
(4)
2 • к2 кг
Здесь 8ар - символ Кронекера (а и / пробегают значения х, у, 2).
В выражении (3) 5-функции определяют направления, в которых распространяются дифрагированные поля. Переходя от уравнения (3), записанного в конечных разностях, к дифферен циальному уравнению для амплитуд углового спектра дифрагированного поля, приходим к сле дующей системе дифференциальных уравнений:
m
Е5 ± ( г) -
± = ік, (п, *)-ЕП ± (г) + 2 Г
5 р ±
пт
± (е- 1)к„2 - А - (Ет± (г)+ Ер' (г))
р2(п - т)(* - р)
х
. жйх (п - т) . рЧ- (5 - Р)
х Б1п(------—---------- ) Б1п(--------------)
(5)
Л„
Л,
В соответствии с архитектурой Лина-Флеминга ФК состоит из слоев со вставками, ориентированными либо вдоль оси ОХ, либо ОУ. Рассмотрим слой со вставками, параллельными оси ОУ (аналогично для другой ориентации). Из (5) при предельном переходе ёу ® Лу видно, что
во всех случаях при * ф р второе слагаемое (5) равно 0, и в таких случаях поле будет распространяться без взаимодействия с ФК. При * = р воспользуемся в правой части (5) связью
Ііт БІп
Л,.
(5 - Р)
/(* - р) = Р.
Введем связь между дифрагированным - Е"п + и падающим - £)р+ полями через коэффици енты прозрачности и отражения элементарного слоя
Е * ± = рр ±. Е р± Е * ± = г'р Е рт
п пт т ’ п пт т
Нетрудно видеть, что выражения для этих коэффициентов имеют вид:
(6)
^р ±
"пт
■ I - з,„ ■ бр+1 - ік, (п, 5) - д,+2 г::± - ¿,р •(£, Біп(рЧ(Л т)) - д,
р V р р(п - т) Л
2 Г 1Г± <е~1)Ч А ж<1(п-т)) д, .
/ и пт яр ,■ ч V * '
р(п - т)
Л
(7)
(8)
Члены в (7) и (8), пропорциональные Д,, описывают взаимодействие волнового поля с элементарным слоем. Обозначим коэффициенты пропорциональности как г и р соответственно. Тогда система уравнений (5) может быть переписана в виде
± ЧЕп (г) = 2 рр± (,), Ер± (,)+2 г°р± (,). Ерт (,).
т пт У у т V ' пт У у т V '
М7 ГУ]
(9)
2.2. Переход в поляризационные базисы спектральных компонент
Матрицы, фигурирующие в (9), являются многоиндексными, их использование при решении уравнений делает выкладки громоздкими. Поляризацию спектральных компонент поля удобно выражать в поляризационном базисе горизонтально и вертикально поляризованных
волн, т.е. представить векторы Е ± в виде Е Ек ±, Еу±) , где Ек ± и Еу ± - горизонтальные
и вертикальные компоненты поля спектральной моды.
Для осуществления такого перехода представим функцию Грина в виде матрицы блочной структуры. Каждая компонента такой матрицы описывает преобразование некоторой плоской волны определенной поляризации (горизонтальной или вертикальной) в другую фиксированную моду с заданной поляризацией
Л
(Г ±
1 ьь
К ]Г± ]Г ±
V ук уу у
Г ®
Метод получения таких матриц и их явный вид описан в [7].
т
а- ®Л-
т
Вид матриц коэффициентов отражения и прозрачности существенно упростится, если в каждой компоненте пространственного спектра представить поле в его базисе горизонтально и вертикально поляризованных волн. Для этого достаточно использовать оператор поворота
^ cos в! • cos as cos в! • sin ai ± sin вs ^
usn ± =
V
- sin an + sinq cosa;!
cos asn 0
+ sin dsn • sin aП cos qsn
n n n
(10)
в котором углы р6п и 6*п рассчитываются для каждой (п, п) - компоненты пространственного спектра дифрагированных волн, а полная матрица поворота представляет блочную матрицу и± = )±|| с блоками иП±, где "+" соответствует отраженным полям, а " - прошедшим.
В новом представлении уравнения (9) записываются в виде:
и?-[ м гпт ]-йг )-1 и? ■[ гпт ]-(йт г'
и)П± ■ [„ К, ] - й’ )-1 й± ■ [ р2, ] - и' )-1
± d
dz
( е s± Л
Enh
Es±
nv У
Е Р ’ Л
ЕР+
V mv У
+
+z
1 nUS ± ; л ]-(Um * )-1 u'„ * • ; л ]-Urn * )-1' ± ( Е p ± Л Emh
U n ±- ;„tm ]• * )-1 иs *• tsp ] • (U p ± )-1 vv nm ] V m у ep ± V mv у
(її)
2.3. Уравнения погружения для ФК с архитектурой Лина-Флеминга
Для получения уравнений погружения воспользуемся методом расслоения [7]. Продифференцировав по 2 соотношение Е+ (z) = К(z)• Е- (z) , определяющее связь падающего и отраженного полей, и исключив из результата с помощью (11) производные поля, получаем для матричного коэффициента отражения К уравнение Риккати
dRsP-+в •
~d¡T + Rn
•(rkr +)• в
Г + K¡ -Л +)+(tk-)' R
rp - + rsp -
'km r nm
0.
(12)
Аналогично можно получить уравнение для матричного коэффициента прозрачности Т
йТТ
dz
= tsi + • Т1Р+ ■
nk km
• fip+ + Rsi + • ( rq +)• fqp+
km nk kl lm
(13)
Из (12), (13) с учетом (7), (8) можно видеть, что при расчете слоя ФК Лиина - Флеминга с ориентацией вставок вдоль оси ОУ при п Ф р уравнения погружения существенно упрощаются
dRsp -
nm
dz
+R7m - • ikz (m Р)+ikz (ns) •R
dTsp+
—= ¡kz (n, s) • ГР +.
i z\ 5 / nm
dz
sp -nm
0,
(14)
(15)
Эти уравнения имеют простые аналитические решения и не требуют значимых временных затрат при численном расчете. Если при учете N мод для 3Б ФК приходится считать Ы4 уравнений типа (12), (13), то для ФК Лина-Флеминга - только N2. В этом проявляется простота геометрии ФК Лина-Флеминга в сравнении с обычным 3Б ФК.
Дифференциальные уравнения (12-15) оснащаются простыми начальными условиями
-(0) = 0 и Тпр + =д д , (16)
пт \ у пт пт пр>
которые вместе с (12-15) формируют математическую модель ФК Лина-Флеминга.
т
k
3. Результаты численного моделирования
Описанная выше математическая модель тестировалась с помощью теоремы Пойнтинга, согласно которой суммарный поток дифрагированного поля на однородных модах
п = п++п- = 22 \к (п, *)
Кзр • Ер
а,р пт Р т
+22\к(п, 5)
Т8р • Ер
а,Ь пт р т
должен быть равен потоку энергии падающего поля - \кг (т, р)|- [¡£^12. Далее полагается, что амплитуда падающего поля равна единице.
Результаты тестов согласуются с точностью до 10-6. Число мод N в расчетах выбиралось так, чтобы группа однородных мод была окружена «слоем», состоящим как минимум из трехчетырех неоднородных мод. На рис. 3 приведены зависимости потока энергии поля, прошедшего через кристалл П- в случае горизонтальной (рис. 3а, ¡ = к) и вертикальной (рис. 3б, ¡ = V )
поляризации падающего поля как функции отношения 1Л, где 1 - длина волны излучения, а
Л - период кристаллической структуры. Волновой вектор падающей волны (нулевая мода) задавался азимутом и углом места, равными р0 = ж/7 и в0 = ж/9 соответственно. Величина диэлектрической проницаемости вставок выбиралась равной ( 2.9)2 .
а б
Рис. 3. Зависимость потока энергии поля, прошедшего через кристалл: а - в случае горизонтальной поляризации; б - в случае вертикальной поляризации как функции отношения 1Л
На рис. 4а, б представлены зависимости модулей матричных элементов коэффициентов отражения к Х0° и прозрачности ¿ДэЛ для нулевой моды в зависимости от безразмерной тол-
к
щины слоя ч при горизонтальной поляризации падающего поля.
а б
Рис. 4. Зависимости модуля матричных элементов коэффициентов отражения и прозрачности
для нулевой моды от безразмерной толщины слоя к1 при горизонтальной поляризации
падающего поля: а - коэффициент отражения: б - коэффициент прозрачности
2
2
Приведенные примеры расчетов носят иллюстративный характер и преследуют цель продемонстрировать работоспособность построенной математической модели.
Заключение
В работе развивается относительно новый подход к моделированию эффектов взаимодействия электромагнитного излучения с трехмерным фотонным кристаллом, основанный на применении метода инвариантного погружения. Достоинство метода заключается в том, что он позволяет корректно рассчитать не только энергетический спектр кристалла, но и вычислить его параметры для любой конечной толщины. Получены уравнения погружения для матричных коэффициентов отражения и прозрачности для фотонного кристалла Лина-Флеминга и приведены результаты численных расчетов этих величин, иллюстрирующие работоспособность модели. В качестве основного теста для проверки достоверности получаемых численных результатов использовалась теорема Пойнтинга.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гольдбергер З.М., Ватсон К. Теория столкновений. - М.: Мир, 1967.
2. R. Bellman and G. M. Wing. An introduction to invariant imbedding, Wiley Interscince, New York, 1975.
3. С. Barnes and J. B. Pendry. Multiple scattering of waves in random media: a transfer matrix approach // Proc. R. Soc. Lond. A 437, 185, 1991.
4. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. - М.: Наука, 1986.
5. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimensional interface: TE polarization // Progress In Electromagnetic Research, PIER. 1999, 24.
6. Барабаненков Ю.Н., Кузнецов В.Л. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44. № 6.
7. Кузнецов В.Л., Рудковский А.С. Моделирование дифракции сфокусированного светового пучка на 2D фотонном кристалле // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и физика, №114, 2007.
THREE-DIMENSIONAL MODEL OF ELECTROMAGNETIC FIELD AND PHOTONIC CRYSTAL
OF FINITE HEIGHT INTERACTION
Kuznetsov V.L., Rudkovskiy A.S.
In our work rather new approach in modeling effects of interaction electromagnetic field and photonic crystal (PC) is being developed. It is based on invariant embedding method. The embedding equations for reflection and transition matrix coefficients of Lin & Fleming photonic crystal were got and results of numerical calculations for some values of structure parameters were shown.
Сведения об авторах
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах, безопасность полетов.
Рудковский Антон Сергеевич, 1984 г.р., окончил МГТУ ГА (2006), аспирант МГТУ ГА, область научных интересов - фотонные кристаллы, поляризационные эффекты при взаимодействии ЭМВ с периодическими структурами.
