CC BY
56
2006
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
№ 107
УДК 537.874
Взаимодействие электромагнитного импульса с одномерной периодической поверхностью. Г оризонтальная поляризация
электрического поля
В.Л. КУЗНЕЦОВ, Е.А. МУХАЙ
Рассмотрена задача об отражении фазомодулированного электромагнитного импульса гауссовой формы от одномерной периодической поверхности для случая горизонтальной поляризации электрического поля. Исследовано влияние вида фазовой зависимости Fn(w) = arg Rn(w) коэффициента отражения Rn(w) на трансформацию отраженного импульса. Зависимость Fn(w) получается в результате численного решения матричного уравнения Риккати [1, 2] для коэффициента отражения Rn(w) плоской волны от периодической поверхности. Показано, что при определенных соотношениях между параметрами задачи можно добиться компрессии электромагнитного импульса.
ВВЕДЕНИЕ
Особенности взаимодействия электромагнитных волн с периодическими структурами уже достаточно давно находятся в области пристального внимания [3-5]. Это, во-первых, связано с тем, что такие структуры часто встречаются в различных областях физики и ее приложениях и моделируют объекты, характеризуемые дальним порядком. Во-вторых, строгая пространственная периодичность среды, с которой взаимодействует поле, благодаря резонансным эффектам способствует детальному проявлению особенностей, присущих многократному перерассеянию волн. Последнее может улучшить понимание физической сущности процессов, наблюдаемых при рассеянии волн на сложных структурах. Так, например, известно, что при распространении электромагнитного импульса в периодической плоскослоистой среде (одномерном фотонном кристалле) при определенных условиях могут возникать эффекты частотной модуляции, которые в случае предварительной фазовой модуляции зондирующего импульса приводят к его сжатию по времени [6, 7]. В основе этого явления лежат особенности дисперсионной зависимости для фотонных кристаллов [7]. Возможность сжатия импульса и управления его фазой используются, в частности, при получении сверхкоротких лазерных импульсов.
В одномерных структурах брэгговский спектр поля выглядит достаточно просто, и поэтому несомненный интерес представляет вопрос о наличии подобных эффектов в двух- и трехмерных структурах, в которых угловой спектр поля не является вырожденным. В последнем случае
- в отличие от одномерного фотонного кристалла — интересующие нас явления частотной модуляции в той или иной мере присущи всем компонентам углового спектра отраженного поля.
По своей структуре и физике процессов рассеяния двухмерные фотонные кристаллы близки к одномерным периодическим поверхностям. Особенно отчетливо это родство проявляется при рассмотрении взаимодействия поля с такой средой в рамках метода погружения, исходные уравнения которого в применении к задаче рассеяния на поверхности получены недавно в работах [1, 2].
Решение уравнений для поля, полученных методом погружения, приводит к вычислению комплексной матрицы коэффициента отражения, т.е. к нахождению не только амплитуд рассеянных компонент углового спектра, но и их фаз. Возможность вычисления фазовых соотношений позволяет проследить трансформацию импульса при его отражении от периодической структуры. Исследованию этого вопроса и посвящается настоящая работа.
1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим плоский переходной слой 0 < z < H на границе раздела двух сред. Диэлектрические проницаемости сред, заполняющих области I и II, равны £i и е2 соответственно, диэлектрическая проницаемость внутри переходного слоя определяется функцией
¿слоя (Г ) ■
\ е1 при / (х) < г < Н,
(1)
[е(г) при 0 < г < / (х),
где А(х) - регулярная периодическая функция с периодом Л (рис. 1). В дальнейшем для простоты будем полагать, что е1 = 1.
Рис.1. Профиль переходного слоя на границе раздела двух сред
Из области I на переходной слой падает фазомодулированный (ФМ) электромагнитный импульс гауссовой формы, поляризованный горизонтально:
г — -
к( )г
ю0
• е
(2)
(—)
Здесь константа а0 определяет скорость изменения частоты импульса, волновой вектор к(
лежит в плоскости (х,2) и равен к0(—) = {—ю0 Бт а/с, 0, — ю0 соб а/с}, где ю0 - несущая частота импульса. Задача состоит в том, чтобы найти параметры отраженного импульса.
2.ОТРАЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА ОТ ОДНОМЕРНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Выражение (2) для падающего импульса можно записать в следующем виде:
Е0У(х г, 1) = Е0 )е
о ' 2
к( )г
-г[00—)(1 )■/ + ^0—)]
(3)
где частота фазовой модуляции 00 )(1) линейно зависит от времени, а скорость ее изменения равна
— , , 1
(4)
—0(—)(1) = — —г 0 2
Спектральное разложение поля (2) имеет вид:
Е(—) Е0
-у/2л(а2
(Ю—Ю0)2 е 2[о2 + г«0] • е1к(—) (ю)г — Ш—ю
+ га0)
где к( ) (ю) = {—к(ю) Бт а, 0, — к(ю) соб а}, к(ю) = ю/с.
2
2
о2 + га
0
2
2
0
—оо
При рассеянии плоской волны на периодической поверхности образуется дискретный угловой спектр [1, 2]. Каждая компонента спектра при ъ = Н может быть представлена в виде падающего поля, умноженного на соответствующий коэффициент отражения Яп0(ю). Учитывая, что в спектре падающего сигнала присутствует множество различных частот, отраженное поле находится в виде интеграла по ю:
(<В-Юо)
£"+>( х, Н, г) = |
(_) — _ч_____0 '
£0 Кп0 (ю) „ 2[о2 + іа0] ік(—)(ю)г + 2тпх/Л — іюг
-^2л(а2 + іа0)
Для достаточно узкого распределения Г аусса в (6) можно приближенно положить
Я„0(ю) = | Я„0(ю) | егФп(ю) » АпегФп(ю), где Лп = | ^Н) |.
(6)
(7)
В области полосы частот, занимаемой спектром сигнала, функцию Фп(ю) можно аппроксимировать линейной или квадратичной зависимостью. Изучим аналитически эти два случая.
Для линейной зависимости Фп (ю) = апю+ Ьп из (6) получаем:
£"+>( х, Н, г)=£—1 Ап
о + іа0
2
г —-
_ ФП (ю0)
і[£(—)? — ю0г + 2япх/ Л + Фп (ю0)]
(8)
-пу ч-з“:--/ ^0у лп^ с'
По сравнению с приходящим сигналом (2) сигнал (8) сдвинут по времени на величину Фп (ю0) = ап и имеет ту же длительность.
Для квадратичной зависимости Фп (ю) = апю + Ьпю+сп имеем:
о" + Фп
£+>( х, Н, г) = £0—| Б
0 у п
Є
г
к( )?
— ФП (Ю0)
где
°п=■
о
а0[1 + 2апа0 ] + 2апо
— ю0г + 2япх/ Л + Фп (ю0)]
(9)
[1 + 2ап а0]2 + 4а" о4 ' '" [1 + 2апа0]2 + 4а"о4
ФП (ю0) = 2а"ю0 + Кп , Бп = А"1 V1 + 2апа0—2|апо2 , ? = {х, y, Н}.
Фп (ю0) = а"ю0 + К"ю0 + с
Выражение (9) можно также записать в следующем эквивалентном виде:
£"+>( х, Н, г)=£« Б
оп
2
0 у п
Є
г
к( )г
Ю0
— ФП (ю0)
-і[0(п+)(г )-г + ^п+)]
(10)
7 Пп+’(') = 2 Ьп.
где частота фазовой модуляции (1) линейно зависит от времени, и скорость ее изменения равна
(11)
Характерные длительности падающего и отраженного импульсов определяются формулами = о- ■; ту = оп*. Коэффициент сжатия импульса равен
Рп = Т( -}/Т<+) = 1Д/(1 + 2аА)2 + 4а„2а4 . (12)
Отраженный импульс будет сжат по времени ( 7^ < 70(—)), если выполнены следующие условия для а0 и ап :
Ц2ап — 414а" —о4 < а0 < — Ц2ап + ^1/4а" —о4 , | а" | < 1/2а2 .
Максимальное сжатие достигается при
аКР =
2а,
к, К1<-
2о2
(13)
ю
0
2
2
ю
0
2
При этом оказывается выполненным неравенство | | > s2, а минимальная длительность от-
раженного импульса и максимальный коэффициент сжатия равны
Td = 2|aJo, рлп„ = l/2|aJo2 > 1.
Заметим, что а»р можно записать в виде:
<=-v®;: (а»). (14)
Для максимально сжатого импульса ЬПР = 12a; ( ЬПР = -a»p ), и для скорости изменения частоты фазовой модуляции во времени имеем:
7П;+>(')=4Ь <15)
тогда как для падающего импульса
dt ‘° ( a <16)
Видно, что знак скорости изменения частоты фазовой модуляции меняется на противоположный. Равенство bn = -a0 также выполняется при
a» = -Vía, ±V^ -s4,
где | an | < l/2s2 , что соответствует равенству длительностей падающего и отраженного импульсов Гп(+) = T0(-).
Перейдем теперь к вычислению коэффициента отражения.
3.УРАВНЕНИЕ РИККАТИ ДЛЯ МАТРИЧНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ОТРАЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПОЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
В работах [l, 2] решена задача о рассеянии на одномерной периодической поверхности плоской электромагнитной волны, падающей на переходной слой под углом a (см. рис. l). В основе примененного к решению задачи подхода лежит так называемый метод расслоения, развитый в [8, 9]. Однако, при внимательном рассмотрении в нем можно обнаружить элементы метода погружения [10]. Идея метода заключается в следующем: внутри переходного слоя выделяется тонкий слой толщины Ah ( h < z < h + Ah ) и окружается бесконечно узкими зазорами, в которых e = 1. Далее рассматривается вспомогательная задача о рассеянии падающих на элементарный слой AW плоских волн. Выводимые в рамках метода уравнения строятся именно для полей в этих зазорах. Поля в зазорах являются действующими и совпадают с измеряемыми лишь на верхней границе переходного слоя и в промежутках между горбами периодической поверхности, где e = l. В [l, 2] была получена следующая система уравнений для электрических полей в ^^-представлении:
±dEf(q, z) = ikz (q)^1 (q, z)+ik~[e(Z)~1] IF,(z) [E<+I(q + 2ltf/Л,z) + £<->(q + 2ltf/Л,z)], (17)
dz * 2p kz (q) ,
где Ft (z) = l_1sin[2pl f _1(z)/Л] - функция, определяемая геометрией поверхности; f _1(z) -
функция, обратная f(x) на интервале х е [0, Л/2] ; kz (q) = \¡k2 - q2 , k = ю/c .
Поле в зазорах представляется в виде следующего ряда [11]:
E(±) (х z) = I E (±) (z) • ei(kx + 2[ПЛ)х ± i'lk2 - (kx + 2[ПЛ)2 z (18)
П=-¥
где kx = -юsin а/c - проекция на ось Ox волнового вектора падающей на переходной слой плоской волны. Вычисляя Фурье-образ от поля (18) в соответствии с формулой
1 +¥
4° (q, z) = — j Ef (x,z) e-qxdx, (19)
y 2-y
получим поле в зазорах в (д^)-представлении:
Ef^z) = ¿ Ef>(z) 8+2-n-qj. (20)
где E*>(r) =<£>(*) e±^k2-(kx + 2-nL)2z .
Подставляя (20) в (17) и приравнивая коэффициенты при одинаковых дельта-функциях, получим систему дифференциальных уравнений для величин E^(z) :
± d Ef> (z) = k (n)Ef (z)+ik[e(z) -1] X Ф(z) [E« (z)+£<->(z)]. (21)
dz 2- m
Здесь z e [0, H] и введены следующие обозначения: kz (n) = ^k2 - (kx + 2-n/Л)2 , kx =-k sin a,
k
k = wс ; Ф„т(z) = —- F„-m(z).
kz (n)
Теперь рассмотрим важную характеристику рассеяния - коэффициент отражения, связывающий падающее поле с отраженным:
E«(z) = '£R„m(z)-E!,;>(z). (22)
m
Ограничимся в (21) и (22) рассмотрением некоторого конечного набора мод E<n±\z), n e I . Множество индексов I определяется как I = (n^ n2,..., nN }, где все индексы упорядочены по возрастанию (n1 < n2 < ... < nN), полное число учитываемых мод равно N. Подставляя (22) в (21), в соответствии с теорией матричного уравнения Риккати [12], получим уравнение для матрицы R(z) :
— = ik • KxR(z) + ik[e(z) -1] [R(z) + IS] <ф(z) [R(z) + £]. (23)
dz 2-
Здесь Knm = [kz (n) + kz (m)]k "1, индексы n, m e Iy = (n^ n2,., nN }; (K x ^€)nm = Knm ' Rnm - поэлементное произведение матриц; I- - единичная матрица размера (NxN); k = ю/с, z e [0, H].
При z = 0 отражение происходит от плоской границы полупространства с e2 = const, поэтому поля En(+) (0) и En(-) (0) связаны друг с другом посредством френелевского коэффициента отражения E^+)(0) = R±(n) E<'~') (0) . Тогда начальное условие для (23) запишется в виде:
Rnm (0) = R± (n) 8„m , (24)
где Ri(n) = kz (el, n) kz (£2, n); kz (e n) = Vk2e- (kx+2-nlЛ)2; n m e Iy.
kz (el, n) + kz (e2, n) y
4.ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
В данной работе рассматривалось нормальное падение (a = 0°) импульса электромагнитного излучения на переходной слой. Несущая частота была выбрана равной f0 = 1 ГГц (w0 = 2-f0 » 6,3 ГГц), что соответствует длине волны 10 = 30 см. Полуширина импульса (2) составляла s = 2-107 Гц, константа a0 подбиралась из условия (14) для максимального сжатия отраженного импульса.
Периодическая поверхность имела вид пилы и на участке xe [0, Л/2] определялась функцией f(x) = Н(1-2х/Л). Такой поверхности соответствует следующая функция F^( z), определяющая коэффициенты уравнений (21) и (23): F#(z) =^-1sin[-^(1 -z/H)]. Среда внутри переходного
слоя при z < f(x) предполагалась однородной, и расчеты производились при e = 3,7 + 0.1i и e = 14,0 + 1,8i, что соответствует диэлектрической проницаемости почвы при объемной влажности, равной 4,3% и 24,3%, на частоте f0 = 1 ГГц [13]. Значение е2 каждый раз выбиралось равным е. Коэффициент отражения рассчитывался на интервале частот, для которого величина w' = Л/1 меняется в пределах w' е (3, 4). На этом интервале моды с n = 0, ±1, ±2, ±3 являются однородными, а все остальные - неоднородными. Период функции f(x) был выбран равным Л = 105 см, что соответствует w0 = Л/10 = 3.5 (середина интервала изменения для w'); высота переходного
слоя равнялась H = 29,6 см. Система (23) решалась методом Адамса-Бэшфорта-Мултона переменного порядка точности. Число учитываемых мод подбиралось так, чтобы максимальная относительная ошибка при вычислении коэффициента отражения не превышала 1%. Результаты расчета фазы Fn(w) и модуля коэффициента отражения |Rn(w)| представлены графически на рис.
2 и рис. 3. Разрывы в фазовых зависимостях обусловлены скачками фазы на 2p. На краях интервала наблюдается резкое увеличение коэффициента отражения, соответствующее так называемым аномалиям Вуда [14]. Условие резонанса на n-ой моде имеет вид:
Л = __№_ (25)
1 + sgn n • sin а
Для е = 3,7 + 0,1i при решении (23) общее число уравнений равнялось N = 25 и рассматривались моды с номерами n = -12, -11, ..., +11, +12. Фазовая кривая, соответствующая центральной однородной моде n = 0 (рис. 2, а), аппроксимировалась вблизи точки w0 = 6,3 ГГц ( w0 = 3.5) параболой методом наименьших квадратов. Коэффициенты параболы оказались равны а0 = 1,0710-17 с2, b0 = -1,3210-7 с и с0 = 405. Начальная фазовая модуляция импульса подбиралась в соответствии с формулой (14), что дало значение а0 = -4,661016 Гц2 и скорость изменения частоты (4) падающего импульса:
d W0-)(t) = -2.33 -1016 Гц/с . dt 0 '
За время длительности падающего импульса 7¿(-) = 15.9 нс частота падающего импульса изменяется на величину AW0_) = -0.37 ГГц .
Параметры отраженного импульса в соответствии с (9) оказались равными s0 = 0,74 ГГц, b0 = 4,661016 Гц2. Длительность отраженного импульса при этом равнаГ0(+) = 1.35 нс, что соответствует сжатию в р0 = 11,8 раза. Отраженный импульс отстает по времени от падающего на величину Fr(w0) = 3 нс . Скорость изменения частоты отраженного импульса (11) отличается от скорости изменения частоты падающего импульса знаком:
dW0+)(t) = +2.33 -1016 Гц1с . dt 0
Для е = 14.0 + 1.8i при решении системы (23) учитывались моды с номерами n = -16, -15, ..., +16, и число уравнений в (23) составило N = 33. Фазовая кривая для n = 0 (рис. 3, а) была аппроксимирована вблизи точки w0 = 6,3 ГГц (w0 = 3.5) параболой с коэффициентами а0 =
1,1010-17 с2, b0 = -1,3510-7 с и с0 = 415. Константа а0 =-4,531016 Гц2 для обеспечения максимального сжатия отраженного импульса была выбрана в соответствии с формулой (14). При этом параметры отраженного импульса оказались равны s0 = 0,72 ГГц, b0 = 4,53• 1016 Гц2. Отраженный импульс в этом случае имеет длительность т!*1 = 1.4 нс, т.е. имеет место сжатие по сравнению с длительностью падающего импульса T¿(-) = 15.9 нс в р0 = 11,5 раз. Отраженный сигнал запаздывает по времени на Fr(w0) = 3.4 нс, а скорость изменения его частоты согласно (11) равна
d W0+)(t) = 2.27 -1016 Гц/с,
а)
Рис.2. График зависимости фазы коэффициента отражения Фп0 от величины а) = А/Я (Я = 2ж/б) для случая е = 3.7 + 0. 11 (сухая почва, /0 = 1 ГГц). Параметры модели: а = 0°, А = 105 см, Н = 29.6 см, N = 25, <У= 2р10 Гц, Я0 = 30 см, пилообразный профиль поверхности
б)
Рис.2. График зависимости модуля коэффициента отражения \Яп0\ от величины а) = А/Я (Я = 2ж/б) для случая е = 3,7 + 0,11 (сухая почва, /0 = 1 ГГц). Параметры модели: а= 0°, А = 105 см, Н = 29.6 см, N = 25, о= 2р10 Гц, Я0 = 30 см, пилообразный профиль поверхности
а)
Рис.3. График зависимости фазы коэффициента отражения Фп0 от величины а) = А/Я (Я = 2ж/б) для случая е = 14,0 + 1,81 (влажная почва,/0 = 1 ГГц). Параметры модели: а= 0°, А = 105 см, Н = 29.6 см,
б)
Рис.3. График зависимости модуля коэффициента отражения \Яп0\ от величины а) = А/Я (Я = 2ж/б) для случая е = 14,0 + 1,81 (влажная почва,/0 = 1 ГГц). Параметры модели: а= 0°, А = 105 см, Н =
N = 33, о= 2р10 Гц, Я0 = 30 см, пилообразный про- 29.6 см, N = 33, о= 2р10 Гц, Я0 = 30 см, пилообраз-
ный профиль поверхности
филь поверхности
тогда как для приходящего сигнала в соответствии с (4)
ЖО0-)(*) = -2,27 • 1016 Гц/с .
Ж
За время длительности падающего импульса 70(-) = 15.9 нс частота падающего импульса изменяется на величину ДО0-) = -0.36 ГГц .
Из рис. 2 и рис. 3 видно, что при увеличении диэлектрической проницаемости е вещества внутри слоя коэффициент отражения возрастет по модулю, а фазовые зависимости сглаживаются и несколько сдвигаются. В целом же, при прочих равных условиях задачи общий вид кривых Яп(ю) и Ф„(а>), их взаимное расположение и характер изменения остаются неизменны.
5.КРАТКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
Исследован процесс отражения ФМ импульса с горизонтальной поляризацией электрического поля от диэлектрического слоя с периодически модулированной поверхностью. Пространственный масштаб А и высота Н пилообразных выступов на поверхности переходного
слоя были выбраны сравнимыми со средней длиной волны 10 ~ L, H падающего импульса. Значения комплексной диэлектрической проницаемости e вещества внутри слоя соответствуют двум различающимся по влажности состояниям земного грунта. Для решения задачи использовался развитый в работах [1, 2] метод расслоения, позволяющий построить матричное уравнение Риккати для комплексной матрицы коэффициента отражения Rn(ff>), описывающей многомодовый спектр рассеянного излучения. Показано, что поведение отраженного импульса определяется характером фазовой зависимости Фп(ю) матричного коэффициента отражения Rn(w). В случае, когда зависимость Фп(ю) имеет вид параболы, подбором начальной фазовой модуляции падающего импульса можно добиться его эффективного сжатия при отражении.
ЛИТЕРАТУРА
1.Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimensional interface: TE polarization. // Progress In Electromagnetic Research, PIER 24, 1999.
2.Барабаненков Ю.Н., Кузнецов В.Л. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности. // Радиотехника и электроника, Т. 44, № 6, 1999.
3.Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М. : Иностранная литература, 1959.
4.Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.
5.Elachi C. Waves in active and passive periodic structures: a review. // Proceedings of IEEE, V. 64, 1976.
6.Ахманов С. А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М. : Наука, 1988.
7.Желтиков А.М., Коротеев Н.И., Магницкий С.А., Тарасишин А.В. Компрессия световых импульсов в фотонных кристаллах. // Квантовая электроника, Т. 25, № 10, 1998.
8.Кузнецов В.Л., Буданов В.Г. Поляризационные характеристики электромагнитного поля, многократно рассеянного в ансамбле точечных рассеивателей. // Известия вузов, серия Радиофизика, Т. 31, №4, 1988.
9.Rino C.L. A spectral domain method for multiple scattering in continuous randomly irregular media. // IEEE Transfction on Antennas Propagation, V. 36, № 8, 1988.
10.Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука, 1986.
11.Гандельман Г.М., Кондратенко П.С. Полное подавление металлического отражения при резонансном возбуждении поверхностных плазменных волн. // Письма в ЖЭТФ, Т. 38, Вып. 5, 1983.
12.Математическая энциклопедия. Том 4. М.: Советская энциклопедия, 1984.
13.Боярский Д.А., Тихонов В.В. Учет диэлектрических свойств связанной воды при моделировании эффективной диэлектрической проницаемости влажных почв в СВЧ-диапазоне. // Радиотехника и электроника, Т. 43, №
4, 1998.
14.Wood R.W. Anomalous Diffraction Gratings. // Physical Review, V. 48, № 12, 1935.
V.L. Kuznetsov, E.A. Mukhay
Interaction of electromagnetic impulse with one-dimensional periodic surface. The case of horizontally polarized electric field
The task of Gaussian frequency-modulated electromagnetic impulse scattering from one-dimensional periodic surface in case of horizontally polarized electric field is considered. Influence of reflection coefficient Rn(w) phase-dependence Fn(w) = arg Rn(w) character on scattered impulse transformation is analyzed. Dependence Fn(w) is derived as a result of numerical evaluation by variable order Adams-Bashforth-Moulton method of matrix Riccati equation [1, 2] for reflection coefficient Rn(w), which describes plane wave scattering from the considered periodic surface. It is shown that specific relations between task parameters yield electromagnetic impulse compression. Similarity between one-dimensional periodic surfaces and one-dimensional photonic crystals is emphasized.
Сведения об авторах
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил физический факультет МГУ им. Ломоносова (1972), доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 60 научных работ, область научных интересов - распространение волн в случайно-неоднородных средах, дистанционное зондирование, фотонные кристаллы.
Мухай Евгений Александрович, 1975 г.р., окончил факультет теоретической и экспериментальной физики МИФИ (1998), аспирант кафедры физики МГТУ ГА, автор 3 научных публикаций, область научных интересов -радиолокация, дистанционное зондирование.
