CC BY
20
УДК 535.4
Р. Т. Миннуллин1'2, М. Ю. Барабаненков1'3, А. Г. Итальянцев1
1 АО «Научно-исследовательский институт молекулярной электроники» 2 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) 3 Институт проблем технологии микроэлектроники и особочистых материалов Российской
академии наук
Компьютерный расчет рассеяния электромагнитных волн на одномерных дифракционных решетках методом матричного уравнения Риккати
Рассматривается резонансное рассеяние плоской линейно поляризованной волны на одномерных дифракционных решетках. Производится расчет спектров отражения и вычисление пространственного распределения поля отраженного излучения на основе метода матричного уравнения Риккати для серебряной решетки с треугольным профилем сечения и прямоугольной решетки в структуре кремний-на-изоляторе при вариации различных параметров структур (период и высота решетки, толщина оксидного слоя).
Ключевые слова: дифракционная решетка, многократное рассеяние, уравнение Риккати, матричный коэффициент отражения, неоднородная диэлектрическая среда, аномалии Вуда.
R. T. MinnuUin1'2, M. Yu. Barabanenkov1'3, A. G. Italyantsev1
1JSC Molecular Electronics Research Institute 2 Moscow Institute of Physics and Technology institute of Microelectronics Technology of Russian Academy of Sciences
Computation of electromagnetic wave multiple scattering in one-dimensional diffraction gratings by the matrix Riccati equation method
Resonant scattering of a plane electromagnetic wave on one dimensional diffraction gratings is considered. Reflection spectra and spatially reflected field patterns are calculated using the matrix Riccati equation method for silver grating with triangular cross section and rectangular grating in silicon-on-insulator based structure with different parameters (period and height of the grating, oxide layer thickness).
Key words: diffraction grating, multiple scattering, Riccati equation, matrix reflection coefficient, inhomogeneous dielectric media, Wood's anomalies.
1. Введение
Продвижение микроэлектроники за счет масштабирования традиционной планарной технологии затрудняется достижением определенных физических ограничений [1], в связи с чем развиваются альтернативные концепции развития, одной из которых является ра-диофотоника, предполагающая переход от электрона как функционального элемента микроэлектроники к фотону. На сегодняшний день радиофотоника получила большое развитие при создании различных устройств для ряда важных областей, таких как оптическая
@ Миннуллин Р. Т., Варабаненков М. Ю., Итальянцев А. Г., 2019
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2019
связь, оптические вычисления, биосенсорика и т.д., в том числе при создании высокопроизводительных фотонных аналого-цифровых преобразователей [2]. Базовыми компонентами любого радиофотонного устройства являются волноводы, служащие как для передачи света, так и для его преобразования и обработки. Соответственно, возникает задача ввода электромагнитного (ЭМ) излучения в волновод или вывода из него. Среди методов решения этой задачи весьма перспективным является дифракционный метод, предполагающий использование различных периодических структур в составе самого волновода. Вследствие малых и сравнимых с длиной волны вводимого/выводимого излучения размеров рассматриваемых устройств необходим учет различных явлений взаимного преобразования однородных (распространяющихся) и неоднородных (затухающих) волн, возникающих при их многократном рассеянии на неоднородностях границ раздела и объема сред. Таким образом, становится актуальной задача рассеяния света на таких неоднородных структурах.
Исторически сложилось, что в теории многократного рассеяния волновых полей независимо развивались методы описания рассеяния на неоднородных, в том числе периодических, поверхностях и в неоднородных объемных диэлектрических средах. Рассеяние на поверхности обычно описывается в терминах граничной задачи связанной в общем случае с векторным волновым уравнением, но в некоторых случаях сводящейся к скалярному уравнению Гельмгольца с соответствующими граничными условиями. Методы решения этой задачи основываются по большей части на интегральных уравнениях, записываемых для граничного поля, с последующим их численным решением [3]. Также применяется техника матрицы рассеяния (Б-матрицы). В теории многократного рассеяния в объемных средах известны три подхода: метод композиции операторов рассеяния Ватсона (метод Т-мат-рицы) [3], метод инвариантного погружения [4] и метод трансфер-матриц (матриц переноса) [5].
Исследования фотонных кристаллов привели к возникновению новых способов расчета коэффициентов отражения и прохождения волн для периодических объемных структур, вычисления локальных полей в них и расчета зонного характера их частотного спектра, появление которого обусловлено геометрическим резонансом при брэгговском рассеянии волн. Таким методом является метод плоских волн (см., например, [6]), который сводится к матричному интегральному уравнению Фредгольма, что характерно для задач поверхностного рассеяния в их традиционной формулировке, а также метод конечных разностей в различных вариациях [3, 7]. Последний вместе с техникой Б-матрицы близок к методу инвариантного погружения, и потому эти подходы могут быть рассмотрены как шаг к единообразному описанию поверхностного и объемного рассеяния ЭМ волн. Следующим решающим шагом явились так называемые «соотношения переноса» [8] в теории многократного рассеяния волн, которые связывают между собой локальные поля внутри слоя рассеивающей среды и коэффициенты отражения и прохождения этого слоя. На основе соотношений переноса развит единый точный подход [9] к теоретическому описанию многократного резонансного рассеяния волн на одномерных периодических поверхностях раздела двух диэлектрических сред (оптических решетках) и на двумерных периодических структурах. Основным инструментом упомянутого точного подхода, дающего возможность численного описания свойств резонансных решеток и фотонных структур, является матричное уравнение Риккати для коэффициента отражения и ассоциированное с ним уравнение для коэффициента прохождения периодической структуры. Для краткости будем называть этот подход методом уравнения Риккати. Важной особенностью является то, что эти уравнения выведены с учетом взаимного преобразования однородных и неоднородных волн, и, таким образом, этот метод позволяет преодолевать трудности, связанные с геометрическим расположением рабочей области микрофотонных устройств в ближней зоне дифракционной решетки.
2. Метод матричного уравнения Риккати
Рассмотрим рассеяние плоской монохроматической волны на абстрактной неоднородной периодической структуре (рис. 1), локализованной в слое толщиной к в декартовой системе координат и характеризуемой также периодом Л и диэлектрической проницаемостью е(х,г,ш), где и — частота ЭМ излучения. Плоская линейно поляризованная волна с длиной волны в вакууме А падает из верхнего полупространства под углом ^ к осп г. Рассматривается случай поперечно-электрической (ТЕ) поляризации, что позволяет свести векторное волновое уравнение к скалярному уравнению Гельмгольца для комплексных амплитуд.
Рис. 1. Иллюстрация к описанию метода уравнения Риккати
Метод позволяет представить поле отраженного и прошедшего излучений в виде совокупности волн с определенными волновыми векторами к± = (Д^, 0, )т, компоненты которых определяются параметрами исходного излучения и структуры:
¡3^ = ко эт ^ +
2^ "Г",
^ = 0, ±1, ±2,
= ^2 - ^ М = 0, ±1, ±2,...,
(1)
(2)
где к = 2^^/^/А — волновое число в среде с диэлектрической проницаемостью в частности — волновое число в свободном пространстве (е = еъд = 1), обозначение а^ без верхнего индекса соответствует ко- Волну, имеющую волновой вектор к±, будем называть ^-й модой решетки в спектрах отражения и прохождения соответственно, при этом нулевая мода в спектре отражения определяет зеркальное направление. Волновые векторы в общем случае комплексные, так как комплексной может быть как диэлектрическая проницаемость среды, так и одна из компонент вектора, а именно ¿-компонента. Причем, если выражение под корнем станет отрицательным, величина а окажется чисто мнимой, а это значит, что соответствующая волна перейдет из распространяющейся (однородной) в затухающую (эванесцентную, неоднородную). В таком случае модуль а называют коэффициентом затухания.
Уравнение Риккати, записанное для матричного коэффициента отражения Л, вместе с граничным (или «начальным») условием имеет следующий вид:
— = ЯА(х)Д + (А(г) + С)Д + Я(А(г) + С) + А(г), 0 < г < к,
(3)
К|.г^о — Ко,
где Я Д С — бесконечномерные квадратные матрицы, компоненты которых нумеруются индексами — 0, ±1, ±2,...
Граничным (начальным) условием является матричный коэффициент отражения от однородного слоя подложки, определяющийся выражением
( дои — ( ^)„ 1 1 ~ еХР(2г а;:Ьо)г) ^, ^—о, ±1, ±2,..., (4)
1 - ( ехр (2га 1 мЬо)
где а;м — ^-компонента ^-го волнового вектора в подложке, Ьо — толщина подложки,
— < — символ Кронекера, а ( К^) ^ представляет собой коэффициент отра-
|к1, ^ — V
жения ^-й волны от полубесконечной подложки согласно формуле Френеля:
( К ) — -
( Кт] — .
ам + а;м
Входящая в уравнение (3) диагональная матрица С образована ^-компонентами волновых векторов к+ излучения, рассеянного в и-й порядок, домноженными на мнимую единицу:
С^ — гаиб^, 1л.,ь> — 0, ±1, ±2,...
Матрица А(г) включает в себя потенциал рассеяния переходной области, а ее компоненты определяются выражениями
к2
А^и(г) — г —^(г), — 0, ±1, ±2,...,
2^ а
где функция /Д<г) носит название функции трансформации и описывает взаимное влияние однородных и эванесцентных волн при их многократном рассеянии в неоднородной области с периодом Л, и задается следующим образом:
Л
и( г) — Л/ £(х,х) е~% 2Л±Х (1х.
о
Здесь интеграл берется внутри одного периода, зависимость диэлектрической проницаемости е от частоты ш ЭМ излучения опущена, так как последняя полагается фиксированной. В большинстве случаев простых симметричных структур интеграл удается легко вычислить аналитически, когда диэлектрическая проницаемость представляется кусочно-однородной функцией координат. Так, например, для дифракционной решетки с профилем сечения в виде равностороннего треугольника с высотой к и основанием Л, с диэлектрической проницаемостью е в среде с еьд (рис. 2) функция трансформации принимает вид
— ^т" (1 - к)).
Электрическое поле в полупространстве г^- к записывается в виде суммы полей падающей и отраженных волн:
те
Е(г) — ехр (г ко (г - кпг)) + ^ Дмо(к)ехр( гк+(г - кпг)) , (5)
(г) — (0, Е (г), 0)Т для Т^ поляриз ации, п, — (0, 0,11", г
где Е(г) — (0, Е(г), 0) для ТЕ поляризации, п, — (0, 0,1)т, г — (х, у, х)т. Таким образом, видим, что компоненты Я^о(к) имеют смысл парциальных коэффициентов отражения падающей волны от периодической неоднородной структуры в ^-ю моду, образующуюся в неоднородной области при рассеянии на ней падающего излучения.
Аналогичным образом записывается ассоциированное с уравнением Риккати дифференциальное уравнение для матричного волнового коэффициента прохождения Т через неоднородную периодическую структуру и граничное (начальное) условие:
ТГТ1
— = т(А(г) + С + А(г)), 0 < г ^ к, (6)
Т \ = То,
где То представляет собой матричный коэффициент прохождения однородного слоя (подложки) толщиной ¿о, соответствующий матричному коэффициенту отражения Яо (4) от него, с компонентами
(То V =-^^-2-V = 0, ±1, ±2,...
+ )2 ехР ьо) - - ) ехР (^1 мТо)
Электрическое иоле в полупространстве г ^ — То определяется выражением
го
Е(г) = ^ Тмо(к)ехр(гк-(г + ¿оп2)). (7)
3. Результаты расчета
Для решения уравнений (3), (6) с соответствующими граничными условиями ограничим размерность входящих в них матриц некоторым числом М = 2п + 1, которое также будет иметь смысл количества мод. Это представляется возможным вследствие того, что моды высоких порядков имеют малые амплитуды и быстро затухают вдоль оси z, и, следовательно, дают малый вклад в суммы (5), (7). В настоящей работе производится учет 21 моды. Решение матричного уравнения Риккати для коэффициента отражения R осуществляется с помощью численных методов класса Рунге—Кутты, а именно вложенных методов 5-го порядка с оценкой локальной погрешности с помощью выражений 4-го порядка (Dormand— Prince, Cash—Кагр). Для решения уравнения относительно коэффициента прохождения Т используется модифицированный метод Эйлера типа предиктор-корректор 2-го порядка. Рассматривается серебряная решетка с треугольным профилем сечения (рис. 2) и прямоугольная решетка в структуре кремний-на-изоляторе (рис. 5), расположенные на подложках (бесконечно) большой толщины.
3.1. Серебряная решетка с треугольным профилем
Рис. 2. Серебряная решетка с треугольным профилем
Параметры излучения: длина волны А = 632.8 нм, угол падения
кЛ
мость е(А) = —17.5 + 0.7г.
Рис. 3. Зависимости модулей коэффициентов отражения |Км0| от отношения Л/Л. Вертикальными штриховыми линиями показаны моменты «открытия» мод — слева направо на левом рисунке д — ±1, ±2, ±3, ±4, на правом рисунке д — 1, 2, 3, 4 — линии с коротким штрихом, д — -1, -2, —3 — с длинным. Стрелками указано, какая именно мода открывается. Сплошной и полой стрелками на правом рисунке обозначено смещение моментов открытия положительных и отрицательных порядков при изменении угла падения. Отрицательные порядки не представлены сами, однако оказывают воздействие на другие моды
При фиксированных длине волны излучения и высоте решетки (к — 696.1 нм) получены зависимости коэффициентов отражения от отношения Л/Л при двух значениях угла падения ^ — 0, 0.4 рад (рис. 3).
Условие «открытия» моды есть условие ее перехода из неоднородной волны в однород-
этому моменту соответствует обращение выражения под корнем в формуле (2) в ноль. Подставив (1) в (2) с учетом этого условия и выражения для волнового числа в свободном пространстве ко, придем к равенству для определения моментов открытия:
Л
йт^ + Л^
1, д — Д/гж — ±1, ±2,
Резонансы, отображенные на рис. 3 и связанные с открытием мод, носят название аномалий Вуда (Рэлея Вуда) [10].
Существует также резонансное поведение в зависимости от отношения высоты решетки к длине волны падающего излучения. Такие аномалии получили название параллельных аномалий Вуда или аномалий Вуда Палмера [11]. Они продемонстрированы на рис. 4. Зависимости коэффициентов отражения получены при фиксированных длине волны излучения, угле падения — 0) и периоде решетки (Л — 1 мкм).
Рис. 4. Зависимости модулей коэффициентов отражения |Км01 от высоты решетки к. Синими прямоугольниками обозначена оценка Хесселя—Олинера для минимумов по отражению
3.2. Кремниевая прямоугольная решетка на оксидном слое
Рис. 5. Кремниевая прямоугольная решетка с равномерным заполнением на оксидном слое
Параметры излучения: длина волны Л — 1.55 мкм, угол падения ^ — 0.
Параметры структуры: высота решетки к, период Л, фактор заполнения — отношение ширины «зуба» к периоду — ^ — 0.5, толщина оксидного слоя Ьож, диэлектрические проницаемости кремния Л) — 12.041 и оксид а £ ох ( Л) — 2.085.
Параметры с указанными значениями считаются фиксированными.
При заданной высоте (к — 50 нм) построены зависимости коэффициентов отражения от отношения Л/Л при двух значениях толщины оксидного слоя Ьох — 0, 0.2 мкм (рис. 6).
ОД 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 ОД 0,3 0,5 0,7 „ , 0,9 1,1 1,3 1,5 А/Л А/Л
Рис. 6. Зависимости модулей коэффициентов отражения |Кмо | от отношения Л/Л. Штриховыми линиями показаны моменты открытия мод — слева направо д — ±1, ±2, ±3, ±4, стрелками обозначены непосредственно открывающиеся моды (собственные резонансы)
На графиках также проявляются резонансы, связанные с открытием мод, но, кроме того, характер зависимостей значительно изменяется при добавлении слоя оксида кремния. Собственные резонансы становятся резче, как и их влияние на моды других порядков (см., например, открытие ±1 мод). Приведем далее распределения отраженного поля вдали от резонанса, когда однородной является только нулевая мода, (Л/Л ^ 1.25) и непосредственно вблизи открытия ±1 мод (Л/Л ^ 1.0) в случаях с оксидом и без него (рис. 7).
Рис. 7. Распределение полей отраженного излучения при Л/Л « 1.25 (верхняя строка) и Л/Л « 1.0 (нижняя строка) для решетки без слоя оксида (левый столбец) и с ним (правый столбец)
Согласно зависимостям на рис. 6 основной вклад в «равномерное» распределение поля (как в левом столбце на рис. 7) дает нулевая мода, а неоднородности обеспечиваются модами более высоких порядков, в частности ±1-ми, (правый график на рис. 6).
При фиксированном периоде (А ^ А/1.25 = 1.24 мкм) построены зависимости коэффициентов отражения от высоты решетки (при Ьох = 0.2 мкм) и толщины оксида (при к = 50 нм) (рис. 8).
Рис. 8. Зависимости модулей коэффициентов отражения | от высоты решетки к при
Ъ0х = 0.2 мкм (слева) и от толщины оксида Ьох при к = 50 нм (справа). Штриховыми линиями указаны точки для построения распределений поля
Зависимости от высоты решетки имеют резонансный характер, аналогичный параллельным аномалиям Вуда для серебряной решетки (рис. 4). Как видно из графиков, толщина оксидного слоя также оказывает большое влияние на коэффициенты отражения и, следовательно, может быть использована для достижения определенных характеристик поля отраженного излучения, например, можно проявить или скрыть неоднородности поля (см. рис. 9). Примечательно, что значения повторяются через 1.075 мкм, что может говорить о периодическом характере зависимости.
Рис. 9. Распределение полей отраженного излучения при высоте решетки к = 50, 150 нм и толщине оксида Ьох = 0.2, 1.0 мкм. Обратим еще раз внимание на вклад однородной нулевой моды и неоднородных мод больших порядков в «равномерность» распределения
4. Заключение
В работе представлен способ расчета рассеяния света на неоднородных диэлектрических структурах при помощи матричного уравнения Риккати. Метод позволяет производить учет сильного взаимодействия однородных и эванесцентных полей в ближней волновой зоне дифракционной решетки, возникающих при многократном рассеянии на неод-нородностях границ раздела и объема сред. Произведен расчет спектров отражения для
серебряной решетки с треугольным профилем сечения при длине волны падающего излучения Л = 632.8 нм, продемонстрировано проявление аномалий Вуда—Рэлея и Вуда— Палмера. Также вычислены спектры отражения для решетки с прямоугольным профилем в структуре кремний-на-изоляторе и построены пространственные распределения поля отраженного излучения при разных параметрах структуры. Полученные результаты могут быть использованы для подбора оптимальных характеристик структур при решении задачи ввода излучения в волновод в применении радиофотоники или, например, для формирования распределения электрического поля вблизи поверхности решетки, обеспечивающего наибольшую эффективность свечения люминофоров, локально нанесенных на поверхность решетки.
Литература
1. Красников Г.Я. Зайцев Н.А. Наноэлектроника: состояние, проблемы и перспективы развития // Нано- и микросистемная техника. 2009. № 1. С. 2-5.
2. Свидзинский К.К. Фотонные АЦП (обзор последних достижений) // Электронная техника. Серия 3. Микроэлекроника. 2016. Вып. 3 (163). С. 41-52.
3. Rother Т., Kahnert М. Electromagnetic Wave Scattering on Nonspherical Particles. V. 145. Berlin: Springer, 2014.
4. Johnson B.R. Invariant imbedding T matrix approach to electromagnetic scattering // Applied Optics. 1988. V. 27. P. 4861-4873.
5. Barnes C., Pendry J.B. Multiple scattering of waves in random media: a transfer matrix approach // Proc. R. Soc. bond. A. 1991. V. 435. P. 185-196.
6. Krishnamurthy V., Klein B. Comprehensive theory of plane-wave expansion based eigenmode method for scattering-matrix analysis of photonic structures //J. Opt. Soc. Am. B. 2009. V. 26, I. 7. P. 1341-1350.
7. Taflove A., Hagness S.C. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference TimeDomain Method. 3rd ed. London: Artech House. Chapter 13.
8. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimensional interface // Progress in Electromagnetics Research. 1999. V. 13. P. 19-37.
9. Барабаненков Ю.Н., Барабаненков М.Ю. Метод соотношений переноса в теории резонансного многократного рассеяния волн с применением к дифракционным решеткам и фотонным кристаллам // ЖЭТФ. 2003. Т. 123, вып. 4. С. 763-774.
10. Plasmonics. From Basics to Advanced Topics / ed. by Enoch S., Bonod N. Berlin: Springer, 2012. Chapter 2.
11. Palmer C.H. Parallel diffraction grating anomalies //J. Opt. Soc. Am. 1952. V. 42. P. 269-276.
References
1. Krasnikov G.Ya., Zaitcev N.A. Nanoelectronics: Status, Challenges and Prospects. Nano and Microsystem Technique. 2009. N 1. P. 2-5. (in Russian).
2. Svidzinsky K.K. Photonic ADC (overview of past achievements). Electronic Engineering. Series 3. Microelectronics. 2016. I. 3 (163). P. 41-52. (in Russian).
3. Rother T., Kahnert M. Electromagnetic Wave Scattering on Nonspherical Particles. V. 145. Berlin: Springer, 2014.
4. Johnson B.R. Invariant imbedding T matrix approach to electromagnetic scattering. Applied Optics. 1988. V. 27. P. 4861-4873.
5. Barnes C., Pendry J.B. Multiple scattering of waves in random media: a transfer matrix approach. Proc. R. Soc. Lond. A. 1991. V. 435. P. 185-196.
6. Krishnamurthy V., Klein B. Comprehensive theory of plane-wave expansion based eigenmode method for scattering-matrix analysis of photonic structures. J. Opt. Soc. Am. B. 2009. V. 26, I. 7. P. 1341-1350.
7. Taflove A., Hagness S.C. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference TimeDomain Method. 3rd ed. London: Artech House. Chapter 13.
8. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimensional interface. Progress in Electromagnetics Research. 1999. V. 13. P. 19-37.
9. Barabanenkov Yu.N., Barabanenkov M.Yu. Method of transfer relations in the theory of multiple resonant scattering of waves as applied to diffraction gratings and photonic crystals. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2003. V. 96, I. 4. P. 674-683
10. Plasmonics. From Basics to Advanced Topics. Ed. by Enoch S., Bonod N. Berlin: Springer, 2012. Chapter 2.
11. Palmer C.H. Parallel diffraction grating anomalies. J. Opt. Soc. Am. 1952. V. 42. P. 269-276.
Поступим в редакцию 20.02.2019
