CC BY
50
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 537.874
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОТРАЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ОТ ГОФРИРОВАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ С УВЛАЖНЕННЫМ ВЕРХНИМ СЛОЕМ
С.В. БОЯРКИН
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
Построена математическая модель взаимодействия электромагнитного излучения с периодически возмущенной, увлажненной поверхностью почвы. В основу построения модели положен метод инвариантного погружения.
Ключевые слова: отражение электромагнитных волн, метод инвариантного погружения, гофрированная поверхность, увлажненный слой почвы.
Введение
Дистанционные методы зондирования земной поверхности дают возможность получить интегральные характеристики исследуемого объекта без непосредственного контакта с ним, используя в качестве посредника электромагнитное поле. Получаемая информация «закодирована» в амплитудно-фазовых соотношениях спектра отраженного поля. Ее «декодирование» составляет суть обратной задачи теория рассеяния для сложных геофизических объектов. Очевидно, что для решения этой фундаментальной задачи необходимо понимание особенностей процессов взаимодействия поля с изучаемым объектом, выявление связей интересующих параметров с характеристиками отраженного поля. Для организации сбора и обработки используются математические модели взаимодействия излучения с геофизическими объектами, позволяющие оперативно создавать базы данных для характеристик отраженных сигналов при варьировании различных параметров исследуемой среды.
Настоящая работа посвящена разработке такой модели для исследования содержания влаги в почве, что является актуальным, например, для задач сельского хозяйства. В ее основу положен метод инвариантного погружения [1, 2], хорошо зарекомендовавший себя при решении краевых задач прикладной электродинамики [2, 3]. Основная идея метода состоит в том, чтобы выделить в задаче некоторый параметр, называемый параметром погружения, и рассмотреть множество решений при возможных значениях этого параметра. Если какие-либо два значения параметра близки, то мы вправе ожидать и близость (малые отличия) соответствующих решений. Это означает, что возможно построение дифференциальных уравнений эволюции решений исследуемой задачи при изменении значения параметра, играющего роль времени. Такие уравнения принято называть уравнениями погружения. Если при каком-либо значении параметра решение известно или может быть легко получено, то, решая уравнение погружения с такими начальными условиями, можно определить решения задачи при всех других значениях параметра, в частности, при значении, соответствующем исходной постановке. В качестве параметра погружения удобно выбрать толщину переходного слоя. Поэтому увеличение параметра погружения эквивалентно наложению дополнительного слоя на усеченную поверхность. При нулевом значении параметра усечение идет по нижней «кромке» переходного слоя, и мы имеем задачу об отражении поля от гладкой поверхности. Когда на усеченную поверхность начинают накладываться дополнительные слои, то мы плавно переходим к решению искомой задачи.
1. Электродинамическая модель периодически неоднородной земной поверхности с увлажненным верхним слоем
Рассмотрим участок земной поверхности, который может быть аппроксимирован гофром. Будем полагать также, что верхний приповерхностный слой земной поверхности имеет большую влажность, чем глубинные слои, что может быть обусловлено, например, прошедшими осадками или недавно сошедшим снежным покровом. Повышенная концентрация влаги в почве увеличивает ее диэлектрическую
проницаемость. Так, например, если "сухая" почва характеризуется диэлектрической проницаемостью е1, то увлажненная имеет диэлектрическую проницаемость епочв [4, 5]
Ар
епочв = £1 + ев . (1)
рв
Здесь е1 - диэлектрическая проницаемость «сухой» почвы; е, - диэлектрическая проницаемость воды; р, - плотность воды. Смоделируем неоднородность диэлектрической проницаемости увлажненной почвы следующим образом
при г е 01
- е Г . (2)
при г е г2
Области Г1 и Г2 обозначены на рис. 1. Как отмечалось выше, мы имеем гофрированную поверхность. Для определенности представим ее в виде цилиндрической поверхности, порожденной движением образующей вдоль направляющей, имеющей вид косинусоиды. Изменение влажности смоделируем введением конечного слоя с повышенным содержанием влаги. Учтем, что толщина слоя повышенной влажности меняется в направлении оси X, при переходе от горбов гофра к впадинам. Неоднородность по толщине смоделируем зависимостью Н(х) = А1 соб(кх) + д- А2 соб(кх) .
Из рис. 1 видно, что все пространство делится на три области. В верхней среда однородна и характеризуется диэлектрическими проницаемостями е @ 1, в нижней части она также однородна, но характеризуется диэлектрической проницаемостью е = е . Для этих частей пространства
2 сух. почв. ~ гг
описание распространения волн не представляет затруднений. Основной интерес представляет центральная область, включающая в себя границу раздела сред. Эту область назовем переходным слоем. Заметим, что среда внутри переходного Рис. 1.. Схематическая модель промокания почвы. слоя пространственно неоднородна, и основная
1_а. профиль переходного слоя на границе раздела ^ проблема здесь заключается в выборе адекватного
двух сред. 1ь. график зависимости диэлектрической метода описания процесса рассеяния.
проницаемости е(г) внутри переходного слоя в
/
горизонтальном сечении да .
2. Размерность задачи и представление электромагнитного поля в модели
Свяжем с исследуемой поверхностью правостороннюю декартову систему координат так, что ось Ъ направлена вверх, а ось У - параллельно образующей поверхности, ось X вдоль периодичности структуры. Будем полагать, что на переходный слой падает плоская электромагнитная волна (ЭМВ) с волновым вектором к = (дх, ду, к2). Известно, что при взаимодействии плоской ЭМВ с периодической структурой в дифрагированном поле возникает пространственный спектр плоских волн с волновыми векто-
а 2Р
рами, отличающимися друг от друга на целое число векторов обратной решетки к = — периодической
Л
структуры. Это позволяет представить отраженное поле в виде дискретного разложения по угловому спектру Е =... + Е-1 ■ в1к-1Г + Е0 • егк°г... или в виде вектора Е=(... Е-1 Е0 Е1 ..)Т.
В обоих соотношениях Е1 - 1 -я амплитуда компоненты углового спектра поля.
£{ Г ) =
£
сух. почв.
Отметим, что волновые векторы дифрагированного поля не лежат в одной плоскости, т.е. перестает выполняться простой закон Виллеброрда Снеллиуса. Это приводит к тому, что при взаимодействии поля с переходным слоем его поляризация существенно искажается, возникают так называемые кросс-поляризационные эффекты.
В нашей модели мы предполагаем, что поле задается в трехмерном пространстве (3Б), а сама поверхность имеет 2Б структуру, т.е. полная модель взаимодействия поля с периодической поверхностью может классифицироваться как квази-3Б.
3. Уравнения погружения для модели переходного слоя
В [1, 3] приведены различные подходы к выводу уравнений погружения для матричных коэффициентов отражения и прозрачности (Л и Т соответственно). Нам понадобится лишь первое
ёЯ+(г)
dz
_ г +т+Я + + Я+т+ + Я р~Я+.
(1)
Здесь р± и т+ параметры коэффициентов отражения и прохождения элементарного слоя [7]. Решение дифференциального уравнения (1) должно удовлетворять следующему начальному, по параметру погружения, условию
Гяп 0 О ^ где ^ _ д/£о2 -(Я + 2рп /Л)-7е2^02-(Я + 2рп /Л)
О о , где япп _ і 2 , = і 2 , ". (2)
0 0 я ЛІК-(д + 2рп / Л) + ^ е 2 к0-(д + 2рп / Л)
Я(0) _
Падающая волна
Здесь Л - период регулярной составляющей профиля поверхности; д - проекция волнового вектора на плоскость ХОУ, а е2 = есух почв - диэлектрическая проницаемость сухой почвы.
Отметим, что общий вид уравнений инвариантен относительно структуры переходного слоя, а все особенности заключены в виде параметров коэффициентов отражения р± и прохождения т±. Нахождение этих коэффициентов и составляет центральную часть нашей работы.
В соответствии с основной идеей метода погружения выделим достаточно тонкий (элементарный)
слой толщины Аг внутри переходного слоя (рис. 2). Сверху и снизу этот элементарный слой отделен от остальной среды бесконечно узкими зазорами, где диэлектрическая проницаемость е = 1. Будем рассматривать поле в этих зазорах. Поле в верхнем и нижнем зазорах можно представить в виде совокупности плоских волн с положительными и отрицательными проекциями вектора к на ось 02. Первые мы будем обозначать индексом «+», а вторые - индексом «-».
и _____, Так как толщина Аг элементарного слоя мала,
Рис. 2. Элементарный слой т0 рассеЯние поля на нем можно рассчитывать в
борновском приближении
® ® » /у ®
Е(г) = Е0(г) + |с!г'0(г,г')[(е(г') - 1]к2 Ет(Г),
ЛП
где О - тензорная функция Грина, ЛП - часть пространства, занимаемая элементарным слоем, а Е0(г) -общее решение однородного уравнения, удовлетворяющее краевым условиям задачи для элементарного слоя. Е0(г) и Е(г) - входящие и выходящие из элементарного слоя поля, а Ет (г) - внутреннее поле, определяющиеся по формуле
\АЕ0 (г) (де г е ЛП'
\ Е0 (г) (де г <£ ЛП'
Отметим, что именно в конкретном виде соотношения (3) и заключено борновское приближение. Можно показать, что
Еп (г) _•
V
E +- (q, z + Az) = E +- (q, z)eikzAz + £ G +- (q,±0) k° {(e - 1) • A • (E+ (z) + Em (z)) •
m P(n - m)
+ Є • A • (E+ (z) + Em (z)) Sin
2p z 1
sin arccos • (n - m)
Lk V A1 J
2p ( z >
arccos • (n - m)
Lk V A2 J
>Az
(4)
Введем связь между Е+ и Е,+ через коэффициент прозрачности Е± = ^±±тЕт . Тогда из (4)
t±,m = dnm + Iikz Dz + G ± (q,±0)
p(n - m)
(e — 1) • A • sin
2p S' 1 N
sin arccos • (n - m)
Lk V A1 J
2p ( z ' • (n - m)
sin arccos
Lk V A2
>Az
(5)
Для коэффициента отражения r~±m, определяемого соотношением E± = гП±тЕЛп
имеем
k,
r±±m = G1 (q,±0) - •
p(n - m)
+ e • A • sin
(e — 1) • A • sin
2 И ( z-d 1 )m 1 (n
arccos +
Lk v A1 J
2 и ( z '
sin arccos )m 1 (n
Lk V A2 J
(6)
>Az
Члены, пропорциональные Dz, в (5) и (6), описывают взаимодействие электромагнитного поля с элементарным слоем. Именно они фигурируют в (1) как р± и т±. Система уравнений (1), (3), (5) и (6) формирует математическую модель взаимодействия ЭМВ с увлажненной неровной поверхностью, которая может быть положена в основу компьютерного экмперимента.
ЛИТЕРАТУРА
1. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimension interface: TE polarization. // Progress in Electromagnetic Research: PIRS, VOL. 24, 1999.
2. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения радиоволн. - М.: Наука, 1986.
3. Шалашов А.Г., Господчиков Е.Д. Импедансный метод решения задач распространения электромагнитных волн в анизотропных и гиротропных средах // УФН 181 151-172 (2011).
4. Барабаненков Ю. Н., Кузнецов В. Л. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности // Радиотехника и электроника. - 1999. - Т. 44.
5. Mironov V.L., Dobson M.C., Kaupp V.H., Komarov S.A., Kleshchenko V.N. Generalized refractive mixing dielectric model for moist soils // IEEE Trans. Geosci. Remote Sensing, 2004. Vol. 42. No. 4.
6. Беляева Т.А., Бобров А.П., Бобров П.П., Мандрыгина В.Н. О выборе диэлектрической модели при определении диэлектрической проницаемости связанной воды в грунтах // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. Тезисы докладов Второй открытой Всероссийской конференции. - М.: 16-18 ноября 2004 г.
7. Кузнецов В. Л., Филонов П. В. Уравнения погружения для обобщенной матрицы рассеяния в теории нерегулярных волноводов // Научный Вестник МГТУ ГА. - № 157.
8. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - изд. 2-е / пер. с англ. - М.: Наука, 1973.
9. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. - М.: Наука, 1972.
MATHEMATICAL MODEL OF REFLECTION OF ELECTROMAGNETIC FIELD FROM THE GOFFERED SURFACE WITH MOISTENED THE UPPER LAYER
Boyarkin S.V.
The mathematical model of interaction of electromagnetic radiation with periodically indignant, humidified surface of soil is constructed. The invariant embedding method is put in a basis of construction of model.
Key words: electromagnetic waves reflection, invariant immersing method, goffered surface, earth humidified layer.
Сведения об авторе
Бояркин Сергей Валерьевич, 1987 г.р., окончил МГТУ ГА (2010), аспирант МГТУ ГА, область научных интересов - математическое моделирование в задачах дистанционного зондирования.
