Получение точных аппроксимационных констант в оценке скорости приближения функций класса LipM1 некоторыми методами суммирования рядов Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 2(6)

УДК 517.51

Е.С. Коган ПОЛУЧЕНИЕ ТОЧНЫХ АППРОКСИМАЦИОННЫХ КОНСТАНТ

В ОЦЕНКЕ СКОРОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА LipM1 НЕКОТОРЫМИ МЕТОДАМИ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ

Предлагаемая работа посвящена решению задачи получения точных аппрок-симационных констант в оценке скорости приближения функций класса LipM1 некоторыми методами суммирования рядов Фурье. В качестве методов суммирования рядов Фурье используются сингулярные операторы типа свертки. В статье предложены два метода решения этой задачи.

Ключевые слова: методы суммирования рядов Фурье, точные аппрокси-мационные константы, точные константы, оценка скорости приближения, функционал, аппроксимативная последовательность операторов.

1. Введение

Одной из основных задач теории приближений является получение оценок вида К (f) - f || < an (f), где Ln - аппроксимирующая последовательность операторов; f - приближаемая функция; an (f) - выражение, содержащее индивидуальные характеристики f или характеристики класса, которому принадлежит f . Кроме того, выражение an (f) содержит и некоторые характеристики Ln. Эти характеристики, в случае когда рассматривается конкретная последовательность Ln, могут фигурировать в виде констант, не зависящих от f и n . Одна из актуальных задач теории приближений - получение таких констант, которые дают наименьшее из возможных значений для an (f).

Постановка задачи получения точных констант в общем виде сформулирована в работах Н.П. Корнейчука [5]. Предлагаемая статья посвящена частному случаю этой проблемы: рассматривается приближение функций, принадлежащих классам LipM 1, некоторыми конкретными методами суммирования рядов Фурье. Для конкретной последовательности Ln ставится задача определения величины

Un (Ln > a) = SUP {\\Ln (f) - /II : f e LiPl<A ,

а если

Un (Ln, a) = A’“ • n-a + o(n-a),

(где обозначено L = {Ln}), то в качестве основной проблемы рассматривается задача определения констант Л^’а (нижний символ «н» обозначает «наилучшая»).

В этой статье рассматривается следующий набор операторов, являющихся методами суммирования рядов Фурье: операторы Баскакова мПт](к ’"'*” ^ [2], операторы D^l [4], полученные в работе Е.М. Ершовой.

Операторы Баскакова имеют вид

" _k

2"-' П sin2 i п f ( + ,)si„ 2 I£d,

м'"11*' *-1 (f,x).------------id------------ i ”

ГГП J

nn J 2 t -Л- ( 2 nki

n Sin — ПI cos t - cos----------------

^ i=1 v "

1 n f 1 n—m—1 Л

= П j f(t + x) I 2 + ? } cos it I dt. (1)

—П ^ i=1 '

Аналитическое выражение коэффициентов ^ получено в [3].

Как видно из последнего равенства, последовательность операторов ^ является методом суммирования рядов Фурье и определяется параметрами m, km . Соответствующие константы будем обозначать Ат](kl’"'km^ (нижний символ «н» означает «наилучшее» в обозначении константы).

Операторы, полученные в работе Е. М. Ершовой, имеют вид

nn j (1 - cos——)(11 n4 + 5n2 + 4) - 10(n2 +1)

П

X

J f it + x)

( • nt \ sin — __________2_

. t

sin —

, -ч/б

(cos t - cos—)dt. n

Соответствующие константы обозначим A.

2. Получение точной константы в оценке приближения функций класса Lip11 операторами M„[11(k) методом исследования на экстремум

Рассмотрим получение аналитического выражения для константы A^1]k ^ в равенстве

Un = sup{{k>({,x)- f||: f € LiPl\} = }1](k> • n-1 + o(n-1). (2)

Очевидно, если такая константа будет найдена, то для любой функции f e LipM 1 можно записать

|K](k> (/, x) - /Ц < A™k> • M • n-1 + o(n-1) . (3)

При этом в силу (2) константу A1]( k ^ в неравенстве нельзя заменить на меньшую.

Пусть f е C2n n LipM 1 зафиксировано произвольным образом, тогда для любого x е R имеем

П

M™k} (/, x) - / (x) = j( (x +t) + / (x -t) - 2/(x))(t)dt, (*)

где ип (t)=

• 2 nk .2 nt

sin2— • sin2 — n 2

. 2 t f 2nk

nn • sin — • I cos t - cos------------

2 l n

Обозначим ф( x, t) = f (x +1) + f (x -1) - 2 f (x), t e [0, я].

Тогда } (f, x) - f(x) = Jф(x, t)w„ (t)dt.

0

Следует заметить, что ф(x, t) e Lip2M 1 для каждого x e R .

^ 2 kn

Пусть n таково, что выполняется--------< п .

n

Для r е [0, kп] определим функцию фг на [0, п]по формуле

2r

t,

если г є

0,-

n

4 r ( 2 r

-----t, если t є і —, п

n v n

Если для определенной выше функции ф(х, t) и фиксированного n подоб-

рать r так, что 2 M фг I----------I = ФІ--------I, то

2k п

( 2k п

V n

Jф(х, t)un (t)dt < 2M Jфг (t)un (t)dt.

0 0 Неравенство (4) выполняется в силу того, что если t є

2k п

0,

2 k п

(4)

то

Фг (t) > ф(х, t) и un (t) > 0 , а если г є

п

, то Фг (t) < ф(х, t) и un (t) < 0 .

Таким образом, Un = max 2 Їфг (t)u (t)dt.

0<r<kn *

0

С другой стороны,

П

2j Ф r(t )ия (t )dt

4k2 я I rr sin2 tdt

J:

sin2 tdt

n I 01(n2k2 -12) rJ t(n2k2 -12)

-2r j-

2

sin2 tdt t2(n2k2 -12)

+ o(n 1).

При этом можно подобрать оценку остатка, которая не зависит от г . Проведем исследование на экстремум функции

Ф(г) = J-

sin tdt

sin2 tdt

t(n2k2 -12) ;t(n2k2 -12) Гt2(n2k2 -12)

-+2r f-J і

sin tdt

n

n

r

0

Имеем

. sin2 r sin2 r _ sin2 r

Ф'(г) =------^^ +^--------------------^-2

V-' ,1,1 1, ,1,1 1,

r(n2k2 - r2) r(n2k2 - r2) r(n2k2 - r2)

sin2 tdt *r sin2 tdt

-2j 2 Si2n ™ 2 = 2J-

J t2r-n-2l,2t2\

't¿(n¿k¿ -1¿) r t2 (n2k2 -t2)'

Следовательно, функция Ф(г) имеет экстремум в точке r0 е [0, kп], такой что

^ • 2 7

г sin tdt

t2 (п2 k2 -t2)

= 0 . (5)

Заметим, что константа г0, удовлетворяющая равенству (5), не зависит от п .

Г

А так как Ф"(г0) = —2—2 2 0—^ < 0 , то в точке г = г0 функция Ф(г) имеет г2 (п2к2 - Го2)

максимум.

Итак,

(

£](k) = 4k 2 п

r0 „;„2

sin tdt г sin tdt

•* *

't(п2k2 -12) ro t(п2k2 -12)

(6)

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Для функции / е С2п, f е Ьгрм 1 выполняется оценка ||М„1](к) (/(I), X) - /(х)|| < 41](к> • М • и-1 + 0(и-1) ,

где константа АН1](к^, определенная равенствами (6) и (5), не может быть уменьшена на классе Ырм 1.

Описанный выше метод хорошо срабатывает при т = 1. Если его применять при т = 2 (в [7] рассматривается случай т = 2 , к1 = 1, к2 = 2), то мы приходим к исследованию на экстремум функции двух переменных. Распространить его на случай произвольного т представляется бесперспективным. Ниже предлагается

Л\т\(кЛ,...кт)

другой метод получения констант Л1Н 1 т , который можно распространить и на операторы, не входящие в группу мПт](к1’"""к” .

3. Некоторые утверждения общего характера

Рассмотрим линейные операторы

П

Ьп (/> х) = | ( + Х)™п () Ж , (7)

-П

где ^п ^) - четная непрерывная функция, имеющая простые нули в точках множества Т = {т; }”1 (Т зависит от п) и не имеющая других простых нулей на (0,п).

Г

Полагаем, что т; перенумерованы в порядке возрастания 0 < т1 < т2 <... ... < тт_1 <тт <п. Условимся обозначать т0 = 0 (целесообразность такого обо-

П

значения будет ясна далее). Полагаем, кроме того, (0) > 0, | = 1.

-П

т

Положим г (г) = П (т2 -г 2), Д+ = { : г (г) > 0, г е [-п, п]}, А- = [-п, п]\ А+ .

к=1

Пусть ф0 () - 2п - периодическая функция, определенная на [-п, п] следующим образом:

Г|й, если г еА+, Фо (г) = {" [-|г|, если г е А .

Предложение 1. Для любой функции f е Ырм 1 выполняется

\\ЬП (/, х) - /|| < М • Ьп (ф0 ({),0). (8)

по-

Доказательство. В силу того, что J wn (t)dt = 1 и Ln (f, x) имеет вид (7),

-П

лучим для любого x

п

Ln (f > x) - f (x) = J (f(t + x) - /(x))wn (t•

-п

Так как f e LipM 1, то \ f (t + x) - f (x)| < M|t| .

Отсюда следует

П П

ILn (f, x) - /(x)\ ^ J | f(t + x) - f (x)l • I wn (t^ ^ M J И • I Wn (t^ =

-П —П

П

= M J Фо(t) • wn(t)dt = M • Ln (Фо(t), 0),

—П

то есть в силу произвольности x получим (8), что и требовалось доказать.

Функция ф0 является разрывной и, следовательно, классу LipM 1 не принадлежит. Поэтому возможно усиление неравенства (8).

Пусть f e LipM 1, при этом f (0) = 0 . Рассмотрим поведение этой функции на

отрезке [, т i+1 ], если f (т;) = у , f (т+1) = у+1. Полагаем i = 0,1,..., m -1, при

этом у0 = 0 , т0 = 0 .

Из того, что

I/(t)- f (Т)\ < М • 11 — тг-1 и I/(t)- f (тг+1 )\ < М • \t -x;+J , следует цг (t) < f (t) < n (t) , где

) 1 y i + M (t- Ti), если ? e [тг-, xmax ],

г 1У+1 - M(t - Ti+i X если t e [^Г“, Ti+i ],

тах Ті + Ті +1 Уі +1 У і

Т =-----------------------+-----------------, (9)

і 2 2 М

Гу - м(I -х;), если I е[т;, т; ],

П (1) = \ г ■ п

Г У+1 + м (г- Т+1X если г е [ттт, т;+1 ],

^ш1п = Т/ + Т +1 + Уг Уг+1 (10)

1 ~ 2 2 м ' (

На отрезке [тт, п] / (г) должна удовлетворять неравенствам -М (г-Тт ) + Ут ^ /(г ) ^ М (г-Тт ) + Ут '

Обозначим 7 = (у, у2,•••, Ут). Пусть далее , У™” С) - четные 2п -пе-

риодические функции, которые на каждом из отрезков [, т;+1 ] г = 0,1,...,т -1 определены следующим образом:

Г (г),если г е [, тг+1 ]и (г) > 0,

уТ* (г) = ■.

К' (г), если г е [, Тг+1 ]и ^п (г) ^ 0-

уши (г) = |Ц (г)> если 1 е [Тг > Тг+1 ] и ^п (г) ^ 0

7 К- (),еСЛИ г е [г, тг+1 ]и 0) > 0.

На отрезке [тт, п] эти функции определяются аналогично:

\М( — тт) + ут,если I е [тт, л]и (I) > 0,

V?“ С) = ■.

—М ( —Тт ) + Ут ,еСЛИ 1 е [Тт , П]И ™п ({) ^ 0

^Ш1П (() \М (* -Хш ) + Ут ,еСЛИ * е[хт , п]и (I) < 0,

7 [-М (?-Тт ) + Ут ,если ^ е [Тт , П]и ™п 0) ^ 0

График любой функции на [0, п] представляет собой ломаную, звеньями которой являются отрезки графиков линейных функций с угловым коэффициентом, равным М или -М .

Прежде чем дать более детальное описание этих графиков, сделаем некоторые уточнения'

Расположение на числовой оси точек у должно соответствовать тому, что точки (т;, у) принадлежат графику функции из класса Ырм 1.

Если известно у, то для уг+1 должны выполнятся неравенства

Уг - М(тг +1 - Т ) ^ У+1 ^ Уг + М(тг+1 - Тг ) '

Заметим, если у+1 = у - М(хг+1 - тг-), то т™331 = тг- , т™1П = тг-+1; если Уг+1 = Уг + М(тг+1 -тг-), то т™33 = тг+1 , т™1П = тг. В этом можно убедиться непосредственной подстановкой в (9) и (10). Если f - четная функция и графики

и

и

¥Г и у™п симметрично продолжены на [-п, 0] относительно оси ординат, то

к ,0) < к (/, о) < к ,0)' (11)

Пусть Х[, I = 1,2,...,т - величины, определенные следующим образом:

(т™!*, если г - нечетно,

Х[ = \ г-3

[тЛ1, если г - четно.

Тогда Х[ являются абсциссами точек «излома» графика функции .

Для Л = {^г- }"=1, X, е [-1, тг- ], т0 = 0, обозначим через ¥л четную 2п -периодическую функцию, которая на [0, п] определена следующим образом:

,-1

¥л = (-1)г (г-К,) + X НУ (V) (12)

]=о

при г е [К,,Кг+1], г = 0,1,...,т, полагая при этом X0 = 0, Кт+1 = п .

Если обозначить Л7 = {X7 }"=1, то = М -¥дУ . Неравенства (11) показы-

вают, что

эир \Ьп (/, 0) - /(0)| = М • вирЬп Л, 0)| '

/ еИрм 1 Л

/-четно

Заметим, что условие четности f под знаком супремума можно снять'

В самом деле, для любой заданной на [-п, п] функции / е Ь1рм 1 существуют четные функции /1, /2 е Ь1рм 1 такие, что

ьп (/¡,0) < ьп (/ ,0) < ьп у,0)'

Эти функции можно определить следующим образом:

0 П

Если | /0К (г)Л < |/ (г)^я (г)Ж , то положим

—п 0

г ,) = Г/ (I), пРи 1 е [-л,0), „ ) = Г./(-г),пРи t е [-л,0),

1 1/(-1), при 1 е [0,п], 2 [/(г), при г е [0,п],

если же | /(г)кп (г)Л > |/(г)м»п (г)Л, то

г,) [/(-г),пРи г є [-л,0), „ ^ [/ (г), при г є [-л,0),

1 I/(г), при г є [0,я], 2 [/(-г), при г є [0,п].

4. Теорема об экстремальном значении функционала некоторого специального вида

Мы доказали, что вопрос об экстремальном значении величины

||Ьп (f, х) - f(х)|| при f є Ьірм 1 сводится к вопросу об экстремальном значении

величины \Ьп (/,0) при / є{фЛ}.

0

Из предложения 1 пункта 3 известно, что задача нахождения константы при главном члене в экстремальном значении величины IМП1]( к > (/, х) - / (х)|| приводит к исследованию функционала, определяемого некоторым преобразованным ядром.

Поставим задачу в общем виде.

Рассмотрим функционал n(f) = Jf (t)W(t)dt, где W(t)

непрерывная на

[0,да) функция, такая, что J|W(t)|dt <да , Jt|W(t)|dt <да, JW(t)dt = w0 > 0 ,

0 0 0

W(0) > 0, W(t) имеет простые нули в точках т;, 0 < т <... < тт < да и только в

т Ti

них, JW (t) dt > w0 при нечетных i, JW (t) dt < w0 при четных i. Можно огра-00 ничиться требованием непрерывности W(t) на конечном отрезке [0, a], таком, что при любом i т е (0, a).

Так же, как и в предыдущем пункте, полагаем Л = (Хг- }”j (кроме того, рассматриваем X0 = 0, Xm+1 = да ), Xf е [т;_1,т;] при i = 1,...,m (считаем т0 = 0).

Функция фл (t), t е [0, a) определяется той же формулой, что и уЛ (t), согласно (12). Положим Л0 = {Х0}"^ , где X0 удовлетворяют равенству

х,°

J W (t) dt = w0. (13)

о

Поставим следующую задачу: найти верхнюю грань значений функционала п

на функциях множества (фЛ}, то есть определить величину supп(фЛ) .

л

Приводимая ниже теорема 2 дает решение этой задачи.

Теорема 2. supп(Фл) = п(фЛо).

Л

5. Применение теоремы 2 к получению точных аппроксимационных констант

Данную теорему можно применить и для случая конечного отрезка [0, a]. Для этого случая достаточно положить W(t) = 0 при t е (a, да).

Пусть зафиксированы параметры, определяющие операторы Баскакова: натуральное m > 1 и мультииндекс km). Для выбранного набора K = {£г-}”0, та-

кого, что = k0 = 0, £,i е [nki-l,nkt] при i = 1,...,m , положим Лп(K) = {Х-п)} о , 2?.

^m+i = —~. Обозначим, далее фи - четную 2 п -периодическую функцию, опре-n

деленную на [0, л] согласно (12), как фи = ¥л при Л = Лп (K).

0

Пусть Ф(г) = — фп | — t |. Этой формулой Ф определяется при t є

2 ^ —

"ü, И

2

. На

промежутке | определим Ф той же формулой, что и на промежутке

р ли"

^ .у

Тогда Ф = ¥ Л определено формулой (12) при Л = К = {£г }”0.

Таким образом,

т _£

2 П^п “Г! фя(г)sin2—Л

м[ш](к1 ,...,кт) (фп (г),0) = —¿=1-----Г------------------2--------

п \тп\ /■> / J т / л/.. _

ПП 0 . 2 г 1—т [ 2л^П

о,,,,

2

sin _ПIcost-cos_

i=1

= ^ I! ) Ф(, ) Г ^ ).

" ы “ <2 П (*,2"2 -'2)

/=1

Так как остаток o(n-1) не зависит от K (подробнее об этом в [7]), то задача определения наилучшей константы в оценке

IмПп](к1,...,кт) (f (t), x) - f(x)|| < Ат^к,,...,km)м. n-1 + 0(„-1),

для f є LipM 1, сводится к исследованию на максимум функционала

* 2 /* \ j

n№,...,k„)(Ф) = 4n2m-1 Пk2 jФ(/) т51П (t) * при Ф Є {^Л} .

i=1 0 t2 П (k2 п2 -12)

i=1

Заметим, что мПп](кі’...’кт) (1, x) = 1 П(кі,...,кт) (1) + °(1) = 1.

Отсюда ) (1) = 2 .

Применим теорему 2 к случаю m = 1.

Для применения теоремы 2 следует убедиться в существовании Xo < кп, такого, что

Х° 2

sin tdt

2 Г Sin tdt

4k n J 12 (k2 2 12 ) = 2 .

0 t (k n — t )

Введем обозначение

8(кі,...,кт ) (Г) = 4П2П-1П í'

11mi 2r sin2(t)dt

i=1 012 П (k2П2 -12)

/=1

Для m = 1 имеем gk (да) = 2 . Но

ю • 2 ,j,

gk (да) = gk(kл) + 4л2и-1к2 J ^ 2—^ = 2 .

¿ t2 (к2п2 - t2)

Интеграл в последнем равенстве отрицателен, следовательно, gk (кп) > 2 .

— 1 П

А так как при t е [0,кп] sin t■ I? (k п -1 )) > 0, то найдется X e [0,kп], та-

кое, что gk (Xo) = 2 .

Тогда, по теореме 2, обозначив Л0 = {х0}, получим АН) = \к) Ло).

^ 1 Так как J sin21 • (t2 (k2n2 -12)) dt = 0, то

ГО ГО

J (-t + 2X°) sin21 ■ (t2 (k2n2 -12)) 1 dt = - J

sin tdt

t(k V -12)'

Таким образом,

( Xo

sin tdt

sin2 tdt

t(k2n2 -12) xo t(k2n2 -12)

что соответствует (6).

Докажем вспомогательное предложение 2. Предл0жение 2. 8{к1,..Лп_1) (М) < ^ ,кш) (к!^).

Доказательство. Преобразуем g(k ) (г) к виду

Г

g(kl,...,kn)(r) = 4п-1 f

sin (t)dt

0 ,2

t2 П i=1

1 -

t

ki n

2

Имеем

) (kin) = 4n-1 J-

sin (t)dt

m-1

012 П i= 1

. _i klr sin2 (t)dt

:4n ' J

1 -

t

k n

2

1 -

2

0 ,2

m_ 1

t2 П i=1

1 -

k¡ n

2

1 -

2 V1

где £e(0,k^).

Таким образом,

f

g(k ,...,k„ ) (M = 1 -

V

Предложение доказано.

2Л -

g(k ,...,km- ) (M) > g(k(D .

m

Итак при т = 2 имеем g(hM) (кр) > gft) (kp) > 2 , g№^} (да) = 2 . Так как

sin21 ■ (t2 (k2n2 -12 )(k^n2 - г2)) > 0 при г е [k2п, да) (равенство имеет место в

изолированных точках), то g^ ) (k2п) < 2 .

Следовательно, существуют X0 е (0, kjn) и е (kjn,k2п) такие, что

g(kj ,k2) (^1 ) = g(kj ,k2) (^2 ) = 2 .

Таким образом, теорему 2 можно применять для нахождения выражения для констант Ak >** > при любых целых k, k2 , если 0 < kv < k2 . Конкретно, 4kl ,k2) =%! ,k2) Л0), где Л0 = {, } при тех значениях X0 и X0, о которых

говорилось выше.

Учитывая, что при нахождении П(kl к2) (¥Л») значения ¥л0 на промежутках К, ^2 ) и ^) можно изменять на любую константу, сформулируем резуль-

тат.

Теорема 3. Для операторов M^1 ,k2 ^ (f, x) и любой функции f е LipM 1 выполняется оценка

IIM*’k2 > (f, x) - f (x)\\ < Ak ’k2 >M • n-1 + o(n-1),

где константа

4*1 >k2) = 4^2 k

Л 0

■ 2 i ^ 2 ■ 2 i j* sin tdt ^ Г sin tdt

J m J

П (#П2 - /2 ) * ? /П (*?п2 - /2)

V (=1 (=1 У

не может быть снижена.

Покажем, что теорему 2 можно применить при т = 3 для любых (к1, к2, к3)

к1 < к2 < к3.

Заметим, что

2"2"-1 П к2 ----= 1 • (14)

г'=1 о г2 П (к2п2 - г2)

/=1

и сформулируем утверждение, показывающее существование множества

л0 = {х0, х 2, х30} , которое обеспечивает существование точной аппроксимацион-ной константы.

Теорема 4. Пусть целые к , г = 1,2,3, таковы, что 0 < к1 < к2 < к3. Тогда существуют X0, г = 1,2,3 , 0 < ^ < пк{ <Х2 < пк2 <Х3 < пк3, такие, что

1 2 1

2п5 к?к2к32 | —3 ЯП ----------= 1. (15)

0 г2 П (к2п2 - г2)

г=1

Доказательство. Очевидно (15) имеет место, если для

sin2 tdt

з

012 П (kfn2 -12)

Ф(г) = 2Л2k22k32 j-

выполняется Ф (kn) > 1, Ф (k2n) < 1, Ф (k3 п) > 1.

Из предложения 2 следует, что неравенство

m n „'2

2n2m-1n k" J m -----------> 1

i=1 o t2 П (k2 n2 -t2)

i=1

выполняется при любом m > 0. Следовательно, Ф (kln) > 1.

Далее, очевидно, что Ф (k3n) > 1. Действительно, Ф (да) = 1, а подынтегральное выражение, фигурирующее в определении Ф (r), отрицательно почти везде на [к3п, да).

Итак, осталось доказать, что Ф (k2п) < 1.

Конкретизируя (1) для m = 1 и m = 2 , получим

го . 2 i ю . 2 i

Т ,2 Г Sin tdt 3,2,2 f sln tdt r

2nk1 J 12( 2 , 2 t ^ = 1 , 2nk1k2 J—2---------------= 1 . (16)

o t ( ki -1 ) o t2П(2k2 -12)

i=1

Вычитая в (16) первое равенство из второго, имеем

sin2 tdt

С sin tai n

0 ( -12)ti -12) = ■

Отсюда

nk7 . 2 i

sin tdt

f---------S------tdt---------< 0 (17)

J (2k2 -12)2k22 -12) 0 . ( 7)

o

Из (17) нетрудно получить

П^2 ■ 2 i

2J . sl° ' '---------------< 0. (18)

0 П("2k2 -'2)

/=1

Это следует из того, что любое значение функции (2(3 -12) на интервале

(k1n, k2п) больше любого значения этой функции на (0, k1n).

Складывая неравенство

nk7 . 2 т

sin tdt

2n?t; k22 J 2 sin tdt-----------< 1

с неравенством (18), получим Ф (к2п) < 1.

Теорема доказана.

Покажем применение теоремы 2 к получению точной константы в оценке приближения функции класса Ьірм 1 операторами, приведенными в работе [4].

В работе [4] приводится, в частности, следующий пример аппроксимирующей последовательности операторов класса Б2 :

^2) (/, X) =

10

пп | (1 - со8——-)(! 1п4 + 5п2 + 4) - 10(п2 +1)

I / (г + х)

( . П ^

81И — _______2

. г

81И —

V 2 /

6

, л/б. ,

(со8 г - сое—)т. п

Найдем выражение в интегральной форме для (1, х) . Учитывая четность

ядра, получаем

40

(1, х) =

пп І 28Іп 2—(11п4 + 5п2 + 4) - 10(п2 +1) 2п

( . ПІ ^ віп— 2 6 (Л ' г п (76

віп віп п

. г вт— 2 2

V 2 ) V ) V

- + І

І =

- Ип }Еп )Іг =Ип } Еп )Іг + И« } Еп №

Тб

где 8И ^ 0, 8И > — выбрано так, что п8п ^ да .

Тогда

Ип | Еп0)Л

2б

1 -~

■- Ип 11Еп (/ ^ Л < и„л6 | —6п-аі = п Vп Чп.

Имеем

= 91,п + 92,п = °(1) .

(19)

Равенство в (19) имеет место, так как д1 п имеет порядок 0(5пп 3), а д2и - по-

рядок 0(8 пп ).

П

0

5

П

5

п

Рассмотрим другое слагаемое: первое из двух, представляющих D2 (1, x) (де-

лаем замену u = -2 и отделяем бесконечно малые):

«8„/ '2-6 ,

Г ^ / ч і 40 _i г sin и 2 JЕп(t)dt =—п Í —— (3-2и )du + о(1):

о 23 о u6

да • 6

г smw (3 _ 2м 2 )du + 0(!), 23 0 u6

л г\ • 6

40 __i j-sin u

ю . 6

(Л ю • 6

таким образом, — п-1 J Sin6 П (3 - 2 и2 )dn = 1.

о

n

Итак, точная константа A в неравенстве

РЙ (Лх)-/()|| ^ Ам■п 1 + 0(п 1)

определяется как экстремальное значение функционала

80 ^ *6

л(ф) = — П_11 ф(«)^^6^(3 - 2« 2 )Ли

3 о «

на функциях вида

Гм, и е [0,X],

Фл (и) =Ь1 а \

[2 Х-и, и е (X, ад),

для X € ] .

Согласно теореме 2, экстремум (максимум) достигается при значении X = Х0, таком, что

X

—„-‘7 =^3 - 2u 2 )d„ = 1 .

23 J „6

0

w sin6 u

Так как [ —-—(3 - 2u2 )du = 0 , то под знаком интеграла на промежутке

у и

л0

[Х0, да) вместо 2Х0 - и можно записать —и .

Таким образом, одна из возможных форм записи точной константы выглядит следующим образом:

ОП ' 6 V1,5 • 6

AD = —п-1 (|3 - 2u2|du -2 І ^(3 -2u2)du).

23 0 u х0 u

Следует обратить внимание на то, что теорему 2 можно применить для методов суммирования рядов Фурье, которые не входят в группу методов, разработанных В.А. Баскаковым [2], что и было показано для операторов, приведенных в работе [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Абакумов Ю.Г., Карымова Е.Ю., Коган Е.С. Тригонометрические операторы Баскакова. Общие положения // Методы математического моделирования и информационные технологии: Труды Института прикладных математических исследований. Петрозаводск, 2000. Вып. 2. С. 87 - 104.

2. Баскаков В.А. Об одном методе построения операторов класса S2m // Теория функций и приближений. Интерполирование по Лагранжу. Саратов, 1984. С. 19 - 25.

3. Баскаков В.А. Об операторах класса S2m, построенных на ядрах Фейера // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. трудов. Тверь, 2001. С. 5 -12.

4. Ершова Е.М. Операторы класса S2m и их аппроксимативные свойства: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: Институт электроники и математики, 2002. 13 с.

5. КорнейчукН.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. 424 с.

6. Коган Е.С. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые задачи, связанные с ними // Математика и ее приложения: Журн. Иванов. матем. об-ва. 2004. Вып. 1. С. 79 -93.

7. Коган Е.С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Lip^a: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005. 16 с.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

КОГАН Евгения Семеновна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

информатики, вычислительной техники и прикладной математики факультета экономики и

информатики Читинского государственного университета. E-mail: [email protected]

Статья принята в печать 20.05.2009г.