CC BY
22
Труды Карельского научного центра РАН № 4. 2014. С. 3-5
УДК 517.51
ОБ АППРОКСИМАЦИОННЫХ КОНСТАНТАХ В ОЦЕНКАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА LIP 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ БАСКАКОВА
Ю. Г. Абакумов1, М. А. Верхотурова1, В. Г. Банин2
1 Забайкальский государственный университет
2 Финансовый университет при Правительстве РФ
Рассматриваются некоторые вопросы, касающиеся оценочных и точных констант в оценках приближения функций классов Lipl тригонометрическими операторами Баскакова.
Ключевые слова: аппроксимационные константы, тригонометрические операторы Баскакова.
Yu. G. Abakumov, М. A. Verhoturova, V. G. Banin. APPROXIMATION CONSTANTS IN ESTIMATION OF LIP1 CLASS FUNCTIONS APPROXIMATION BY BASKAKOV’S TRIGONOMETRIC OPERATORS
Some aspects of estimation constants application in approximation of functions from Lipl class by Baskakov’s trigonometric operators are considered.
Key words: approximation constants, Baskakov’s trigonometric operators.
1. Общие сведения о тригоно-
метрических операторах Баскакова И НЕКОТОРЫХ АППРОКСИМАТИВНЫХ СВОЙСТВАХ ЭТИХ ОПЕРАТОРОВ
Если / Є Ырм 1, то имеет место следующая оценка:
Тригонометрическими операторами Баска-
з пос.
, где
кова называются аппроксимационные последовательности < Мп п >
I J п=2кт+1
Г)ТП—1
МЫ(Ъ,...Ы =
2m_1 ЩЦ sin2 ^
/_
7ГП
f(t + x) sin2 dt
■21 пт., ('
2 к
—к sin~ ^ I I I cos t — cos —L
n 1 + о (n *) , (1)
где
о
= 47Г
,2m-
m rc
3=і J0
sin2 tdt
/С27Г2 — t2
а целые параметры то, kj не зависят от п и удовлетворяют неравенствам: m > 0, 0 < к\ < к,2 < ■ ■ ■ < кт.
Константа Ап0лу4ила название оценочной константы (в отличие от точной константы, о которой речь пойдет дальше). Было установлено, что в неравенстве (1)
константу А10' можно заменить на
_д[т\(кг,-,кт)^ которая определяется неравенством
j^[rn]{ki,...,km) _
m(t) sin2 tdt
lib Л
— 47r2m_1 JJ Щ /
3 =1 J0
tUT=i(^-t2Y
где m(t) = sign (ЩЦ irj ~ *)) ■
Константы rj, j = 1 , ...,m, 0 < r\ < kin < Г2 < &27Г < ... < rm < кттт, являются корнями уравнения
(2)
m .r
=*2m lU Щ /
i=i Jo
sin2 tdt
2. О КОНСТАНТЕ A
[4] (1,2,3,4) H
Утверждение доказано.
□
Теорема 1. Имеет место неравенство
С'[4](1,2,3,4)(Зтг) > \.
Доказательство. Известно, что <2[4](1,2,з)(Зтг) > 2‘
Покажем, что
С(37Г) > G[3](l,2,3)(37r)-
Последнее неравенство эквивалентно тому, г37Г sin2 tdt
что
I
> О
(3)
(левая часть неравенства получится, если из ^[4](1,2,з,4) (Зтг) вычесть С[з](1)2)3) (Зтг)). Таким образом, доказательство неравенства (7[4](1,2,3,4) (Зтг) > \ сводится к доказательству неравенства (3). Правая часть неравенства (3) выгладит следующим образом:
Существование требуемых решений уравнения (2) в общем случае до сих пор не доказано. Существование констант ^ = 1 удовлетворяющих равенству =
доказано при ш = 1,2,3 и любых допустимых кз, а также в некоторых частных случаях при т = 4,5 (см. [1, 2]).
Г Зтг
sin2 tdt
f
JQ (7Г2 — t2) (47Г2 — t2) (97Г2 — t2) (167Г2 — t2) Г-Зтг
F (t) dt.
-J
JO
рЗтг /*7Г Г 27Г
/ F(t)dt= / F(t)dt+ / F(t)dt
Jo Jo J 7Г
+
+
Воспроизведем (с некоторыми изменениями) по [1] доказательство существования констант в случае т = 4, (к\, &2, /сз, к^ = (1,2,3,4). Предварительно докажем одно вспомогательное утверждение.
Утверждение 1. Если вщ^^^пкз) > то уравнение (2) имеет четыре корня rj, ^ = 1, ...,4, таких, что 0 < г\ < -кк\ < Г2 <
7Г/С2 < Гз < 7т/сз<Г4 < Тгк^.
Доказательство. Очевидно, что уравнение (2) имеет указанные в условиях утверждения четыре корня, если [4] (&! ,к2 ,к3 ,к4) (?Гк\ ) > §,
^[4](к1,к2,кз,к4.) (^^2) < 2 > ^Щ{кг,к2,к3М) (^з) >
<^[4]^ ,/с2,/сз,/с4)(7г/С4) < §. Выполнение первых двух неравенств доказано Е. Ю. Карымовой (см. [3]). Третье неравенство выполнено по условию. Четвертое неравенство выполняется потому, что СШкгММм){г) при Г € [тг/с4,оо), возрастая, стремится к
г Зтг
/ F(t)dt =
J 2ж
= + 12 + /з-
Гж sin 1 = Jo П?= i (7
4=1 (^2 - *2)
Во втором интеграле делаем замену г = 7Г (в записи переходим вновь к обозначению t вместо г):
/*7Г
72 Jo
sin2 tdt
2 — t2) (97Г2 — t2) (47Г +t) (57Г — t)'
В третьем интеграле сделаем замену т = t—2n и перейдем к обозначению t вместо т:
_ Г™ sin2 tdt
3 Jo t (тг2 — t2) (27Г — t) (37Г + t) (47Г + t) (57Г + t) (67Г + t)
Произведя сложение, получим
ii +12 +13 =
1"Ж (312 + 97Гi + 67т2) sin2 tdt
I
Jo
о (57Г + 4) (67Г + 4) п5=1 О’271"2 - *2)
Так как подынтегральное выражение неотрицательно при 4 е [0,7г], имеем
Ji + /2 + /3 > 0. Теорема 1 доказана.
□
0
3. О ТОЧНЫХ КОНСТАНТАХ ВИДА
д[т](кі,...,кт)
т~1 rhitr
Мы уже отмечали, что точные константы вычисляются по формуле
д[т](к1,...,кт) _
= 47Г
,2т-
т fC
‘П *1
3=і 0
m(t) sin2 tdt
tirr=i№-*y
«2т1П
3=1 Jo
Trt-x ri
= n2m~3 П fe? I
3=1 Jo
sin2t
ПГ- (*=«?-<") l-;4
m_1 ',fc|r Sin- tdt 1
-dt —
L rk
7Г2"1-1 П kl(
3=1 Jo
+
3=L
ЁГ
p=lJkpTT
t2UT=i (fe>2-*2) 1--Й
-+
sin tdt
t2UT=[4*%**-#) 1-%
где m(i) = sign ^Ilj=i(ri — если уравнение (2) имеет m решений, расположенных так, как это оговорено в п. 1.
Утверждение 2. Уравнение (2) имеет т (т > 3) решений, расположенных так, как это оговорено в п.1, если для i = 3— 1 выполняются неравенства
G[m]{ku..,km){h^) > * при нечетном I (4)
G[m]{ku..,km){h^) < ^ при четном I (5)
Доказательство. Доказательство опустим, оно совершенно аналогично доказательству утверждения 1. □
Теорема 2. Если при некоторых к\ < &2 < ... < кт-1 уравнение (2) имеет т решений, расположенных так, как это оговорено в п. 1, то найдется No(ki,..., km-\) такое, что при кт > Щ имеют место неравенства (4) и (5).
Доказательство. Имеем
sin2 tdt
і2 пг=і ~ р)
где € (0,/С17Г) , € (кд- 17Г,/Сд7Г).
Так как
« ^ 1
1_____
1
при кт —> оо , q < то, получаем, что
1пп С[ш](/г1> ...,/гт)(^г7г) = С?[3](/с1, ...,/гт_1) (^г71")-
Кщ, —гОО
А это эквивалентно утверждению, которое сформулировано как теорема 2. Итак, теорема 2 доказана. □
Следствие 1. Яри любом т > О существует бесконечное число таких = 1 ,..,т, что уравнение (2) имеет то решений, расположенных так, как это оговорено в п. 1.
Литература
1. Абакумов Ю. Г., Карымова Е. Ю., Коган Е. С. Об одной точной константе // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2008. С. 14-17.
2. Абакумов Ю. Г., Верхотурова М. А., Коган Е. С. Об одной экстремальной задаче теории приближения // Вестник Самарского ГУ. Естественно-науч. серия. 2012. № 3/1 (94). С. 5-13.
3. Карымова Е. Ю. Приближение функции Хевисайда некоторыми методами суммирования рядов Фурье: монография // Е. Ю. Карымова, Ю. Г. Абакумов, С. В. Долгов, Т. В. Дубровина, Е. С. Коган. Чита: ЧитГУ, 2010. 121 с.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
Абакумов Юрий Георгиевич к. ф.-м. н., профессор
Забайкальский государственный университет
ул. Александро-Заводская, 30, Чита, Россия, 672039
эл. почта: [email protected]
тел.: (302) 2416444
Верхотурова Мария Алексеевна
аспирантка
Забайкальский государственный университет
ул. Александро-Заводская, 30, Чита, Россия, 672039
тел.: (302) 2416444
Банин Виктор Григорьевич
к. ф.-м. н., доцент
Финансовый университет при Правительстве РФ Ленинградский проспект, 49, Москва, Россия, 125993 эл. почта: [email protected] тел.: (499) 2772118
Abakumov, Yury
Zabaykalsky State University
30 Alexandro-Zavodskaya St., 672039 Chita, Russia, e-mail: [email protected] tel.: (302) 2416444
Verhoturova, Maria
Zabaykalsky State University
30 Alexandro-Zavodskaya St., 672039 Chita, Russia, tel.: (302) 2416444
Banin, Victor
Financial University
49 Leningradskiy St., 125993 Moscow, Russia, e-mail: [email protected] tel.: (499) 2772118
