CC BY
24
НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
УДК 517.51 ББК 22.161 Ю. Г. Абакумов, Р. Р. Батырова, М. А. Верхотурова, Е. С. Коган
г. Чита, Россия
Об одной экстремальной задаче теории приближений
В статье рассматривается ряд вопросов, связанных с задачей нахождения констант
AlH = l*mn^TOnsup Mn (f, x) — f (x) , где Mn -тригономет-
рические операторы Баскакова . Константы АПта](к1’ " ’кт) называются точными константами. В статье дается обзор полученных ранее авторами результатов, приводятся полные доказательства результатов, которые ранее были анонсированы. Приводится полное решение задачи при m = 1, 2, 3, а также при m = 4, если (ki, &2, кз, ^4) = (1, 2, 3,4), (k\, &2, кз, ^4) = (1, 2, 3, 5), (k\, k2, кз, ^4) = (1, 2, 4, 5), при m = 5, (к\, к2, кз, к4, ks) = (1, 2, 3, 4, 5) . Исследуется также динамика изменения величины константы AH](k) при росте параметра к.
Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, точные константы.
Yu. G. Abakumov, R. R. Batyrova, M. A. Verkhohturova, Ye. S. Kogan
Chita, Russia
About Extremal Problem of Approximation Theory
The article discusses several issues related to the task of finding the constants
r[m](ki,""",km)
/1[m](ki,""",km)
AH = l*mn^TOnsup
Mnm](ki’"""’km)(f,x) — f (x)
where Mnm](kl’"""’km) are
trigonometric operators of Baskakov. The constants Ann](fcl, ',fcm) are called the exact constants. The article provides an overview of the results obtained earlier by the authors, full proofs of results that were previously announced. We give a complete solution of the problem, as well as m = 1, 2, 3, as well as m = 4,if (ki, k2, k3, k4) = (1, 2, 3, 4), (ki, k2, k3, k4) = (1, 2, 3, 5), (k1, k2, k3, k4) = (1, 2, 4, 5), n as m = 5, (k1, k2, k3, k4, k5) = (1, 2, 3,4, 5). We also investigate the dynamics of change in value of the constant AH](k) the growth parameter k.
Keywords: trigonometric operators of Baskakov,exact constant.
Введение
Пусть имеется последовательность операторов |Ьп}, Ьп : С2п ^ Тр(п), Тр(п) - множество тригонометрических полиномов порядка р(п) = О(п).
Говорят, что /(¿) € С2П принадлежит множеству(классу) Ырм 1, где М > 0 действительное число, если , ¿2 выполнено
|/(¿1) - /(¿2)| < М |^1 - ¿2|.
6
© Абакумов Ю. Г., Батырова Р. Р., Верхотурова М. А., Коган Е. С., 2011
Обозначают также Lip1 = УM>0 L*pM 1.
Предполагаем, что последовательность {Ln} приближает класс Lip1 с наилучшим порядком, то есть
f(t) G Ыр1 =ф ||Ln(f,x) - f(x)|| = О (1)
норма чебышевская.
Если для последовательности Л = {Ln} существует предел
AH = l*mn^TOnsup/eLjpii ||Ln(/,x) — f(x)|| ,
то константу AH будем называть наилучшей (или точной) константой в оценке приближения операторами Ln функций класса Lip1.
Если указанный предел (то есть константа AH) существует, то для f (t) £ LipM 1 выполняется оценка
ll-Mf, x) — f (x)|| < M • AH • n-1 + o(n-1) (2)
При этом, в определенном смысле, константу AH снизить нельзя.
Для любой конкретной последовательности Л = {Ln}, удовлетворяющей (1), естественно поставить задачу аналитического выражения константы AH . В предлагаемой статье эта задача рассматривается для совокупности аппросимирующих последовательностей
}•
которые (см. пример [1]) называют тригонометрическими операторами Баскакова.
Операторы мПт](Й1,'"’йт)(/, х) имеют вид
«Гк*....Г______________________________________
7ГП вт2| П™=1 усо^ —
где то, к^ - целые положительные параметры , 0 < к\ < ... < кт <
Операторы Баскакова являются методами суммирования рядов Фурье, то есть представляются в виде
1 „-п /-, п-т-1 \
= -1 /(г + х){-+ £ Х^’-’^сов^)} л,
где
. 1 3=1 П (cos^f" - 1) . ¿2fci7r
д[т](йі,...,йт) = ^ _ 1 1 l = 1>l^j___________________ _ sm п
n n m / о, OI, \ 2fc,-n •
II II Tt I 2kiiT ¿kj-K \ sm——
т || ICOS—!------------------COS—— I n
í=i,í=j V n ” 1
В дальнейшем в этой статье рассматривается задача нахождения точных констант для операторов Баскакова. Константы будем обозначать
Исходным пунктом в нашем изложении является следующий результат (см. [5, 7]): если уравнение
С[т](Й1 ,..,кт) (Г) — 2’ Г,Л'е
r
Г (.Л - „2т-1 TT 1,2 f Sin2tdt
G[m]{k i,..,fcm)(r) — Tf 11 :
J f m ‘
j=1 0 t2 П (n2k2 - t2)
J = 1
имеет m корней rj, j = 1, ..., m при этом
0 < ri < kin < r2 < &2П < ... < rm < kmn,
то
^д[т](Л:1,...,Л:т) _ ^2т-1 ^ ^2 7* т(£)зт2£с?£
5=1
где т(£) = в*$п ]^[ (г^- — ¿) .
\5=1 У
Таким образом задача сводится к тому, чтобы доказать наличие т корней уравнения
С[т](Й1,...,А:гг1)(г) 2'
В настоящее время эта задача решена для т =1, 2, 3. При произвольных значениях к^- а также для некоторых частных случаев при т = 4, 5.
В л |т1(&1,...,&т)
этой статье излагается ряд результатов, относящихся к константам : существо-
вание параметров {г5-}, динамика изменения констант в зависимости от изменения параметров.
Часть результатов опубликована(см. список литературы), однако публикации эти, как правило, представляются статьями в малодоступных сборниках и материалах конференций. Изложение большей частью замкнуто, все факты сопровождаются доказательствами.
1. Некоторые свойства функций С[т](к1 ,...1^т)(г)
Предложение 1. При любых допустимых значениях параметров т, к выполняется
^ТОг^соС[т](^ъ...^т)(г) = — (4)
Доказательство. Известно ([1], [5]),что мППт](Й1’ '’йт)(1,х) = 1. В силу того, что равенство выполняется и при х = 0, а ядро операторов Баскакова - четная функция, имеем
• 2 к з п
т -3— ■/!
.¡=1 " Г втЧгЛ
0 1 2 1.
7ГП о вт2| П (сов£ — сов^^-)
5=1
Производили преобразования:
,'„2 кзп
71 (
¿=1 " Г
2т П тг
п
7ТП о -зт2| П (соз£ — со5^^-)
5 = 1 П
т .
П ^2— - . о ,
j=l " ? зт Щ-Л
2 П у . 2 ,
5=1 / вгп2т • ат
{ ,ш2ГП(5т(^_Л,т(^ + Г
5=1
/ ПП \
= 2(?[т](й11 ...гкт) ( ) + °(1)
[т](к1 ^...^Кт) у 2 У
Отсюда С[т](Й11...1Йт) (^) = ^ + о(1).
22
Следовательно выполняется (4). Предложение доказано.
Предложение 2. Функция С[т](к11."1кт)(г) имеет т экстремумов. Экстремумы достигаются в точках множества М = {пк5- }•=!, при этом в точках множества
Г т + 1 1 -I
{тг*2з+1}д-=20
ПП2
максимумы, в остальных точках множества М - минимумы. Доказательство. Имеем:
, т
-гО[т]{ки...1кт)(г) = к2™-1 П к2
¿=1 г2 П (п2&2 — г2)
Эта функция положительна вблизи нуля и меняет знак в точках множества М. Отсюда, очевидно, следует утверждение, составляющее предложение 2.
Предложение доказано.
Следствие 1. При т = 1 уравнение (3) имеет единственный корень Г1 при этом 0 < Г1 < пкх. Теорема 1. При любых целых А, ] = 1, 2,..., т, т +1, удовлетворяющих условию 0 < < ... <
кт < Ат+1, выполняется неравенство
^[т](Й1,...,Йт)(к1, П) < ^[т+1](Й1,...,Йт,Йт+1)(к1, П). (5)
Доказательство. Для любого г > 0 имеем
Г
Гї /г N _ 2т-1 ТТ 1.2 [ віпНЛ
С[т+1](к1,...,кт,кт+1)(^І7 71) 71 11 5 J
¿=і 0 *2 П (п2^2 — і2) ¿=1
Г
_1 Г вги2Ы£
¿=1
Имеем далее:
кіп
[тті]
¿2П(і-^)(і-^)
¿=1 З т+1
Так как при
і Є (0, ^1п] ,
і2 \-1
1 - ^2р ) > !>
П Кт+1 /
выполняется (5).
Теорема доказана.
Следствие 2. При т = 2 уравнение (3) имеет два корня Г1,Г2, при этом 0 < Г1 < &1П, &1П <
Г2 < &2^.
Доказательство. Существование корня г1 следует из того, что
С[2](й1ій2)(А:і,7г) > С[і](й1)(А:і,7г) >
Далее:
С[2](Й1,Й2)(г)
на
[&1П, &2"л]
; ^ 1
1
убывает, при этом С?[2](&!_,&2)(^2?г) < Последнее неравенство следует из того, что на
[к 17г, оо)возрастая стремится к ^.
Следствие таким образом доказано.
Теорема 2. При т > 2 и целых , ^’ = 1,..., т, т +1, удовлетворяющих условию 0 < &1 < ... < Ат < Ат+1, выполняется неравенство
^[т](Й1,...,Йт)(к2, п) > ^[т+1](Й1,...,Йт,Йт+1)(к2, п). (6)
2
яги2г
Доказательство. Рассмотрим разность:
С[т](Й1,...,кт)(^2, п) — С[т+1](йі,...,йт,йт+і)(^2, п) т к2п
2т-1^к2 1
3 I т+1
¿=1 О П (^П2 — і2) ¿=1
Обозначим:
т ^ • 2_1 7_1
г _ 2т— 1 Т~[ 1,2 зт .
-'[т](Й1,А:2...,йт,йт+1)(г) 71 11 5 т+1 ' '
^ о П (к?п2 - ¿2)
5 = 1
Доказываемая теорема эквивалентна тому, что
1[т](Й1,Й2...,Йт,Йт + 1)(пк2) > 0. (8)
Заметим, формулой (7) функция 1[т](к1 ,...,кт+1)(г) определена и при т =1. Докажем сначала,
что
1*тг^то1[т](й1 ,...,кт+1) (г) 0
(в том числе и при т = 1 ).
Действительно,
1[т](Й1,Й2...,Йт,Йт+1)(г) = ^ [т]( к 1 ,...,кт ) (г ) — ^[т+1](Й1,...,Йт,Йт + 1)(г).
При г -> со и уменьшаемое и вычитаемое стремятся к Это и доказывает, что разность стремится к нулю.
Пусть т = 1. Тогда 1[1],(к1,к2)(г) на [к2П, ^), убывая, стремится к нулю. Следовательно
1[1](к1,кз)(пА2) > 0.
Докажем (8) индукцией по т.
Предположим, что при некотором т > 1(8) установлено для т — 1. Это означает, что выполняется
к2П
/вт2Ы£
Тй------------- <°-
о П(к|п2 — ¿2)
5=1
Отсюда:
кіп &2П
/" вги2Ы£ /" вги2Ы£
< -
ПП2 2 ,2 Л і П”\(^2 - І2)
о П(^2п2 — і2) кіп 1Ъ=1( * )
¿=1
Покажем, что отсюда следует:
кіп к,2п
/вги2Ы£ [' вги2Ы£
О П (^2П2 — і2) ¡кіп П (^п2 — і2)
5=1 5=1
По теореме о среднем имеем:
к1П к1П
[ sín2tdt 1 /" вт2Ы£
т+1 /~2 П 42 / гл
О П (^,2п2 — і2) т+1 42 О П(^2п2 — і2)
¿=1 ^ ¿=1
— I ------------ --
/ т+1 к2 п — 52 I т ’
к1п П (к2п2 - ¿2) т+1 51 ¿П (к2п2 - ¿2)
5 = 1 7 ^
где ^1 € (0, &1п),£2 € (к1П, к2п).
Из того, что (кт
+1П2 - е2)-1 < (*т +1п2 — 5!) 1, получаем (9). А из (9), в свою очередь, следует, что из выполнения (8) для т — 1 вытекает выполение (8)для т.
Теорема доказана.
Следствие 3. При т = 3 уравнение (3) имеет три корня Г1, Г2, гз, при этом:
0 < Г1 < к1П < Г2 < к2П < гз < кзп.
Доказательство.
По теореме 1 получаем, что
^[3](й1,й2,йз)(^17г) > 2’
а по теореме 2, что С[3](-д,1д,2 д,3)(А:27г) < Далее, на [/сз, 7г, оо) С[3](-д,1д,2 д,3)(г), убывая стремится к Отсюда:
С[3](Й1,А:2,Йз)(^'31 71") > 2"
Следствие доказано. Теоремы 1 и 2 получены Е.Ю. Карымовой(см., например, [4]). Таким образом правомерность формулы для Ат^1’'"’^ доказана при т =1, 2, 3.
2. Некоторые частные случаи при т = 4, 5
Как уже было отмечено, при т > 3 доказать существование корней г5-, ] = 1, ...,т уравнения (3) не удалось. Задача решена лишь для частных случаев. Рассмотрим сначала случай т = 4.
Предложение 4- Если Сщ^кг^...1д;4)(А:37г) > то уравнение (3) имеет четыре корня {г}^=1, 0 < Г1 < п&1, пк5- < г^+1 < пк^+1, = 1, 2, 3.
Доказательство. Очевидно уравнение (3) имеет четыре корня, указанных в формулировке предложения, если
С[4](Й1’-
С[4](Й1’.
С[4](Й1’-
С[4](Й1’- ,.,к4)(к4к) < Т2-
Выполнение первых двух неравенств гарантироуется теоремами 1 и 2. Выполнение третьего неравенства предполагается по условию. Четвертое неравенство следует из того, что С[4](к1_ к4)(г) при [А?4, 7г, оо), возрастая, стремится к Предложение доказано.
Известно (см. следствие 3), что
(^[4](к1,к2,к3)(кз'^) > 2"
Есть предположение (которое в общем виде пока не доказано), что
^[4](^1’...’^4) (к3п) > С[3](Й1’Й2’йз)(к3п).
Последнее неравенство эквивалентно тому, что
• 2 ,
/ sín2tat
-------- >0. (10)
о П (^п2 - ¿2)
5=1
В известных конктретных случаях неравенство (10) подтверждается вычислениями на МаШса^ Но такие вычисления доказательной силы не имеют, тем более, что левая часть (10) имеет порядок 10-9 - 10-10.
Далее обозначаем (к) = (к1, к2, кз, А^). Начнем с рассмотрения случая (к) = (1, 2, 3,4) Левая часть неравенства (10) приобретает вид:
Представим:
имеем:
3п
3п
У (п2 — і2)(4п2 — і2)(9п2 — і2)(16п2 — і2) У
0 0
Р (і)А.
3п
3п
J Р(і)¿і = | Р(і)¿і + | Р(і)¿і + | Р(і)¿і = /і + /2 + /3,
0 0 п 2п
0 П(^'2п2 — і2) ¿=і
Во втором интеграле делаем замену т = £ - п (в записи переходим вновь к обозначению £ вместо т).
/2 =
Складывая, получим:
г2іві
і(п — і)(4п2 — і2)(9п2 — і2)(4п + і)(5п + і)
/і + /2 + /3 + /4 =
Р(і)вт2ісЙ;
ОЙ ’
где
4 8
д(£) = £(п2 - £2^(^'2п2 - г2)Ц(.?п + £),
5=2 5=6
Р(¿) = 60п6 + 402£п5 + 530£2п4 + 156£3п3 - 64£4п2 - 36£5п - 4£6.
Очевидно, что при £ € (0, п) знаменатель ф(£) > 0. Можно убедиться, что Р(¿) > 0 при £ € [0, п]. В самом деле, положим £ = пт (тогда т € [0,1]). Получаем Р(£) = Р(п£) = п6(60 + 402т + 530т2 + 156т3 - 64т4 - 36т5 -4т6) > 0. Последнее неравенство следует из того, что при т € [0,1] выполняется неравенство 402т + 530т2 + 156т3 > 64т4 + 36т5 + 4т6. Рассмотрение случая к = (1, 2, 3, 5) закончено.
После рассмотрения исследованных выше двух частных случаев может возникнуть предположение, что после приведения исследуемого интеграла - левой части неравенства (10) - мы всегда после приведения интеграла к промежутку [0, п], будем получать неотрицательное подынтегральное выражение. Однако в случае (к) = (1, 2,4, 5) это предположение не находит подтверждения.
В этом случае получается равенство:
4п
У (п2 - £2)(4п2 - £2)(16п2 - £2)(25п2 - £2) У ^(£)д(£) ’
о о
Р(£) = -4£5 - 36п£5 - 44п£4 + 276п3£3 + 1000п4£2 + 1272п5£ - 640п6,
^(£) = £(п - £),
?(£)(п+*) П (/п2 - £2) П с?2п2 - £2).
5 = 2 5=6
Так как Р(0) = -640п6, Р(п)1824п6, то Р(£) меняет знак на [0, п]. Следовательно, меняет знак и все подынтегральное выражение.
п
п
п
п
п
п
П 2
Докажем, что / — > 0. Доказательство основывается на ряде оценок, легко проверяе-
мых или очевидных. Функция Р(£) возрастает на [0, п] и имеет корень в точке £ = то, 1,19 < то <
1,195. Далее,
/ Р (£)Л
--------= <5о«3,9. (И)
- I Р(£М
о
Функция Ь\(¿) = симметрична относительно середины отрезка [0,7г] и выпукла вверх. Из
эттого следует, что
/ ^1(£)Р(£)Л
А*-------------- >¿0. (12)
- I ^1(£)Р(£)Л
о
Функция (</(^))-1 на [0,7г] положительная и убывающая, при этом = 1,8.
Следовательно в силу (11) и (12), имеем:
П П То То
Г Р(£)вт2£сЙ Г Р(£)вт2£сЙ Г Р^вт^ЬА Г Р(£)вт2£сЙ
У н(г)д(г) > У 1г(г)д(тг) > У ь(г)д(о) > У н(г)д(г) '
Отсюда, / Р^1г)д(Г)М > Таким образом, рассмотрение случая (к) = (1,2,4, 5) закончено. Пе-
рейдем к рассмотрению случая m = 5, (k) = (1, 2, 3,4, 5). Обозначим:
„ sm2tdt
F(t)
П (j2n2 -t2) j=i
Аналогично предыдущему(детали опустим) приходим к выводу, что уравнение (3) в рассматриваемом случае имеет пять корней, удовлетворяющих условию
0 < г1 < п < г2 < 2п < г3 < 3п < г4 < 4п < г5 < 5п,
Зп 4п
если ^ ^(£)^£ > 0, / ^(£)^£ < 0. Применяя уже рассмотренные выше приемы, получаем:
оо
3п п
2
F(t)dt = j sm2tdtx
/
1 1
П (j2n2 — t2) t(n — t) П (j2n2 — t2)(5n + t)(6n + t)
\j=1 j=2
+
+
\
1dt
t(2n — t)(n2 — t2)(9n2 — t2) (jn +1)
j=4 )
Произведя сложение, получим
3п п
/■ 2 3t3 + 9nt2 + 11n2t + 5n3
F{t)A = sm t—---------------------------------------------A > 0.
о о t П (j2n2 — t2)(6n + t)(7n + t)
j=i
x
4п
Убедимся теперь, что / F(t)dt < 0.
о
Обозначим F(t)dt = sm2tQ(t)dt.
Получим:
/ \
4п п
оо
Jf «)<й = / «„А
QW------------------------------§-----------
t(n2 — t2)(4n2 — t2) (jn +1)
\ j=4 I
dt.
После преобразований имеем:
4п п
[ 2 4t4 + 24nt3 + 94n2t2 + 174n3t - 140п4 ,
F(t)dt = sin2t---------------—----------------dt.
0 0 t П (j2n2 - t2) П (jn +t)
j=i j=6
Обозначим
P(t) = 4t4 + 24nt3 + 94n2t2 + 174n3t - 140п4,
5 8
SW = $N}’ ф) = (7r + t) П ti2^2 - t2) П tin +1)- Тогда
j=2 j=6
4п п
00
4п
То, что / F(t)dt < 0, получается из следующих легко проверяемых фактов: (1) P(t) возрастает на 0
[0, п] и имеет на этом отрезке единственный корень то, при этом 0, 587п < то < 0, 588п, кроме того
п
J P(t)dt « —4549,493 < 0(2)
¿У(і) симметрична относительно і = ^ и положительна на (0,7г),(3) любое значение функции ^у на [т0,п] меньше любого значения этой функции на [0, тэ). Таким образом завершено рассмотрение случая т = 5, (к) = (1, 2, 3,4, 5).
3. Динамика роста константы АН](к) при увеличении к
-гг л [^т] ( к ікт)
Кроме точных констант АН рассматривают также оценочные константы
AO
=4n2m-^ k2
O 11 nj m ■
j=i о tn in2t2 — t2i
j=1
Доказано(см. пример [2]),что для любой f (t) Є LipM 1 выполняется оценка
Mjm](ki,...,fcm)(/, x) — f (x) < MAO]^1’"”Km)n-1 + O(n-1).
В отличие от точных констант оценочные константы не зависят от параметров, существова-
, [т](й1’...’йт)
ние которых не доказано и, следовательно, константы определены при любых т и
(к) = (к1,...,кт). Единственным образом возникает задача определения характера зависимости оценочных и точных (в тех случаях, когда их существование доказано) от параметров т и (к),
а также выяснение характера соотношения между этими константами(очевидно, например, что
, [ш](к1,...,кт) , [ш](к1,...,кт)
Ао > ).
К настоящему времени этот вопрос достаточно подробно исследован лишь при т =1. Далее мы изложим эти результаты (отдельные результаты были ранее анонсированы, например [3], или кратко изложены [6]).
Теорема 3. Для AO](k) выполняется
1*mfc^TOAO](fc) = те,
более точно AO](fc) = O(lnk).
о
Доказательство. Первое из этих равенство доказать несложно
сю кп
АШк) = Атгк2 f SmHdt > 4irk2 f SmHdt
° У i |тг2*2 — i2| У ¿(тг2*2-*2)
о о
кп кп
sm2tdt -I t' sm2tdt
Для уточнения необходимо А0](к) оценить сверху. Дадим сначала оценку интегралу
*кп
-2 +
47тк2 / г/^Тк2 %) , где о; (Е (0,1). Сделаем замену I = кттт (и перейдем вновь к обозначению I
о )
вместо т)
акп а
,2[ вт2Ы£ ( вт2кпЫ£
47гк , „---¡г- > 47Г ' —
t(n2k2 — t2) J t(1 — t)(1 + t)
оо
a a
і і і sin2kntdt 1 /■ sin2kntdt 1 f sin2kntdt
4?r ---;--h -
Далее,
t 2 7 1 —t 2 7 1+1
ооо
a
-і /" sin2kntdt .
= J --1-+ 0(1)-
о
a
. _1 [ sin2tdt kn sin2tdt
47Г 1 ----------= 47Г mtn -
о
[ak]
1
—60
V—intnsirPtdt + 0(1) = 27Г 1/nk + 0(l).
nn
nn
n=1
Как видим множитель при Ink от а не зависит. Оценим теперь интеграл
кп
, о /■ sm2tdt
4этк '
7 t(n2k2 — t2)
(1-а)кп
Подстановка t = кптдает интеграл
a
sm2kntdt
4П
a
1
7 t(1 —1)(1 +1)
(1-a)
после чего подстановкой
получим
a /a a
f sin2kntdt _W 1 f sin2kntdt f sin2kntdt
* J t(l —t)(2 — t) = * (2 J t +J 1 -t
о \ о о
a
1 f sm2kntdt
Оценка интеграла
2 J 2 - t
о
a
-1 t' sm2kntdt . -1, , .
2тг_1 ----------+ 0(1) = 7т~Нпк + 0(1).
о
, 9 ( sin2tdt
47r/c
J t(t2 - n2k2)
кп
происходило по той же схеме
,o I sm2tdt /■ sm2kntdt
47r/c —r-----— = 47Г 1 '
t(t2 - n2k2) J t(t + 1)(t + 2)
кп о
a a a
1 1 1 /■ sm2kntdt /■ sm2kntdt 1 f sm2kntdt
47Г
— I ------- —
2 У t У t + 1 2 У t + 2
о о о
1
= п Ink + O(1).
Наконец получаем:
,9 /■ sm2tdt /■ sm2tdt .
47Г/С = 47Г —^---- = 0(1)
У t(t2-n2k2) У t(t2 — 1)
^-a)^ 1+a
при любом a € (0,1). Полагая a = получим Aq ^ = 4i:~1lnk + 0(1). Теорема доказана.
Имея оценку для A.O](fc)
Можно получить оценку для АН](к), используя равенство:
кп
sm2tdt
l[!](fc) _ zl t1] (fe) _ q^i,2 _
t(k2Tr2 — t2) ’
r(fc)
=8^ / (i3)
где r(k) удовлетворяет равенству
сю
( sm2tdt
У t(k2n2 - t2)
r(fc)
(14)
Обозначим г(к) = (1 - «к)кп. Дадим оценку интеграла, стоящего в правой части равенства (13), предполагая, что существует е > 0 такое, что Уке < «к < 1 - е (15). Существование же числа е > 0, удовлетворяющего (15), мы докажем после оценки интеграла в правой части равенства (13), используя уже произведенные выше преобразования, получим:
кп 2 а 2
А»т _ Аш» = &жкч [ [ >»>
° н У г(к2тг2-г2) у *(1 _*)(2-*)
г(к) о
0
Согласно (15), получим (считая 0 < є < ^):
і(1 - і)(2 - і) 0 Н У і(1 - і)(2 - і)
00
ограниченная величина.
Итак, мы получили результат, уточняющий теорему 3.
Теорема 4. Имеют место оценки
А0](к) = 4п-11пк + 0(1),
А НН] (к) = 2п-11пк + 0(1).
<[1](к)
Получается, что А^^ ”примерно”в два раза больше, чем А.Подсчеты величины [1](ь)
А [' Ан
показывают, что в пределах 1 < к < 90 эта величина возрастает и при к = 90 она равна приближенно
1, 69778.
Чтобы считать теорему 4 полностью доказанной, нам осталось доказать существование є > 0 Такого, что выполнено (15).
Заметим, что для любого к очевидно ак = 0,ак = 1,то (16) будет доказано. Уравнение (14) нетрудно преобразовать к виду:
пк (1+а)пк ^
/вт2іЛ Г вт2іА Г вт2іЛ
Ь2(к2Т12 — і2) У Ь2(к27Г2—і2) У Ь2(Ь2—к27Г2)
(1-ак)кп кп (1+ак)кп
Далее имеем (преобразования, аналогичные тем, которые мы уже проводили):
“к
= (ък)-3 I' ■
Тк 2 “к
зтН<И . , ч_о /" вт2кПА
{тік
У і2(к2п2 - і2) У (1 - і)2і(2 - і)'
(1-ак)кп 0
(1+а)пк «к
вт2іА ,ч_ч [ вт2кПА
(ті
= ~{пк) з|.
У ¿2(к2п2 - ¿2) У (1 + ¿)2^(2 + ¿) ’
кП о
СЮ СЮ
/вт2Ы£ з [ вт2кпЫ£
г2(г2-к2п2) = ^ > у г2(г2 - 1)'
(1+а^ )кп 1+а^
Таким образом уравнение (17) преобразуется к виду
0 Р (5 + <2)«»п2Ый Г00 зт2ктг1А
I (1-¿2)2(4-¿2) = ,/1+ак г2(г2-1 )•
о + *
Положим аЮ- решение уравнения
а0 сю
о Г (5 + ¿2 )сЙ Г зт2ктг1А
У м¥м = У ¿2^2 - 1) •
о 1+а°
Подсчеты показывают, что 0,16 < аЮ < 0,17.
Так как
зткпЬ =--------сов2кт11,
2 2 ’
а00
Г сов2£;7г£(5 + ¿2)сЙ
У (1 — ¿2)2(4 — Ь2) ’
о
то
/
сов2кпіА;
1+а“
то
/^Шк^юак — а •
Таким образом (15) доказано, а значит полностью доказана теорема 4.
Список литературы
1. Абакумов Ю. Г. Тригонометрические операторы Баскакова - уникальный пример совокупности аппроксимирующих последовательностей // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2007. С. 8-13.
2. Абакумов Ю. Г.,Карымова Е. Ю., Коган Е. С. Об одной точной константе // Применения функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ,2008. С. 3-6.
3. Батырова Р. Р. Об оценках приближения функций класса Ыр1 Операторами Ы_Н](к)//
8 Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). Чита: ЧитГУ, 2008. С. 12-13.
4. Карымова Е. Ю. О динамике изменения первых двух экструмумов функциональных характеристик явления Гиббса //7 всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения»(материалы конференции). Чита: ЧитГУ, 2007. Ч. 1. С. 167-170.
5. Коган Е. С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций класса Ырма: автореф. дис... канд.физ.-мат. наук Красноярск, 2005. 17 с.
6. Коган Е. С. О динамике изменения оценочных и точных констант в оценках приближения функций класса Ыр1 операторами Ы[^](к)// Братство науки и предпринимательства: аспирантский сборник.
7. Коган Е. С. О некоторых проблемах, связанных с оценкой приближения функций класса Ырм а тригонометрическими операторами Баскакова // Алгоритмический анализ нейстойчи-вых задач: тезисы докладов Всероссийской конференции, Екатеринбург: УрГУ, 2004. С. 45-46.
Рукопись поступила в редакцию 10 июня 2011 г.
