Некоторые аппроксимационные характеристики приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций класса lip Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517

Лямина Ольга Сергеевна Olga Lyamina

Шерстюк 'Татьяна Юрьевна Tatyana Sherstuk

НЕКОТОРЫЕ АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ БАСКАКОВА ФУНКЦИЙ КЛАССА Lipa

SEVERAL APPROXIMATE CHARACTERISTICS OF APPROACHING BY BASKAKOV

TRIGONOMETRIC OPERATORS FUNCTIONS LIKE^ip a

Отражены результаты характера зависимости от а констант Ад а , равномерной по к ограниченности Ао, а при т = 1 и любом а €. (0, і), оценки разности Ад а — Ау а (при т = 1),а также результат динамики одного параметра, определяю-

щеего Ау,а

Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, аппроксимационная характеристика

The paper presents results on the nature of the dependence of the constants a Aq a , of uniform boundedness of Aq a k with m = 1 and any a G (0, l) , the

evaluation of the difference Aq a — Ay a (m = 1), as well as the result of the dynamics of one parameter

that determines the Ay a

Key words: Baskakov trigonometric operators, ap-proximatedfunction

1. Вводные замечания

Тригонометрическими операторами Баскакова называют (см. аппроксимирующие последовательности вида

т пк

>т-1^„:„2 ^ Лj

ч]]ки...кт

2m-1П sin2

j=і

n

і a . 2 nt і,

t sin — dt 2

nn

т

-n sin2 - П

f

2 j=1

cost - cos

\ ’

V

n

[1])

(1)

где целые параметры ш, Ц не зависят от п и удовлетворяют неравенствам т > 0, 0 < к1 < к2 < ... < кт . Если т = 1 ,то вместо к пишут к.

Известно ([1,2]) , что если / ()е Прма,то

n

м

’1(.*- Хк, *)-/ (* )

< М А

[т](ки...кт Х -а

О, а

П + О

(П-а)

(2)

ГДЄ Ао,

[тг](і..кт) = 21+алк2П к2| і БІП і Ж

п кУ

у =і

(говорят, что /() принадлежит

классу ЫрмГ, М > 0, Г(0,1], если V ^2 выполняется

|/(¿1 )- /(^2 ^ Щ\~ ^2 Г )*

Константа аОоГ^"^'”) в неравенстве (2) точной не является и может быть (в

некоторых случаях, как установлено) улучшена.

Так, известно, что если существуют (для данных фиксированных значений

параметров) константы I, I,..., I такие? 41,0

0 < I < к1п < I < к2п < — < кт-1п < Л0т < ктп

т

X

у+1

и

БІП і Жі

выполня ется

I г2П(2 - г2)

}=1

1т+1 = ^ , то для операторов (1), если /() е ЫрмГ

м[1к к-)/, х)- / (

= 0 , при этом полагаем

< М А

[т](к1,...кт) -а

У,а

П + О

к-а).

где А1утакі,-ктХ = 21+ап2т-1Пк2

У=1

(3)

\

0 і2

V У=1

;о

т У+1

Х2Л

) X І

- а2 біп і аі

і2 '***• ьо -і

(см. [2]).

В [2] приведена другая форма записи этой константы, эквивалентная

приведенной. Существование множеств констант Л,

О

■{о г.,.

удовлетворяющих приведенным условиям, доказано в следующих частных случаях:

1) при т = 1,2, 3 и любых допустимых значениях параметров (см. [2, 3]), 2) при т = 4и некоторых конкретных наборах параметров Ц (см. [4, 5]), 3) при т = 5 И (к1, к2, кз, к4, к5 ) = (1, 2, 3, 4, 5) (см. [6]).

2. Поведение величины А0 Г как функции от Г при Г е [0,1]

В данном пункте константу из неравенства (2) для сокращения будем обозначать Ао Г, отпуская верхние индексы.

[т](к1> — -кт )

При Г = 0 , константа Ао 0 обращается в главный член нормы

М,

т.е.

M

m\ku...km )

- A0,0 + (1) •

При Г = 1, константа Ао 1 становится оценочной константой (см.[2]) в оценке приближения функций класса Ь1рм 1 •

Теорема 1. На отрезке [0, 1 ] величина А0 а как функция от а возрастает

и

выпукла вниз.

Доказательство.

Докажем сначала выпуклость вниз.

d2 Ar

d a

m ^

• = 2n2m-1 П k2 J

(2t)a ln2 (2t)sin2t dt

(4)

j-1 0 t2 П\kn2 -12

j-i

d2 A,

При a e [0, l] интеграл в правой части (4) сходится и, очевидно, -------> 0.

Далее,

dA,

O,a

d a

a-0

- lim_ 2n2m-1П k] J

j-1 о a t2 П

j-1

((2t )a - l)sin21 dt

a^0

2 2 2 kjK -1

Если мы докажем, что

dA,

O,a

d a

> 0 , то теорема будет доказана.

a-0

Будем использовать тот факт, что ((2t)a- l)sin2 tdt к 0111

lim ---------v— — - - 0,111154 > 0.

a^0 + J a t

Вычисления выполнены на MathCad.

Так как подынтегральное выражение в (5) отрицательно при t e 1

положительно при t > 2, из ( 5 ) получаем

(5)

Г 1 Л 0,-

I 2 )

lim 0J5 ((2t)a - 1)sin21 dt

„ vA+ J

a^-0

at

<

lim J

„ vA+ J

((2t)a - 1)sin21 dt

a^0

0,5

Любое значение функции

значения этой функции при t Є

П

Vj-1

Г 1,2 Л V 2 ,

2 2 2 kjft -1

при t Є

0,

V

2

меньше любого

a

эи

Отсюда получим lim J

((2t)а - l)sin21 dt

> 0 . Тем более,

a^0

lim, í-

((2t- l)sin21 di

a t2 П

j=1

2 2 2 kj п -1

> 0.

a^0

o at2 П

j=i

2 2 2 kj п -1

Это значит

dA,

O,a

d a

Теорема доказана.

> 0.

a=0

3. Оценка норм операторов Баскакова при m =1

В дальнейшем мы рассматриваем только случай ш=1 и обозначаем fe вместо fer В этом случае M[](k^ = А0 0 + ^,и ,

л л 7 sin2t dt

где Ао о = Ао o(k) = 2nk j ^ 2—2--------- ’ ПРИ любом фиксированном fe имеет место

0

,2/22 -2

t k п -1

^kn = °(l) <CM- t1])-

Сформулируем основной результат этого пункта.

Теорема 2. При к ^ го имеет место асимптотическое равенство

^1п кЛ

A0,0(k) = 1 + 0

V Л

Доказательство

7

Заметим, из равенства M[](k^(1, х) = 1 следует 2пк2 J

sin t dt

t2 (п2 -12)

=1 (см.

[1]). Отсюда получаем 2nk2 J

0

( Яо зависит от fe) такое, что

Яо

2nk2 J 2 лТ 2"" 2 \ = 1.

sin t dt

sin21 dt

012 (2п2 -12)

> 1. Это значит, что найдется Яо < k П

(6)

Из (6) следует, в свою очередь, что

k п

2пк2 f ,( ?dt 2) = 2пк2 f

І1 ( п2 -12) і,

sin21 dt t2\k2п2 -12\

(7)

\ /

Из (6) и (7) приходим к выводу, что для доказательства теоремы достаточно

k п

исследовать поведение величины J(k) = 2пк2 J

sin t dt

t2 (k2п2 -12)'

Используя равенство

t2 (i V -12J

= (nk)

+

Л i 2 2 ,2

t k ti — t J

получим

J (k )=- I

ТГ *

f k

nsin21 dt Y sin21 dt

k n . 2

t

2

- +

J0 kП2 — t2,

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (8).

2 Y sin21 dt 2 7 sin21 dt

2

k n • 2,i, '"\ 7 * 2 i,

2 fsin^ = ifsJÜ_LÉ- + o(k-■ )= i + 0(k—)

П 0 t П 0 t

(8)

(9)

7 sin21 dt n

Используется, что I------2----= “ (см- [7], формула 859.002).

t

2

Покажем теперь, что второе слагаемое в правой части (8) имеет порядок

k 1 ln k. Раскладывая в сумму дробь (k(2 — t2 ) , k п • 2 > i, i /^k п • 2,i, k п • 2,1,^

sin t dt r sin t dt

имеем

2 | sin t dt

kn — t

Относительно первого интеграла в скобках правой части (10) имеем

k п ■ 2 l и

sin21 dt

k n

f^^<(k n)—1 fsin2 tdt = 0(i).

I П +1 v M w

(10)

(11)

Во втором интеграле делаем замену Т = kn — t

k п • 2,i, k п • 2,i,

sin t dt sin t dt

r Mil l Ul г

f kn — t

Т

= O(lnk). Имея в виду (7), делаем вывод, что

0 * 0 теорема доказана.

4. Характер зависимости I от к

В предыдущем пункте МЫ определили I = I) (к) как величину,

удовлетворяющую уравнению (6). В дальнейшем в этом пункте мы используем равенство

; sin21 dt

t2 ( П2 — t2)

= 0.

(12)

Теорема 3. Существуют постоянные a0, Ь0 , такие, что 0 < a0 < Ь0 < 1 и для

Я

Яо = Яо (к), удовлетворяющего (12), выполняется Ü0 < — < ¿0 •

к п

Доказательство.

Фактически мы докажем более сильное утверждение, чем то, которое имеется в формулировке теоремы. А именно, что существует

Г, 0 < Г< 1, r = lim Яоо(к).

кк п

1

1

sin21

Обозначим Яо = (1 — ük)kn, F(t) = 2(2—2---------2\ и запишем (12) в виде

t (k п — t )

7

J F (t) dt = о.

(1—ak )k n Или

k n (1+ak )k n 7

J1 + J2 + J3 = J F (t) dt + J F (t) dt + J F (t) dt = о.

(1—ak) k n k n (1+ak) k n

Заметим, J1 > о, J2 < J3 < о. Преобразуем J1, J2, J3 . В J1 и Jг

последовательно применяя подстановки t = kn — u , u = kn t в первом случае и t = kn + u , u = kn t во втором, получим

л vзak sin2 knt dt /, v3ak sin21 dt

J1 = (kn) J7--------^---------г> J2 =—(kn) J-------------------- .

о (1—t)21 (2—t) 2 о (1+t)2t (2+1)

\-3a\(5 +12 )sin2 knt dt Складывая, получим J1 + J2 = 2(k n) J -\— •

о (1 — t2 Д4 — t2)

В J3 сделаем подстановку t = knu (для единообразия в результирующем

(i \-3 7 sin2 kntdt

выражении вместо и записываем t). Получаем J3 = ( n) J ^.

1+ak t (1 — t )

Приходим к выводу, что ak должно быть таково, что выполняется равенство

Л(5 +12)sin2kntdt = 7 sin2kntdt

(1—)2(4—t>) <13)

Из (13) получим, что при любом k > 1 выполняются неравенства о < ak < 1. Теорема 3 будет доказана, если мы установим, что существует предел последовательности {ak }=1 и что о < lim ak < 1.

k ——7

a

Обозначим С1° число, удовлетворяющее равенству

Г (^)сп = | а ,14.

I(1 -Г-)2(4-Г)~I( ’

Непосредственными вычислениями (с использованием компьютерных средств) получаем С=0,16644.

Подставим в (14) Сговместо Ск и выпишем обе части получающегося уравнения:

—Сг (б + / )бш к 7^ $1 Сг (5 + I ) $ Сг (5 + / ^СОБ— к тМ $1

-1 (1 -Г)(4-Г) (1 -,2-,2) (1 -,2)4-,2) ’

л. ar (5 +t2 )еов2кntdt

Имея В ВИДУ ( 14) И ТО, ЧТО lim I ^- vw------\- = 0,

к0 (1 -12) (4 -12)

... 7 cos2kntdt _

lim I —^-------r- = 0.

k1¿7 12

Отсюда получим: lim ak = a.

к

Теорема доказана.

5. Равномерная ограниченность А0 а при каждом а е (0,1) и оценка разности А0 а — А,

,а у, а

A

Теорема 4. При любом фиксированном ае(0, i) величина

7 j а—2 2 V г./

(k) = 21+а nk 2 It sin t dt

О, а

2 2 2 k — — t

равномерна по ограничена.

Доказательство.

Представим АО а в виде суммы

Д« = 21*а пк 2+ 2'*а п к ’ = 2а(^ + J )

.^2[ t Ь111 t dt , т1+а ¿,2 f ___________

1 t2 (kV — t2 ) ¿t2 (t2 — k — 2 ) '

Преобразуем Ji:

j, =— 11

— t

V

sin21 sin21 ~lr~+'

k —2 — t2

k — ■ 2« k — t а ‘2.Í

2 Г sin21 2 r tа sin21

,, 2 f SUI t ,, Zf 1 Sin t ,, , ,

dt = n| — dt + —I k——Г1* = J11+ Ji'2'

Оценивая первое слагаемое, имеем

ok n. 2 . о “ • 2,.

2 г sin t , 2 с sin t ,

< — —:--------dt .

2 sin t 2

J,, = — I —:-----------dt <— I

1,1 n 012-а —

П0 t

2—а

Последний интеграл сходится при любом а е (0,1). Далее покажем, что 31 2 = о(1) . Действительно,

= 2 k— ta sin21 dt 1

Ji,2 = _ J

fk— - 2

2 2 2 2 n 0 k n — t k n

k — - •„ 2

c t sin t dt f ta sin t dt

I -------------------+ I ------------------------

V 0 kn +1 0 kn — t

= J 1,2,1 + J 1,2,2

1 k— ta sin21 dt (kп)- k— . 2 , 1/. ——i / ч

Ji,2,i = —2 I , +1 < TT^T I sin21 dt < -(kП)а = °(i)-

k - 0 k- +1 k - 0 -

T 1 k- ta sin21 dt (k —) k- sin21 dt

J 1,2,2 =—2 I—;——< I —;—=

k — 0 k— — t k — 0 t

Осталось оценить J2.

O

ln k

k l~-Vk У

a

J2 = 2п к2 J

ta sin2t dt 2 7 ta sin21 dt

<

,2 73 72 ^ ^ J ,2 ,2 2 •

к п t V - к п ) пк п t — к п

Сделаем замену T = t — кп , затем вновь обозначим t вместо Т (t + к п) sin21 dt < 2 7 sin21 dt < 2 7 sin21 dt

п 01(t + кп)1

т ъ I 2 f(t + к п) sin t dt 2 f sin t dt 2 [•

J2 = 2пк21Л-------¡-t----г----< — I —-------— < — I

2 0 t (t + 2кп) п J

I—a _ J ,2—a

п 0 1

Последний интеграл сходится. Следовательно, = О() •

Итак, теорема 4 доказана.

Заметим, что Л^^а равномерно ограничено при каждом фиксированном а е (0,1) , но не по всем а в совокупности. Известно (см., например, [2]), что

Л^) = О(1п к).

Обозначим A(a = 21+сск 2п

я0 ,a 2

J

ta sin t dt

12f-T)

+

J1

-¿«г — a . 2 , Л sin t dt

t2 , 2 2 ,2 к п — t У

где Я0

удовлетворяет равенству (12) (а также равенству (6)).

Теорема 5. Выполняется следующая оценка A^^ — A(c^ = O Доказательство.

Учитывая (6) и принимая во внимание теорему 2, получим 21+a к2п 7_ sin21 dt Jln кЛ

ln к

к1_a Vк У

2 2 2 2 я0 t к п — t

= O

k

(15)

Оценим разность оценочных и улучшенных констант

кп / \ . 2

Ак)— A('= 21+a к п f( — t — к п )

+ 21+aк2п{ t —(t — кп))

sin2 t dt

2 2 2 п — t

sin t dt t2 (п2 — t2

= 61 + 62

+

п t

^1 удовлетворяет следующему двойному неравенству

2 a ( п — Я0) )п {Л sin2 1 dt

к п

t2 (2п2 — 12J

< 01 < 2 a (кп) 2к2п J

sin2 t dt

t2 (2п2 — t2)'

Таким образом, 0^ имеет точный порядок О Для Q1 выполняется оценка

Ык

о

Q2 < 2“(kп)2kп] ,sin,2 f.dt = OÍlnk '

k п

k У -1

Jrl~ a

Vk y

Теорема доказана.

Литература

1. Абакумов Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова: научное издание. — Чита: ЧитГУ, 2006. — 158 с.

2. Коган Е.С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов LipMa : автореф. дис. ...канд. физ.-мат. наук. — Красноярск, 2005. — 16 с.

3. Абакумов Ю.Г. Тригонометрические операторы Баскокова — уникальный пример совокупности аппроксимирующих последовательностей // Применение функционального анализа в теории приближений. — Тверь: ТвГУ, 2007. — С. 8-13.

4. Абакумов Ю.Г., Карымова Е.Ю., Коган Е.С. Об одной точной константе // Применение функционального анализа в теории приближений. — Тверь: ТвГУ, 2008. — С. 14-17.

5. Верхотурова М.А. О точной константе aJ^1’3’4’5) // Применение функционального ана-лизав теории приближений. —Тверь: ТвГУ, 2009. — С. 3-6.

6. Абакумов Ю.Г., Верхотурова М.А. О точной константе в одной аппроксимационной оценке // Моделирование. Системный анализ. Технологии: сб. науч. трудов. — Чита: ЗабИЖТ, 2008. -С. 51-55.

7. Двайт Г.Б.Таблицы интегралов и другие математические формулы. — М.: Наука, 1978. — 228 с.

Коротко об авторах___________________________________________Briefly about the authors

Лямина O.C., ст. преподаватель кафедры прикладной информатики и математики, Читинский государственныйуниверситет (ЧитГУ)

Служ. тел.: (3022) 41-73-12

O. Lyamina, Lecturer of Applied Informatics and Mathematics Department, Chita State University (ChSU)

Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова

Scientific interests: Baskakov’s research of trigonometrical operators

Шерстюк Т.Ю., ст. преподаватель кафедры математики, Читинский государственный университет (ЧитГУ)

Служ. тел.: (3022) 41-73-12

Т. Sherstuk, Lecturer of Mathematics, Chita State University (ChSU)

Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова

Scientific interests: Baskakov’s research of trigonometrical operators