О нормах и некоторых аппроксимативных характеристиках тригонометрических операторов Баскакова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.999

О НОРМАХ И НЕКОТОРЫХ АППРОКСИМАТИВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ БАСКАКОВА

© 2012 О.С. Лямина1

Статья относится к одному из актуальных вопросов теории приближений: исследованию аппроксимативных возможностей конкретных аппроксимирующих конструкций. В статье рассмотрен один из активно исследуемых в последнее время видов аппроксимирующих операторов - тригонометрические операторы Баскакова. Изучаются некоторые характеристики этих операторов: нормы и аппроксимационные константы, оценочные и улучшенные. Получена, в частности, оценка их разности.

Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, аппроксимационные оценки.

1. Вводные замечания

Тригонометрическими операторами Баскакова называют [3] аппроксимирующие последовательности вида

2т-1 П 81П2 ^ " 2 г

/=1 п г / (г + х^т2 п2 ¿г

п

МЫ^тЧЬх) = -^- -2 ) , (1)

о ^__

' ПП / . 2

^ С1Л2 2

ПП ,] . 2 г т ( + 2пкЛ

Вт2 22 Ц I сов г — сов I

3=1

где целые параметры т, кз не зависят от п и удовлетворяют неравенствам т > 0,0 < к1 < к2 < ... < кт. Если т =1, то вместо к1 пишут к. Известно [3; 7], что если /(г) € Ьгрма, то

Мтк1"'"кт)(/,х) — / (х) < МАтк1'-'кт)п-а + 0 (п-а) , (2)

где

т °° . 2

А[т](к1,...,кт) =21 + аП2т-1 ^ к2 I Й1П ^

0,а з=1 3 0 г2 т кп2 — г2\

3 = 1

Говорят, что /(г) принадлежит классу Ьгрм а, М > 0, а £ (0, 1], если Ш1, г2

выполняется \/(г1) — /(г2)| ^ М \г1 — г2\а.

хЛямина Ольга Сергеевна ([email protected]), кафедра прикладной информатики и математики Забайкальского государственного университета, 672039, Российская Федерация, г. Чита, ул. Александро-Заводская, 30.

Константа A

о в неравенстве (2) точной не является и может

быть (в некоторых случаях, как установлено) улучшена. Так, известно, что если для данных фиксированных значений параметров существуют константы А°, Х2,..., А°т, такие, что 0 < А° < к1п < А° < &2П < ... < кт-\п < Х°т < ктп и

для j = 1, 2,... ,m выполняется f

2 tdt

t2 д j-t2)

0, при этом полагаем Xm+1

= то, то для операторов (1), если f (t) £ LipMа, выполняется оценка [7]

Mlm^(kl--km)(f,x) - f (x) < MAmi{kl'-'km)n-a + o{n-a)

где

A[m](k1,...,km) = 2l+an2m-\

j = 1

\

ta sin2 tdt

V

+E

t2 П j2 -12) j=i

j=i

\t - kjп\а sin2 tdt t2 \k2n2 - t2\

/

В [7] приведена другая форма записи этой константы, эквивалентная приведенной. Существование множеств констант Л°0т^к1 к ) = {А°}^._1, удовлетворяющих приведенным выше условиям, доказано в следующих частных случаях: 1) при т = 1, 2, 3 и любых допустимых значениях параметров kj (см. [4,7]), 2) при т = 4 и некоторых конкретных наборах параметров kj (см. [2,5]), 3) при т = 5 и (к1, к2, к3, к4, к5) = (1, 2, 3, 4, 5) (см. [1]).

2. Некоторые свойства норм операторов Баскакова

2.1. Отсутствие конечной верхней грани по ш

Известно (например, [3]), что норма оператора Баскакова определяется равенством

1

00 2 sin2 t dt

2 п2т-1Ц k2 ^ Щ j - t2\| + 7n, (3) j=1 о \j=1

м [т](к!,...,кт) при этом 7п ^ 0 при п ^ то.

Так как интеграл в правой части (3) сходится, нормы операторов мППп^(к1''"'кт при любых фиксированных т, kj равномерно по п ограничены. Обозначим п(т, к1,...,кт) — главное слагаемое правой части равенства (3). То есть

V(m, ki,..., km) = 2 п2т-1 П k2f ^^ m \к2п2 - t

j t2 j j=1 о \j=1

Теорема 1. Множество величин n(m, k1,...,km) не имеет конечной верхней грани.

Доказательство (идея доказательства заимствована из доказательства одной теоремы Е.Ю. Карымовой [3, с. 31, 32]).

Для сокращения записи обозначим n(m) = п(т, 1, 2,..., m). Обозначим далее

r 2 im \

Ф(т, г) = 2 n2m-1(m!)2 f smJdt П \j2п2 -12\\ . Тогда n(m) = lim Ф(т, г).

о t \j=^ 7

1

При фиксированном r > 0

r

lim Ф(т, r) = 2 п-1 I

т^ж J

sin2 t dt

0 t2 П j=1

1-

j2n2

(4)

Равенство (4) получается следующим образом: для фиксированного т коэффициент перед интегралом и знаменатель под интегралом делим на п2т(т!)2, затем переходим к пределу при т —(то.

( 2 \

Учитывая, что sin t = t П (1 —^¿П2), а следовательно, при t> 0

j=i V )

t

j=i

1

j 2п2

ñ(1 j2n2)

|sin t \ ,

получим

lim Ф(т, r) = 2 п 1

т^ж J

| sin t| dt

t

(5)

Интеграл в правой части (5) при г — то стремится к бесконечности со скоростью 0(1пг). Таким образом, величины ц(т) не имеют конечной верхней грани. Теорема доказана.

2.2. Случай т=1

В случае т =1 будем писать к вместо к\.

В этом случае

ы!1т

Ao, о + Yk, n, где Ao, о = Ao, о(к) = 2 п k2 f

2 С sin2 tdt t2\k2n2-12

при любом фиксированном к имеет место ^к,п = о(1) (см. [3]). Сформулируем основной результат этого пункта.

Теорема 2. При к — то имеет место асимптотическое равенство А0 о(к) = 1 +

+ 0 (тг). '

In k^ k )

Доказательство.

Заметим, из равенства ыПп^к\1,х) = 1 следует 2пк2 / ^^П2^2) = 1 (см. [1]).

t2(k2n2-t2)

Отсюда получаем 2 п к2 / р^кПъ2^) > 1. Это значит, что найдется Л0 < к п

(Ло зависит от к), такое, что

2 п к2

sin2 ЬйЬ

t2 (к2п2 -12)

1.

Из (6) следует, в свою очередь, что

2 п к2

sin2

X,

t2 (к2п2 -12)

= 2 п к2

k

sin2 tdt t2 \к2п2 - t2\'

(6)

(7)

На основании (6) и (7) приходим к выводу, что для доказательства теоремы

к п 2

достаточно исследовать поведение величины J(к) = 2 п к2 / (2 /¡2 П2^2).

о ( П )

2

t

t

r

п

0

п

Используя равенство ^^^-¿2) = (п k) 2 ^-¡2 + k^^-t2^, получим

Ík-п kn \

Г sin2 tdt Г sin2 tdt \

J— + J -¿242-2) • (8)

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (8).

кп 2 00 2

2 f sin tdt 2 f sin tdt

nj— = nj —+O(k-1) =1 + O(k-1) (9)

0 0

00 2

Используется / ^5d = f (см. [6, форм. 859.002]).

0 t 2

Покажем теперь, что второе слагаемое в правой части (8) имеет порядок k-1lnk. Раскладывая в сумму дробь (k2n2 — t2)-1, имеем

к п / к п к п

2 ¡' sin tdt 1 I ¡' sin tdt + í sin tdt . (^

nj k2n2 — t2 kn2 l J kn + t J kn — t

0 \o 0

Относительно первого интеграла в скобках правой части (9) имеем

к п к п

sin2 tdt

í < (kn)-1 í sin2 tdt = O(1). (11)

J k n +t J

00 Во втором интеграле делаем замену т = k п — t:

к п к п

jf—t = J Si^ = o(ink).

00

Имея в виду (7), делаем вывод, что теорема доказана.

2.3. Случай m=2

Теорема 3. Величина n(2, k1, k2) равномерно ограничена по всем возможным наборам (k1, k2). Доказательство.

Представим n(2, k1, k2) в виде суммы трех слагаемых

к i п

п(2, k1, k2) = 2п k-2k2 0 ¡2(к2п2™2)(к2 n2-¡2) +

к 2 п ■ 2 t t к 2 п . 2

+ 2п3ф2 J t2(t2-h2n2){h2n2-t2) +2п3 k1k2 I ¡2{Р-к1Л2)Ц2-к2п2) = T1 + T2 + Тз.

к\ п о

Рассмотрим по очереди слагаемые T1, T2, T3.

T-i =2

к i п к1 к2 г sin2 t

'к2 Щ

2п

к i п

1

I

0

(ц

1

к'2п2-12

к i п

sin2tdt +2 п ккк* f sin2 t

t2

1

п2 к

= T11 + T

1,2•

к2п2-2

dt =

i ' кП2-

t2

1

п2к

2 ' к1п2-

dt

1

1

1

Т!д равномерно по к\ ограничен, так как он от к2 не зависит. Для исследования Т1,2 воспользуемся равенством

х (___к 1 ) = п-2 к2-к2 п2(¡2+к2м2 =

П2 [к2 • к2п2-г2 к2 • к2п2-г2) = п к2 к2 • (к2п2-г2)(к2п2-г2) =

2 к^-к 1 ( 1 + 1 ,__t

= П к2 к2 ^к 2n2-t2 + k2n2-t2 + (к 2п2—^)(к2п2—^) J ■

Таким образом,

к i п

T1,2 = 2п-1 I ф—2 +2п-1 / +

0 1 0 2

к i п

i г) — 1 Г t sin t dt rp i rp i rp

+2п 0 тяп-щщп—?) =11,2,1 +11,2,2 +l1,2,3-

Интегралы 11,2,1 и T1,2,2 равномерно ограничены (см. п. 2.2)

к i п 2 2 2 к i п 2

1 = 2П — 1 г t2 sin2 t dt = 2п-1_Í2_ Г sin2 t dt

11,2,3 = 2/ 0 (к2п2—^)(к2п2—^) = 2/1 (к1П+5)(к2П+5) 0 (к1П-^(к2П-^ '

где С G (0,

Множитель перед интегралом ограничен. Действительно,

С2 < (к1п)2 = ki < L

(к1П + С)(к2П + С) k1 п • к2П k2

Относительно интеграла имеем

к i п к i п к i п с

Г sin21 dt Г sin21 dt = r sin21 dt Г sin21 dt

J (к1п - t)(k2n - t) < ¡ (к1п - t)2 J < J ~•

0 0 0 0

Последний интеграл имеет конечное значение. Исследуем поведение T2.

k 2 п 2 k 2 п 2 гп 3,2] 2 f sin21 dt 2 2 2 í sin21 dt

12 = 2п k1 k2 J t2(t2 - к2п2)(к2п2 - t2) = -2П k1 k2 J t2(k2n2 - t2)(k2/2 - t2) • ki п ki п

Под интегралом, таким образом, получилось то же выражение, что и в 1 1 . Следовательно, можно произвести те же преобразования. Получаем:

k 2 п 2 k 2 п 2 k 2 п 2 T2 = -2п—1 / ssnttd + 2п—1 / ЩЛ2 - 2п-1 J +

ki п ki п i ki п 2

+2п-1 /

k 2 п 2 2 1 t2 sin2 t dt

(t2 — к'^п2 )(к'^п2 — t2) •

kl п

Все слагаемые равномерно по к1, к2 ограничены.

Таким образом, равномерная ограниченность 1 2 доказана.

с 2 с 2

1 = 2п3 i 2 к2 Г sin2 tdt_ < 2пк2 í sin2 t dt _

13 = 2п k1 k2 j ^(р—к2п2)(р—к2п2) < 2пк1 J (t2—к2п2)(:ь2—к2п2) -k2 п i 2 k2 п i 2

с 2 2 с

= 2П—1{ п к1 sin2 t dt < 2П—1{ sin2 t dt

2/1 J ^+^п)^+к2п) • (t — klп)(t — k2п) < 2п J (t — klп)(t — k2п) •

k2 п k2 п

Последнее неравенство выполняется в силу того, что

П k < 1

(t + k1n)(t + к2п) при t > к2п. Далее

_ 1 f sin2 t dt _1 f sin2 t dt _i f sin2 t dt

П J (t - kin)(t - к2п) =П J (t - к2п)2 = П J ■

k2 П k2 П 0

Теорема доказана.

3. Поведение величины AOa как функции от а при а Е [0, 1]

В данном пункте константу из неравенства (4) для сокращения будем обозначать Ао,а, опуская верхние индексы.

При а = 0 константа Ао о обращается в главный член нормы

то есть

M-[m](k1,...,km)

= Ао,о + (1).

При а =1 константа Ао,1 становится оценочной константой (см. [7]) в оценке приближения функций класса Ырм 1.

Теорема 2. На отрезке [0, 1] величина Ао,а как функция от а возрастает и становится выпуклой вниз. Доказательство.

Докажем сначала выпуклость вниз.

d2 A,

d а2

Oa = 2 n2m_i П к2 f (2t№ 2t)2 sin2 tdt

(12)

j=i

0

t2 П \к2п2 - t2

j=i

Заметим, при а € [0, 1] интеграл в правой части (12) сходится и, очевидно,

d2 Ao

da2

> 0.

Далее

dAo

da Ia

|a=0 = liin 2 к2 J ((2t)a_1)sin tdt

j

d Ao, a I

j=1 j 0 at2 П Ik]n2_t2I

Если мы докажем, что " а |а=о > 0, то теорема будет доказана. Будем использовать тот факт, что

2

Г ((2^а - 1Ьт2 tdt Иш --« 0,111154 > 0.

а^0+ ] а^

о

Вычисления выполнены на МаШСа^

Так как подынтегральное выражение в (13) отрицательно при t € (0, 1), по-

(13)

ложительно при t > 1, из (13) получаем

0,5

lim

a 0+

((2t)a - 1) sin2 tdt

t2

< lim

a 0+

((2t)a - 1) sin2 tdt

at2 ■

0,5

2

(т , А

П j - t2l)

Заметим, что любое значение функции [ П | — t2| ] при t £ (0, 2)

\i=1 '

меньше любого значения этой функции при t £ (2, 2). Отсюда получим

lim 2 ((2t)m-1)sin2 tdt > 0. Тем более, lim f ((2t)l—1)sin2 tdt > 0. a^0+ 0 at2 П \k2jn2-t2\ a^0+ 0 a t2 Ц \k2n2-t2\

Ao,

d а

Это значит, что d AdOa a |а=0 > 0. Теорема доказана.

4. Характер зависимости Ао от к

В предыдущем пункте мы определили Ло = Ло(к) как величину, удовлетворяющую уравнению (7). В дальнейшем в этом пункте мы используем равенство

2

г ^ ^ (14)

J t2 (к2п2 - t2)

X0

Теорема 3 (см., например [8]). Существуют постоянные ao, bo, такие, что 0 < ao < bo < 1 и для Ao = Ao(k), удовлетворяющего (14), выполняется

a0 < h < bo.

Доказательство.

Фактически мы докажем более сильное утверждение, чем то, которое имеется в формулировке теоремы. А именно, что существует af, 0 < af < 1, af = = lim .

Обозначим Ao = (1 — ak)k п, F(t) = и запишем (14) в виде

f

f F(t)dt = 0. Или

(1-afc )k n

kn (1+ak)kn

J1 + J2 + J3 = J F (t)dt + J F (t)dt + J F (t)dt = 0.

(1 — ak)k п кп (1+ak)k п

Заметим, J1 > 0, J2 < 0, J3 < 0. Преобразуем J1, J2, J3. В J1 и J2, последовательно применяя подстановки t = к п - u, u = к nt в первом случае и t = кп + u, u = кп t во втором, получим

ak 2 ak 2 3 sin2 к п t dt 3 sin2 t dt

■п) 3 VZ--TV , J2 = -(кпЛ 3

3 Г sin к nt dt 3 Г

J1 = (кп) ] (1 - t)21(2 - t) , J2 = -(кп) J

(1 - t)2t(2 - t)' 2 J (1+ t)2t(2 + t)'

00

Складывая, получим J1 + J2 = 2(k п)— 3 J" i"^7^)dt. В J3 сделаем под-

0 ( ) ( )

становку t = k пu (для единообразия в результирующем выражении вместо u

с 2

записываем t). Получаем J3 = (кп)— 3 / st2(k .

1+afc

Приходим к выводу, что ak должно быть таково, что выполняется равенство

ak , o-, 1 с п

Г (5 + t2) sin2 kпtdt Г sin2 к п t dt J (1 -12)2(4 -12) = У t2(t2 - 1) • ( 5)

0 1+afc

Из (14) нетрудно получить, что при любом к ^ 1 выполняются неравенства 0 < ak < 1.

Теорема 3 будет доказана, если мы установим, что существует предел последовательности {akи что 0 < lim ak < 1. Обозначим aчисло, удовлетворяющее

к^оо

равенству

5 +t2 dt Г dt

+ ' (16)

У (1 - ^)2(4 - ^) У - 1)'

0 1+а~

Непосредственными вычислениями (с использованием компьютерных средств) получаем а= 0,16644.... Подставим в (15) авместо ак и выпишем обе части получающегося уравнения:

í(5 + t2)sin2 kntdt Г 5 +12 dt f (5 + t2)cos2knt

J (1 - t2)2(4 - t2) = J (1 - t2)2(4 - t2) J (1 - t2)2(4 - t2) '

0 0 0

oo

sin2 knt dt 1 f dt 1 f cos 2k п t dt

J t2(t2 - 1) 2 J t2(t2 - 1) 2 J t2(t2 - 1) '

1+a^ 1+a^ 1+a^

a 2ч 00

Имея в виду (16) и то, что Um / dt — 0, Hm f f — 0,

получим

(a^ oo

Г (5 + t2)sin2 kntdt Г sin2 kntdt =0 2J (1 - t2)2 (4 - t2) J t2(t2 - 1) '

0 1+a~

Отсюда получим lim ak — a0.

k^o

Теорема доказана.

5. Равномерная ограниченность Ao,a при каждом а Е (0, 1) и оценка разности Ao,a - Ay,a

Теорема 4. При любом фиксированном a Е (0, 1) величина aO.q —

00 t"-2 sin2 i \k2n2-t2\

= 21+ак2п f t , t равномерно по к ограничена.

0 1 1 Доказательство.

Представим A0% в виде суммы

k п ж

•С = 2'^! + ^nj -f^ = 2a (Ji +

0 kn

Преобразуем Ji:

kn n П ) kn n kn n

2 Г a (sin2 t sin21 \ , 2 Г sin2 t 2 Г ta sin21 dt Ji = - I ta 1 ■ 1 " ' " ■ '

sin21\ 2 Г sin21 2 Г ta sin21 dt

+ k2n2 - t2) dt = nj !—dt + nj k2n2 - t2 = J1'1 + J1'2-

п J \ t2 k2n2 -12) п J t2 a п

0 0 0

Оценивая первое слагаемое, имеем

к п

2 sin2

J1,1 = - / о , < -

к п с

2 sin2 t dt 2 sin2 t dt

п j t2—a п J t2—a 00

Последний интеграл сходится при любом а £ (0, 1).

Для J12 стандартным образом устанавливается, что J1,2 = о(1).

Осталось оценить J2 .

с с

= 2 2 Г ta sin2 tdt 2 í ta sin21 dt

J2 = k J t2 (t2 - к2п2) <п J t2 - к2п2 • к п к п

Сделаем замену т = t - к п, затем вновь обозначим t вместо т

с с с

j = 2 Г (t + к п)а sin2 tdt 2 Г sin2 tdt 2 Г sin2 tdt

2 = п J t(t + 2k п) < п J t(t + к п)1—а < п J t2—a • 0 0 0

Последний интеграл сходится, следовательно, J2 = 0(1).

Итак, теорема 4 доказана.

Заметим, что A0% равномерно ограничено при каждом фиксированном а £ £ (0, 1), но не по всем а в совокупности. Известно (см., например, [7]), что A^i = = 0(ln k).

Обозначим 4% = 21+ак2п ^ / ^^ + f 1 — , ^^ ,

где Л0 удовлетворяет равенству (15) (а также равенству (6)). Теорема 5. Выполняется следующая оценка AÍkl - Ay% = О (jr-a). Доказательство.

Учитывая (6) и принимая во внимание теоремы 2 и 3, получим

f 2 \ 2'+^/ гт^ = о^ (17)

A„

Оценим разность оценочных и улучшенных констант

4% - 4% = 21+ак2п У (га - \г - к п\а) ,2^2^ +

00 2

+21+ак2п / (га - (г - к п)а) ¿фП-щ = д1 + Яч.

кП

удовлетворяет следующему двойному неравенству:

к П 2 к П 2

^ <* \\2\0122„[ 1.2 Г sin

2а Л - (кп - Л0)2) 2к2п J t2 dlt2) <Q1 < 2a (к п)а2к2п J

t2 (к2п2 -t2) ^ v 7 J t2 (к2п2 -12)'

A„ A„

Таким образом, Q имеет точный порядок О (кт-а).

ln к

чный порядок О I

Для Q2 выполняется оценка

^ а ., . а 7 2 f sin t dt ^ ( ln к \

Q2 < 2a (кп)а 2к2п] г2\к2п2 - t2| = 0{l—)

кп

Теорема доказана.

Литература

[1] Абакумов Ю.Г., Верхотурова М.А. О точной константе в одной аппроксима-ционной оценке // Моделирование. Системный анализ. Технологии: сб. науч. трудов. Чита: ЗабИЖТ, 2008. С. 51-55.

[2] Абакумов Ю.Г., Карымова Е.Ю., Коган Е.С. Об одной точной константе // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2008. С. 14-17.

[3] Абакумов Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова. Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.

[4] Абакумов Ю.Г. Тригонометрические операторы Баскокова - уникальный пример совокупности аппроксимирующих последовательностей // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2007. С. 8-13.

[5] Верхотурова М.А. О точной константе А^^1'3'4'5 // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2009. С. 3-6.

[6] Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1978. 228 с.

[7] Коган Е.С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Ырма: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005. 16 с.

[8] Шерстюк Т.Ю. О приближении операторами Баскакова функций, имеющих конечное число точек разрыва производных: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2011. 16 с.

Поступила в редакцию 22/1Х/2012;

в окончательном варианте — 22/IX/2012.

ON NORMS AND CERTAIN CHARACTERISTICS OF TRIGONOMETRIC APPROXIMATION BY BASKAKOV OPERATORS

© 2012 O.S. Lyamina2

The article covers actual question in the theory of approximations. It researches approximative opportunities of concrete approximating structures. In the article one of the actively studied in recent times types of approximating operators — Baskakov's trigonometric operators. Some characteristics of these operators are being investigated: norms and approximation constants, assessment and improved. In particular, the assessment of their difference is obtained.

Key words: Baskakov's trigonometric operators, approximate estimates.

Paper received 22/IX/2012. Paper accepted 22/IX/2012.

2Lyamina Olga Sergeevna ([email protected]), the Dept. of Applied Informatics and Mathematics, Zabaikalsky State University, Chita, 672039, Russian Federation.