О нормах тригонометрических операторов Баскакова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

ББК 22.161

Ольга Сергеевна Лямина,

аспирант,

Забайкальский государственный университет (Чита, Россия), e-mail: [email protected]

О нормах тригонометрических операторов Баскакова

Статья относится к одному из актуальных вопросов теории приближений: исследованию аппроксимативных возможностей конкретных аппроксимирующих конструкций.

В статье рассмотрен один из активно исследуемых в последнее время видов ап-проксимирующих операторов - тригонометрические операторы Баскакова. Исследуется вопрос об оценке норм и характере их зависимости от те (порядкового номера оператора) и параметров т и kj.

Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, нормы, аппроксимирующие последовательности.

Olga Sergeevna Lyamina,

Graduate Student,

Trans-Baikal State University (Chita, Russia), e-mail: [email protected]

On Norms of Baskakov Trigonometric Operators

The article discusses one of the actual problems in the theory of approximations - the study of approximative opportunities of the concrete approximating structures. It considers one of the recent times actively studied types of approximating operators - Baskakov trigonometric operators. It investigates the problem of estimating the norms and the nature of their dependence on те (serial number of the operator) and parameters m and kj

Keywords: Baskakov trigonometric operators, norms, approximating sequences.

Вводные замечания

Предметом предлагаемой статьи является изучение характера изменения величины г/(т, ki,...,km) (см. ниже) в зависимости от изменения параметров m,kj. Изучаемая величина определяется выражением

СО

гп Г '• 2 + м

г]{т, к1,...,кт) = 2^п-1Цк] / —^----------------------------------------. (1)

j=i { ¿2 П \k^-t2\

3 = 1

Здесь тег, кг,... ,кт - целые параметры, удовлетворяющие неравенствам тег > 0,0 < кг < < • • • <

кт. Если тег = 1, то вместо кг будем писать к. Величина (1) появляется при изучении аппроксимативных свойств так называемых тригонометрических операторов Баскакова М^^к1'"'’кт\/,х) (определение и некоторые факты, касающиеся операторов приведены, например,

в [1]). Для норм этих операторов выполняется равенство

= r/(m, kl,.. ,,кт) + 7„

(2)

где при любых фиксированных значениях rri, kj, выполняется lim 7„([тег], кг,..., кт) = 0.

П—f ОО

Мы изложим полученные к настоящему времени результаты: 1) при увеличении тег величина г/(т, 1,2,..., тег) неограниченно растёт, 2) при тег = 1,2 sup?y(l,fc) и sup 77(2, kj, к2) равномерно

к 1

ограничены.

Отсутствие конечной верхней грани г](т, кг,..., кт) по т.

Теорема 1. Множество величин г)(тег, кг,..., кт) не имеет конечной верхней грани.

© О. С. Лямина, 2012

77

Доказательство.

Для сокращения записи обозначим

г . 2 ( т

7](т) = Т](т, 1, 2,..., га). Обозначим далее Ф(га, г) = 2 тг2ш_1(га!)2 / Slnt2 dt I П |j27r2 — i2|

о \j=i

Тогда r/(m) = lim Ф(то, г). При фиксированном г > 0 имеем

lim Ф(то, г) = 2 7г

і2 i dt

і t2 П

і______

1 i2^2

Учитывая, что sint = t П I 1 —4^2 ), следовательно, при t > 0

.7=1 V 3 * J ____

= j sin i j ,

‘П

i=і

t2

1 —

j ^

*П(‘

i=і

получим

(3)

lim Ф(ш, г) = 2 7Г 1 / т—юс J

Q

(4)

Интеграл в правой части (4) при г —>■ оо стремится к бесконечности со скоростью 0(1п г). Таким образом, величины г/(т) не имеют конечной верхней грани.

Теорема доказана.

Случай то = 1.

В случае то = 1 будем писать к вместо кі.

Л№)

В этом случае

мк

= Ао, о + 7 к, п: где А0ш1 о = А0ш1 о (к) = 2 тг к2 J при любом

о

фиксированном к имеет место jk. п = о(1) [3].

Сформулируем основной результат этого пункта.

Теорема 2. При к —>■ сю имеет место асимптотическое равенство A0t о (к) = 1 + О ^ к Доказательство.

Заметим, что из равенства Мп^к^{1,х) = 1 следует 2тгк2 J <2^“7Г2(Й<2) = 1 [1] - Отсюда получаем

к ж 2

2 тг к2 J t2(sA!2n.2ltt2-) > 1- Это значит, что найдется Ао (к) тг, такое, что

_______о______!___________________________________________________________

Л,

О

2 тг к

sin2 tdt

t2 (к2тт2 — і2)

= 1.

(5)

Из (5) следует, что

2 7г к

sin2 tdt

t2 (fc2TT2 — t2)

— = 2 7г к

sin2 tdt

t2 |fc2TT2 — t2 \ '

(6)

Из (5) и (6) приходим к выводу, что для доказательства теоремы достаточно исследовать поведение

к71 . 2 / \ величины «/(&) = 2 7Г /с2 / ^(^11^2) • Используя равенство <2(^2_<2) = (тг к)~2 ( ^ ),

получим

т/1. 2 If sin2 tdt Г sin2 tdt \ . .

= ; ' (7)

,0 o

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (7).

к 7Г

о г +Л+

+ 0(к-1) = 1 + 0(к~1). (8)

2 Г sin2 tdt 2 Г sin2 tdt

ir J t2 ir J t2 o o

При этом используется, что f

' tdt

Покажем теперь, что второе слагаемое в правой части (7) имеет порядок к 11пк. Раскладывая в сумму дробь (к21г2 — ¿2)-1, имеем

к 'К /^:7Г‘-) к7Г

2 f sin tdt 1 ¡f sin tdt f sin tdt

7T J k27T2 — t2 ктг2 \ J к 7Г + t J к 7Г — t

0______________________________lo___________________o______________

(9)

Относительно первого интеграла в скобках правой части (9) имеем

к 7Г к 7Г

< (/с7г)-1 [ sin2 tdt = 0(1). (10)

sm2 tdt

J к ir + t

D____________________Q

Во втором интеграле делаем замену т = к ir — t

к 7Т к 7Г

/sin tdt f sin2Tdt . ,.

k^t= } —^ = 0(1« к).

О О

Имея ввиду (6), делаем вывод, что теорема доказана.

Случай то = 2.

Теорема 3. Величина r¡(2, к\, к2) равномерно ограничена по всем возможным наборам (fci, к2).

Доказательство.

Представим г)(2, к\, к2) в виде суммы трёх слагаемых

г)(2, ки к2) = 2ігЧ2к2 I +

О

+**№ У + **44 У -Гі+Ji + n.

к\ 7Г ОС

Рассмотрим по очереди слагаемые Т., Та, T¡.

к\ 7Г

ГГ ___ о Trfcj ^2 Г sin2 t / 1 _ 1 \ _

1 ~ Щ-к\ J ¿2 V^7T2-¿2 ЦтР-і?) аі ~

= 2 7Г 1 / 8Ш<24 dt + 2 ^ц_І2 J sin2t (уутщ ■ k2nl_t2 - -Jq ■ dt =

_о________________:_______о_

= Т1Л+Тг,2.

Гц равномерно по &1 ограничен, так как он от к2 не зависит. Для исследования Тц2 воспользуемся равенством:

_ ^-2 тг2(>?+/г2)-{2

7Г2 у fc2 fc27T2~ t2 fc2 fc27T2—t2 y_fc2 fc2 (fc27T2—t2)(fc27r2—¿2)

— 2 ki—ki = 1Г -----------L

fc2 fc2 \fc27T2-t2 ~r fc2Tr2-t2 ^ (fc27T2-t2)(fc27r2-t2) ,

ТЭ

Таким образом,

ki 7Г fci 7Г

о-' о —— 1 Г sin t dt i о——1 Г sin í dt \

11.2-27Г J fc, 2_t2 + 2?T J k'>2_t2 +

0____________________1______________0_____2______

+27r_1 ¡f = Г1-2Д + Tl-2-2 + Tl-2-3' Интегралы Ti.2,i и Ti.2,2 _ равномерно ограничены (см. п. 2),

fel 7Г , „ , fel 7Г

о-» _ Отт-1 Г __________t sin t dt__ __ су ___________£______ Г sin ¿ dt

^ J (fc^TT2— K2—t2')_(ki 7r + g)(fe-27T + g) J {k1TT — t)(k-¿TT — t) '

где £ s (0, kiir). Множитель перед интегралом ограничен. Действительно,

£2 (kiir)2 к

(fcjTr + £,)(к2тт + С) kiTT ■ к2тт к2 Относительно интеграла имеем

fci 7Г /С1 7Г /С1 7Г ОС

f sin t dt f sin t dt f sin t dt f sin t dt

J (кхтг — Ь)(к2тт — 4) J (кхтт — €)2 ] £2 7

О ООО

Последний интеграл имеет конечное значение. Исследуем поведение Г2:

/с 2 7Г

тг _ 9--3L2 7.2 Г ______________sin ¿ dt__________ _

±2 — K±K2 J t2(t2_k27r2')(k27r2_t2') ~

__________sin t dt

t2(t2-.

fcl 7Г fc2 7Г

sin t dt

— _9_2л,21,2 f _________sin t dt____

- Z7T K-¡_K2 J t2(k2v2_t2)(k2n2-t2)-

k\ 7Г

Под интегралом, таким образом, получилось то же выражение, что и в Ti. Следовательно, можно произвести те же преобразования. Получаем:

Т2 = -2ТГ-1 + 2^-1 Y - 2ТГ-1 Tfra +

______________fcl 7Г_______________fci 7Г_______________fci 7Г_________

к 2 7Г

_|_27Г—1 __________________________t2 sin^ t dt

(t2— /с27Г2)(^27г2— í2) ’

fel 7Г

Все слагаемые равномерно по к±, к2 ограничены. Таким образом, равномерная ограниченность 12 доказана.

оо оо

71, _ o_3i.2i.2 Г ______________sin t dt____________ , о ¿,2 Г _______________sin t dt_______ _

13 — ¿n tbl lb2 J t2(t2_fe27r2)(t2_fe27r2) ¿'<«4 J (t2 _fe2 ^2) (t2 _fe2 ^2) ~

&2 7Г k2 7Г

00 2i2 o 00 o

o_ — 1 Г _________________________________________________________7Г , sm ¿ dt / o_ —1 Г sin t dt

J (¿ + fcl7r)(t + /c27r) (t — fci7r)(í — ^2"^) ^ (t — fci 7г) (t — &2 7г) *

___________k-2 7Г__________________________________________________ко, 7Г_____________________

Последнее неравенство выполняется в силу того, что

2^,2

7Г Л:

(t + k\7r)(t + k2ir)

при í > к2тг. Далее,

< 1

i f sin2 í dt i f sin21 dt i f sin2 í dt

2n~ / ---------- -------—- = 2тг_1 / ---------— = 2тг_1 '

(¿ — кітт)(і — к2тт)_____________________J (t — к2тт)2_____________________J t2

k2 7Г k2 7Г 0

Теорема доказана.

Список литературы

1. Абакумов Ю. Г. Приближение периодических функций тригонометрическими опе-раторами Баскакова. Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.

2. Абакумов Ю. Г. Тригонометрические операторы Баскакова - уникальный пример совокупности аппроксимирующих последовательностей // Применение функционально-го анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2007. С. 8-13.

3. Коган Е. С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Ырм& ■ автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005. 16 с.

Статья поступила в редакцию 30.03.2012 г.