CC BY
25
Физико-математические науки
УДК 517.51
ь •'
Абакумов Юрий Георгиевич Yury Abakumov
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ КЛАССА WW ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ БАСКАКОВА
APPROXIMATION OF FUNCTIONS CLASS WW BY TRIGONOMETRIC OPERATORS OF BASKAKOV
Лямина Ольга
Сергеевна Olga Lyamina
Новикова Татьяна Геннадьевна Tatiyana Novikova
Исследуется характер изменения аппроксима-ционных констант A2(a) при изменении параметра а е (0,1]. Эти константы фигурируют в оценках приближения функций класса W 2 H а тригонометрическими операторами Баскакова, которые относятся к л -средним рядов Фурье и приближают функции классов Lip а и w 1Hа с наилучшим порядком. Функции класса W 2Hа приближаются также с наилучшим порядком при а е (0,1). Доказано, что А2(а) возрастает и выпукла вниз.
Результаты относятся ко всей совокупности аппроксимирующих последовательностей тригонометрических операторов Баскакова (то есть сохраняют силу при любых значениях параметров)
Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, аппроксимационные константы
The behaviour of approximation constants A2(a) as the changed« e (0,1] parameter has been studied. These constants appear in the estimates of approximation of functions by trigonometric class W 2H a of Baskakov operators that belong to the middle-Fourier series and approximate the functions and classes Lip a and W1Ha with best order. Class functions W2Ha approach also with the best order a e (0,1) in. It is proved that A2(a) increases and convex downwards.
The results refer to the totality of the approximating sequence of trigonometric Baskakov operators (i.e., they remain in force for any parameters)
Key words: trigonometric operators of Baskakov, approximation constants
Предлагаемая статья является продолжением работы [1]. Дадим пояснения о предмете исследования.
Считается, что 1 е принадлежит классу Ь1рма , М > 0, а е (од], если
Ухъ х2 / - / (Х2 ) < М ■ хх — Х2 , Ыра= у Ь1рма. Далее, 1 еЖ 5 на / (5) е С2ж, 1 М е Ира
М > 0
Тригонометрическими операторами Баскакова называются аппроксимационные последовательности г
, . . к т )
п=2кт +1'
т тгк ■ 2т-1 П8Ш2 ^
где
мМк1-к^ (/, х)
]=1
п
Г, Ч • 2 П 7
/ (и + х) Б1П — Ш
жп
J и т {
-вт2! П
СОБи - СОБ
' 1
2£/^ п
где целые параметры ш, к. не зависят от п и удовлетворяют неравенствам т > 0,0 < к1 < к2 < ... < кт (см. [2,3]).
Если /(и) е Ж5 Нм , то при 0 < ^ + а < 2т +1 выполняется оценка
М]т] (к1 , • ^т )(/.х) _ /(х)
<
2 5+а+1^2т-1 ^ к 2
1 5+а-2-2
< м-
(а +1)... \а + 5)
Б1П иШ — 5 — а I — 5 — а
-п 5 а + о\п 5 а
т
0 п
]=1
к^Ж1 — и 2
Для фигурирующей в последнем неравенстве константы принято обозначение (см.
[1,4])
2
5+а+1 2т—1 Ж
А[т]((1,...,кт )
п
1 ] 7и5+а—2в1п2 Ш
О,5, а
(а +1)-... -(а + 5)
т
0 п
]=1
2 2 2 к 1 ж — и
Далее, как и в [1], константу кт^ обозначаем: при 8=0 А0М) , при 8=1
А^а) , при 8=2 А2 (а) . В этом обозначении остальные параметры (кроме 8 и а) не фиксируются. В этом случае следует понимать, что утверждение относится к константам А0т'•••'кт^ при любых допустимых значениях параметров т, к..
В [1] доказано, что при а е [0,1 функции А) (а) и А^а) возрастают и выпуклы
вниз. Это следовало из того, что, как показано в [1],
Ш2 А0 ^ ША0
ёа
■ >0,
ёа
> 0 ,
а = 0
d A1 л dAi 1 > 0 . 1
da da
d 2 A2
> 0 . Кроме того, в [1] показано, что-^ >0 при O е [0,l) (заме
«=0
dO
тим, при m > 1 можно положить O е [0,1 ). Далее мы покажем, что
dA2
da
> 0.
а=0
m ю 2 m-^,2
Имеем A2 (а)=8^2 m-1 П kj2 j
(2t у
sin21
j=1 0
a + 3a + 2
- dt . Обозначим
П
j=1
k -12
(2t)
. Тогда w'io)
,, ч _ (2tУ ln(2t)(g2 + 3a + 2)- (2t)a (2a + 3)
o + 3O + 2 [а2 + за + 2 j
Отсюда y/'(0 ) =--—--. Заметим, функция 2 1 n (2t )—3
меняет знак с минуса на
1 2
плюс при t = — e2 « 2,2408446. 2
rr* s dAi
1аким образом, 2
da
a=0
~-8ж^т 1 ñk2 j21n(2tь 3 ——— dt.
j=1 0
4
П
j=1
k y -12
Для доказательства того, что
dA2
da
> 0 , будем использовать следующие два
а=0
факта:
11 J(21n(2t)- 3)sin2 tdt « 5,9958 > 0;
2) 6(21n(2t3)2in2 tdt « 6,1164 • 10-2 >0.
J 2 л
22
ж — t
(1) (2)
dA
Если kj>1, то из (1) следует, что _2
da
> 0 В самом деле, из (1) следует, что
а= 0
6 1 1
J-(21n (2 t) - 3 )sin 2 tdt > 0 А так как — в случае k1>1 на отрезке [0,6]
"4 ^kjx2 -12
п
j=1
о 2m-иmi 2 6 21n(2t)- 3 sin21 . .
строго возрастает, получаем 8^ J Jkj J--—----dt >0.
j=1 0
4
m
П
j=1
k y -12
А отсюда следует, что
dA2
da
=8ж
2m — 1
а = 0
m ж
П kj S
j=1 0
2ln(2t)- 3 sin2 t
4
- dt >0 .
П
j=1
k2x2 -12
(3)
Аналогично, при к1=1 (3) следует из (2) при т=1 непосредственно, а при т>1 сле-1
на отрезке [0,6] строго возрастает.
дует учесть, что
m
п
j=2
k2к2 -12
что
Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема. При ( е [0,1) функция Aj(^) возрастает и выпукла вниз.
Можно убедиться (непосредственно подставляя в формулу для AßS^1''"'),
Ao(1) = Ai(0) и Ai(1) = A2(0).
Таким образом, если обозначить A(%) = A(s + () = Aj^J^1""', s е {0,1,2}, ( е (0,1] (тогда 4 е [0,3]), то получаем, что A(<4, непрерывна на [0,3), а при m>1 на [0,3 • При m=1 выполняется lim A(4) = го. Отметим еще, что A(4) не имеет произ-
3
водной в точках 4 = 1 и 4 = 2 , так как левые производные в этих точках не совпадают с правыми.
Литература
References
1. Абакумов Ю.Г., Лямина О.С., Новикова Т.Г. О зависимости некоторых аппроксимационных характеристик от параметра а // Вестник ЗабГУ. № 2 (93). Чита: ЗабГУ, С. 103-108.
2. Абакумов Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова: научное издание. — Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.
3. Баскаков В.А. Об операторах класса S, построенных на ядрах Фейера // Применение функционального анализа в Теории приближений. — Тверь: ТвГУ, 2001. С. 5-11.
4. Коган Е.С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций класса LipMо : автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005. 17 с.
1. Abakumov Ju.G., Lyamina O.S., Novikova T.G. VestnikZab. Gos. Univ. (Bulletin of ZabGU). no. 2 (93). Chita ZabGU, P. 103-108.
2. Abakumov Ju.G. Priblizhenie periodicheskih funktsiy trigonometricheskimi operatorami Baskakova
(Approximation of periodic functions by trigonometric operators of Baskakov: scientific publication). Chita ChitGU 2006. 158 p.
3. Baskakov V.A. Primenenie funktsionalnogo analiza v Teorii priblizheniy. (Application of functional analysis in approximation theory). Tver: Tver State University, 2001. P. 5-11.
4. Kogan E.S. Nekotorye metody polucheniya tochnyh i ekstremalnyh konstant v otsenkah priblizheniya lineynymi operatorami funktsiy klassa: avtoref. diss. ... kand. fiz.-mat. nauk (Some methods of obtaining accurate and extreme constants in the estimates of approximation by linear operators of class functions): Abstract. diss. ... Candidate. Physics-Mathem. Sciences. Krasnoyarsk, 2005. 17 p.
5. Коган Е.С. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые задачи, связанные с ними // Математика и ее приложения: Журнал Ивановского математического общества. Иваново: Иван. гос. ун-т, 2004. С. 79-92.
Коротко об авторах_
Абакумов Ю.Г., канд. физ.-мат. наук, доцент, проф. каф. «Информационно-вычислительная техника и прикладная математика», Забайкальский государственный университет, Чита, Россия Тел.: (3022) 44-89-54
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
Лямина О. С., ст. преподаватель, каф. «Прикладная информатика и математика», Забайкальский государственный университет, Чита, Россия Служ. тел.: (3022) 41-73-12
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
Новикова Т.Г., ст. преподаватель, каф. «Математика», Забайкальский государственный университет, Чита, Россия Служ. тел.: (3022) 41-73-12
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
5. Kogan E.S. Matematika i ee prilozheniya: Zhurnal Ivanovskogo matematicheskogo obshhestva (Mathematics and its applications: Journal of the Mathematical Society of Ivanovo). Ivanovo: Ivan. State. University Press, 2004. P. 79-92.
_Briefly about the authors
Yu. Abakumov, candidate of physics and mathematics sciences, associate professor, professor, Information Computing Technics and Applied Mathematics departement, Transbaikal State University, Chita Russia
Scientific interests: research of trigonometric Baskakov functionals
O. Lyamina, senior teacher, Applied Informatics and Mathematics department, Transbaikal State University, Chita, Russia
Scientific interests: research of trigonometric Baska-kov functionals
Т. Novikova, senior teacher, Mathematics department, Transbaikal State University, Chita, Ruussia
Scientific interests: research of trigonometric Baskakov functionals
