О некоторых аппроксимационных константах в оценках приближения операторами Баскакова m[1](k) n и m[2](k1, k2) n функций класса lipƒ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51 ББК 22.161 О. С. Лямина

г. Чита, Россия

О некоторых аппроксимационных константах в оценках приближения операторами Баскакова мП1](к) и мП2](к1’ k2) функций класса Lipa

Рассматриваются некоторые факты, касающиеся зависимости от параметров kj, а

[1] (fe) /1[2]fci,fc2) (■

аппроксимационных констант AQа и Al0‘a , характеризующих качество приближе-

ния функций классов Lipa тригонометрическими операторами Баскакова. Доказано, что при любом фиксированном a € (0, 1) константы aQ^равномерно по k ограничены, а константы aQj'O'’ k2) этим свойством не обладают.

Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, функции классов Lipa, аппроксимационные константы.

O. S. Lyamina

Chita, Russia

About Some Approximation Constants in Estimations of Approximant by Operators of Baskakova Mi1](k) и Ml2](kl’ k2) of Functions of Lipa Class

In this article some facts related to the dependence upon parameters of approximating constants aQ^ and aQ^1’ k2), which characterize the quality of approximant functions Lipa by trigonometric operators of Baskakov are considered. It was proved that for any fixed a € (0, 1) constants aQ^ are uniformly limited on k, and constants aQ^1’ k2) doesn’t have this property.

Keywords: Baskakov’s trigonometric operators, classes of functions Lipa, the

approximation constant.

Тригонометрическими операторами Баскакова называют (см.[1]) аппроксимирующие последовательности вида

2т 1 П sin2 — л- „

,)(f 3=1 П f f{t + x) sin \dt

j=1

где целые параметры m, kj не зависят от n и удовлетворяют неравенствам m > 0,0 < ki < k2 < .. . < km, f (t) € C2n. Если m = 1, то вместо ki пишут k.

Известно [1; 2], что, если f (t) € LipMa, то

- f (x) < MAmkl,'",km)n-a + o(n-“) , (2)

где

tasin2tdt

Alrn](ki,...,km) _ 2l+an2m-1 ^2 J

j=i 0 t2 n Ik2n2 - t2| j=1

Содержание работы составляют следующие два результата. Говорят, что /(¿) принадлежит классу Ырма, М > 0, а € (0, 1], если Уtl, ¿2 выполняется |/(¿х) — / (¿2)| < М |^ 1 — ¿2|а.

© Лямина О. С., 2011

209

Теорема 1.При любом фиксированном а € (0, 1) величина

СЮ

А(к) = 21+«^2 [ *а-2зтЧ Л

°’а У |^2-*2|

0

равномерно по к ограничена.

Доказательство. Представим Л0%. в виде суммы

к п сю

л(к) _ 91+а, 2^ [ ГзтЧ Л 1+ 2 [ ГзтЧ Л _

°’а У *2 (£2^2 .¿2) +2 У ¿2 ^2 _ ^2^2) 2(^1 + ^).

0 к п

Преобразуем

& п к п к п

2 Г а (вт2£ \ 2 Г «т2( 2 Г ¿“вт2£ Л

1 7Г У \ (2 ^ /с27Г2 — ¿2 у 7Г У ¿2~“ ^ 7Г У /с27Г2 — ¿2

0 0 0

— ^1,1 + ^1,2-

Оценивая первое слагаемое имеем

к п СЮ

2 Г «т2< Л 2 1' ат?Ь Л

1,1 7Г У ¿2~“ ^ 7Г У ¿2~“

00

Последний интеграл сходится при любом а € (0, 1). Далее покажем, что ^,2 — о(1). Действительно,

к п / к п к п \

2 Г t“sín2t <М 1 I [ t“sín2t <М [ ^втЧ <М \

^=*1 кЧ2~* У *7Г + * +У *7Г-* = ■/1-2-1 + '/1-2-20 \0 0 /

к п к п

1 Г^вгиЧА (кп)а Г . 2 1

**> = кТЧ Т7ТГ <Т^1 ' *< ;<**>' - «»>•

00

к п к п

1 [ tasin2tdt (к п)а [ втЧА 1и к

Л,2,2 = / —-— < / -:- = О '

Осталось оценить ^.

к п2 У кп — t к п2 У t V к1

00

СЮ СЮ

,2 I ain?t dt 2 ( tasin2t dt

t2 (t2 — к2п2) п У ^ — к2п2

к п к п

Сделаем замену т — t — к п, затем вновь обозначим t вместо т

СЮ СЮ СЮ

2 [ (t + kп)aain?tdt 2 Г втЧ гМ 2 Г втЧ гМ

2 7т У ¿(4 + 2к 7г) 7г У ¿(¿ + /г7г)1 “ 7Г У ¿2 “

0 0 0

Последний интеграл сходится, следовательно, 72 — 0(1).Теорема 1 доказана.

Заметим, что Л0,2 равномерно ограничено при каждом фисированном а € (0, 1), но не по всем а в совокупности. Известно (см., например, [2]), что Л0к) — 0(1ик).

Как мы увидим далее, при т — 2 положение дел меняется.

Теорема 2. При любом а € (0, 1] множество констант Л^ О^’ к2\ к1, к2 — 1, 2,... не имеет конечной верхней грани.

Доказательство. Обозначим

&1 П

, . -і,а 0,9,9 Г

•, = '7(а' *ь« = 2+ I

0

Очевидно J < Ад'О1 Й2)- Преобразуем 3:

кі п

J = 21+аж^к\к1 / іавгп і (И

2 і і2{к2ТГ2-і2){к2ТГ2-і2 2 2 кі П

_ о1+« ж Ч Ч Г іа вігі2і ( 1

Ч~к1 л Ґ2 '•к?ж2—і2 2 2 0 1

і 2 і 2 к1 П / Ь«„ Ч Ч Г 4-а 1 ( ±_

= 2І+а7Г^| / *“ зтН(^ч (? + -

/ \ кі п

~^Щ\¥ + 2))^ = 21+атт~1 / +

к2 к2 к1 П / \

+21+“тг^| / і“ зіпЧ • (¿2 - ¿2 4^2) <іі=3і + ,І2-

кі п

Jl равномерно ограничен (он от /г2 не зависит), действительно Jl = 21+а7Г-1 ^ & (интеграл

0

сходится при а < 1).

Для исследования ^ произведем преобразования выражения в скобках:

_1_ ( 1 1________1 1 А _ „—2 Ч~Ч .

7Г2 \^Ч Ч^2—Ь2 ЧЧ'п:2—^^ ЧЧ (Чж2—Ь2)(Ч'п:2—^)

_—2 Ч~Ч ( 1 і 1 і

/1 7-2 7,2 I 7,2^2 +2 “г 7,2^2 +2 ~~Г

Щ \к2п2—і2 Щь2—і2 (к2т:2—і2)(к27т2—і2)

Таким образом,

кх п кх п

ь = 2‘+»х-> ; р&д + 2‘+»х-> ; +

о 1 о 2

к-х п 2

+ 21+а7Г“1 / ¿“ вгпН (к2ж2-Р)(к%*2_р)& = 'к,1 + ^2,2 + ^2,3-Очевидно, что ^2,1 > 0 и J2’2 > 0. Исследуем ^,з при к1 — к, к2 — к + 1 :

к1 П 2

^2,3 = г^^тг-1 / Г =

кх п

о1+а -1 Г _________^_________ . Ьавт21 л. ^

О (к 7Г+£)(/е 7ГН-7ГН-^) (к 7Г —£)(/е 7ГН-7Г — £)

к п

\ о1+а -1 Г ______________^вт21 л.

Л (к 7Г+4)(& 7г+7г+4) (к ж—^(к 7Г+7Г—4) '

(к-1)п

По теореме о среднем получим

к п

7Ш = 21+атг-1______________^_________ [ 1а8тН М

(к 7Г + £)(& 7Г + 7Г + £) J (к 7Г — ¿)(/г 7Г + 7Г — £) ’

(к- 1)п

2

С

С & ((к — 1)п, к п).

Множитель перед интегралом равномерно ограничен сверху и снизу. Исследуем сам интеграл

к п п п

[ Ьавт2Ь , [ (к п — ¿)“вт2£ [ втН

1 -Л = I ---. 7 ,---Л = (ктг-5)а —------------ГЛ,

J (к п — і)(к п + п — і) J і (і + п) ,/ і (і + п) ’

(к—1)п 0 0

где З Є (0, п). Итак, 7(к) = 0(ка). Теорема 2 доказана.

Список литературы

1. Абакумов Ю. Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова. Научное издание. Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.

2. Коган Е. С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Ырма : автореф. дис. ...канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005. 16 е.

Рукопись поступила в редакцию 18 апреля 2011 г.