Об аппроксимационных константах в одной оценке приближения функций операторами Баскакова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физико-математические науки

УДК 517.51

Новикова Татьяна Геннадьевна Tatiyana Novikova

ОБ АППРОКСИМАЦИОННЫХ КОНСТАНТАХ В ОДНОЙ ОЦЕНКЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРАМИ БАСКАКОВА

ш

ON SOME APPROXIMATION CONSTANTS IN ONE ASSESSEMENT OF APPROXIMATION OF FUNCTIONS BY THE BASKAKOV'S OPERATORS

Анализируется характер изменения аппроксимирующих констант А1 (1) и Ац^д 2) (1), фигурирующих в оценке приближения функций класса WlHl тригонометрических операторов Баскакова ](к1 ' ' ' ' 'к 2 ) • Рассмотрены два частных случая, когда параметр т равен 1 и 2. Доказано, что аппроксимирующая константа А1 (1) ^ да при к ^ да, а также доказано, что при фиксированном к1 аппроксимирующая константа 2) (1) равномерна по к2 ограничена. Выведены формулы для оценки порядка роста аппроксимирующей константы к 2) (1) от параметров к1 и к2 при к1 ^ да

Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, аппроксимирующие константы

In this article we analyze the nature of the approximating constants A1 (1) and k2) (1) change, appearing in the assessment of approximation of functions of class W1H1 by the Baskakov's trigonometric operators M' " 'k2 ). We examine two special cases, when the parameter m equals 1 and 2. It is proved that the approximating constant A1 (1) in case k ^<x>.

And it is proved that in case of fixed k1 the approximating constant Ai(k1, k2) (1) is even on k2 limited. The two formulas for the appreciate of the of the approximating constant order growth k2) (1) on the parameters k1 and k2 in case k1 ^ x are deduced

Key words: Baskakov's trigonometric operators, approximating constants

Тригонометрическими операторами Баскакова называются аппроксимационные по-

кт)

следовательности

м[т](ки...кт) j, ху

,т-1

Пsin

j=1

=2кт +1, где

2 nkj

n К

г, ч • 2 nt , j (t + x)sin — dt

тт

J t т f

-^sin2^2 п

2 j =1V

cost - cos

2k jn\ ' n

где целые параметры т, Ц не зависят от п и удовлетворяют неравенствам т > 0, 0 < к1 < к2 < ... < кт (см. [1, 3]).

Если /(?) е Ж*1 Нм , то при 0 < £ + а < 2т +1 выполняется оценка

М[т](к1,-., кт )(/ .Х) _ f ( Х)

<

(1)

0s +а+1 2mi 2 2 Л

< M-

(а +1)-... •(« + s)

П к,

j Jts+a~2sin2 tdt _s_

n s o

0 П

j=1

2 2 2 kj ж -1

(n - s ~a).

Заметим, при £ = 0 (тогда /(?) е ос ) знаменатель дроби в правой части неравенства перед интегралом равен 1.

Принято обозначать (см. [2,4]) фигурирующую в (1) аппроксимирующую константу

2

^[m](k1,...,km ) =

s +а+1 _2m-1 ^ k 2

п

j 3 ?ts +а~2 sin2 tdt

O, s,a

(a +1)-... •(« + s)

•í -

(2)

0 П

3=1

2 2 2 kj ж -1

Далее мы рассматриваем два частных случая: 1) m = 1, s = 1, а = 1, 2) m = 2, s = 1, а = 1. В обоих случаях константу, определенную формулой (2), для сокращения обозначаем Aj(1). При m=1 параметр k¡ будем обозначать k (без индекса), а константу A^k)(1) .

Теорема 1. При k A1(k)(1) ^ да , точнее A1(k)(1) = O{k ln k).

Доказательство. Подставляя в (2) m=1, s=1, а=1, получим

л_,27 sin2 tdt

A1( k )(1) = 4^k 2 J

Jr2^.2 Л

o ik ж — t Имея в виду (3) и то, что J

(3)

ю sin2 tdt

kУ -12

= 0 , получим A1(k)(1) = 2 |

2kf sin2 tdt

k У -12

7 sin2 tdt

Равенство I —2—2-2 = 0 доказано в [5].

2 2 2 0 k ж -1

1 1 1 ( 1

Так как

k 1n1 -12 {кж +1Xkж -1) 2kж

1

kn -1 kж +1

, получим

A1(k )(1) = 4k

r k sin2 tdt k sin2 tdt^

1 ¡СЖ-1 J

V 0

рой равномерно по k ограничен Теорема 1 доказана.

0 kж +1 j

. Первый интеграл имеет порядок O(ln k) , а вто-

Перейдем к рассмотрению случая т = 2. Тогда запишем (по соображениям, аналогичным тем, какие были в случае т = 1)

k 2Ж

2

sin tdt

М)<D = SA2k22 I ( 2 k2 2 >

kx, V - ki ^ Л

Учитывая, что _1_ 1

(t2 - k2^2 fk^K2 -12 ] 7l2 (k| - k2] получаем

k2У -12)

v2 / 2_2 7 2 _2 v.2

t — ki TT k2 П — t

Ai< k )(1) =

s^k2 k22

kl - k12

^ sin2 tdt

k2 Ж ■ 2

2 Sin tdt

J 7! 7 2 2 + J 7 2 2 T

Vk1^t - k1 ^ k^ k2^ - t

(4)

В дальнейшем рассмотрим два случая: 1) к фиксировано; 2) к ^ да . Рассматриваем вначале первый случай: к фиксировано, к2 ^ да . Согласно (4), А^^ к2)(1) можно представить в виде суммы А^)(1) =J1+J2,

где J1 =

StÜ! kl сk2

k2 - k12

n sin2 tdt

1 /2 7 2 2

v kXKt - k1 ^ y

. Покажем, что при фиксированном k1 J1 равномерно

по ki ограничено.

8^k2kf 2

Действительно, при фиксированном k1 имеем lim —i-1 = 8Ж1 . Преобразуем

интеграл 2' f

k 2ж ■ 2 > 7>

2 sin tdt

k 2ж

л

sin tdt

ki kl - k12

*(k2,"k1} sin2 tdt *(k2,"k1 W2 tdt

kt

2

- k2^ ^ <t - k1n){t + k1^) 0 t(/ + 2k1)

Последний интеграл равномерно по ki ограничен. Рассмотрим теперь J2

_ 8^k2kl J i =

2 2 2 k 2 _ k1

fk2ж . 2,7

l sin tdt

J T232 Д

Vкхж k2^ - t j

4k2 ki

k2 k1

fk2^ . 2 f "

k2^ . 2

2 sin2 tdt 2 sin2 tdt

+

^M k2^- t кхж k2^ + t ,

При фиксированном к и при к2 ^ да множитель перед скобками имеет порядок

O

' 1 Л V k2 J

. Первый интеграл в скобках имеет порядок O(lnki),второй — O(1) . Отсюда

J2 = 0<1) .

Итак, доказано следующее утверждение.

1

2

t

Теорема 2. При фиксированном к к2)(1) равномерно по к2 ограничено.

Разберем теперь случай к ^ да . Учитывая то, что уже сделано, получим

2/ 2

A

1( ku k 2)

= 8^! k2

( k

k2 - k12

sin2 tdt

J

J Л 7 2 2

k1xt - k1 Л

+

4ki2 k 2

k2 - k12

^kf sin2 tdt ksin2 tdt k2n-1 *

k2n +1

ем

^ kix" 2я 1 kix" 2У Сохраняя прежние соглашения, обозначаем первое слагаемое J , второе — J2 . Име-

2 sin ¡dt sin ¡nt

. Обозначая Г = t — k^K (и переходя к обо-

J = 4kik2

1 72 7 2 k 2 - k1

^k. 2 ,7, k. 2,7,^

2 sin tdt 2 sin tdt

, t - hn ? t + hn

V k1n 1 k1^ 1 у

значению t вместо Г ), V = k2 _ k1, получим

4k1 (k1 + v f_ f Jsin2 tdt _ J sin2 tdt Л * 4 ^ t + 2k1n

J1 =

V1

(2k1 + v)

V 0

(5)

Для J 2 в тех же обозначениях имеем

J 2 =

4k12 (k1 + v ) v(k1 + 2v)

f VK •„ 2

I

V 0

sin2 tdt 7 sin2 tdt

2

+

Í

0 t +

(6)

Формулы (5) и (6) позволяют оценить порядок роста величин к2)(1). Многое

k

зависит от характера изменения частного —. Выделим случай, когда V равномерно по к

ограничено. Тогда A

1(k1, k 2)

(1)=о k2).

Литература

References

1. Абакумов Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова: научное издание. Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.

2. Абакумов Ю.Г., Лямина О.С., Новикова Т.Г. О зависимости некоторых аппроксимационных характеристик от параметра а // Вестник ЗабГУ. № 2 (93). С. 103-108.

3. Баскаков В.А. Об одном методе построения операторов класса Б2т. Теория функций и приближений. Интерполяция по Лагранжу. Саратов, 1984. С. 19-25.

4. Баскаков В.А. Об операторах класса Б2т, построенных на ядрах Фейера. Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ. 2001. С. 5-11.

1. Abakumov Yu.G. Priblizhenie periodicheskikh funktsii trigonometricheskimi operatorami Baska-kova: nauchnoe izdanie. (Approximation of periodic functions by trigonometric operators of Baskakov: scientific publication). Chita: ChitGU, 2006. 158 p.

2. Abakumov Yu.G., Lyamina O.S., Novikova T.G. Vestn. Zab. Gos. Univ. (Transbaikal State University Journal). no 2 (93). P. 103-108.

3. Baskakov V.A. Ob odnom metode postroeniy peratorov klassa S2m. Teoriya funktsiy i priblizheniy Interpolyasiya po Lagranzhu. (A method for constructing a class of operators. Theory of functions and approximations. Lagrange Interpolation). Saratov, 1984. P. 19-25.

4. Baskakov V.A. Ob operatorah klassa S2m, postroennyh na jadrah Feiyra Primenenie funktsion-alnogo analiza v teorii priblizheniy. (On operators of class built on Feyer kernels. Application of Functional Analysis in Approximation Theory). Tver: TvGU. 2001. P. 5-11.

t

V

5. Коган Е.С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций класса Ырма: автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005. 17 с.

6. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.

7. Лямина О.С. Шерстюк Т.Ю. Некоторые аппроксимационные характеристики приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций класса Lipa // Вестник ЧитГУ. № 10 (67). 2010. С.112-120.

8. Шерстюк Т.Ю. О приближении тригонометрическими операторами Баскакова функций, производные которых имеют разрывы первого рода // Вестник СамГУ (Естественнонаучная серия). 2007. № 6 (56). С. 317-326.

5. Kogan E.S. Nekotorye metody polucheniya tochnykh i ekstremalnykh konstant v otsenkakh prib-lizheniya lineinymi operatorami funktsii klassa LipM a: avtoref. diss. ... kand. fiz.-mat. nauk. (Some methods of obtaining accurate and extreme constants in estimates of approximation by linear operators of class functions: Abstract. diss. ... cand. phys.-math. sciences). Krasnoyarsk, 2005. 17 p.

6. Krylov V.I. Priblizhennoe vychislenie inte-gralov. (Approximate calculation of integrals). Moscow: Nauka, 1967. 500 p.

7. Lyamina O.S. Sherstyuk T.Yu. Vestn. Chit. Gos. Univ. (Transbaikal State University Journal). no 10 (67). 2010. P. 112-120.

8. Sherstyuk T.Yu. Vestnik SamGU (Estestven-nonauchnaya seriya). (Vestnik of SSU (Natural Sciences Series). 2007. no 6 (56). P. 317-326.

Коротко об авторе

Briefly about the author

Новикова Т.Г., ст. преподаватель, каф. «Математика», Забайкальский государственный университет, г. Чита, Россия ю1а^а [email protected]

T. Novikova, senior teacher, Mathematics department, Transbaikal State University, Chita, Russia

Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова

Scientific interests: research of trigonometric Baska-kov's operators