CC BY
29
Физико-математические науки
УДК 517.51
Верхотурова Мария Алексеевна Mariya Verchoturova
ш
áJ
Коган Евгения
Семеновна Evgeniya Kogan
Лямина Ольга Сергеевна Olga Lyamina
ОБ АППРОКСИМАЦИОННЫХ КОНСТАНТАХ В ОЦЕНКАХ
ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КЛАССОВ ЛИПШИЦА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ БАСКАКОВА
ABOUT APPROXIMATION CONSTANTS IN THE APPROXIMATION ESTIMATIONS OF LIPSCHITZ CLASSES FUNCTIONS BY BASKAKOV
TRIGONOMETRIC FUNCTIONALS
Рассматриваются некоторые вопросы, касающиеся оценочных, точных и улучшенных констант в оценках приближения функций классов Lip а, 0<а ^ 1, тригонометрическими операторами Баскакова
Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, аппроксимационные константы
The authors discuss some issues relating to the evaluative, precise and improved constants in the approximation estimation of functions of class Lip a, 0<a < 1, by Baskakov trigonometric functionals
Key words: Baskakov trigonometric functionals, approximation constants
1. Общие сведения о тригонометрических операторах Баскакова и некоторых аппроксимативных свойствах этих операторов
Тригонометрическими операторами Баскакова называются аппроксимационные
последовательности
[ т ] (¿J ,... , кт )
n = 2кт +1 '
>т-1
где
МЫ(*1 ,...kт ) (f. x) = .
Пsin
j=1
2 mkj
n 77
г, ч • 2 nt 7 j (t + x)sin — dt
7m
2 t
С
sin~2 П
2 j=1V
cost - cos
2k 7
n
где целые параметры m, к. не зависят от n и удовлетворяют неравенствам m > 0, 0 < k1 < k2 < ... < km .
Если f е LipM1, то имеет место следующая оценка:
м[ш] (к1 .km ) (f x) _ f (x) < M • AO] (k1 ' • -km ) • n_ 1 + o(n_ 1 ),
(1)
m ^
где AOm](k1'...'km) = 4л2л_1 Пкj J-
2
sin tdt
j -1 0tП j=1
kjл2 _ t2
Константа аО""^1 ' '''' кт) получила название оценочной (в отличие от точной константы, о которой речь пойдет дальше).
Установлено, что в равенстве (1) константу АО ^^ ' '' ' ' к,п ) можно заменить на
A[m] (k1 > • • • , km), которая определяется равенством
н
[m](k1,..., km ) = 4 _2m _1 Л, 2 ^ m(t )sin2 tdt
A
H
-4л
П kj2 J-
j=1 01П(л2kj _ t2) j=1
где m(t) = sign
m
П (rj _ t)
j=1
V j
Константы rj , j = 1,...,m , 0 < r1 < k^ < r2 < k2л <... < rm < kпл являются корнями
уравнения
1
G[ m](ku . . km ) ( r) 2 '
(2)
m '
где G[rn](k1,...,km)(r) =л2М_1 П k2j J-
sin2 tdt
у=1 0г2 П (л2- г2)
У=1
Существование требуемых решений уравнения (2) в общем случае до сих пор не доказано. Существование констант г у , у = !''„'т , удовлетворяющих равенству ^тКк1 к )(г) = -2 ,
доказано при т = 1,2,3 и любых допустимых к у , а также в некоторых частных случаях при т = 4,5 (см. [1.2]).
Для функций класса Ырма, а е (0Д) аппроксимационная оценка выглядит аналогично оценке (1)
Mnm](k1'...'km \fx) _ f (*)
< M • A
[m](k1,...,km)
n + О
(3)
т » а-2 • 2 ,1, где ^т) = 2^ая2т-1 Пк72 | т 8Ш ш
т 2_2 Л
2 2 2 к ¿я - *
7 ^ 0 П
7=1
В случае существования упоминаемых констант г7 аппроксимационную константу
А»?]^1 , • • • , к т ) в оценке (3) можно заменить на меньшую константу
аМ^Ь--*» ) = 21+«я2т-1 Птк2
7=1
г| ( 8Ш2 * Ж* + £ г,'|1 \* - кя\а 8Щ2 *Ж*
0 *2 П(2я2 -*2) '=1 г, '2 П\ъ-2я2 - >2
V
7=1
///• | П к
7=1
г Пщя-г
Очевидно, ' • • • ' к т ) < 1 ' ••'кт ) . Не известно, являются ли константы
^ ' а о, а
А^а 1 ' ' ' ' кт) точными. Их называют улучшенными.
2. Равномерная ограниченность констант ) при а е (0,1)
Теорема 1. При каждом фиксированном а е (0,1) величины а' равномерно по к ограничены.
Доказательство. Представим ) в виде суммы двух слагаемых
) = 21+а як2 к! 24 + 21+а як2 ] Л51п2Ж2 =2а(к1 + J1)•
Л 2 ^ 2 г 2 2 ч 31.1 1,1- V1 2 /
0 г2(я2к2 - г2)
кя* 2(*2-я2 к2)
Рассмотрим отдельно каждое слагаемое и докажем их равномерную ограниченность.
Преобразуем Jl: так как
1
1
г 2 (я2 к2 - г2) я2 к2
л
1
>2 _2 т 2 .2
V г я к - г у
, получим
2
кя
^ *а я *
8т2 г
81п2 г +__
,*2 я2к2 - г2 у
кя ■ 2
кя .а ■ 2
а Я Л • /, , л »л ,а • /, , 7,
2 г81П * , 2 Г * В1П *Ж*
2 2 2
, (• Ы11 I 1 е
Жг-— I —— Жг+— I
тг- Л .2-а тг- J
я 0 *
я 0 я к^ - *
- Jl! + Jl'2 •
Оценим Jl 1. Имеем
Jl,l- я I
2 г $ш2 *Ж* < 2 я 0 *2-а я
1-2.^ кя
V 0
+ Г*а-2Ж* Л ^^ + 1 к-(кя)а-1 )•
-а 1 я1 *2-а я 1 - а '
1
2 ^т2 гЖг 2 1
я Д *"
у 0 4
1 2 2 ^п2 гЖ*
Первое слагаемое при а < 1 меньше « а < 1 оценива
2 1
о о ^ А ГЛ Т 1
ется конечной величинои---. Эта оценка показывает, что 711 равномерно по к огра-
я 1 -а
ничена при любом а е (0,1 , но не по всем а в совокупности.
Покажем теперь, что lim J\ 2 = 0 .
k ^да
1
Действительно, так как
k2Л2 -12 {кл +1){кл-1) 2кл\кл +1 кл -1 получим
г _ 2 к;га sin2 tdt_ 1 sin2 tdt 1 ^tNin2 tdt
Ju _ л 0 =кл2 j ^л+г+л "Jl'21+
Оценим отдельно каждое слагаемое. Для оценки j1 2 1 имеем
i кл ,а ■ 2 , i, кл л
1 г t sin tdt 1 г 1
J1 2 1=—7 I-<-í- I-dt =
1,2Д кл2 0 кл +1 л{кл)1-а 0 кл +1
=-^— к2кл- ln кл)_—ln2—=о(1)-
л{кл)1-а V ' л{кл)1-а
Оценим J1 2 2:
J ^^smld < 1 k; sin2 tdt
1,2 2 кл2 j кл-1 <л{кл)1-а j кл-1 '
В последнем интеграле производим замену т _ кл -1. Получаем кл • 2
, 1
J1,2,2<
í
psin rdr ¿y(k) / ч / ч
^ J—^ = Л \/-а 'ГДе ®(k) = 0(1П k)'
(kí)1-a 0 7 í(kí)
Таким образом, J12 = о(1). Оценим теперь J2.
, „ , 2 ^ ta sin2 tdt 2 даг ta sin2 tdt
J2 = 2^ J ,2^2 ? 2 2\< -J ,2 r 2 2-
клt \t - k л ) Л клt - k Л Последнее неравенство получено заменой в знаменателе под интегралом t2 на к 2л2 Неравенство получается с учетом того, что при t е {кл,f) выполняется t > к л . В приводимой далее цепочке равенств и неравенств т _ t - кл .
2 ^ ta sin2 tdt_ 2 ^ ta sin2 tdt _ 2 f (т + кл)а sin2 TdT 2 Xf sin2 TdT
J < z. <• í sin luí z. r i sin IUI z, m ¿ -i-/t/í ^ sin tu ¿ ^ ¿ /•
2 ^ J .2 í2_2 ^ J ít _ b<rr\(t -L. hTT\ TT J T/tí')^ ^ J
л kí t2 - k2í 2 л ¿(t - kí)(t + ^ 0 t{j + 2kí) í 0 T{j + kí )1-a '
1
1
1
1
Последнее неравенство мы получили, заменив т + 2кл на т + кл. Далее,
2 f sin2 тdт 2 f sin2 т/т Л от(т + кл)1-а <Л 0 т2-а '
Последний интеграл сходится при ае(0,1). Теорема 1, таким образом, доказана.
3. О точных константах вида A^-^1'k2'кз'к4)
Мы уже отмечали, что точные константы вычисляются по формуле
2
m(t)sin tdt
^№1,...,km ) = 4л2т-1 П k 2 j-
j_1 01П(л2k2 -12)
^ m
где m(t) _ sign
П (rj -1)
j j _1
, если уравнение (2) имеет m решений, расположенных как ого-
ворено в п. 1.
Известно (см. [2]), что при m=4 уравнение (2) имеет требуемые решения, при выполнении следующих неравенств:
G[4](k1,к2,кзк4)(к1л) > (4)
G[4](k1, к 2, кз к 4)(к 2л) < (5)
G[4](k1, к 2, кз к 4 ) (к3 л) > (6)
G[4]( к 1, к 2, кз к 4 ) (к 4л) < i. (7)
В [2] доказано, что неравенства (4) и (5) выполняются при любых допустимых значениях ki. Выполнение (7) следует из того, что G[ , k2 ,кз к4 ) (r) на промежутке [к4л,да) возрастая стремится к 2. Выполнение (6) к настоящему времени удалось доказать лишь в отдельных частных случаях.
Теорема 2. Для любых целых k1, ki, кз , удовлетворяющих условию 0 < к1 < к2 < к, существует N0 _ N0 (к1,к2,кз ) такое, что при любом k4 > N0 имеет место неравенство (6).
Доказательство. Имеем
4 кзл . 2 .j.
ri / ? ч 7 г"г ? 2 Г sin tdt
G[4](k1, k 2, к 3, k 4)(к3л) =Л П ki О
[4](k1,к2,кз,к4 ) V 3 / = " ЦЧ О — --
1 _1 0 t2П(л2к2 -12) i _1
= 7
3 k 37
5 П k2 i
i=1 0 t2
sin21
t2 n(2 k2 -12) 1 -4
-dt =
i=1
22
7 Кл
=75 П k2
i=1
k17 -2,7,
j sin tdt
л k 2 7 -2,7,
1 r sin tdt
i
1
V
3 k37 52
22 7 k4
0 t2 П((-72 - t2 ) 1 kl7t2П ((2 - t2 ) 1 -J2
i=1 7 k2 i=1
22 7 k2 у
+
+75 П k2 i
о
sin tdt
1
i = 1 k 27 2
t2 n(2 k2 -12) 1 --S
i=1
22 7 k2
где s1 e(0,k17), s2 e((17,k27), S3 g((27,k37). 1
Так как
^ 1 при k2 ^ го (здесь j = 1,2,3 ), получаем, что
1 -
2j 2 7 k2
lim G,
k2
[2](kj, k2, k3, k2)
(k37) = Gl
[3](kj, k 2, k 3)
(k37) •
А это эквивалентно утверждению, которое сформулировано как теорема 2. Итак, теорема 2 доказана.
Литература
- References
1. Абакумов Ю.Г. Тригонометрические операторы Баскакова — уникальный пример совокупности аппроксимирующих последовательностей. // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2007. С. 8-13.
2. Абакумов Ю.Г., Верхотурова М.А., Коган Е.С. Об одной экстремальной задаче теории приближения // Вестник Самарского ГУ. Естественно-на-уч. Серия. 2012.№ 3/1 (94). С. 5-13.
1. Abakumov Yu.G. Primenenie funktsionalnogo analiza v teorii priblizheniy. [Application of functional analysis in the theory of approximation]. Tver: TvGU, 2007. P. 8-13.
2. Abakumov Yu.G., Verhoturova M.A., Kogan E.S. Vestnik Samar.gos. univ. [Bulletin of Samara State University ]. 2012. № 3/1 (94). P. 5-13.
1
Коротко об авторах_
Верхотурова М.А., ст. преподаватель, каф. «Математика», Забайкальский государственный университет, г. Чита, Россия Служ. тел.: (3022) 41-73-12
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
Коган Е.С., канд. физ.-мат. наук, доцент каф. ИВТ и ПМ, Забайкальский государственный университет, г. Чита, Россия eskogan@maiI.ru
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
Лямина О. С., ст. преподаватель, каф. «Прикладная информатика и математика», Забайкальский государственный университет, г. Чита, Россия Служ. тел.: (3022) 41-73-12
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
_Briefly about the authors
M. Verchoturova, senior teacher, Mathematics department, Transbaikal State University, Chita, Russia
Scientific interests: research of Baskakov trigonometric functionals
Y. Kogan, candidate of physic-mathematical sciences, associate professor, Informational Technologies and Applied Mathematics department, Transbaikal State University, Chita, Russia
Scientific interests: research of Baskakov trigonometric functionals
O. Lyamina, senior teacher, Applied Informatics and Mathematics department, Transbaikal State University, Chita, Russia
Scientific interests: research of Baskakov trigonometric functionals
