CC BY
22
Физико-математические науки
УДК 517.51
Абакумов Юрий Георгиевич Yury Abakumov
И
W
Лямина Ольга
Сергеевна Olga Lyamina
Новикова Татьяна Геннадьевна Tatiyana Novikova
О ЗАВИСИМОСТИ НЕКОТОРЫХ АППРОКСИМАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОТ ПАРАМЕТРА а
ABOUT THE DEPENDENCE OF APPROXIMATE HARACTERISTICS FROM а PARAMETER
Исследуется характер изменения аппроксима-ционных констант Ад (а) и Ai (а) при изменении параметра а е (0,l]. Показано, что константы фигурируют в оценках приближения функций классов Lipa и W1Hа тригонометрическими операторами Баскакова, которые относятся к Л -средним рядам Фурье и приближают функции классов Lipa
1 а
и с наилучшим порядком. Доказано, что
Ад (а) и Ai (а) возрастают и выпуклы вниз.
Результаты относятся ко всей совокупности аппроксимирующих последовательностей тригонометрических операторов Баскакова (сохраняют силу при любых значениях параметров)
Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, аппроксимационные константы
We investigate the behavior of the approximatе constants A0(a) and Aj(a) under the parameter changes a e (01]. These constants appear in the estimates of approximate classes of functions Lipa and WlHa trigonometric operators by Baskakov, which belong to A -middle Fourier series and approximate functions classes Lipa and WJHa with best order. It is proved that A0 (a) and Aj (a) increase and convex downward.
The results relate to the totality of the approximating sequence of trigonometric operators by Baskakov (i.e. are valid for all values of parameters)
Key words: trigonometric operators by Baskakov, approximation constants
1\/Ты рассматриваем оценки скорости приближения тригонометрическими операторами Баскакова периодических функций, принадлежащих классам Ыра , а также ЖГИа при г = 1,2 .
По определению, f е С2ж принадлежит классу LipMa , M > 0, ae(0,1], если Vxb x2 \f (x¡) - f (x2)| < M • - xj\, Lipa = \LipMa . Далее, f eWsHa, f(s) е С2ж, f(s) е Lipa .
m > 0
Тригонометрическими операторами Баскакова называются аппроксимационные
последовательности
=2k.. + 1'
где
M^ ^ ' ■■■ km ) (f, X ) =
m 1 m 2 ick¡
2m-1 Пsin2 —— .. , . 2 «^
A A « ^ f (t + x)sin — dt
j=1 J 2
m
2 t
m f
sin~2 П
2 j=1V
cost - cos
2k—ж^ n
здесь целые параметры т, к. не зависят от п и удовлетворяют неравенствам т > 0, 0 < к\ < к2 <... < кт.
Если /) е Ж5 НММ, то при 0 < 5 + а < 2т +1 выполняется оценка
M«mKk1v, km )(f .x) _ f (X)
<
2
s+a+l 2m-1 Ж
m
П k—
<» . s+a-2-2
< M
í
(a +^... • (a + s) 0 ПП
j=1
sin tdt - s-a
n s a + o
k—ж2 -t2
(-a)
При 5 = 0 (тогда /(/) е Ырма ) знаменатель дроби в правой части неравенства перед интегралом равен 1.
Обозначаем далее (по аналогии с [1]):
Jm](k1,..., km ) AO, s,a
>s+a+l 2m-1 : Ж
m
П k
Ю s+a-2-2 .1. с t sin tdt
(a + !)•... ^(a + s)
m
0 П
j=1
k2Ж2 t2 k — ж -t
В статье мы рассмотрим задачу выяснения характера зависимости от а величин Л^,..., кт )
Л0,а пРи 5 = 0,1.
В случае 5 = 0 имеем
Л (а) = кт ) = 21+аж2т-1Пк2.
)=1
Теорема 1. При а е [0,1] функция Лд (а) возрастает и выпукла вниз. Доказательство. Докажем сначала выпуклость вниз. Имеем
d 2 A0 da2
2m-1 Л, 2 7(2/)a ln2 (2/)sin2 tdt
= 2у^ П j i m
j=1 0 t 2П
j=1
(1)
kjy2 -12
При а е (0,1] интеграл в правой части (1) сходится, так как подынтегральная функция ограничена и при х ^да стремится к нулю с порядком о( 2т ).При а = 0 этот интеграл также сходится не смотря на неограниченный рост при х ^ 0. Так как подын-
d 2 A0
тегральная функция при всех ! > 0 неотрицательна, то при а е [0,1]-2° >0. Итак, Л0(а)
da*
выпукла вниз.
¿Л0
Далее,
da
m
= lim 2л
а= 0 а^0+
Если мы докажем, что
dA
da
2т-1 2 . | ((2/)а - 1)Б1П2 ¡и!
3=1 0 а!2 П
] =1
> 0 , то теорема будет доказана.
а=0
,22 .2 k j п — t
Будем использовать тот факт, что
2 ((2tf- l)sin2 tdt Л1111в/1 Л lim -^-- 0,111154 > 0
«^0+ 0
а t
2
(2)
Вычисления выполнены на МаШСаё.
Так как подынтегральное выражение в (2) отрицательно при / е I 0, — I, положитель
но при t > ^ , из (2) получаем
lim f
a^ 0 + 0
0,5 ((2t)a - 1)sin2 t dt
a t
< lim f
a^0 + J
2 ((2t)a - 1)sin2 t d^
Любое значение функции
П
j=1
0,5
k у -12
at
4-1
при / е | 0,2 | меньше любого значения
этой функции при t ei -2,21. Отсюда получим lim f -^^—
12 J a^^0at2 Пк2У-t2
> 0.
t2 П j=1
Тем более, Нш |
((2t )a -1 )sin 2 tdt
> 0.
a^0+
0a t2
t2 П
j=1
2 2 2 к j л -1
Это значит
dAr
da
> 0.
а=0
Теорема доказана.
При 5 = 1 выражение для Л1 (а) примет вид
m ж^л1+а
(2t )1
4(а) = 2n2m-1 Пk2 J12
зт2 tdt
j=1 0
+ а
m
t2 П
j=1
2 2 2 kj я -t
Выделим под интегралом функцию, зависящую от а и обозначим ее (р(а). Имеем ср(а) =
(2t )1+а
^ ' . Как видно из предыдущего: чтобы сделать первичное заключение о пове-
1 + а
дении функции Л^(а), достаточно выяснить, что р (0) > 0 и р"(а) > 0 при а е [0,1. Диффе-
d^_(2t )1+а{Ы{Ъ )•(« +1)-1)
ренцируя, получаем
da
(а +1)2
Отсюда
dAi
da
а=0
7(ln(2t)- 1)sin2 tdt , , rp
cons t • I -—-—-—-- (константа положительная). Таким
J m
0 t п
j=1
2 2 2
kj ж -1
образом, надо доказать, что при любых допустимых значениях параметров т, кj имеет место неравенство
J
(ln(2t)- 1)sin 2 tdt
> 0 .
(3)
2 2 2 kjn -t
0 t п j=1
Будем исходить из следующих двух фактов:
J
(ln(2t)- 1)sin 2 tdt
0,169596 > 0;
(4)
;(ln(2t)- 1)sin2 tdt « 3,32976• 10-2 > 0.
_2 12 я — t
(5)
Если к1 > 1, то выполнение (3) следует из (4). В самом деле, подынтегральное выражение в (4) отрицательно при t е ^0, 2|, положительно при t > 2 . Так как на промежут-
Г ™ Л-1
ке [0,6] (если k1 > 1) функция
П
^ j=1
k2я2 -t2
возрастает, получаем , а отсюда непос-
редственно следует (3). Если же к\ = 1, то по тем же соображениям (3) следует из (5).
Неравенство
d 2 A1 da2
> 0 следует из того, что
t
t
р'(а) = (*)+а()(а +1)-1)2 + 1) >0 (а +1)3 '
Итак, доказано следующее утверждение.
Теорема 2. При а е [0,1 функция ^(а) возрастает и выпукла вниз. Сделаем некоторые замечания о случае ^ = 2.
Исследуемая аппроксимационная характеристика в этом случае определяется форда
-1 П к] ^ а
мУЛоЙ А2(а) = ( ^ *I )а'1П 2 ^ . ОбознаЧим ^О2)^. То, ™
0 П
j 7 (itУ sin 2 Ш Обозначим щ(а)=( (а + 1)У + 2) 0 ^ 2 2 2 (а + 1)(а + 2)
j=1
(2t)а ((ln(2t)(а2 + 3а + 2)- 2а - з)2 + 2а2 + 6а + 5
d ■ > 0, следует из равенства Ц/"У) =
2 ™ v у / « da (а2 + 3а + 2)3
йЛ2
Строгим доказательством того, что
йа
гаем, но есть уверенность, что это так.
> 0 мы в настоящий момент не распола-
а=0
Литература
1. Абакумов Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова: научное издание. Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.
2. Абакумов Ю. Г. Тригонометрические операторы Баскакова — уникальный пример совокупности аппроксимирующих последовательностей // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2007. С. 8-13.
3. Баскаков В.А. Об одном методе построения операторов класса S2m // Теория функций и приближений. Интерполяция по Лагранжу. Саратов, 1984. С. 19-25.
4. Баскаков В.А. Об операторах класса S2m, построенных на ядрах Фейера // Применение функционального анализа в Теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2001. С. 5-11.
5. Батырова Р.Р., Лямина О.С. Об аппроксимационных константах, характеризующих приближение функций класса Ыра операторами Баскакова М[1](кУ/ Ученые записки ЗабГГПУ. №2 (31),2010. С. 118-119.
6. Коган Е.С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций класса Ырма : автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005. 17 с.
7. Коган Е.С. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые задачи, связанные с ними // Математика и ее приложения: Журнал Ивановского математического общества. Иваново: Иван. гос. ун-т, 2004. С. 79-92.
8. Лямина О.С., Шерстюк Т.Ю. Некоторые аппроксимационные характеристики приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций класса Lipa // Вестник ЧитГУ. № 10 (67). 2010. С.112-120.
Коротко об авторах_
Абакумов Ю.Г., канд. физ.-мат. наук, доцент, проф. каф. «Информационно-вычислительная техника и прикладная математика», Забайкальский государственный университет Тел.: (8-3022) 44-89- 54
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
Лямина О. С., ст. преподаватель, каф. «Прикладная информатика и математика», Забайкальский государственный университет Служ. тел.: (3022) 41-73-12
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
Новикова Т.Г., ст. преподаватель, каф. «Математика», Забайкальский государственный университет Служ. тел.: (3022) 41-73-12
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
_Briefly about the authors
Y. Abakumov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, professor, Information Computing Techniques and Applied Mathematics department, Zabaikalsky State University
Scientific interests: research of trigonometric operators by Baskakov
O. Lyamina, senior teacher,Applied Informatics and Mathematics department, Zabaikalsky State University
Scientific interests: research of trigonometric operators by Baskakov
T. Novikova, senior teacher, Mathematics department, Zabaikalsky State University
Scientific interests: research of trigonometric operators by Baskakov
