АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА LIP α ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ {LN}, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИМИ УСЛОВИЮ U(M, {HN}, {KI}) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 6-14

= Математика =

УДК 517.51

Аппроксимационные оценки приближения функций класса Lip а последовательностями {Ln}, удовлетворяющими условию U(m, {hn} , {ki})

Ю.Г. Абакумов, О.С. Лямина, М.Б. Мэдэгэй

Аннотация. Даны оценки для уклонений операторов, удовлетворяющих условиям U(m, {hn} , {&*}), на классе функций LipM а, 0 <

< а ^ 1. Подробно рассмотрены случаи m = 1, 2, 3.

Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, аппроксимирующие последовательности, асимптотическая оценка.

1. Основные понятия

Символы С [а,Ь] и С2П употребляются в общепринятом смысле: С[а,Ь] — пространство непрерывных на отрезке [а,Ь] функций с нормой ||/У = шах4е[а>5] |/(Ь)\ ,С2П — пространство 2п-периодических непрерывных на оси (—то, то) функций с нормой ||/1| = шах_те<^<те \/(¿)|.

Определение 1. Говорят, что /(Ь) е С[а,Ь] (или /(Ь) е С2п) принадлежит классу Ырм а(0 < а ^ 1,М > 0), если УЬ1,Ь2 выполняется \/(¿1) — /(¿2)| ^ М |^1 — ¿21". Полагаем Ыр а = им>0 ъФм а.

В дальнейшем примем следующее соглашение: если рассматривается приближение функций пространства С2П, символ (Ь — х)п (п>0—целое) обозначает 2п-периодическую функцию равную (Ь — х)п при Ь е (х — п,х + п] (заметим, при нечетных п (Ь — х)п не является непрерывной, и, следовательно, пространству С2П не принадлежит), для а е (0,1] символ \Ь — х\а обозначает 2п-периодическую функцию, равную \Ь — х\а при Ь е (х — п,х + п]. В дальнейшем аналогичные соглашения принимаются без дополнительных оговорок.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность линейных операторов {Ьп} (Ьп : С[а,Ь] ^ С[а,Ь] или Ьп : С2п ^ С2п) удовлетворяют

условию и (т, {Нп} , {к} (т > 0 — целое, Нп [ 0, 1 <к\ <к2 < ... < кт-\ действительные), если при любых (фиксированных) х и п выполняется

sign (<Pn(t)) = sign[ (hi - (t - x)2) Л (к2hi - (t - x)2) ] ^ Ln (<pn, x) ^ 0.

i=1

В настоящее время примеры аппроксимирующих последовательностей {Ьп}, удовлетворяющих условиям и(т, {Нп} , {к} известны только для периодического случая Ьп : С2ж ^ Т, где Т—множество тригонометрических полиномов. Во всех известных примерах последовательности {Ьп} являются методами суммирования рядов Фурье (см. [1,2]).

Из известных примеров наиболее изученными являются тригонометрические операторы Баскакова. Это — совокупность аппроксимирующих

*-* Г л /г[т-](&1. . ,кт) 1 последовательностей < Мп } вида:

мmm,-,km)(f x) = 2т-1Пm=isin2 ^ r f(t + x)sin2 ndt

^ nn J-n sin2 2 ПГ=1 (cos t - cos 2ni)7

где m > 0 — целое, ki — целые, 0 <к1 <к2 < ... <km < П, •

Мы сохраним традиционно используемые обозначения параметров — m ki, несмотря на совпадение этих обозначений с фигурирующими в определении 2, где ki имеют другой смысл. Последовательности |мПт](кь"' km)

удовлетворяют условию U(m, {hn} , {%}), если положить hn = , qi = •

Вопрос об оценках приближения функций класса Lip 1 операторами удовлетворяющими условиям U(m, {hn} , {ki}) в настоящее время изучен в отдельных частных случаях (см. [3]).

Приведем результаты, которые будут в дальнейшем использованы. Далее обозначаем = sup^ |Ln ((t - x)i ,x) |.

Теорема 1. (О.Н. Шестакова [3]). Пусть {Ln} удовлетворяет условию U (1, {hn}), Ln(1, x) = 1, f (t) G LipM 1. Тогда

\\Ln(f,x) - f(x)|| ^ M(h-len] + в(п) + 2hn).

Заметим, при m = 1 множество {ki} — пустое, поэтому в обозначении условия U(1, {hn}) оно отсутствует.

Теорема 2. (Ю.Г. Абакумов [4]). Пусть {Ln} удовлетворяет условию U(2, {hn} , {k}), Ln(1,x) = 1, f (t) G LipM 1. Тогда

12

\\Ln(f,x) - f (x)ii < м (k(k -1) h-3pn4) + k(k + 1) к2^ +

+ k3 + 5k2 - 3k - 1 ie(2) + 3k2 + 3k + 2 в(1) + 2k2 + k - 2h ) = Ma

+ k(k2 - 1) hn Pn + k(k + 1) Pn + k - 1 hn) M n.

Теорема 3. (М.Б. Мэдэгэй [5]). Пусть {Ln} удовлетворяет условию U(3, {hn}, {ki,k2}), Ln(l, x) = 1, f (t) e LipM 1. Тогда

uLn(f (t,x)) -f Mil < ^k, k2«k‘ +m - + 1) h-5,3") +

+ 2(k 1 + k2 + k‘k2 - 1) h-4o(5) +

k‘ki(k‘ + 1)(k‘ + ki)(k22 - 1) n Pn

+ __________________________________P‘ (k ‘,kl)_h-3e(4) +

+ (k ‘ki(k2 - k 2)(k2 - 1)(k2 -1)) n Pn +

6k3k2 + 6k‘k3 + 10k2k2 + 2kf + 2k| - 2 ,-2e(3)

+ k‘k2(k, + k2)(k, + 1)(k2 - 1) n n +

+_____________________________________P2(k‘,k2)_h-‘e(2) +

+ (k‘k2(k2 - k2)(k2 - 1)(k2 -1)) n Pn +

+ _____________P3(k‘, k2)__________ e(‘) + _________P4(k‘, k2)________________h \ = ^

+ k‘k2 (k‘ + k2 )(k‘ + 1)(k2 -1)Pn + (k2 - k2)(k2 - 1)(k2 -1)hn) n

где

P‘(k‘,k2) = 4k‘k4 - 4kfk2 + 3k3k2 - 4k4 - 5k,k2 + 3k2k2 + 4k2 + k'fk2 -— k5k2 + k5 + k2k2 + k‘k5 + k5 — k, — 4k,k2 — k2 + k,k2,

P2(k‘,k2) = 8k3k4 + 4k3k3 - 4k,k4 - 7k5kf + 4k‘k2 + 5k2k5 - 4k2k4 -- 4k2k3 - 4k‘k5 - 4kk + 4kfk2 + 4k4k2 - kfk2 + k,kf - kfk! + kfk5 +

+ k5 + k5 - k3 - k3 - k2k2 - k,k2,

P3(k ,, k2) = 9k k + 5k 2k4 + 5k 3k2 + 9k 2k2 + 13k k + 5k k - k‘k2 - k,k2 +

+ 4kk + 4k4k2 + 12k3kf + 6k,k% + 2k4 - 2k2 - 2k,k2 + 2k4 - 2k2, P4(k‘, k2) = 2k^k^5 - 2k5 + 2k3 - 2k]k + 2k^k"^ + 4k3k3 - k,k4 - 4k,k^ -

- 2k‘k2 - 4k5k2 + 4^^ + 4k3k2 - 3k"^k2 + 3k4k2 + 3k2k4 - 3k4k2 - 3k,k2 -

- 2k4 + 2k 2 - 2k5 + 2k4 + 2kf - 2k2-

2. Приближение функций класса Lip a, a < 1. Оценки с использованием функций ex(t) и ex(t)

Определим множества G,n), G2n), G3n) С (-то, то). При определении этих множеств используется функция t2, в периодическом случае t2 понимается в согласии с принятыми ранее оговорками.

Обозначим Z(t) = sign {(h2n - t2) nfc=i‘(k2hn - t2)).

Положим

G,n) = {t : Z (t) = 1} , G2n) = {t : Z (t) = -1} , G= {t : Z (t) = 0} .

Определим, далее функции

р Í1, t £ С<Г> и с3”>, _ Í0,¡ £ G<“> и G<“>,

е(t)_\0,í £ С<Г>, e(Í)^-1,í £ С<Г>,

Для x £ [a,b] (x £ (-то, то) в периодическом случае) полагаем ex(t) _ _ e(t — x),ex(t) _ e(t — x).

Теорема 4. Пусть {Lr} удовлетворяет условию U(m, {hr}, {ki}) и, кроме того, значения операторов не зависят от поведения функций на множествах меры ноль, Lr(1,x) _ 1, тогда для f (t) £ LipM а выполняется оценка

\\Ln (f,x) — f (x)|| ^ M supx Lr (|t — x\a (ex (t) + ex(t)) ,x) . (1)

Доказательство. Так как f (t) £ LipM а, имеем ~ix

\f (t) — f (x)| < M ||t — x\a (ex (t) + ex(t))| . (2)

В силу условия теоремы, если функции р (t) и ф (t) удовлетворяют условиям: р (t) ^ 0, ф (t)| ^ р (t), то Ln (0(t),x) ^ Ln (p(t) (ex(t) + ex(t)), x).

Таким образом, из (2) следует, что

L (f,x) — f (x)| ^ MLn (|t — x^ (ex (t) + ex(t)) ,x). (3)

А из (3), очевидно, следует (1). Теорема доказана.

Оценку (1) возможно применить, если есть способ определения (точного или оценочного) величины supx Ln (|t — x^ (ex (t) + ex(t)), x).

Для последовательностей |м,Тт'](^1’"',km^ имеется (см. [6]) асимптотическая оценка этих величин.

Оценку интересующей нас величины дает правая часть приводимого ниже асимптотического равенства:

2m-1 Щ=1 sin2 ^ П ta sin2 f dt

nn J-n sin2 2 П1=1 |cos t — cos 2Ге\ _

m с ж ta-2 sin2 tdt

_2a+1n2m-1Y\ k2 t sin tdt a + o (n-a)

_2 П ü ki k — t2|n + >■

В частном случае m = 1 (вместо k1 обозначаем k) получим оценку для f £ LipM а

мП]{к) (f, x) — f (x) < MA°1](k)n-a + o (n-a) , где

A[1](k) _ 21+ak2n Г ta-2 sin2 tdt

A° _2 knJ0 |k2П2 — t21 ■

Вычисления на МаШСаё дают, например, такие результаты при а = 2: Д01](1) и 1, 57038, Д01](2) и 1, 69016 (см. [7]).

Использование графических средств МаЛСаЛ показывает, что А01](1) и Д01](2), как функции от а, возрастающие и выпуклые вниз.

3. Оценки, использующие величины вП, Ьп, \\Ьп

3.1. Достоинства и недостатки оценки (1). Оценка (1), будучи примененной к конкретной аппроксимирующей последовательности, становится весьма эффективной, что мы видели на рассмотренном выше примере.

Однако сама по себе оценка (1) в общем виде практически никакой информации не дает.

В связи с этим возникает задача получения оценок, дающих информацию о порядке приближения функций классов Ырм а последовательностями, удовлетворяющими условиям и(т, {Кп} , {кг}), с использованием характери-(г)

стик операторов: вп , Кп, ||Ьп||. При этом понятно, что будучи применимой к любым (в том числе и «плохо» приближающим) последовательностям, эти оценки в конкретных случаях могут оказаться слабее оценок, полученных на основе (1) (см., например, [7]).

3.2. Случай т = 1. Последовательность {Ьп} в этом случае удовлетворяет условию и(1, {Кп}). В согласии с принятыми обозначениями, в этом случае

Обозначим т (¿) = — х\а ех (¿) — Ь!аех{Ь).

Очевидно, что при достаточно больших Мп при \Ь — х\ > Нп выполняется

Получим Мп = О, Ь-О, 2. А так как при \Ь — х\ ^ Кп имеет место т(¿) ^ ^ Мп (Кп — (£ — х)2), получим (учитывая (4))

Теорема 5. Пусть {Ьп} удовлетворяет условию и(1, {Нп}),Нп { 0, Ьп(1,х) = 1, значения Ьп не зависят от поведения функции на множестве меры ноль. Тогда для / £ Ь1рм а, 0 < а < 1 выполняется оценка

(4)

Наилучшее значение для Мп подбирается из условия:

Мп {р,,п {Ъ х) ) \г~х=н„ = т (Ъ)\г-х=ь,п■

Ьп(тад,х) ^ 2КЬп(1,х) + 2К 2в(2).

5

Ьп(/,х) — /(х)|| < М К (2 1Ьп11 + 2) + 2ка-2в(2))

(6)

Доказательство. Применяя теорему 4, получим

\\ьп(/,х) — / (х)\| ^ М (8Ирж Ьп (^ - х\а ех(Ь),х) +8ИРЖ ьп (т (Ь),х) +

+ 8ИРЖ Ьп (Н^ех(г),х))).

Очевидно Ьп (^ — х\а ex(í),x) ^ Ка \\Ьп\\ ,Ьп (ëx(í),x) ^ ||Ьп||. Отсюда и из (5) получаем (6). Теорема доказана.

Следствие. Если, в условиях теоремы 5, вп2 = о(Кп), то для / є є Ьірм а

\\Ьп(/,х) — /(х)|| < мьа (2 \\Ьп\\ + 2) + о(Нап). (7)

3.3. Случай т = 2. В этом случае последовательность удовлетворяет условию и(2,Ьп,к),к > 1 Обозначим

—1, Кп < ^ — х\ < кКп

е(2)(Л = )

0, \і — х\ >

п

п,

■ ■ ■ II ___ /гч > V' г і

п,

0, ^ — х\ ^ кК

.... ґ 0 I ^ — х <

е(3) (¡) =

>(3) (Л = /0’ ^ — х\ <кКп’

1, ^ — х\ ^ кКп,

По теореме (4), если Ьп(1,х) = 1, /(Ь) £ Ь1рм а, то

||Ln(/, х) — /(х)|| < М ЭИРх Ьп (\Ь — х\а (е(1)(Ь) + е(2)(Ь) + е(3)(Ь)) , х) ■ (8)

Так как при любых п, х, Ь выполняется неравенство

\Ь — х\а е(1)(Ь)+ е(2)(Ь) имеем оценку

Ьп (\Ь — х\а (^е(1)(Ь) + е(2)(Ь^ , х) ^ каН<а ||Ьп| ■ (9)

Для получения оценки величины Ьп ^\Ь — х\а е(3)(Ь), х^ определим функцию т (Ь) = \Ь — х\а е(3)(Ь) — канае{х)(г).

Функция т(Ь) непрерывна, кроме того, т(Ь) £ Ь1р^п 1, где /лп = ака-1Ка-1. Используя теорему 2, получим

Ьп (т(Ь), х) ^ ака-1Кхп-1ап, (10)

где ап определено в формулировке теоремы 2.

Таким образом, на основе оценок ( 8), ( 9), ( 10) получаем следующий результат.

Теорема 6. Пусть {Ьп} удовлетворяет условию и(2,Ьп,к), Ьп [ 0, Ьп(1, х) = 1, значения Ьп не зависят от поведения функций на множестве меры ноль. Тогда для /(Ь) £ Ырм а, 0 < а < 1 выполняется оценка

ЦЬп(/, х) — /(х)|| ^ М (ака-1Нса-1ап + 2 ЦЬпЦ каЬс0) . (11)

Следствие. Если в условиях теоремы 6, /3%^ = о(ЬЩ), * = 1, 2, 3, 4, то для / £ Ъ1р^ а

а-1 2к2 + к — 2 к - 1

\\Ьп(/, х) — /(х)|| < МЬаА ака-1^----------------------+2 \\Ьп\\ ка) + о(Ка).

3.4. Случай т =3.. Последовательность {Ьп} удовлетворяет условию и(3, {Ьп} , {к1, к2}), 1 < к1 < к2.

При фиксированном х обозначим Б = [х — Ьп, х + Ьп], Б = (х —

— кфп, х — Ьп) и (х + Ьп, х + кфп), Бз = [х — к2Ьп, х — кфп] и [х +

+ кфп, х + к2Ьп], Б = ( — ТО, —к2Ьп) и (к2Ьп, то).

Далее, обозначим

еЧ (Ь) = I1, Ь £ Въ е{2) (Ь) = { — 1 Ь £ °2,

ех \0,Ь £ Б1, ех {Ч \0, Ь £ Б2,

е(3) (Ь) = I1, Ь £ Бз, е(4) (Ь) = ( — 1 Ь £ °4,

ех (ь) \0, Ь £ Б3, ех (Ь) \0, Ь £ Б4,

Если Ьп(1, х) = 1, то для /(і) є Ьірм а имеем

4

\\Ьп(/’ х) — /(х)|| < М ЙИРх Ьп — хГХ1 е(х(і)’ у . (12)

Далее,

— хГУ,е«(і)’х) < к2ьп \\Ьп\\. (13)

Ьп (іі — х\а ^ е(\і), х^ ^ к’аь<а \\Ьп\\.

Обозначим т(і) = \і — х\а еХЯ(і) — ка Ь^еХ4^ (і).

Функция т(і) непрерывна и принадлежит классу Ьір7п 1, где 7п = = ака-1Ьа-1. Применяя теорему ( 3), получим

Ьп(т(і), х) ^ ака^Ь^дп, (14)

где дп определено в формулировке теоремы 3. На основе оценок (12), (13), (14) получим следующий результат.

Теорема 7. Пусть {Ьп} удовлетворяет условию и(3, {Ьп} , {кі, к2}), Ьп I 0, Ьп(1, х) = 1, значения Ьп не зависят от поведения функций на множестве меры ноль. Тогда для /(і) Є Ьірм 1, 0 < а < 1 выполняется оценка

\\Ьп(/, х) — /(х)|| < М {ака-1К-1дп + 2 \\Ьп\\ каю .

Следствие. Если в условиях теоремы 7, вП = 0(hn)> i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, то для f (t) е LipM а

\\Ln(f, х) - f (х)\| <

< mk (аг1 k _ kPk -1)+2 им )

где

P(ki, k2) = 2k 2kf - 2kf + 2kf - 2kfkf + 2kfk4 + 4fk| - kk -— 4k ikf - 2k fk| - 4k fk2 + 4k fk| + 4k fk2 - 3k fk2 + 3kfk2 + 3k fkf -- 3k 4k2 - 3k ik2 - 2k4 + 2k2 - 2k f + 2k 4 + 2k f - 2k 2-

Список литературы

1. Абакумов Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова. Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.

2. Ершова Е.М. Операторы классов S^m и их аппроксимативные свойства: авто-реф. дисс. .. .канд. физ.-мат. наук. М., 2002. 13 с.

3. Малета Г.В., Мэдэгэй М.Б., Шестакова О.Н. Метод интерполяции получения некоторых аппроксимационных констант // Математический анализ и его приложения. Чита: ЗабГГПУ, 2008. Вып.8. C. 35-41.

4. Абакумов Ю.Г. Об операторах класса S2m с симметрично расположенными узлами // Математический анализ и его приложения. Чита: ЗабГПУ, 2002. Вып.5. С. 8-10.

5. Мэдэгэй М.Б. Приближение функций класса Lip 1 операторами, удовлетворяющими некоторым условиям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2008. C. 37-42.

6. Коган Е.С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов LipM а: авто-реф. дисс. .. .канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005. 16 с.

7. Лямина О.С. Приближение функций класса Lip а последовательностями {Ln}, удовлетворяющими условию U(1, {hn}) // Аспирант. Чита: ЧитГУ, 2009. Вып.1. C. 67-71.

Абакумов Юрий Георгеевич, к.ф.-м.н., профессор, кафедра информатики, вычислительной техники и прикладной математики, Читинский государственный университет.

Лямина Ольга Сергеевна ([email protected]), старший преподаватель, кафедра информатики, вычислительной техники и прикладной математики, Читинский государственный университет.

Мэдэгэй Марина Батоевна ([email protected]), ассистент, кафедра прикладной механики и инженерной графики, Забайкальский институт железнодорожного транспорта.

Approximation Estimates of class Lip a functions of successions {Ln} satisfying the condition U(m, {hn} , {fe}

Yu.G. Abakumov, O.S. Lyamina, M.B. Medegey

Abstract. The deviation estimates of operators’ value satisfying the conditions U(m, {hn} from the approximated function of the class LipM a, 0 < a ^ 1 are given. The cases m = 1, 2, 3 are considered in detail.

Keywords: Baskakov trigonometric operators, approximating successions, asymptotic estimate.

Abakumov Yury, candidate of physical and mathematical sciences, professor, department of computer science, computing technics and applied mathematics, Chita State University.

Lyamina Olga ([email protected]), senior teacher, department of computer science, computing technics and applied mathematics, Chita State University.

Medegey Marina ([email protected]), assistant, department of applied mechanics and engineering graphic, Zabaikal Railway Transport Institute.

Поступила 27.03.2010