АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА LIP α ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ {LN}, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИМИ УСЛОВИЮ U(M, {HN}, {KI}) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 6-14

= Математика =

УДК 517.51

Аппроксимационные оценки приближения функций класса Lip а последовательностями {Ln}, удовлетворяющими условию U(m, {hn} , {ki})

Ю.Г. Абакумов, О.С. Лямина, М.Б. Мэдэгэй

Аннотация. Даны оценки для уклонений операторов, удовлетворяющих условиям U(m, {hn} , {&*}), на классе функций LipM а, 0 <

< а ^ 1. Подробно рассмотрены случаи m = 1, 2, 3.

Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, аппроксимирующие последовательности, асимптотическая оценка.

1. Основные понятия

Символы С [а,Ь] и С2П употребляются в общепринятом смысле: С[а,Ь] — пространство непрерывных на отрезке [а,Ь] функций с нормой ||/У = шах4е[а>5] |/(Ь)\ ,С2П — пространство 2п-периодических непрерывных на оси (—то, то) функций с нормой ||/1| = шах_те<^<те \/(¿)|.

Определение 1. Говорят, что /(Ь) е С[а,Ь] (или /(Ь) е С2п) принадлежит классу Ырм а(0 < а ^ 1,М > 0), если УЬ1,Ь2 выполняется \/(¿1) — /(¿2)| ^ М |^1 — ¿21". Полагаем Ыр а = им>0 ъФм а.

В дальнейшем примем следующее соглашение: если рассматривается приближение функций пространства С2П, символ (Ь — х)п (п>0—целое) обозначает 2п-периодическую функцию равную (Ь — х)п при Ь е (х — п,х + п] (заметим, при нечетных п (Ь — х)п не является непрерывной, и, следовательно, пространству С2П не принадлежит), для а е (0,1] символ \Ь — х\а обозначает 2п-периодическую функцию, равную \Ь — х\а при Ь е (х — п,х + п]. В дальнейшем аналогичные соглашения принимаются без дополнительных оговорок.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность линейных операторов {Ьп} (Ьп : С[а,Ь] ^ С[а,Ь] или Ьп : С2п ^ С2п) удовлетворяют

условию и (т, {Нп} , {к} (т > 0 — целое, Нп [ 0, 1 <к\ <к2 < ... < кт-\ действительные), если при любых (фиксированных) х и п выполняется

sign (<Pn(t)) = sign[ (hi - (t - x)2) Л (к2hi - (t - x)2) ] ^ Ln (<pn, x) ^ 0.

i=1

В настоящее время примеры аппроксимирующих последовательностей {Ьп}, удовлетворяющих условиям и(т, {Нп} , {к} известны только для периодического случая Ьп : С2ж ^ Т, где Т—множество тригонометрических полиномов. Во всех известных примерах последовательности {Ьп} являются методами суммирования рядов Фурье (см. [1,2]).

Из известных примеров наиболее изученными являются тригонометрические операторы Баскакова. Это — совокупность аппроксимирующих

*-* Г л /г[т-](&1. . ,кт) 1 последовательностей < Мп } вида:

мmm,-,km)(f x) = 2т-1Пm=isin2 ^ r f(t + x)sin2 ndt

^ nn J-n sin2 2 ПГ=1 (cos t - cos 2ni)7

где m > 0 — целое, ki — целые, 0 <к1 <к2 < ... <km < П, •

Мы сохраним традиционно используемые обозначения параметров — m ki, несмотря на совпадение этих обозначений с фигурирующими в определении 2, где ki имеют другой смысл. Последовательности |мПт](кь"' km)

удовлетворяют условию U(m, {hn} , {%}), если положить hn = , qi = •

Вопрос об оценках приближения функций класса Lip 1 операторами удовлетворяющими условиям U(m, {hn} , {ki}) в настоящее время изучен в отдельных частных случаях (см. [3]).

Приведем результаты, которые будут в дальнейшем использованы. Далее обозначаем = sup^ |Ln ((t - x)i ,x) |.

Теорема 1. (О.Н. Шестакова [3]). Пусть {Ln} удовлетворяет условию U (1, {hn}), Ln(1, x) = 1, f (t) G LipM 1. Тогда

\\Ln(f,x) - f(x)|| ^ M(h-len] + в(п) + 2hn).

Заметим, при m = 1 множество {ki} — пустое, поэтому в обозначении условия U(1, {hn}) оно отсутствует.

Теорема 2. (Ю.Г. Абакумов [4]). Пусть {Ln} удовлетворяет условию U(2, {hn} , {k}), Ln(1,x) = 1, f (t) G LipM 1. Тогда

12

\\Ln(f,x) - f (x)ii < м (k(k -1) h-3pn4) + k(k + 1) к2^ +

+ k3 + 5k2 - 3k - 1 ie(2) + 3k2 + 3k + 2 в(1) + 2k2 + k - 2h ) = Ma

+ k(k2 - 1) hn Pn + k(k + 1) Pn + k - 1 hn) M n.

Теорема 3. (М.Б. Мэдэгэй [5]). Пусть {Ln} удовлетворяет условию U(3, {hn}, {ki,k2}), Ln(l, x) = 1, f (t) e LipM 1. Тогда

uLn(f (t,x)) -f Mil < ^k, k2«k‘ +m - + 1) h-5,3") +

+ 2(k 1 + k2 + k‘k2 - 1) h-4o(5) +

k‘ki(k‘ + 1)(k‘ + ki)(k22 - 1) n Pn

+ __________________________________P‘ (k ‘,kl)_h-3e(4) +

+ (k ‘ki(k2 - k 2)(k2 - 1)(k2 -1)) n Pn +

6k3k2 + 6k‘k3 + 10k2k2 + 2kf + 2k| - 2 ,-2e(3)

+ k‘k2(k, + k2)(k, + 1)(k2 - 1) n n +

+_____________________________________P2(k‘,k2)_h-‘e(2) +

+ (k‘k2(k2 - k2)(k2 - 1)(k2 -1)) n Pn +

+ _____________P3(k‘, k2)__________ e(‘) + _________P4(k‘, k2)________________h \ = ^

+ k‘k2 (k‘ + k2 )(k‘ + 1)(k2 -1)Pn + (k2 - k2)(k2 - 1)(k2 -1)hn) n

где

P‘(k‘,k2) = 4k‘k4 - 4kfk2 + 3k3k2 - 4k4 - 5k,k2 + 3k2k2 + 4k2 + k'fk2 -— k5k2 + k5 + k2k2 + k‘k5 + k5 — k, — 4k,k2 — k2 + k,k2,

P2(k‘,k2) = 8k3k4 + 4k3k3 - 4k,k4 - 7k5kf + 4k‘k2 + 5k2k5 - 4k2k4 -- 4k2k3 - 4k‘k5 - 4kk + 4kfk2 + 4k4k2 - kfk2 + k,kf - kfk! + kfk5 +

+ k5 + k5 - k3 - k3 - k2k2 - k,k2,

P3(k ,, k2) = 9k k + 5k 2k4 + 5k 3k2 + 9k 2k2 + 13k k + 5k k - k‘k2 - k,k2 +

+ 4kk + 4k4k2 + 12k3kf + 6k,k% + 2k4 - 2k2 - 2k,k2 + 2k4 - 2k2, P4(k‘, k2) = 2k^k^5 - 2k5 + 2k3 - 2k]k + 2k^k"^ + 4k3k3 - k,k4 - 4k,k^ -

- 2k‘k2 - 4k5k2 + 4^^ + 4k3k2 - 3k"^k2 + 3k4k2 + 3k2k4 - 3k4k2 - 3k,k2 -

- 2k4 + 2k 2 - 2k5 + 2k4 + 2kf - 2k2-

2. Приближение функций класса Lip a, a < 1. Оценки с использованием функций ex(t) и ex(t)

Определим множества G,n), G2n), G3n) С (-то, то). При определении этих множеств используется функция t2, в периодическом случае t2 понимается в согласии с принятыми ранее оговорками.

Обозначим Z(t) = sign {(h2n - t2) nfc=i‘(k2hn - t2)).

Положим

G,n) = {t : Z (t) = 1} , G2n) = {t : Z (t) = -1} , G= {t : Z (t) = 0} .

Определим, далее функции

р Í1, t £ С<Г> и с3”>, _ Í0,¡ £ G<“> и G<“>,

е(t)_\0,í £ С<Г>, e(Í)^-1,í £ С<Г>,

Для x £ [a,b] (x £ (-то, то) в периодическом случае) полагаем ex(t) _ _ e(t — x),ex(t) _ e(t — x).

Теорема 4. Пусть {Lr} удовлетворяет условию U(m, {hr}, {ki}) и, кроме того, значения операторов не зависят от поведения функций на множествах меры ноль, Lr(1,x) _ 1, тогда для f (t) £ LipM а выполняется оценка

\\Ln (f,x) — f (x)|| ^ M supx Lr (|t — x\a (ex (t) + ex(t)) ,x) . (1)

Доказательство. Так как f (t) £ LipM а, имеем ~ix

\f (t) — f (x)| < M ||t — x\a (ex (t) + ex(t))| . (2)

В силу условия теоремы, если функции р (t) и ф (t) удовлетворяют условиям: р (t) ^ 0, ф (t)| ^ р (t), то Ln (0(t),x) ^ Ln (p(t) (ex(t) + ex(t)), x).

Таким образом, из (2) следует, что

L (f,x) — f (x)| ^ MLn (|t — x^ (ex (t) + ex(t)) ,x). (3)

А из (3), очевидно, следует (1). Теорема доказана.

Оценку (1) возможно применить, если есть способ определения (точного или оценочного) величины supx Ln (|t — x^ (ex (t) + ex(t)), x).

Для последовательностей |м,Тт'](^1’"',km^ имеется (см. [6]) асимптотическая оценка этих величин.

Оценку интересующей нас величины дает правая часть приводимого ниже асимптотического равенства:

2m-1 Щ=1 sin2 ^ П ta sin2 f dt

nn J-n sin2 2 П1=1 |cos t — cos 2Ге\ _

m с ж ta-2 sin2 tdt

_2a+1n2m-1Y\ k2 t sin tdt a + o (n-a)

_2 П ü ki k — t2|n + >■

В частном случае m = 1 (вместо k1 обозначаем k) получим оценку для f £ LipM а

мП]{к) (f, x) — f (x) < MA°1](k)n-a + o (n-a) , где

A[1](k) _ 21+ak2n Г ta-2 sin2 tdt

A° _2 knJ0 |k2П2 — t21 ■

Вычисления на МаШСаё дают, например, такие результаты при а = 2: Д01](1) и 1, 57038, Д01](2) и 1, 69016 (см. [7]).

Использование графических средств МаЛСаЛ показывает, что А01](1) и Д01](2), как функции от а, возрастающие и выпуклые вниз.

3. Оценки, использующие величины вП, Ьп, \\Ьп

3.1. Достоинства и недостатки оценки (1). Оценка (1), будучи примененной к конкретной аппроксимирующей последовательности, становится весьма эффективной, что мы видели на рассмотренном выше примере.

Однако сама по себе оценка (1) в общем виде практически никакой информации не дает.

В связи с этим возникает задача получения оценок, дающих информацию о порядке приближения функций классов Ырм а последовательностями, удовлетворяющими условиям и(т, {Кп} , {кг}), с использованием характери-(г)

стик операторов: вп , Кп, ||Ьп||. При этом понятно, что будучи применимой к любым (в том числе и «плохо» приближающим) последовательностям, эти оценки в конкретных случаях могут оказаться слабее оценок, полученных на основе (1) (см., например, [7]).

3.2. Случай т = 1. Последовательность {Ьп} в этом случае удовлетворяет условию и(1, {Кп}). В согласии с принятыми обозначениями, в этом случае

Обозначим т (¿) = — х\а ех (¿) — Ь!аех{Ь).

Очевидно, что при достаточно больших Мп при \Ь — х\ > Нп выполняется

Получим Мп = О, Ь-О, 2. А так как при \Ь — х\ ^ Кп имеет место т(¿) ^ ^ Мп (Кп — (£ — х)2), получим (учитывая (4))

Теорема 5. Пусть {Ьп} удовлетворяет условию и(1, {Нп}),Нп { 0, Ьп(1,х) = 1, значения Ьп не зависят от поведения функции на множестве меры ноль. Тогда для / £ Ь1рм а, 0 < а < 1 выполняется оценка

(4)

Наилучшее значение для Мп подбирается из условия:

Мп {р,,п {Ъ х) ) \г~х=н„ = т (Ъ)\г-х=ь,п■

Ьп(тад,х) ^ 2КЬп(1,х) + 2К 2в(2).

5

Ьп(/,х) — /(х)|| < М К (2 1Ьп11 + 2) + 2ка-2в(2))

(6)

Доказательство. Применяя теорему 4, получим

\\ьп(/,х) — / (х)\| ^ М (8Ирж Ьп (^ - х\а ех(Ь),х) +8ИРЖ ьп (т (Ь),х) +

+ 8ИРЖ Ьп (Н^ех(г),х))).

Очевидно Ьп (^ — х\а ex(í),x) ^ Ка \\Ьп\\ ,Ьп (ëx(í),x) ^ ||Ьп||. Отсюда и из (5) получаем (6). Теорема доказана.

Следствие. Если, в условиях теоремы 5, вп2 = о(Кп), то для / є є Ьірм а

\\Ьп(/,х) — /(х)|| < мьа (2 \\Ьп\\ + 2) + о(Нап). (7)

3.3. Случай т = 2. В этом случае последовательность удовлетворяет условию и(2,Ьп,к),к > 1 Обозначим

—1, Кп < ^ — х\ < кКп

е(2)(Л = )

0, \і — х\ >

п

п,

■ ■ ■ II ___ /гч > V' г і

п,

0, ^ — х\ ^ кК

.... ґ 0 I ^ — х <

е(3) (¡) =

>(3) (Л = /0’ ^ — х\ <кКп’

1, ^ — х\ ^ кКп,

По теореме (4), если Ьп(1,х) = 1, /(Ь) £ Ь1рм а, то

||Ln(/, х) — /(х)|| < М ЭИРх Ьп (\Ь — х\а (е(1)(Ь) + е(2)(Ь) + е(3)(Ь)) , х) ■ (8)

Так как при любых п, х, Ь выполняется неравенство

\Ь — х\а е(1)(Ь)+ е(2)(Ь) имеем оценку

Ьп (\Ь — х\а (^е(1)(Ь) + е(2)(Ь^ , х) ^ каН<а ||Ьп| ■ (9)

Для получения оценки величины Ьп ^\Ь — х\а е(3)(Ь), х^ определим функцию т (Ь) = \Ь — х\а е(3)(Ь) — канае{х)(г).

Функция т(Ь) непрерывна, кроме того, т(Ь) £ Ь1р^п 1, где /лп = ака-1Ка-1. Используя теорему 2, получим

Ьп (т(Ь), х) ^ ака-1Кхп-1ап, (10)

где ап определено в формулировке теоремы 2.

Таким образом, на основе оценок ( 8), ( 9), ( 10) получаем следующий результат.

Теорема 6. Пусть {Ьп} удовлетворяет условию и(2,Ьп,к), Ьп [ 0, Ьп(1, х) = 1, значения Ьп не зависят от поведения функций на множестве меры ноль. Тогда для /(Ь) £ Ырм а, 0 < а < 1 выполняется оценка

ЦЬп(/, х) — /(х)|| ^ М (ака-1Нса-1ап + 2 ЦЬпЦ каЬс0) . (11)

Следствие. Если в условиях теоремы 6, /3%^ = о(ЬЩ), * = 1, 2, 3, 4, то для / £ Ъ1р^ а

а-1 2к2 + к — 2 к - 1

\\Ьп(/, х) — /(х)|| < МЬаА ака-1^----------------------+2 \\Ьп\\ ка) + о(Ка).

3.4. Случай т =3.. Последовательность {Ьп} удовлетворяет условию и(3, {Ьп} , {к1, к2}), 1 < к1 < к2.

При фиксированном х обозначим Б = [х — Ьп, х + Ьп], Б = (х —

— кфп, х — Ьп) и (х + Ьп, х + кфп), Бз = [х — к2Ьп, х — кфп] и [х +

+ кфп, х + к2Ьп], Б = ( — ТО, —к2Ьп) и (к2Ьп, то).

Далее, обозначим

еЧ (Ь) = I1, Ь £ Въ е{2) (Ь) = { — 1 Ь £ °2,

ех \0,Ь £ Б1, ех {Ч \0, Ь £ Б2,

е(3) (Ь) = I1, Ь £ Бз, е(4) (Ь) = ( — 1 Ь £ °4,

ех (ь) \0, Ь £ Б3, ех (Ь) \0, Ь £ Б4,

Если Ьп(1, х) = 1, то для /(і) є Ьірм а имеем

4

\\Ьп(/’ х) — /(х)|| < М ЙИРх Ьп — хГХ1 е(х(і)’ у . (12)

Далее,

— хГУ,е«(і)’х) < к2ьп \\Ьп\\. (13)

Ьп (іі — х\а ^ е(\і), х^ ^ к’аь<а \\Ьп\\.

Обозначим т(і) = \і — х\а еХЯ(і) — ка Ь^еХ4^ (і).

Функция т(і) непрерывна и принадлежит классу Ьір7п 1, где 7п = = ака-1Ьа-1. Применяя теорему ( 3), получим

Ьп(т(і), х) ^ ака^Ь^дп, (14)

где дп определено в формулировке теоремы 3. На основе оценок (12), (13), (14) получим следующий результат.

Теорема 7. Пусть {Ьп} удовлетворяет условию и(3, {Ьп} , {кі, к2}), Ьп I 0, Ьп(1, х) = 1, значения Ьп не зависят от поведения функций на множестве меры ноль. Тогда для /(і) Є Ьірм 1, 0 < а < 1 выполняется оценка

\\Ьп(/, х) — /(х)|| < М {ака-1К-1дп + 2 \\Ьп\\ каю .

Следствие. Если в условиях теоремы 7, вП = 0(hn)> i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, то для f (t) е LipM а

\\Ln(f, х) - f (х)\| <

< mk (аг1 k _ kPk -1)+2 им )

где

P(ki, k2) = 2k 2kf - 2kf + 2kf - 2kfkf + 2kfk4 + 4fk| - kk -— 4k ikf - 2k fk| - 4k fk2 + 4k fk| + 4k fk2 - 3k fk2 + 3kfk2 + 3k fkf -- 3k 4k2 - 3k ik2 - 2k4 + 2k2 - 2k f + 2k 4 + 2k f - 2k 2-

Список литературы

1. Абакумов Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова. Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.

2. Ершова Е.М. Операторы классов S^m и их аппроксимативные свойства: авто-реф. дисс. .. .канд. физ.-мат. наук. М., 2002. 13 с.

3. Малета Г.В., Мэдэгэй М.Б., Шестакова О.Н. Метод интерполяции получения некоторых аппроксимационных констант // Математический анализ и его приложения. Чита: ЗабГГПУ, 2008. Вып.8. C. 35-41.

4. Абакумов Ю.Г. Об операторах класса S2m с симметрично расположенными узлами // Математический анализ и его приложения. Чита: ЗабГПУ, 2002. Вып.5. С. 8-10.

5. Мэдэгэй М.Б. Приближение функций класса Lip 1 операторами, удовлетворяющими некоторым условиям // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2008. C. 37-42.

6. Коган Е.С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов LipM а: авто-реф. дисс. .. .канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005. 16 с.

7. Лямина О.С. Приближение функций класса Lip а последовательностями {Ln}, удовлетворяющими условию U(1, {hn}) // Аспирант. Чита: ЧитГУ, 2009. Вып.1. C. 67-71.

Абакумов Юрий Георгеевич, к.ф.-м.н., профессор, кафедра информатики, вычислительной техники и прикладной математики, Читинский государственный университет.

Лямина Ольга Сергеевна (lyamina-os@mail.ru), старший преподаватель, кафедра информатики, вычислительной техники и прикладной математики, Читинский государственный университет.

Мэдэгэй Марина Батоевна (medegey@mail.ru), ассистент, кафедра прикладной механики и инженерной графики, Забайкальский институт железнодорожного транспорта.

Approximation Estimates of class Lip a functions of successions {Ln} satisfying the condition U(m, {hn} , {fe}

Yu.G. Abakumov, O.S. Lyamina, M.B. Medegey

Abstract. The deviation estimates of operators’ value satisfying the conditions U(m, {hn} from the approximated function of the class LipM a, 0 < a ^ 1 are given. The cases m = 1, 2, 3 are considered in detail.

Keywords: Baskakov trigonometric operators, approximating successions, asymptotic estimate.

Abakumov Yury, candidate of physical and mathematical sciences, professor, department of computer science, computing technics and applied mathematics, Chita State University.

Lyamina Olga (lyamina-os@mail.ru), senior teacher, department of computer science, computing technics and applied mathematics, Chita State University.

Medegey Marina (medegey@mail.ru), assistant, department of applied mechanics and engineering graphic, Zabaikal Railway Transport Institute.

Поступила 27.03.2010