Об одной экстремальной задаче теории приближения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2012. № 3/1(94)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.51

ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ

ПРИБЛИЖЕНИЯ

© 2012 Ю.Г.Абакумов, М.А. Верхотурова, Е.С.Коган1

В данной статье рассматривается задача нахождения точных констант д[т](к1,...,кт) методами суммирования рядов Фурье. Также излагаются ряд

л [т](&1 ,...,кт)

результатов, относящихся к константам Ан , существование пара-

метров Г з .

Ключевые слова: методы суммирования рядов Фурье, тригонометрические операторы Баскакова, точные константы.

Введение

Пусть имеется последовательность операторов {Ln}, Ln : С2П ^ Tp(n), где Tp(n) — множество тригонометрических полиномов порядка p(n) = O(n).

Говорят, что f (t) € С2П принадлежит множеству (классу) LipM 1, где M > 0 действительное число, если Vti,t2 выполнено \f (ti) — f (t2)| ^ M \ti — t21. Обозначают также Lipl = |J LipM 1.

M>0

Предполагаем, что последовательность {Ln} приближает класс Lipl с наилучшим порядком, то есть

f(t) € Lipl ^ \\Ln(f,x) — f(x)\\ = O (i) , (1)

где \\...\\ — чебышевская норма.

Если для последовательности Л = {Ln} существует предел AH =

= lim n sup \\Ln(f,x) — f(x)\\, то константу AH будем называть наилучшей f ebipii

(или точной) константой в оценке приближения операторами Ln функций класса Lipl.

Если указанный выше предел существует, то для f (t) € LipM 1 выполняется оценка

\\Ln(f, x) — f (x)\\ < M.aH) ■ n-1 + o(n-1). (2)

При этом в определенном смысле константу A^ улучшить нельзя.

1 Абакумов Юрий Георгиевич ([email protected]), Верхотурова Мария Алексеевна ([email protected]), Коган Евгения Семеновна ([email protected]), кафедра информатики, вычислительной техники и прикладной математики Читинского государственного университета, 672039, Российская Федерация, г. Чита, ул. Александрово-Заводская, 30.

Для любой конкретной последовательности Л = {Ln}, удовлетворяющей (1), естественно поставить задачу нахождения аналитического выражения констан-А (Л) -О

ты AH . В предлагаемой статье эта задача рассматривается для совокупности ап-

» ,,r\m](k1,...,km) í fTix

проксимирующих последовательностей Mn , которые (см., например [1])

называют тригонометрическими операторами Баскакова. Операторы мПп^(к1'...'кп\/,х) имеют вид

2П-1 П sin2 ^ п 2

[m](klt...,km) ,f s _ j = i n r f (t+x) sin2 nt dt

МГ(К1'~'Кт> (f,x) =-^- /

—n sin2 2 П (cos t—cos - n

cos t—cos

' j = 1 "

где m,kj — целые положительные параметры 0 < ki < k2 < ... < km < П,.

Операторы Баскакова являются методами суммирования рядов Фурье, то есть представляются в виде

MtKk1 '-'km) (f,x)_ f f f (t + x)(2 + n——t—1 \m}{kl'-'km) cos¿Л dt,

— f \ i=1 J

, ,,, , , m П ^— 1 . i2kj n

где \[ml(kl '■■■'km) _ 1 _ 1 + 1 ¡ = 1,з' = Л_7

Лг,п — 1 n "Г" n ¿^

п п - „

3 = 1 П --

1 = 1,3 = 1'- у

В дальнейшем в этой статье рассматривается задача нахождения точных констант в оценке приближения функций класса Ырм 1 операторами Баскакова. Константы будем обозначать АН^1ук1,'",кт). Исходным пунктом в изложении материала является следующий результат [1; 2]: если уравнение

т г 2

0[т](к1,...,кт)(г) = 2 ,С1тКк1,...,кт)(г)= П2т-1 П к2!

0 г-

3 = 1

j = 1 0 t2 Ц (n2k2—t2)

имеет m корней rj, j = 1,.. . при этом 0 < ri < kin < r^ < k^n < ... < rm <

< kmn,TO

m o

m( t t dt

■ - , m( ^ ч

j = 1 0 t П (n2kk—t2) U=1

ri-JJN moo 2 , f m \

AmKkl-"km) = 4n2m—XW k2 J Z(t)sm t dt ,m(t) = Sign [ П (rj - t) .

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы доказать наличие т корней уравнения

Ст^,...,^)^) = 2, ■ (3)

В настоящее время задача решена для т = 1, 2, 3 при произвольных значениях кз, а также для некоторых частных случаев т = 4, 5.

В этой статье излагается ряд результатов, относящихся к константам

л\т](к1,...,кт) г -1

АН : существование параметров {гз}.

Часть результатов опубликована, однако публикации эти, как правило, представлены стаьями в малодоступных сборниках или материалах конференций.

Изложение большей частью замкнуто, все факты сопровождаются доказательствами.

1. Некоторые свойства функции G[m](kl,...,km)(r)

Предложение 1. При любых допустимых значениях параметров ш, kj выполняется

Дт G[m\(k1,..,km){r) = l¿. (4)

Доказательство.

Известно [1; 3], что M^^1 '"''km\l,x) = 1. В силу того, что равенство выполняется и при x = 0, а ядро операторов Баскакова — четная функция, имеем

2m П sin2 п .2 nt dt

j = i r sin dt i

nn j . 2 t m í + 2nkj \ .

0 sin2 2, Ц \cost-cos--

j=1

Произведя преобразования, получим

2mn sin2 п .2 nt ^

0 sin2 2 П ( cost-cos-j

j = iV n '

m -2 kjn

П sin -n f —-f

nn J

0 sin22¡ n (sin{Ч1-1)sin{Ч1+1)

2 П

sin

2 j

2 ■ 2

.... I . 2 Т т / ("П Т%: . / кз„т \\ = 2С[т](к1,...,кт ) ( 1г) + °(1)

0 Згп2 -П--2) ят( + Т2) )

Отсюда 0[т](к1,..,кт) (^п) = 2 + °(1). Следовательно, выполняется (4). Предложение доказано.

Предложение 2. Функция 0[т](к1 ,..,кт)(г) имеет т экстремумов. Экстремумы достигаются в точках множества М = {пкз при этом в точках множества

[ т+11_!

|пк2^+1 }^=0 — максимум, в осиальных точках множества М — минимум.

Доказательство.

Имеем

т 2

а{т](к1,...,кт)(т) = п2^1 п к2 2 т2)•

3 = 1 г2 П (п2к 2_Г2)

П1

Эта функция положительна вблизи нуля и меняет знак в точках множества М. Отсюда, очевидно, следует утверждение, составляющее предложение 2. Предложение доказано.

Следствие 1. При т =1 уравнение (3) имеет единственный корень Г1, при этом 0 < Г1 < пк1.

Теорема 1. При любых целых кз= 1, 2,... ,т,т +1, удовлетворяющих условию 0 < к1 < ... < кт < кт+1, выполняется неравенство

С[т](к1,...,кт)(к1п) <С[т]{к1 ,...,кт,кт+1 )(к1п) • (5)

sin2 n dt

2

Доказательство.

Для любого r имеем

G{m]{ki,...,km)(r) = П2т—1П Ц)

2_—1т~1 k2 í sin2t dt __Г sin2t dt

3=1 3 0 t2 п (п2к2-t2) 0 t2 n (i- Jk?

2 = 1 2=1\ 2

Имеем, далее,

kin 2

G[m](ki,... ,km ,km+i)(k1 п)_ n-1 f п }'П t \ • . ^ t'2 dt.

0 t2 П 1-zk2 1 kl + i^2

, . ,.2k2 km+ln

2 = 1 \ ЗУ

Так как при t G (0,k1n],[ 1 — —2 ) > 1, то выполняется (5).

V km+1n )

Теорема доказана.

Следствие 2. При m _ 2 уравнение (3) имет два корня Г1, Г2, при этом 0 < < Г1 < k1n, k1n < Г2 < k2п. Доказательство.

Существование корня Г1 следует из того, что G[2](k1 kk2)(k1n) > G[1](k1)(k1 п) > 2. Далее G[2](k1,k2)(r) на [k1n,k2n] убывает, при этом G[2](k1¡k2)(k2n) < 2. Последнее неравенство следует из того, что G[2](k1kk2)(r) на [k1n, ж), возрастая, стремится к 1. Следствие таким образом доказано.

Теорема 2. При m ^ 2 и целых kj, j _ 1, 2,... ,m,m +1, удовлетворяющих условию 0 < k1 < ... < km,km+1, выполняется неравенство

G[m](k1,...,km) (k2n) > G[m](k1,..,km,km+1)(k2n). (6)

Доказательство.

Рассмотрим разность

_ к2П

_ r sin21 dt

G[_](ku...,km)(k2n) — G[_](k1,..,km,km+1)(k2п)_ —п2_-1\\ kj _+1-.

j = 1 0 П j — t2)

j=1

Обозначим

r

I[_](k1,..,kn,ki+1)(r) _ —п2_-1 П j í _+ГН dt ■ (7)

j=1 0 п 3—t2)

j=1

Доказываемая теорема эквивалентна тому, что

I[_](k1,...,km,km+1)(k2n) > (8)

Заметим, что функция I[_](k1,..,km+1)(r) определена формулой (7) и при m _ 1. Докажем сначала, что lim I[_](k1,..,km+1)(r) _° (в том числе и при m _ 1).

Действительно, I[_](k1,..,km,km+1)(r) _ G[_](k1,...,kn)(r) — G[_](k1,..,km,km+1)(r).

При r ^ ж и уменьшаемое, и вычитаемое стремятся к 2. Это доказывает, что их разность стремится к нулю.

Пусть m _ 1, тогда I[1](k1,k2)(r) на r G [k2n, ж), убывая, стремится к нулю. Следовательно, I[^(k1,k2)(k2n) > 0. Докажем (8) индукцией по m.

Предположим, что при некотором m> 1 (8) доказано для m — 1. Это означает,

k2n 2 kin 2 k2n 2

что выполняется f т sin t dt < 0. Тогда ( т sin t dt < - Г msin t dt .

0 П (k2n2 — t2) 0 П (k2n2 — t2) kin П (k2n2 — t2)

... ... in

2 = i 2=i 2=i

Покажем,что отсюда следует

к\п

втН ¿г

¿=1

По теореме о среднем имеем

к2П

I т+1

0 п {Щп2 - г2)

< -

вгп2г ¿г

т+1

& П (Щп2 -

¿=1

(9)

к\п

г2г ¿г

1

к\п

%2г ¿г

т+1 Л

П (к2п2 - г2) т+1 ¿=1

к1+!п2 - £2

П (к2п2 - г2) ¿=1 и

к2П

%2г ¿г

к2П

%2г ¿г

I т+1

к1П П ¿=1

к2 п2 £2 т ^ ,

(к2п2 - г2) кт+1п £2 ¿п П (к2п2 - г2)

¿=1

где £1 € (0,к1п), £2 € (к1п,к2п). Из того, что (кт+1п2 - £2) < (кт+1п2 - £|) , получаем (9). А из (9) следует, что из выполнения (8) для т - 1 вытекает выполнение неравенства (8) и для т. Теорема доказана.

Следствие 3. При т = 3 уравнение (3) имеет три корня Г1, Г2, гз, при этом 0 < Г1, к1п < Г2 < к2п < гз < кзп. Доказательство.

По теореме 1 получаем, что ^[з](к!,к2,к3)(к1п) > 1, а по теореме 2, что с[з](к1,к2,кз)(к2п) < 2. Далее, на [кзп) Ощ^^^м)^), убывая, стремится к 1. Отсюда С[3](к1,к2,кз)(к3п) > 2. Следствие доказано.

Теоремы 1 и 2 получены Е.Ю. Карымовой (см., например [4]). Таким образом

л [т](к1,...,кт)

правомерность аналитического выражения для Лн доказана при т =

= 1, 2, 3.

1

2. Некоторые частные случаи при т = 4, 5

Как уже было отмечено, при т > 3 доказать существование корней г^, ] = = 1,..., т уравнения (3) не удалось. Задача решена лишь для некоторых частных случаев.

Рассмотрим сначала случаи, относящиеся к т = 4.

Предложение 3. Если О[4](к1,...1к4)(кзп) > ^, то уравнение (3) имеет четыре

корня {г}4=1, 0 < Г1 < к1п, кзп < г^+1 < к^+1п, ] = 1, 2, 3. Доказательство.

Очевидно, что уравнение (3) имеет четыре корня, указанных в формулеровке

предложения если О[4](к1,...,к4)(к1п) > 2, О[4](к1,...,к4)(к2п) < 2, О[4](к1,...,к4)(кзп) > > 2, О[4](к1,...,к4) (к4п) < 2.

Выполнение первых двух неравенств гарантируется теоремами 1 и 2. Выполнение третьего неравенства предполагается по условию. Четвертое неравенство следует из того, что О[4](к1,...,к4)(г) при г € [к4п, то), возрастая, стремится к 2. Предложение доказано.

Известно (см. следствие 3), что О[з](к1,к2,к3)(кзп) > 2". Есть предположение (которое в общем виде пока не доказано), что О^^,...,^)(кзп) > О[з](к1,к2,к3)(кзп).

Последнее неравенство эквивалентно тому, что

кзп _ 2

/sin2t dt

-- > 0. (10)

о П (k|n2 - t2)

j=i

В известных конкретных случаях неравенство (10) подтверждается вычислениями, полученными с помощью программы MathCad. Но такие вычисления не имеют доказательной силы, тем более, что левая часть (10) имеет порядок 10_9 — - 10-10.

Пусть (k) = (^1,^2,^3,^4). Начнем с рассмотрения случая (k) = (1,2,3,4).

Зп . 2

Тогда левая часть неравенства примет вид: / (п2 _<2 )(4п2 _31.Ц(9п'?_t2 )(16п2_t2) =

Зп

= / F(t) dt. о

Зп п 2п Зп

Представим / F(t) dt = / F(t) dt + / F(t) dt + / F(t) dt = /1 + /2 + /3, имеем о о п 2п

Зп 2

I1 = J 4 sin t dt—. Во втором интеграле делаем замену т = t — п (в записи пере-

о П (j2п2_t2)

3 = 1

Зп 2

ходим вновь к обозначению t вместо т): I2 = — 0 Кп_тп2^2Х9п2г-{2)(4п^)(5п+^ . В I3 сделаем замену т = t — 2п и перейдем к обозначению t вместо т: I3 =

sin2t dt

I

о ^п2_^)(2п_^(3п2 +t)(4п+t)(5п+t)(6п+t) ' -■-г т , т , т п зт2(3^ + 9п^6п2) dt

Произведя сложение, получим I1 + 12 + I3 = J ----.

0 П (¿2п2_^)(5п+^(6п+^ =1

Так как подынтегральная функция положительна на (0, п), выполняется нера-

Зп

венство I1 +12 +13 = f F(t) dt > 0. Рассмотрение случая (k) = (1, 2, 3, 4) закончено. о

Случай (k) = (1,3,4, 5) будем исследовать по схожей схеме с незначительными дополнениями. Аналогично предыдущему случаю приходим к выводу, что за-

Зп . 2

дача сводится к доказательству неравенства / -sin5 t dt- > 0. Обозначим

о (п2^2) П (з2п2_,2)

3=3

и в этом случае подынтегральную функцию F(t). Но на этот раз промежуток

Зп п

интегрирования разбиваем не на три, а на четыре части J F(t) dt = f F(t) dt +

оо

2п Зп Зп

+ / F(t) dt + / F(t) dt + / F(t) dt = I1 + I2 + I3 + I4. Делаем замены: во втором

п 2п 3п

интеграле т = t — п, в третьем т = t — 2п, в четвертом т = t — 3п. Результаты записываем, переходя к обозначению t для переменной вместо т: п 2 п 2

т _ Г _sin t dt_ т _ _ Г _sin t dt_

I1 —J 5 ,I2~ J t(3п_t)(4п2_t2)(16п2_t2)(5п+t)(6п+t) ,

0 (п2_t2) П (32п2_t2) 0

I3 = —

о

п

I4 = З

I3 _ 0 (п2_^)(2п_^(9п2_^)(5п+^(6п+^(7п+^ ,

0 ^п_^(4п2_^)(4п+^(6п+^(7п+^(8п+^ '

sin2t dt

sin2t dt

П 2 4

Складывая, получим 11+12 +13+14 = / оПг)% %, где Я(^) = г(п2 — г2) П (?2п2 —

0 Ч( ) 3=2

8

— Ь2) П О — г), Р(г) = 60п6 + 402гп5 + 530г2п4 + 156г3п3 — 64г4п2 — 36г5п — 4Ь6.

3=6

Очевидно, что при г € (0, п) знаменатель Q(t) > 0. Можно убедиться, что и Р(г) > 0 при г € [0, п]. В самом деле, положим г = пт, тогда т € [0,1].

Получаем Р(г) = Р(пт) = п6(60 + 402т + 503т2 + 156т3 — 64т4 — 36т5 — 4т6) > 0. Последнее неравенство следует из того, что при т € [0,1] выполняется неравенство 402т + 530т2 + 156т3 > 64т4 + 36т5 + 4т6. Рассмотрение случая (к) = (1, 3,4, 5) закончено.

После рассмотрения исследованных выше частных случаев может возникнуть предположение, что после приведения интеграла в левой части неравенства (10) к промежутку [0, п] мы всегда будем получать неотрицательное подынтегральное выражение. Однако в случае (к) = (1, 2, 4, 5) это предположение не находит подтверждения.

4п ^ 2

В этом случае получается равенство / ^2-г2)^4п2 ^2)^2-г2) =

5

= /, где т = г(п — г), д(г) = (п+г)П(?2п2 — г2) ПС?2п2 — г2), Р(г) = —

0 3=2 3=6

—4г6 — 36г5п — 44г4п2 + 276г3п3 + шт2п4 — 1272гп5 — 640п6. Так как Р(0) = —640п6, Р(п) = 1824п&, то Р(г) меняет знак на [0, п]. Следовательно, меняет знак и все подынтегральное выражение.

П 2

Докажем, что 0 н(7)д(г)— > 0. Доказательство основывается на ряде оценок,

легко проверяемых или очевидных. Функция Р(г) возрастает на [0, п] и имеет корень в точке г = то, 1,19 < то < 1,195. Далее

IР(г) ¿г

-= ¿о « 3, 9. (11)

— / Р (г) ¿г

0

Функция к1(г) = ¿(ПП-ь) симметрична относительно середины отрезка [0, п] и выпукла вверх. Из этого следует, что

4 н1(г)Р(г) ¿г

> бо■ (12)

— I н1(г)Р(г) ¿г

о

Функция (д(г)) 1 на [0, п] положительная и убывающая, при этом (д(о!))~1 = т о гт! /цх /1п\ п Р(г)вгп2г ¿г ^ п Р(г)вгп2г ¿г ^ г Р(г)вгп2г ¿г ^

= ^ 8. Тогда в силу (Щ (12) имеем ] \(г)д(г) ^ > — ] \(гЫо) >

То Т0 о

г Р(г)згг2г ¿г ^ г Р(г)зъг2г ¿г ^ г. гт^ г-

> — о к(ШГ)—. Отсюда о ыЩТ)— > 0. Таким образом рассмотрение случая

(к) = (1, 2,4, 5) закончено.

Кратко рассмотрим случаи (к) = (2,3,4,5), (к) = (1,2,3,6). В случае (к) = (2,3,4,5) вопрос сводится к определнию знака интеграла I =

п (480пв_120tп5 + 248t2п4+84t3п3_76t4п2_36t5п_4tв)sin2t dt г P(t)sin2t dt ^ п/,ч

= J '-5-5--- = J -^Щ)-. ФункЦия Р(t)

0 t П (з2п2_2)П (¿п_^ 0

3 = 1 3 =6

положительна на [0, п] ( min Р(t) « 4,483 • 105). Отсюда можно сделать вывод,

te[о,п]

который закрывает вопрос в данном случае, что I > 0.

В случае (k) = (1,2,3,6) исследование оказывается более сложным. Вопрос

Зп 2

сводится к определению знака интеграла I = / ((t^^)—, где h(t) = t^—t), g(t) =

6

= (п+t) П и2п2 — t2)(7п+t)(8п +t), Р(t) = 7t7+21^п — 135t5п2 —885t4п3 — 1432t3п4 +

j=2

+ 8004tV5 + 3680п — 2160п7. Р(t) возрастает и меняет знак в точке т0 G (0, 9; 1,1).

í P(t) dt

При этом выполняется неравенство -г > 60. Заметим, что правая часть

I í P(t) dtI

о

max (g(t))-1

Bé£[0,tO] -i гтг

^ свою очередь -( (t))-1 ~ 1, 75.

tmaaUg( ))

Отсюда нетрудно получить, что I > 0. Следовательно, и в этом случае уравнение (3) имеет четыре корня, удовлетворяющих оговоренному во введении условию.

Перейдем к рассмотрению случая m = 5, (k) = (1, 2, 3, 4, 5). Обозначим F(t) =

= _—sin t-. Аналогично предыдущему (детали опустим) приходим к выводу,

П (з2п2_^) =1

что уравнение (3) в рассматриваемом случае имеет пять корней, удовлетворяющих

3Зп

условию 0 < Г1 < п < Г2 < 2п < гз < 3п < Г4 < 4п < Г5 < 5п, если J F(t) dt > 0,

0

4Зп

f F(t) dt < 0.

0

Применяя уже рассмотренные выше приемы, получаем

3Зп Зп

/ F(t) dt = / sin2t I --1---4-1-+

о о \ П (j2п2 — t2) t^_t) и (j2п2_t2)(5п+t)(6п+t)

+-1-7- I dt.

^2п_^(п2_^)(9п2_^) Ц (¿п+t)

=4

3Зп З 3 2 2 3

Произведя сложение, получим / F(t) dt = / sin21 53t +9t п+11tп +5п-dt > 0.

0 0 t П (j2п2 — t2 )(6п+t)(7п+t)

3 = 1

4п Зп п

Убедимся теперь, что / Г (г) ¿г < 0. Пусть / Г (г) ¿г = / sin2гQ(г) ¿г, тогда

О 0 0

4п п / \

/ Г (г) ¿г = / &т?г I Q(г)--1-§- I . После преобразования имеем

0 0 у t(п2-t2)(4п2-t2) П (¿п+Ь) у

4п п

/ Г (г) ¿г = / зт2г 4ь4+245ь3п+94ь2 ^т^3-^4 ¿г. обозначим б (г) = , Р (г) =

о о ь П (¿2п2-ь2) п (¿п+ь) (п )

3 п1 3 = 6

5 8

= 4t4 + 24t3n + 94t2n2174tn3 - 140пА, g(t) = (п + t) П (j2n2 - t2) П (jn + t). Тогда

j=2 j=6

1F(t) dt = f&jgp dt.

о о w

An

То, что f F(t) dt < 0, получается из следующих легко проверяемых фактов:

о

1) P(t) возрастаент на [0,п] и имеет на этом отрезке единственный корень то,

П

при этом 0, 587п < т0 < 0, 588п, кроме того / P(t) dt = -4549,493 < 0; 2) S(t) сим-

о

метрична относительно t = П и положительна на (0, п); 3)любое значение функции gjjj на [то,п] меньше любого значения этой функции на [0,то).

Таким образом завершено рассмотрение случая m = 5, (k) = (1, 2, 3,4, 5).

Литература

[1] Абакумов Ю.Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова. Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.

[2] Коган Е.С. Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов LipMа: автореф. дис. ... канд. физ-мат. наук. Красноярск, 2004. 15 с.

[3] Баскаков В.А. Об операторах класса S2m, построенных на ядрах Фейера // Приближение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2001. С. 5-11.

[4] Карымова Е.Ю. О динамике изменения первых двух экстремумов функциональных характеристик явления Гиббса // Кулагинские чтения: материалы седьмой Всерос. науч.-практ. конф. Чита: ЧитГУ, 2007. С. 167-170.

[5] Абакумов Ю.Г., Карымова Е.Ю., Коган Е.С. Об одной точной константе // Применение функциоанльного анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2008. С. 14-17.

[6] Верхотурова М.А. О точных константах вида

Amkuk2,k3M // Энергетика в современном мире: Чита: ЧитГУ, 2009. Ч. 2. С. 168-170.

Поступила в редакцию 1/XI/2011;

в окончательном варианте — 1/XI/2011.

ABOUT ONE PROBLEM OF THE APPROXIMATION

THEORY

© 2012 Yu.G. Abakumov, M.A. Verhoturova, E.S.Kogan2

In the given article the solution of the problem of finding of accurate constants by methods of summation of Fourier series is considered. The number of results belonging to the constants , the existence of parameters are also set forth. Key words: methods of summation of Fourier series, trigonometric Bas-cakov operators, accurate constants.

Paper received 1/XI/2011.

Paper accepted 1/XI/2011.

2 Abakumov Yuriy Georgievich (abakumovugayandex.ru), Verhoturova Maria Alekseevna

(verhoturovaayandex.ru), Kogan Evgeniya Semenovna ([email protected]), the Dept. of Informatics, Computing Technics and Applied Mathematics, Chita State University, Chita, 672039,

Russian Federation.