CC BY
22
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
УДК 517.51 Т.Ю. Шерстюк T. Sherstuk
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Ф(р), ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ БАСКАКОВА
SOME PROPERTIES OF FUNCTIONS Ф(р), WHICH CHARACTERIZE APPROXIMATE PROPERTIES OF BASKAKOV'S OPERATORS
Рассматриваются некоторые свойства функ- In the article some properties of functions,
ций Ф(р) (p>0, i>1), характеризующих аппрок- Ф(р) (p>0, i>1), are described. They character-
симативные свойства последовательностей опера- ize approximate properties of consistencies of opera-
торов M„[m№l’ k*'" km) (f(t),x) (операторы Баска- tors M[m](kukl' km\f (t),x) (Baskakov's opera-
кова) tors)
Ключевые слова: аппроксимативные свойства Key words: approximate properties
В работах [1, 2] В.А. Баскаков пред- щую последовательность операторов: ложил следующую аппроксимирую-
sin'
M
[т ](ki, ¿2>" кт ) n
( f (t), x) = -
i=1
пк
n
pn
r / \ • 2 nt
f (t + x) • sin у
2 1 і—f / 2пк i
csin — II (cos t - cos-------------------)
2 if n
-dt
(1)
где т, п, к1 кт - зафиксированные целые вания рядов Фурье, то есть представляются в
постоянные,
т > 0, (0 < кх < к2 < • < кт < ).
Аппроксимативные свойства операторов (1) изучались в ряде работ, отметим [3-6]. Операторы Баскакова (1) при любых допустимых параметрах являются методами суммиро-
виде
Mnm](kl’-’km ) (f (t), Х) =
1
— +
n - т -1
X im®......кт )cost it)
i=i
dt.
Аналитическое выражение для ij“](kl’’ hm)
найдено В .А. Баскаковым [2], так как в даль-
2
нейшем эти формулы нам не понадобятся, мы их приводить не будем.
Операторы М[пт](ки к2’’ кт) характерны тем, что приближают функции классов ЖГИа при г + а < 2т +1 с наилучшим порядком, то есть с порядком 0(п-г-а ). Изучение вопросов, связанных с приближением операторами Баскакова функции Хевисайда, имеет выход на практические применения (расчет цифровых фильтров, см. [3]).
В статье мы рассматриваем задачу об оценке приближения операторами (1) функций, имеющих непрерывную (/-1)-ю производную.
При этом /(і)(ї) может иметь изолированные точки разрыва первого рода, при і > 1; а также подробнее рассмотрим свойства функции Фі (р). Если і = 0, то под 0-й производной понимается сама функция /(ї). Эта задача связана с вопросами замены приближающего периодического сплайна тригонометрическими полиномами.
Сформулируем основной результат.
Теорема. Пусть і > 0 - целое,
/(ї) Є С2;1, X Є (-¥>; +¥>) - произвольным образом фиксированная точка действительной оси; существует с > 0, такое, что /{і)(ї) непрерывна на [х - с, х] и на [х, х + с], р > 0 - действительное число, тогда (при і £ 2т)
МПт"к кт) (І (О, х + 2рп-1 ) =
= f (х + 2рп х) +
(2)
+
+1 (-1) F (р f)(х) - f.(,)( х))
+ o(n_1),
где fl1)(х) = lim f< "(I), f-1)(х) = lim f(t), (3)
m ¥
2”-1П(*/J\\
j=1 г
1 - Г
v
Iі 2 sin2 tdt
m
П(р 2k.
(4)
2 2j
■i2)
j=i
При i = 1 результат получен Е.С. Коган
[4].
Доказательство теоремы приведено в [6], поэтому в данной статье приводить его не будем.
Подробнее остановимся на свойствах функции Fi (р).
Из (4) видно, что в определении функции аргумента р Fi (р), кроме параметра i, фигурируют еще целые параметры m и совокупность параметров {к} . Мы, однако, не
j=i
будем загромождать обозначение. Интересующие нас функции будем обозначать Fi (р), относительно же значений остальных
параметров будем оговаривать отдельно в каждом случае. В общем случае считаем, что m
и {к} зафиксированы каким-либо образом.
Предложение 1. При i > 1 имеет место равенство
ф( р) = -2iF i _i( р).
Предложение 2. При i > 0 имеет место равенство Ф 2i (0) = 0 .
Предложение 3. При любом m > 0 и
при
0 < i < 2m +1
lim Ф1 (р) = lim Ф1 (р) = 0. р р
Предложение 4. При m = 1 и любом допустимом значении к выполняется неравенство
Ф1(0)> 0.
Предложение 5. Имеет место равенство
Й¥Ф1( к )(0) = ~
I
точнее, Ф1( к )(0) = 0(1п к).
Ограничимся доказательством предло-
жения 5.
Обозначим
¥
Ф1( к )(0) = 2л к 2}
бш2 гАг
0г(л2к2 -г2) Доказательство
фц к )(0) =Ф11к )(0) + Ф12))(0) +
+ф131)(0)+Ф1(к>)(0),
где
кл ~2
(5)
Ф«‘к)(0) = 2лк21 А
0
кл
Ф«2к>(0) = 2 л к21
г (л 2к2 - г 2У
бш2 гА ы г (л 2к2 - г2)1
-кл 2
Ф<3>(0) = 2лк2 7 А
кл ¥
Ф«4к>(0) = 2лк2 |
кл г (л2 к1 - г)
бш2 гА
зк г (л2 к2 - г2)'
—кп
2
Заметим, Ф1(1к)(0) > 0, Ф1<(2к),(0) > 0,
Ф<3>(0) < 0, Ф$,(0) < 0.
Далее установим, что ФЩ) (0) = о(1п к), Ф(% (0) > -Ф1«(3к>,(0), Ф1((4))(0) равномерно по к ограниченны. Этого достаточно для доказательства предложения 5.
Для Ф1((1к)(0) имеем
кп
~2
Ф (!) 1(к)
(0) = 2лк2 гт
0 г V
б1п гА л2к2 - г2)
кп
~
кп
=2л-■
б1п гА > 0 _-х f б1п гА
г
22
V
л к
2л-1 г 8ш гАг = о(1пк). г
Л *•
Далее,
У
кп
Ф(2) 1(к)
~ , 2 г в1п2 гА (0)=2лк1
кп
2лк2}
б1п гА
кп
~
t (лк - г)(лк + Г)
Делаем замену
лк - г = и, г = лк - и, лк + г = 2лк - и; получаем
кл
Ф«2к>(0) = 2лк2}
Б1П2 иАи
-Ф(3) 1(к)
(0) = 2лк2 }
0 и(2лк - и)(лк - и)
пк
б1п2 гАг г(г - кл)(г+лк)
-лк 2
лк
Делаем следующую замену г - лк = и, г = лк + и, лк + г = 2лк + и, тогда
кп
~
■Ф(3>)(0) = 2лк2 }
б1п иёи
и (и + кл )(и + 2кл)
Так как
кп
~ • 2
б1п иАи
кп
~2
<
б1п иАи
0 и(кл + и)(2кл + и) 0 и (кл - и )(2к л - и) ’
получаем Ф 1((2))(0) > -Ф 1((3к})(0).
Для Ф1((4к)){0) имеем
б1п 2 гАг
Ф(4)) (0)=2лк 7 грртт] ■
-кл У ’
2
¥ ' 2 (кли )Аи
2лк2}
Б1П
к2л 2и(1 - и2)
2
2
(сделана замена t = ккп). Итак,
,(4) (0) = 2n-i¥sin2(кРu)
Ф^т=2p-1 Í- 2
1(к)W J3 u(1 - u2)
2 (4)
du.
То есть Фцк)(0) равномерно по к огра-
ничено.
Предложение 5 доказано.
Предложение 6. При m = 2 выполняет-
ся Ф3 (0)< 0
Доказательство
Обозначим
t sin2 tdt
Ез(0) Íркртр'
E3(0) отличается от Ф3(0) положительным
dt = 0
постоянным множителем.
Известно, что
¥ • 2/
f sin t
0(Рk - t2)(p2k22 - t2) Рассмотрим интеграл
(pkx -1 )sin2 tdt
(p2 k2 -12 )(p2 k2 -12)
¥ • 2 i
= sin tdt .
o(Pki + t)(p 2k22 - t2 ) '
. ¥ sin21
Заметим, I ——-------------dt = 0.
J -
(6)
J = 1
0 Р 2k2 -12
Отсюда
sin21
sin t
j* sin t M_ f
I 2/2 ~7ld = — I 27 2 .2
0 П k2 t пк2 П k2 t
dt .
Далее
1 sin21
J = 1-----------
0 Рк1 + t
0^1 + t Р 2к22 — t2
dt
1 ^ sin2 tdt
як.1 + X 1 p2 к2 — t2
, где X1 e (0,nк2),
J2 = — ¥ —— Í 2 Рк1 + t
' ¥
sin21 +1 n2к2 — t2
dt =
Рк1 + X 2 пк2
где X2 e (nк2 ’¥)
Из того, что f 1
(X < X 2
sin tdt
2j 2 72
p к -t
>
к1п + Xi к1п + X 2
\ y
получим J1 > J2. А это значит, что J > 0, то есть
7 (пк1 — t )sin2 tdt
J (ПТки^КПТкрТ7)=
пкх sin2 tdt
=J ^Ft1]_
¥2
t sin tdt 1 (n2 к2 —,2 )(n2 к 2 — t2)
> 0.
Отсюда, учитывая (6), получим
£3(0) < 0.
Предложение 6 доказано.
Предложение 1. При т = 1 и к1 < к2 выполняется
Ф 1(к1)(0) < Ф 1(к2)(0).
Доказательство
Имеем
Ф1(к, ) (^ -Ф 1(к, ) (0) =
¥2 sin t
sin
2p I---------
t
1(к2 )' k2
к
2
2 2 2 2 2 2 п к 2 — t
dt =
"2 к2 . 12]
p 2 k12 — t 2
V
. /,2 ,2 t sin2 tdt
=2п к — к»!
= 2п (к12 — к 22 )e3(0) .
Учитывая предложение 6 и то, что
к12 — к22 < 0,
получим áW0)—ф1«к,)(0) > °. Предложение 7 доказано.
1
1. Баскаков В.А. Об одном методе построения операторов класса Б2т / В.А. Баскаков // Теория функций и приближений. Интерполяция по Лагранжу. - Саратов, 1984. - С. 19-25.
2. Баскаков В.А. Об операторах класса Б2т, построенных на ядрах Фейера / В.А. Баскаков // Применение функционального анализа в теории приближений. - Тверь, 2001. - С. 5-11.
3. Дубровина Т.В. Оценка характеристик, оп-ределяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье: авто-реф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / Т.В. Дубровина.
- Красноярск, 2005. - 13 с.
4. Коган Е.С. Некоторые методы получения
Коротко об авторе_________________________________
Шерстюк Татьяна Юрьевна, ст. преподаватель кафедры математики, Читинский государственный университет (ЧитГУ), раб. тел.: 41-73-28
Научные интересы: исследование тригонометрических операторов Баскакова
__________________________________Литература
точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Ирмо: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / Е.С. Коган. - Красноярск, 2005.
5. Коган Е.С. Оценка приближения функций операторами Баскакова в точке разрыва производной и в близи этой точки / Е.С. Коган // Применение функционального анализа в теории приближений. -Тверь: ТвГУ, 2004. - С. 107-115.
6. Шерстюк Т. Ю. Приближение операторами Баскакова функций вблизи точек разрыва производных / Т.Ю. Шерстюк // IV Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). - Чита: ЧитГУ, 2006. - Ч. III. - С. 196-200.
_______________________Some facts about author
Sherstyuk Tatyana, ChitSU, chief professor of Mathematics Department, Official telephone: 41-73-28
Scientific interests: Research of trigonometrical Baskakov operators
