Полиномиальные символы матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

А.Г. Мясников, Е.П. Завадская

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ СИМВОЛЫ МАТРИЦ

Рассмотрена алгебра P(A), порожденная комплексной матрицей A. Произвольный элемент XeP(A) однозначно представим в виде X = X|kJk + N, где Jk P(A) — минимальные идемпотентные матрицы, |Jk — ненулевые собственные значения матрицы X, NeP(A) — нильпотентная матрица (обобщение спектрального разложения). Элементу XeP(A) сопоставляется его символ — многочлен pX(t) наименьшей степени такой, что pX(A) = X. В случае X = 0 символ совпадает с минимальным аннулирующим многочленом. Множество Pmin(t) всех символов с определенными подходящим образом операциями сложения pX(t) + p(t) и умножения pX(t)op(t) является алгеброй, изоморфной матричной алгебре P(A). Таким образом, имеет место представление символа в виде суммы делителя аннулирующего многочлена и линейной комбинации идемпотентов. Доказано, что обратимость X по модулю ниль-потентных матриц эквивалентна «обобщенной» обратимости символа pX. А именно: пусть N(A)cP(A) — двусторонний идеал всех нильпотентных матриц, X — класс смежности X + N(A), kX — алгебраическая кратность собственного значения 0 матрицы X, J — максимальная идемпотентная матрица в P(A). Тогда следующие условия эквивалентны: (1) элемент X обратим в P(A)/N(A); (2) существует матрица YeP(A) такая, что XY = J; (3) kX = kA; (4) существует многочлен p(t)e Pmin(t) такой, что pX(t)op(t) = pJ(t). Полученные результаты могут быть использованы при решении систем линейных дифференциальных уравнений, а также в математической статистике.

Ключевые слова: алгебра, двусторонний идеал, идемпотентная матрица, жорданова каноническая форма, минимальный многочлен, нильпотентная матрица, символ оператора, спектр матрицы.

Напомним, что под символом оператора обычно подразумевается его образ при гомоморфизме в некоторую алгебру функций [1] или даже в другие операторные алгебры [2]. При этом, как правило, предполагается, что ядром гомоморфизма служит идеал вполне непрерывных операторов. В этом случае для фредгольмовости оператора необходима и достаточна обратимость его символа. Рассмотрена алгебра P(A), порожденная единственной матрицей А, а символом элемента Хе P(A) служит многочлен pX минимальной степени, удовлетворяющий условию pX (A) = X. В этом случае ядром гомоморфизма X^ pX является идеал N нильпотентных матриц, а обратимость фактор-классаХ + N описывается в терминах символа pX. Наконец, доказано существование и единственность представления произвольной матрицы из P(A) в виде суммы нильпотентной матрицы и линейной комбинации минимальных идемпотентных матриц. Соответствующее разложение также имеет место для символа pX. Приведенные результаты допускают обобщение на бесконечномерные операторы, а также могут быть использованы при решении систем линейных дифференциальных уравнений.

1. Алгебра, порожденная матрицей. Напомним, что комплексное линейное пространство, снабженное умножением, называется комплексной алгеброй или короче — алгеброй [3]. Рассмотрим алгебру Mn, состоящую из всех комплексных матриц n-го порядка. Для A е Mn обозначим через P(A) множество всех матриц, представи-мых в виде p(A), где p(t) — многочлен с комплексными коэффициентами, удовлетворяющий условию p(0) = 0. Иными словами, P(A) является подалгеброй в Mn, порожденной матрицей A.

124

© Мясников А.Г, Завадская Е.П., 2012

Фиксируем унитарную матрицу U такую, что U*AU — жорданова каноническая форма матрицы A. Тогда U*XU является верхней треугольной матрицей для всех X е P(A).

Напомним, что матрица Х является идемпотентной, если X 2 = Х, и нильпотент-ной, если Xn = 0 для некоторого натурального n. Множество всех идемпотентных матриц из P(A) обозначим через J(A), а множество всех нильпотентных матриц из P(A) — через N(A). С основными свойствами нильпотентных матриц можно познакомиться в [4]; вариант спектрального разложения для неотрицательных идемпотентных матриц изложен в [5].

Рассмотрим сначала идемпотентные матрицы. Представим жорданову матрицу U*AU в виде суммы D + N диагональной матрицы D и нильпотентной матрицы N. Пусть X1,...,Xm — все ненулевые собственные значение матрицы A, записанные без учета кратности; если ноль также является собственным значением, полагаем = 0. Каждому собственному значению Xk сопоставим многочлен Лагранжа Lk (t) такой, что Lk(Xk) = 1, Lk(Xi) = 0, i Ф k. Определим идемпотентные матрицы Jk = Lk (UDU*)

и заметим, что A = ^XkJk + N.

k=1

Лемма 1.1. Идемпотентные матрицы Jk принадлежат J(A). Любая идемпотент-ная матрица из J(A) однозначно представима в виде ^ Jk , где Kс {1, 2,..., m}.

keK

Доказательство. Фиксируем k е {1, 2,., m} и рассмотрим многочлен

Р, (t ) =

/ . .. \max{indX.:¿ ф k}

mdX 1 ' '

1 - (1 - Lk (t))

k

где ind Хк — размер наибольшей жордановой клетки, соответствующей Хк. Очевидно, рк (0) = 0 и рк (А) = / .

Пусть X — произвольная идемпотентная матрица из Р(А), причем X = р(А) для некоторого многочлена р(0 такого, что р(0 = 0. Тогда X = р(П), откуда следует оставшаяся часть утверждения леммы.

Применяя к произвольной матрице X е Р(А) рассуждения, предшествующие лемме 1.1, а также саму лемму, получим следующее обобщение спектрального разложения матрицы X.

Теорема 1.2. Произвольная матрица X из Р(А) однозначно представима в виде X= + М, где цк — ненулевые собственные значения матрицы X, N е М(А).

к =1

На множестве ./(А) введем отношение порядка: X < У ^ ХУ = X. Очевидно,

наибольшим элементом в J(A) является матрица J = ^ Jк . Роль идемпотентной

к

к =1

ма-

трицы / прояснится ниже при рассмотрении факторизации алгебры Р(А).

Обозначим через М(А) множество всех нильпотентных матриц из Р(А).

Лемма 1.3. М(А) является двусторонним идеалом в Р(А).

Доказательство. Действительно, матрица Xе Р(А) нильпотентна в том и только том случае, когда и*Аи имеет нулевую главную диагональ.

Для произвольной матрицы Xе Р(А) обозначим через Р(А) фактор-алгебру Р(А)/М(А), через X класс смежности X + М(А). Пусть кХ — алгебраическая кратность собственного значения 0 матрицы X.

Теорема 1.4. Пусть X е Р(А), тогда следующие условия эквивалентны:

(1) X является единицей в Р(А)/М(А);

(2) X = / + М, где N е М(А);

(3) XA = A + N, где Nе N(A);

(4) kx = kÄ и CTx е {0,1}. Доказательство. (1) (2) (3). Очевидно.

(2) О (4) . Так как произвольная матрица Nе N(A) является верхней треугольной матрицей с нулевой главной диагональю, то условие (2) означает, что матрицы U*XU,, U*JU имеют одинаковые главные диагонали. Осталось заметить, что условие (4) однозначно определяет вид главной диагонали матрицы U*XU.

2. Алгебра полиномиальных символов. Обозначим через PX (t) множество всех многочленов p(t) таких, что p(A) = X. Очевидно, в PX (t) найдется многочлен pX (t) наименьшей степени nX , который мы обозначим через pX. Многочлен pX (t) назовем символом матрицы X. Также обозначим через Pa (t) множество всех аннулирующих многочленов для A, т.е. таких многочленов p(t), что p(A) = 0 [4]. Пусть pa (t) нормированный аннулирующий многочлен для A минимальной степени na; нормирован-ность означает, что коэффициент при старшей степени t равен 1. Теорема 2.1. Пусть X е P(A), тогда

1) Px (t) = Рх (t) + Pa (t);

2) nx < na;

3) если p (t), p2 (t) е PX (t) многочлены степени nx , то p (t) = p2 (t). Доказательство. 1) Пусть q(t) е Pa (t), тогда pX (A) + q(A) = X, поэтому pX (t) + Pa

(t) с PX (t). Обратно, если p^(t) е PX (t), то q(A) = p^ (Ä) - pX (A) = 0, следовательно,

p1 (t) = px (t) + q(t) е px (t) + Pa (t).

2) Предположим, что степень многочлена pX (t) больше либо равна na. Представим

pX (t) q(t)

рациональную функцию —— в виде p (t) + -, где степень остатка q(t) строго

pa (t) pa (t)

меньше na. Тогда pX (t) = p(t) pa(t) + q(t), откуда q(A) = X. Однако это противоречит минимальности многочлена pX (t).

3) Так как многочлен p (t) - p (t) е Pa (t) имеет степень, строго меньшую na, то Px(t) = p2(t).

Обозначим через P (t) множество всех многочленов вида pX (t), где Xе P(A).

min

Из теоремы 2.1 следует, что P (t) состоит в точности из всех многочленов степени

min

меньше na. На множестве P . (t) введем операции сложения pX + pY и умножения pX + pY следующим образом:

(1) px + Py = px+y ;

(2) {px °pT) (t) = pxy(t).

Множество символов P (t) с определенными таким образом операциями сло-

min

жения, умножения, а также умножения на скаляр, является алгеброй.

Теорема 2.2. Произвольный многочленp(t) степени меньше na, однозначно пред-

m

ставим в виде p(t) = ^цkph (t) + q(t), где qn е Pa (t).

k=1

Доказательство. В соответствии с теоремой 1.2 представим матрицу p(A) в виде

m

p(A) = + N и перейдем к соответствующим минимальным многочленам.

k =1

Осталось заметить, что некоторая степень многочлена pN (t) является аннулирующим многочленом для A и, следовательно, делится без остатка на pa (t). Теорема 2.3. Алгебры P(t), Pa (t), Pmn(t) и P(A) изоморфны. Доказательство. Отображение д (P(t) ^ P(A), p(t) ^ p(A)) является гомоморфизмом с ядром Pa (t), откуда следует изоморфизм P(t), Pa (t) и P(A).

Обозначим через ц сужение отображения д на P (t). Очевидно, отображение

0 min

д0 сюръективно. Если p(t), q(t) — многочлены степени меньше na, то p(A) - q(A) — аннулирующий многочлен степени меньше na и, таким образом, тождественно равный 0. Следовательно, отображение д инъективно. Наконец, цо (pX + pY) = PX(A) + PY,

(A) = Цо ( Px ) + Цо ( Py X Цо (Px o Py) = Цо ( pxy ) = pxy (A) = XY = Цо ( px ) Цо ( py ), следовательно, Цо является изоморфизмом.

3. Символы и обобщенная обратимость. Использование алгебры многочленов Pmin (t) для решения вопроса об обратимости элементов из P(A)/N(A) оправдывает ее название как алгебры символов.

Обозначим через N(t) множество всех многочленов p(t) таких, что p(A) е N(A), через P0 (t) — множество всех многочленов, представимых в виде суммы p(t) + q(t), где p(t) e Pa (t), q(t) e N(t).

Лемма 3.1. Ро (t) является двусторонним идеалом в P(t).

Доказательство. Пусть q(t) произвольный многочлен. Если p(t) e Pa (t), то p(t)q(t) e Pa (t). Если p(t) e N(t), то p(t)q(t) е N(t). Очевидно, P0 (A) совпадает с идеалом N(A) всех нильпотентных матриц в P(A).

Лемма 3.2. Элемент J является единицей в P(A).

Доказательство. Верхние треугольные матрицы U*p(A)U и U*Jp(A)U имеют одинаковые главные диагонали, поэтому p(A) - Jp(A) е N(A) для любого многочленаp(t).

Вопрос об обратимости элементов в алгебре P (A) решается следующим образом.

Теорема 3.3. ПустьX e P(A). Следующие условия эквивалентны:

(1) элемент X обратим в P (A);

(2) существует матрица Y e P(A) такая, что XY = J;

(3) К = kA ;

(4) существует многочлен p(t) е Pmin (t) такой, что Px (t) ° p(t) = Pj (t). Доказательство. (1) ^ (2). Пусть Y — обратный элемент к XX. Тогда (XY - J)n = 0.

Раскрывая скобки, получим равенство XT + (-1)" J = 0, где T — некоторый оператор из P(A). Следовательно, (-1)n +1 XT = J. (2) ^ (1) . Следует из леммы 3.2.

(2) ^ (3) . Пусть XY = J, тогда (U * YU)(U * XU) = U*JU, откуда kX < kJ = kA . С другой стороны, kx > kA, откуда kx = kA .

(3) ^ (1) . Пусть X = D + N — представление X в виде суммы диагональной и нильпотентной матриц. Выберем многочлен p(t) такой, что p(D)D = U*JU. Тогда p(X) X - J e N(A).

(2) ^ (4) . Условие (4) означает, что Xp(X) = J.

Библиографический список

1. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев : Штиинца, 1973. 428 с.

2. Мясников А.Г., Сазонов Л.И. Сингулярные интегральные операторы с некарлемановским сдвигом // Известия Вузов. Математика. 1980. № 3. C. 22—31.

3. Хелемский А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. М. : Наука, 1989. 464 с.

4. Causa A. Some remarks in linear spaces о!" nilpotent matrices // Le Matematiche. 1998. Vol. LIII. Pp. 23—32.

5. DeMarr R. Nonnegative idempotent matrices // Proc. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 45. № 2. Pp. 185—188.

6. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М. : Мир, 1989. 654 с. Поступила в редакцию в июне 2012 г.

Об авторах: Мясников Алексей Георгиевич — кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].

Завадская Елена Петровна — студентка 2-го курса, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];

Для цитирования: Мясников А.Г., Завадская Е.П. Полиномиальные символы матриц // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 124—128.

A.G. Myasnikov, E.P. Zavadskaya

POLYNOMIAL MATRIX SYMBOLS

Let P(A) be the algebra generated by complex matrix A. Then XeP(A) can be uniquely decomposed into the sum X = X|JkJk + N, where Jk eP(A) are minimal idempotent matrices, jik — non-null eigenvalues of matrix X, N e P(A) — the nilpotent matrix (generalization of spectral decomposition). The least degree polynomial pX(t), if pX(A) = X, is called the symbol of X. In the case of X=0, the symbol coincides with the minimal polynomial. The set Pmin(t) of all symbols supplied with certain operations of the sum of pX(t) + p(t) and the multiplication pX(t) o p(t) is the algebra which is isomorphic to the matrix algebra P(A).

Hence, the symbol may be represented as the sum of a minimal polynomial divisor and a linear combination of idempotents. The authors have proven that the invertibility of X in terms of the modulus of nilpotent matrices is equivalent to the "generalized" invertibility of its symbol. More exactly, let N(A) c P(A) denote a double-sided ideal of all nilpotent matrices, X = X + N(A), kX — an algebraic multiplicity of eigenvalue 0 of matrix X, J — the maximal idempotent matrix in P(A). Then, the following conditions are equivalent: (1) X is invertible into P(A)/N(A); (2) there exists YeP(A), so that XY= J; (3) kX = kA; (4) there exists a polynomial p(t) e Pmin(t), so that pX(t) o p(t) = p(t). The results can be used in systems of linear differential equations and in mathematical statistics.

Key words: idempotent matrix, Jordan canonical form, minimal polynomial, nilpotent matrix, operator symbol, matrix spectrum.

References

1. Gokhberg I.Ts., Krupnik N.Ya. Vvedenie v teoriyu odnomernykh singulyarnykh integral'nykh operatorov [Introduction into the Theory of One-dimentional Singular Integral Operators]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1973, 428 p.

2. Myasnikov A.G., Sazonov L.I. Singulyarnye integral'nye operatory s nekarlemanovskim sdvigom [Singular Integral Operators with a non-Carleman shift]. Izvestiya Vuzov. Matematica. [Bulletins of Institutions of Higher Education. Mathematics]. 1980, no. 3, pp. 22—31.

3. Khelemskiy A.Ya. Banakhovy i polinormirovannye algebry: obshchaya teoriya, predstavleniya, gomologii. [Banach and Polynormed Algebras: General Theory, Representations, Homologies]. Moscow, Nauka Publ., 1989, 464 p.

4. Causa A. Some Remarks in Linear Spaces of Nilpotent Matrices. Le Matematiche, 1998, vol. LIII, pp. 23—32.

5. DeMarr R. Nonnegative Idempotent Matrices. Proc. Amer. Math. Soc. 1974, vol. 45, no. 2, pp. 185—188.

6. Horn R.A., Johnson Ch.R. Matrichnyy analiz [Matrix Analysis]. Moscow, Mir Publ., 1989, 654 p.

About the authors: Myasnikov Aleksey Georgievich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].

Zavadskaya Elena Petrovna — student, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU),

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];

For citation: Myasnikov A.G., Zavadskaya E.P. Polinomial'nye simvoly matrits [Polynomial Matrix Symbols]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 124—128.