U -проектор присоединенного представления группы gl(n, k) 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ. 2015. № 10(132)

МАТЕМАТИКА

УДК 512.815.4

К.А. Вяткина1

и -ПРОЕКТОР ПРИСОЕДИНЕННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

ГРУППЫ ОЦи,К)2

Работа посвящена изучению колец и полей инвариантов для присоединенного представления группы ОЬ (п, К) над полем нулевой характеристики. Цель работы - построить линейный оператор, который мы называем и -проектором, отображающий произвольный многочлен на алгебре матриц в и -инвариантную рациональную функцию. В работе предлагаются две различные конструкции и -проектора. Используя и-проектор, мы построили систему образующих элементов поля и -инвариантов присоединенного представления группы ОЬ(п,К). Найдена система образующих элементов в поле и-инвариантов для ограничения присоединенного представления на блочно-диагональную подгруппу.

Ключевые слова: поле инвариантов, присоединенное представление, унитреугольная группа, разрешимая группа, алгебра инвариантов, представления групп, локально нильпотентное дифференцирование, система образующих элементов.

1. Предварительные сведения

Основной задачей теории инвариантов алгебраических групп является описание структуры кольца и поля инвариантов.

Пусть К — поле характеристики нуль, V — векторное пространство над полем К, а О = ОЬ(п, К). Для разрешимых групп имеет место следующая теорема из [1].

Теорема 1.1 (Miyata, 1971). Для любой приводимой к верхнетреугольному виду подгруппы в группе СЬ^) ее поле инвариантов рационально, то есть существуют алгебраически независимые инварианты Ql,... ,Qn € К (V) такие, что поле инвариантов есть поле рациональных функций К(^1,... ^п).

Затем в 1982 году Э.Б. Винберг доказал более общую теорему [2; 3]. Чтобы ее сформулировать, дадим следующее определение.

Определение. Рациональное действие а группы Н векторного пространства Кп называется треугольным, если в подходящей системе координат все пре-

х© Вяткина К.А., 2015

Вяткина Ксения Анатольевна ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

2Работа поддержана грантами РФФИ 14-01-97017 и 14-01-31052.

образования a(h),h £ H имеют вид

xi ' ^ aixi + fi (xi+1, . . . , xn) ,

где ai £ K *, fi £ K (xi+i,xn).

Теорема 1.2 (Винберг, 1982). Если группа рационально-треугольно действует на Kn, то ее поле инвариантов рационально.

Рассмотрим U — унитреугольную подгруппу в GL (n,K), состоящую из верхнетреугольных матриц с единицами на главной диагонали. Ее алгебра Ли u состоит из всех верхнетреугольных матриц с нулями на диагонали. Рассмотрим присоединенное представление

Adg X = gXg-1

группы U в пространстве V = Mat(n, K).

Пусть A = K [xi,j ] — кольцо регулярных функций на Mat (n,K). Представление Adg в пространстве V позволяет определить представление Tg в пространстве A по формуле

(Tg f )(X) = f (Ad-1X). (1.1)

Через AU обозначим кольцо U-инвариантов в алгебре A.

В работе [4] найден один из наборов образующих поля U-инвариантов, и показано, что данное поле является полем рациональных функций от этого набора образующих. Этот результат был использован в работе [5] для решения задачи по нахождению образующих поля В-инвариантов присоединенного действия борелевской группы.

Целью данной статьи является построение специального оператора, U-проектора, который позволяет по произвольному многочлену, определенному на алгебре матриц, построить U-инвариантную рациональную функцию. В статье существенно используется сечение векторного пространства V, найденное в работе Д.И. Панюшева [6]. Построены два различных U-проектора (теоремы 2.13 и 4.8). В качестве приложений предлагается новый, отличный от [4], способ построения образующих поля U-инвариантов присоединенного представления группы GL(n, K) (теоремы 2.14, 2.15 и 3.1, 3.2 для первого U-проектора и теоремы 4.9, 4.10 для второго). Найдена система образующих элементов в поле U-инвариантов для ограничения присоединенного представления на блочно-диагональную подгруппу.

2. Конструкция первого и-проектора

Предъявим алгоритм построения и-проектора. Обозначим за д = йеТ соответствующее присоединенному действию группы Ли (1.1) представление алгебры Ли и группы и. Рассмотрим базис из матричных единиц {Е^ в и. Обозна-

чим = дщ^. Для каждой пары (г,]), где 1 ^ г < ] ^ п, дифференцирование д^ ^ алгебры А задается формулой

д . = )f дг,3 f =

d(t)

t=0

Элемент f £ AU тогда и только тогда, когда di^j f = 0.

Лемма 2.1. Для любых 1 ^ г < ] ^ п и 1 ^ к, в ^ п значение д вычисляется по формуле

0, если к = г и в = ],

д- ■ (хк ) = ^ если к = г и в= ], (21)

■ к,э) ^ хкесли к = г и в = ], у ' '

Хг,г — х■■, если к = г и в = ].

Доказательство. Получается непосредственным вычислением Техр^е^, (хк,з). Следствие 2.2. Оператор дг^ — локально-нильпотентное дифференцирование алгебры А.

Доказательство. Получается непосредственным вычислением д3 ■ (хк,ь) = 0 для любого 1 ^ к, в ^ п.

Пусть Ь = {11 < /2 < ... < 1к} набор строк. Обозначим через Ыь минор к-го порядка с системами столбцов {1,..., к} и строк {/1, ¡2,..., 1к}. Заметим, что если г € Ь, то минор Ыь\{г} получается из Ыь вычеркиванием г-й строки и последнего столбца.

Лемма 2.3. Пусть Ь = [/,п], т € Ь и г < ]. Тогда

• Если г] € Ь \ {т} или г € Ь \ {т}, то дг■ (Ыь\{т}) = 0.

• Если г € Ь \ {т} и ] € Ь \ {т}, то ] = т и

дг ■ (Ыь\{Л) = ( — 1У-гЫь\{г}. В частности, для / = г и ] = г +1 имеем

дг, ■ (Ы[г, п]\ы) = —Ы[■, п].

Доказательство. Заметим, что оператор Тд разлагается в произведение Тд = = Ьд Яд операторов левого и правого сдвигов

Яд I (X) = I (Хд), Ьд I (X) = I (д-1Х).

Миноры вида Ыь\{т} инвариантны относительно всех Яд, д € и. Поэтому Тд(Ыь\{т}) = Ьд(Ыь\{т}) для любого д € и . Пусть г] € Ь\ {т} и д = ехрЬЕ-■. В этом случае

Тд (Ыь\{т}) = ЫL\{m}, поскольку операция прибавления в г-й строке элементов ]-й строки, умноженных на любое число, не меняет определителя. После дифференцирования по £ получаем дг ■(Ыь\{т}) = 0. Аналогично для случая г / Ь \ {т}.

Пусть г € Ь \ {т} и ] € Ь \ {т}. Так как г < ], то ] = т. Тогда

Тд (Ыь\{,}) = Ыь\{,} — Ы'ь\{Л,

где определитель Ы'ь\{^} получается из Ыь\{р}, если вместо г-й строки записать ]-ю строку. Легко видеть, что

К\т = (—1)'-гыь\{г}.

После дифференцирования по £ получаем утверждение леммы. В случае / = г и ] = г +1 имеем:

дМ (Ы[гп]\{з}) = ( — 1)г+1-гЫ[г+1п] = — Ы^]-

Рассмотрим набор Е, составленный из убывающей цепочки угловых миноров ^к = Ы{кМ, 2 < к < п.

Следствие 2.4. Имеем дг ^ (Ак) = 0 для всех 2 ^ к ^ п и 1 ^ г < ' ^ п, то есть Ак е Аи.

Доказательство. Так как г < ', то из условия г е [к,п] вытекает ' е [к, п]. Поэтому возможны только два случая: либо г е [к, п], либо г' е [к, п]. Рассуждая как в предыдущей лемме, получаем дг, о (Ак) = 0.

Обозначим через Ар локализацию кольца А по множеству знаменателей, порожденных В Любой элемент из Ар однозначно представим в виде

а, где а = Ак2 • ... • АП, к2,...,кп е Z>0.

Следствие 2.5. Для любых 1 ^ г < ' ^ п оператор десть локально-ниль-потентное дифференцирование на Ар.

Доказательство. Заметим, что дг ^ (а) = 0 для любого знаменателя в Ар. Для любого а е А существует номер N такой, что дN (а) =0. Тогда

ъ (а)=*¥=0-

Для любых 1 ^ к < I ^ п рассмотрим рациональную функцию Чк,1 = (-1) М-= (-1) -а-•

М[к+1,п] Ак+1

Пример 2.6. При п = 3 рациональные функции Пк,1 имеют вид:

М13 М12 _ М2

п12 = - М23, п13 = М23, п23 = - М.

Лемма 2.7. Если г ^ к, то

%(Qm) = {1, если1=к'^=1'

г0 ' 1 0, в остальных случах. Доказательство. 1. Пусть г < к. Из леммы 2.3 получаем

% (П«) = (-1)-к % [М[кп]\{1}) =0.

М[к + 1,п]

2. Пусть г = к и ' = I. Тогда, используя лемму 2, имеем

0-г дЧ (М[г,п]\{0}) = МЦ+1,п] Чг+1,п] М[г+1,п]

3. Пусть г = к и ' = I. Тогда минор М[гп]\{1} содержит г-ю и '-ю строки и, следовательно,

Я in \ — I 1 j-i f j^Uf^ _ ±v±li+1,n] _

дц (Qi,j ) = (-1) M = M '

Mii+1 n] M\i+

dj (Qi,i) = (-l)l-k dij [Mli'nMl}) =0.

Лемма 2.8. Для любых двух произвольных дифференцирований дц, dki

{0, если j = к и l = i или i = k,l = j,

дц, если j = к и i = l, (2.2)

—дкц, если i = l и j = к.

Доказательство. Проверяется непосредственными вычислениями. Определение. Для любых 1 ^ i < j ^ n определим оператор 5\ц: AD ^ AD формулой:

Q2 . Q3 .

Si,j = id - Qi,j дщ + ^ dij - ^ д3ц + ....

Так как дг,} — локально-нильпотентное дифференцирование, то Бг] (а) — конечный ряд для любого а € Ар.

Лемма 2.9. Пусть 6 — локально-нильпотентное дифференцирование алгебры В. Пусть существует Q € В такой, что 6(0) = 1. Обозначим

5 (а) = ^( — 1)к ОТ 6к (а).

к=0 '

Тогда 6(Б(а)) = 0 для любого а € В.

к

к

а)

Доказательство. Для любого к > 0 имеем 6 ($*')) = бк(а) + Обк+1(а) = ^бк(а, + О ^а).

Тогда

ж /Ок \ О2 О2

6(Б(а)) = ^2( — 1)к6 О6к(а)) = 6(а)—6(а)—О62(а)+О62(а)+О63(а) — О63(а) — . .. = 0.

к=0 к!

Поэтому 6(Б(а)) = 0 для любого а € В.

Следствие 2.10. Для любых 1 ^ г < ] ^ п выполняется

дг■■ (Бг, ■ (а))=0.

Лемма 2.11. Пусть г < ], к < / и а € Ар. Тогда если г ^ к, то

{0, если г = к, ] = /,

Б к, Iдг , ■ (а), если г = к, ] = /,

Б к , Iдг ■ ■ (а), если г < к, ] = к,

Бк,¡дг■ (а) — Ок,Бк,¡(дг,¡(а)), если г < к,] = к.

Доказательство. Случай с к = г, ] = / разобран в лемме 2.9. Для доказательства остальных случаев обозначим:

Б = Бк,1, д = дк,1, 6 = дг,з.

Из леммы 2.7 вытекает 6(0) = 0. Поэтому

(то \ ж ж

52( — 1)аОд°(а)\ = ^2( — 1УОд°(6(а)) + ^2( — 1УОуМКа). (2.3)

я = 0 ' ) я = 0 ' я=0 '

Из леммы 2.8 вытекает, что [[6, д],д] = 0. Отсюда для любого в > 0 выполняется

[6, дя] = вд8-1 [6, д]. После подстановки в (2.3) имеем

6(Б(а)) = ^( — 1)Од8(6(а)) ^( — 1)&т^гд8-1([6, д](а)).

ь=0 в' ь=0 (в )!

То есть 6(Б(а)) = Б(6(а)) — ОБ([6, д](а)). Применяя лемму 2.8, получаем

0, если г = к, ] = /,

дг,} (Бк,1)(а) = ^ Бк^дг,} (а), если г = к, ] = / или г < к, ] = к,

Бк,дг,з(а) — 0к,1.Бк,1 (дг,1.(а)), если г < к,] = к.

Для любого 1 ^ к ^ п - 1 обозначим

Рк = Бк,пБк,п-1 . . . Бк,к+1. (2.4)

Рассмотрим оператор

Р Рп- 1Рп-2 . . . Р2Р1.

Лемма 2.12. Для любых 1 ^ г < ' ^ п, а е Ар выполняется

дго (Рг(а))=0.

Доказательство. Заметим, что из предыдущей леммы дгоБг,1 — Бг^дго для любого ' + 1 ^ I ^ п. Тогда

д%0(Рг(а)) = дг,з(Бг,п ... Бг,]+1Бг,]Бго-1 ... Бг,г+1(а)) =

= Бг,п ... Зг,з+1дг,з (БгоБг,з-1 ... Бг,г+1(а)). Так как дго(Бг,о(Ь)) = 0 для любого Ь е Ар (лемма 2.10), то (Рг(а)) = 0. Теорема 2.13. Оператор Р: Ар ^ Ар является проектором на Ар. Доказательство. Элемент а е Ар является и-инвариантом тогда и только тогда, когда (а) = 0 для любых 1 ^ г < ' ^ п. Отсюда легко видеть, что Р(а) = а для любого и-инварианта а е Ар. Осталось показать, что для любого а е Ар образ Р(а) является и-инвариантом. Представим оператор Р в виде:

Р = Р' • Р0 • Р'' • Рг • Р''',

где Р' = Рп-Рп-2 ■ ■ ■ Р+1, Р'' = Р-1 ■ ■ ■ Рг+1, Р''' = Рг-1 ■■■Ръ Достаточно показать, что

дг,з (Р(а)) = 0 для любых 1 ^ г < ' ^ п.

Из леммы 2.11 следует, что дг ^Бкц = Б к,, ],дг,о для к > Поэтому дг ^Р' = Р'дго и

дг о Р (а) = Р' • дг о Ро • Р'' • Рг • Р'''(а).

Применяя снова лемму 2.11, получаем

п

дг, 0 Рз Рз дг , о ^ ^ рк дг , к,

к=0+1

где Гк = Бо,п ... Бо, к+1<Пк Б0, к ... Боо+1 и По, к — оператор умножения на По,к. Заметим, что операторы дг,к, где ' ^ к ^ п, коммутируют с Р''. Тогда

п

дг оР(а) = Р' • Родго • Р'' • Рг • Р'''(а) - Р' • ^ ^дг,к • Р'' • Рг • Р'''(а) =

к=3+1

п

= Р' • Ро • Р'' • дг о Рг • Р '''(а) - Р' • рк • Р'' • дг , кРг • Р'''(а) = 0.

к=3 + 1

Так как дг,кРг(Ь) = 0 для всех ' ^ к ^ п и Ь е Ар, то дгоР(а) = 0 для любого а е Ар.

Теорема 2.14. Алгебра А1р есть кольцо многочленов от {Р(хг,о)| г + ' ^ п +1}, локализованное по системе знаменателей, порожденной

{Р (хп, 1), Р (хп-1,2),...,Р (хх2,п-1)}.

Доказательство. Рассмотрим подмножество L С V, состоящее из матриц вида:

/ 0 0 0 lin \

(2.5)

ь= ( 00 ^ :

о 1и-1, 2 • • • 1п-1, п \ 1п, 1 1п, 2 • • • 1п, п )

где € К и 1пд = 0, 1п-12 = 0, • • • ,12,п-1 = 0. Обозначим через Ие8ь отображение ограничения / ^ /\ь алгебры и-инвариантов АР в К(Ь). Известно, что замыкание ТЬТ-1 всюду плотно в X [4]. Поэтому отображение ограничения Иезь является вложением АР ^ К(Ь). Заметим, что

Кезь(М[г,п]\и})

Resb(Qi,j) =

ln

0

,1 • • • 1г,п-г+1

для всех 1 ^ г < з ^ п.

Поэтому Иев^,- (/) = Иезь/, для любого / € Ар и любых 1 < г < 3 < п. Как следствие Ие8ЬР(/) = Иевь/ для любого / € Ар. Рассмотрим систему и-инвариантов

{Р(х^) \ г + з > п + 1}

При ограничении на Ь получаем систему {И,е8ь(х^) \ г + з ^ п + 1}, свободно порождающую кольцо многочленов на Ь. Поэтому 1т(Ие8ь) содержит кольцо многочленов на Ь. Обозначим П' = {Р(хпд),Р(хп-1,2), • • •, Р(х2,п-1)}^ Так как

Без^А») = Ие8ь(хп,1 • • • хг,п-г+1) = И^ь (Р(хп,1) ■ ■ ■ Р(х^п-г+1)),

то Аг = Р(хп1) ■ ■ ■ Р(хгп-г+1). Локализации по П и П' совпадают; образ 1т(Иезь) совпадает с кольцом регулярных функций К [Ь], являющимся локализацией кольца многочленов на Ь по системе знаменателей, порожденной

Иезь(хп,1), • • •, Иезь(х2 ,п— 1 ) •

Отсюда Ар - кольцо многочленов от {Р)\ г + з ^ п + 1}, локализованное по системе знаменателей, порожденной П'.

Теорема 2.15. Поле и-инвариантов есть поле рациональных функций от {Р(х^)\ г + з > п + 1}.

Доказательство. Для унипотентной группы и поле инвариантов является полем частных кольца инвариантов Ар. Доказательство следует из теоремы 2.14.

3. U-проектор для блочно-диагональных матриц

Как и выше, V = Mat (n, K). В этом параграфе через G обозначим группу блочно-диагональных матриц:

i Gi 0 0

G = I 0 0

I 0 0 Gk

где каждый Ог = СЪ(щ, К). Группа О действует на V присоединенным образом (1.1). Группа О содержит подгруппу унитреугольных матриц

и1 0 0

и = 0 •••

00

0

Uk

Подобно тому как был построен и -проектор для присоединенного действия на V унитреугольной подгруппы и группы СЬ(п, К), в этом параграфе мы построим и-проектор для случая блочно-диагональной матрицы О.

Для каждого блока О^ построим систему угловых миноров Б^ аналогично тому, как это делалось в предыдушем параграфе. Обозначим за Б объединение системы миноров Б^ по г € [1,к].

Как и выше, А = К[V]. Обозначим через Ад локализацию кольца регулярных функций А на V по множеству Б. Для каждого блока О^ построим проектор

РАд ^ АД

аналогично тому, как это делалось в предыдущем параграфе. Обозначим Р = Рк ...Р 2Р ^ Оператор Р является проектором

Р: Ав ^ АД.

Для каждого 1 ^ г ^ к рассмотрим множество матриц Ь размера щ, определенных в (2.5). Рассмотрим множество Ь С V, состоящее из матриц вида:

{/ * * * ... *

\ * * Ьк

Обозначим через I множество пар (%,]), где 1 ^ г^ п, для которых существует I € Ь такой, что = 0.

Теорема 3.1. Алгебра АД есть кольцо многочленов от )| (г,]) € I},

локализованное по системе знаменателей, порожденной

{Р(хПаА),Р(хп-1,2),...,Р(х2,и*-1)1 * € [1,к]}.

Доказательство. Рассмотрим множество Ь. Аналогично доказательству теоремы 2.14 получаем, что локализации по Б и

Б' = {Р(хПгЛ),Р(хп-1,2),...,Р(х2,и-1 )1 г € [1,к]}

совпадают, и образ Im(Res¿) совпадает с кольцом регулярных функций К[Ь], являющимся локализацией кольца многочленов на Ь по системе знаменателей, порожденной Res¿(хП1,\),..., Res¿(х2,Пк-\). Отсюда АД — кольцо многочленов от

{Р(х^)| (г,]) € I},

локализованное по системе знаменателей, порожденной Б .

Теорема 3.2. Поле и-инвариантов есть поле рациональных функций от

{Р(х>,з)| (г,]) € Г}.

Доказательство. Как и в теореме 2.15, известно, что для унипотентной группы и поле инвариантов является полем частных кольца инвариантов АД. Из этого факта и теоремы 3.1 следует доказательство.

4. Конструкция второго и-проектора

Рассмотрим еще один способ задать и-проектор для присоединенного представления группы СЬ(п, К). Для этого введем ряд обозначений.

Пусть С = {с1 < с2 < ... < ск} — набор столбцов. Обозначим через Шс минор к-го порядка с системами столбцов {с\ < С2 < ... < ск} и строк {п — к + + 1,...,п — 1,п}. Заметим, что если 3 € С, то минор Шс\{з} получается из Шс вычеркиванием з'-го столбца и (п — к + 1)-й строки.

Аналогично лемме 2.3 для миноров Ыь сформулируем лемму для миноров Шс.

Лемма 4.1. Пусть С = \1,т-\, т € С и г < 3. Тогда

• Если г,з € С \ {т} или з / С \ {т}, то д(Шс\{т}) = 0.

• Если ] € С \ {т} и г / С \ {т}, то г = т и

д,,з Шс\{,}) = ( — 1У-'+1Шс\И}.

В частности, при г = 3 и г = 3 — 1 имеем

д,,з (Ш[1 ,3]\И ) = Ш[1 ,з-1] = Ш[1 ,,].

Доказательство. Доказательство аналогично приведенному для леммы 2.3.

Ранее мы определили набор Е, составленный из убывающей цепочки угловых миноров Ак = Ы[ь,п] = Ш[1П-к+1], 2 ^ к ^ п. Сохраним обозначение Ар для локализации кольца А по множеству знаменателей, порожденных Е.

4.1. Построение набора С^

Для любых 1 ^ г < ] ^ п определим рациональные функции двух видов: • При г + 3 < п + 1:

При г + 3 ^ п + 1:

С,

С,

Ш[

[1 , ,3]\{Ц

А.

Пример 4.2. При п = 4 получаем:

п Х42 С12 = -,

Х41

п-,+ 1

Ы[г,з,..,п]\{з} Аз '

п Х43

С13 = -,

Х41

С

14

Обозначим

Х11 Х41

С

24

Х21

Х41

п-1 2 ,

С

34

Х31 Х41

С

23

Х21 Х22 Х41 Х42

А3

если п - четное если п - нечетное.

Упорядочим С,,з, задав следующий порядок на парах (г,3):

(п — 1,п) < (п — 2,п) ... < (2, п) < (1,п) < ... < (1, 3) < < (1, 2) < (п — 2, п — 1) < ... < (2, 3) < ... < (п — р,п — р +1).

(4.1)

(4.2)

Лемма 4.3. Пусть 1 ^ г <3 ^ г и (к,1) ^ (г,3) (согласно порядку 4.2), тогда

„ , . ( 1, если г = к,3 = I, дк I (С, з) = \ г.

0 в остальных случах.

Доказательство. Из следствия 2.4 известно, что А, — инвариант относительно присоединенного действия .

Рассмотрим случай, когда г + 3 <п +1. В этом случае минор С, з инвариантен относительно преобразования строк с помощью Ьд по построению.

р

1. Если I = з, то (Сг^) = 0 при любых к,г (по лемме 4.1).

2. Если I = з и к < г, то

д (С ) дь,з (Щ[1,2,...,г,л\{г}) 0

Ок,1(Сгл ) = -Т- = 0,

Лп-г+1

т. к. столбцы к,1 = з содержатся в Щ[1,2,...,г,^]\{г}.

3. Если I = з, и к > г, то такое соотношение не удовлетворяет неравенству из условия для индексов, потому что (к,з) > (г,з) для любого з при к > г (т. к. это элементы одного столбца).

4. Если I = з,к = г, легко заметить, что

Й (п дг,з ^г^,...^]/^ _ Щ[1,2,...г] _ Лп-г+1 _

дг,3 (—г,3) = X = "д = Л = 1

Аналогично разбирается случай, когда г + з ^ п + 1.

Определение. Для любых 1 ^ г < з ^ п определим оператор : Ао ^ А о формулой:

Б'г,з = - Сг,зд^ + гЭ1з - д^ + .... (4.3)

Как и для случая Qij, так как дг^ — локально-нильпотентное дифференцирование, то Бг^ (а) — конечный ряд для любого а € А о. Для набора [Сг^} выполняется аналог леммы 2.11.

Лемма 4.4. Пусть 1 ^ г < з ^ п, 1 ^ к < I ^ п и а € Ао. Тогда если (г,з) < (к,1), то

{0, если г = к, з = I,

Бк,А^(а), если (г,з) < (к,1), з = к, г = I,

БкА,з(а) - Ск,1 Бк,1(дц(а)), если (г,з) < (к, I), з = к, г = I, Зк,1,дг,з(а) + Ск,1 Бк,1,(дк,з(а)), если (г,з) < (к, I), з = к, г = I.

Доказательство. Случай (г,з) = (к,1). Так как по лемме 4.3 дг^(Сг^) = 1, то согласно определению (4.3) следствие 2.10 леммы 2.9 выполняется и для , то есть:

дг,з (Бг,з (а))=0. Для доказательства остальных случаев обозначим:

Б = Бк,1, д = дк,1, 5 = дг^, С = —к,1. Из леммы 4.3 вытекает 5(С) = 0. Поэтому

(то —в \ то —в то —в

¿2(-1)" -^д°(а)\=^2(-1У -^д°(5(а)) + ^2(-1У ^М^а). (4.4)

в=0 ' ) в=0 ' в=0 '

Из леммы 2.8 [[5, д], д] = 0. Отсюда для любого в > 0 выполняется

[5, дэ] = вдв-1[5, д]. После подстановки в (4.4) имеем

то Св то С в

5(Б (а))=^(-1)в дв(5(а))+^(-1)в дв-1 ([5,д ](а)),

в = 0 ' в = 0 (

то есть 6(Б(а)) = Б(6(а)) — СБ([6, д\(а)). Применяя лемму 2.8, получаем

{Бк,А,3(а), если (г,3) < (к,1), 3 = к, г = I,

Бк,А,з(а) — Ск,Бк,1(д,,1(а)), если (г,3) < (к, I), 3 = к, г = I, Бк,ьдг,з(а) + Ск,Бк,1(дк,з(а)), если (г,3) < (к, 1), 3 = к, г = I.

Заметим, что пары (г,1) и (к,]) меньше (к,1), согласно порядку (4.2). Действительно, в случае (г,3) < (к,1)3 = к, г = I получаем в результате коммутирования [д^з ,дл\ = д,,1, где г < 3 = к, значит (г,1) < (к,1). Аналогично в случае (г,3) < (к,1)3 = к, г = I, получаемый оператор дк,з, для которого 3 > г = I и значит (к,3) < (к,1).

4.2. Конструкция и -проектора

Введем следующие обозначения П+ = {(г,3) | 1 ^ г,3 ^ п} и П+ = {(г,3) | 1 ^ ^ г <3 ^ п}. Разобьем П+ на непересекающиеся подмножества:

П = Г1 и Г2и ...и Гр

такие, что

Г1 = {(г,3) € П+ | г = 1, или 3 = п},

г2 = {(г,3) € п+ | г = 2, или 3 = п — 1},

Гр = {(г,3) € П+ | г = р, или 3 = п — р + 1}.

Заметим, что Гр > Гр-1 > ... > Г1, согласно порядку (4.2). Для любого 1 ^ т ^ р обозначим

Рт Бт,т+1Бт,т+2 • • • Бт,п-тБт,п-т+1Бт+1,п-т+1 • • • Бп-т,п-т+1.

Пример 4.5. При п = 7,р = 3 по правилу (4.1). При этом:

1 = Б1,2 ^1,3^1,4 Б 1,5 Б 1,6 Б 1,7 02,703,704,705,7^6,7,

Р2 = Б2,3 Б24Б25 Б2,6Б3,6Б4,6Б5,6, Р3 = Б34 Б35Б45.

Рассмотрим оператор

Р = Рр ••• Р2Р1.

Лемма 4.6. Для любой пары (г,3) € П существует такой т, что (г,3) € Гт. Тогда д,,з(Рт(а)) = 0 для любого а € Ар.

Доказательство. Так как (г,3) € Гт, то возможны следующие варианты: г = = т или 3 = п — т + 1 .

1. Случай г = т. Из леммы 4.4 вытекает, что

дт,3 (Рт(а)) дт,3 (Бт,т+1 • • • Бт-1,3Бт,3 • • • Бп-т,п-т+1(а)) Бт,т+1 • • • Бт-1,3дт,3 (Бт,3 • • • Бп-т,п-т+1(а)) 0,

поскольку дт,3(Бт,3(Ь)) = 0 для любого Ь € Ар.

2. Случай 3 = п — т +1. Оператор

—т+1 коммутирует со всеми Ба,в, где (а, в) € Гт, кроме случая, когда (а, в) = (т,г). Применяя лемму 4.4, получаем

di,n-m+1(Pm(a)) —

Sm,m+1 ' ' ' di,n-m+1 (Sm,i ' ' ' Si,n-m+1 ' ' ' Sn-m,n-m+1 (a)) Sm ,m+1 ' ' ' Sm,idi,n-m+1 (Sm,i+1 ' ' ' Si,n-m+1 ' ' ' Sn-m,n-m+1(a)) + +Sm,m+1 ' ' ' Cm,iSm,idm,n-m+1(Sm,i+1 ' ' ' Sm,n—m+1 ' ' ' Sn—m,n—m+1(a))

Sm,m+1 ' ' ' Sm,i ' ' ' di,n-m+1 (Si,n-m+1 ' ' ' Sn-m,n-m+1 (a)) + +Sm,m+1 ' ' ' Cm,iSm,i ' ' ' dm,n-m+1 (Sm, n-m+1 ' ' ' Sn—m,n—m+1(a)) 0

для любого a € Ad .

Лемма 4.7. Если (i,j) € Гт и (k,l) € Г4, где t > m, то либо di j коммутирует с Sk}i, либо

di,j (Sk,i(a)) — Sk,i (dij (a)) + Fda,ß (a),

где F — некоторый оператор в Ad и (a,ß) € Гт.

Доказательство. Непосредственно вытекает из леммы 4.4. Теорема 4.8 Оператор P: Ad ^ Ad является проектором на АД. Доказательство. Элемент a € Ad является U-инвариантом тогда и только тогда, когда dij (a) — 0 для любых (i,j) € П. Отсюда легко видеть, что P(a) — a для любого U-инварианта a € Ad .

Осталось показать, что для любого a € Ad образ P (a) является U-инвариантом, то есть

di,j(P(a)) — 0 для любых (i,j) € П.

Пусть (i,j) € П. Тогда (i,j) € Гт для некоторого номера 1 ^ m ^ р. Тогда по леммам 4.6 и 4.7

dij (P (a))— dij (PpPp-1 ■■■ Pm(a))— J2 Fa,ß даф Pm(a) — 0,

(а ,ß)eTm

где a — Pm-1 ■■■ P1(a) и Fa,ß — некоторый оператор на Ad. Из леммы 4.6 да ß(Pm(a)) — 0 для всех (а, ß) € Гт. Таким образом, для любого (i,j) € П+ di j (P (a)) — 0.

Следующая цель: примерить проектор P для нахождения системы образующих элементов в поле U-инвариантов. Для этого построим сечение L и введем следующие обозначения:

V — {(a,b) € П | a + b — n + 1, b ^ Ш} — элементы побочной диагонали,

лежащие под главной диагональю.

Для любой пары (a, b) € V' рассмотрим наборы:

Г+ b — {(m,b) I b ^ m < a} — столбец над (a,b),

Г- ь — {(a,k) I b < k < a} — строка справа от (a, b).

Г — U (Г+,b и Г- b).

(a, b)eD'0

Рассмотрим подмножество L С V, состоящее из матриц вида:

L — {X € Mat(n, K) I xi j — 0 при (i,j) € Г и Xi j — 0 при (i,j) € V'}. (4.5)

Теорема 4.9. Алгебра АД есть кольцо многочленов от {P(xi)| (i,j) € П\Г}, локализованное по системе знаменателей, порожденной

P(V) — {P(Xi j)| (i,j) € V}.

Доказательство. Рассмотрим множество L, задаваемое условием (4.5). Обозначим через ResL отображение ограничения f ^ f \L алгебры U-инвариантов AD в K(L).

Известно, что замыкание TLT-1 всюду плотно в X (смотри [4]). Поэтому отображение ограничения ResL является вложением AD ^ K(L). Заметим, что

• при г + j <n + 1 : ResL(Q,j) = ResL ff11) = 0,

• при г + j > n + 1 : ResL(Q,j) = ResL (-M•j• = 0 для всех (г,j) £ П \ Г.

Поэтому ReSbSij (f) = ResLf, для любого f £ AD и любых (г,j) £ П+.

Как следствие ResLP(f) = ResLf для любого f £ AD. Рассмотрим систему U-инвариантов

{P(xij) \ (t,j) £ П \ Г}.

При ограничении на L получаем систему {ResL(xj j) \ (г,j) £ П\Г}, свободно порождающую кольцо многочленов на L. Поэтому Im(ResL) содержит кольцо многочленов на L. Так как

Resb(Aj) = ResL(xnji • • • xi,n-i+i) = ResL (P(xn,i) ■ ■ ■ P(xi^-i+i)),

то Ai = P(xni) ■■■ P(xitn-i+1). Локализации по D и P(V) совпадают; образ Im(ResL) совпадает с кольцом регулярных функций K[L], являющимся локализацией кольца многочленов на L по системе знаменателей, порожденной

{ResL(xi,j)}(i,j)ev.

Отсюда aAD - кольцо многочленов от {P(xi,j)\ (г,j) £ П \ Г}, локализованное по системе знаменателей, порожденной P (V).

Теорема 4.10. Поле U-инвариантов есть поле рациональных функций от

{P(xij)\ (г,j) £ П \ Г}.

Доказательство. Как и в теоремах 2.15 и 3.2, используя тот факт, что поле инвариантов унипотентной группы U является полем частных кольца инвариантов ADD, и учитывая результат теоремы 4.9, получаем доказательство.

Автор благодарна А.Н. Панову за помощь и внимание к статье.

Литература

[1] Miyata K., Invariants of certain groups // Nagoya Math. Journal. 1971. № 1(41). C. 69-73.

[2] Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Алгебраическая геометрия. Итоги науки и техн. Сер.: Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. 1989. № 4(55). C. 137-309.

[3] Винберг Э.Б. Рациональность поля инвариантов треугольной группы // Вестник МГУ. Сер.: Математика и механика. 1982. № 2. С. 23-24.

[4] Вяткина K.A., Панов А.Н. Поле U-инвариантов присоединенного действия группы GL (n, k) // Мат. заметки. 2013. № 1(93). C. 144-147.

[5] Вяткина К.А. Поле инвариантов борелевской группы присоединенного представления GL(n,K) // Вестник Самарского государственного университета, Естественнонаучная серия. 2014. № 3(114). С. 34-40.

[6] Panyushev D.I. Complexity and rank of actions in invariant theory // Jounal of Mathematical Sciences. 1999. № 1(95). С. 1925-1985.

References

[1] Miyata K. Invariants of certain groups. Nagoya Math. Journal, 1971, no. 1(41), pp. 69-73 [in English].

[2] Vinberg E.B., Popov V.L. Invariant theory. Algebraicheskaia geometriia. Itogi nauki i tekhn. Ser.: Sovrem. probl. mat. Fundam. napravleniia [Algebraic geometry. Itogi Nauki i Tekhniki. Seriya "Sovremennye Problemy Matematiki. Fundamental'nye Napravleniya"]. Moscow, 1989, no. 4(55), pp. 137--309 [in Russian].

[3] Vinberg E.B. Rationality of the field of invariants of a triangular group. Vestn. MGU. Ser.: Matematika i mekhanika [Moscow University Mechanics Bulletin and Moscow University Mathematics Bulletin], 1982, no. 2, pp. 23-24. [in Russian]

[4] Vyatkina K.A., Panov A.N. Field of U-invariants of adjoint representation of the group GL(n, K). Mat. zametki [Mathematical Notes], 2013, no. 1(93), pp. 144-147 [in Russian].

[5] Vyatkina K.A Field of borel group invariant of adjoint reprepentation of the group GL(n, K). [Vestnik of Samara State University. Natural Science series], 2014, no. 3(114), pp. 34-40 [in Russian].

[6] Panyushev D.I. Complexity and rank of actions in invariant theory. Jounal of Mathematical Sciences, 1999, no. 1(95), pp. 1925-1985 [in English].

K.A. Vyatkina3

U-PROJECTION FOR THE ADJOINT REPRESENTATION OF THE GROUP GL(n,K)4

In the paper we study rings and fields of invariants for the adjoint representation of the group GL(n,K) over the field of zero characteristic. The aim of this paper is to construct the special linear operator, we call it U-projector, that maps any polynomial on the matrix algebra to an U-invariant rational function. In this paper we present two different constructions of U-projector. Using the U-projector we obtain the system of generators of the field of U-invariants of the adjoint representation of the group GL(n,K). We obtain the system of generators of the field of U-invariants for the restriction of the adjoint representation to the subgroup of block-diagonal matrices.

Key words: field of invariants, adjoint representation, unitriangular group, solvable group, algebra of invariants, representations of groups, locally nilpotent derivation, system of generators.

Статья поступила в редакцию 25/IX/2015. The article received 25/IX/2015.

3 Vyatkina Kseniya Anatolievna ([email protected]), Department of Algebra and Geometry, Samara State University, 1, Acad. Pavlov Street, Samara, 443011, Russian Federation.

4The work of the author is supported by the grants of the Russian Foundations for Basic Research 14-01-97017 and 14-01-31052.