Собственные значения и векторы матрицы в идемпотентной алгебре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 2

Н. К. Кривулин

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ В ИДЕМПОТЕНТНОЙ АЛГЕБРЕ*

1. Введение. Многие практические задачи анализа технических, экономических и производственных систем с использованием моделей и методов идемпотентной алгебры [1-5] требуют нахождения собственных чисел и векторов матрицы некоторого обобщенного линейного оператора. При этом под собственным значением квадратной матрицы А, как обычно, понимают любое число А, для которого существует такой ненулевой (в смысле идемпотентной алгебры) вектор х, что выполняется равенство

А ® х = А ® х,

где знак ® обозначает операцию умножения алгебры.

В качестве базового объекта идемпотентной алгебры обычно рассматривают коммутативное полукольцо с идемпотентным сложением, нулем и единицей. В то же время, многие практические задачи приводят к идемпотентному полукольцу, в котором всякий ненулевой элемент обладает обратным по умножению. Учитывая групповые свойства умножения, такое полукольцо иногда называют идемпотентным полуполем [4].

Следует заметить, что методы решения проблемы собственных значений в идемпо-тентной алгебре, представленные в литературе, рассматривают, как правило, случай идемпотентного полуполя, а не общий случай идемпотентного полукольца. При этом указанные методы обычно отличаются от классического подхода, который в значительной степени опирается на анализ характеристического многочлена матрицы.

Впервые решение проблемы собственных значений для полуполей было представлено в работах [1, 6, 7], где собственные значения и векторы находились прямо из уравнения А ® х = А ® х с применением методов теории графов. Похожие решения, дополнительно использующие свойства степенного ряда Iф АфА2 ф- • •, были получены в [2-4]. В весьма общем виде проблема собственных значений была решена в работах [5, 8]. В частности, было показано, как решение, полученное для полуполей, может быть распространено на случай произвольного идемпотентного полукольца [8].

В настоящей работе для случая идемпотентного полуполя предлагается новый подход к решению проблемы собственных значений, опирающийся на применение некоторых идемпотентных аналогов определителя [9] и характеристического многочлена матрицы. В случае неразложимых матриц это позволяет, как и в обычной алгебре, свести проблему существования собственного значения к задаче отыскания корней характеристического многочлена, которая в идемпотентной алгебре решается достаточно просто. Указанный подход позволяет легко получить известное выражение для собственного числа неразложимой матрицы как результат решения характеристического уравнения, не прибегая к громоздким доказательствам. При этом оказывается возможным искать собственные векторы матрицы как решение некоторого однородного уравнения, применяя методы решения уравнений, предложенные в [9].

В работе сначала дается краткий обзор основных понятий идемпотентной алгебры, представлены вспомогательные результаты, включая общее решение однородного ли-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00840).

© Н. К. Кривулин, 2006

нейного уравнения. Далее рассматриваются вопросы существования и единственности собственного числа неразложимой матрицы, определяется выражение для его вычисления, а также общий вид собственного вектора. Затем эти результаты обобщаются на случай произвольной (разложимой) матрицы и обсуждается проблема нахождения базиса собственного подпространства. В заключение получено одно полезное неравенство для степеней матрицы и ее собственного числа, а также рассмотрены некоторые экстремальные свойства собственных значений и векторов матрицы.

2. Идемпотентная алгебра. Пусть X — числовое множество, на котором заданы две операции: сложение ф и умножение Будем предполагать, что (X, ф, является идемпотентным полуполем, т. е. коммутативным полукольцом с нулем и единицей, в котором сложение идемпотентно, а для каждого ненулевого элемента существует обратный относительно операции умножения.

Обозначим нулевой и единичный элементы полукольца (X, ф, символами 0 и 1 соответственно. Пусть X+ = X \ {0}. Тогда для любого x G X+ существует обратный элемент x_1. Кроме того, будем считать, что = 0.

Для любых x G X и y G X+ стандартным путем вводится степень xy. Как обычно, положим x0 = 1, 0y = 0. Далее обозначение степени будет использоваться только в смысле идемпотентной алгебры. Однако, при записи выражений на месте показателя степени будут, для простоты, применяться обычные арифметические операции.

В силу идемпотентности сложения на X определено отношение < линейного порядка по правилу: x < y тогда и только тогда, когда x ф y = y. Ниже знаки операций отношения будут пониматься только в смысле указанного линейного порядка. Заметим, что в соответствии с таким порядком для любого x G X выполняется x > 0.

Полукольцами рассматриваемого типа являются, например, (R U {—сю}, max, +), (R U {+ю}, min, +), (R+, max, х) и (R+ U {+ю}, min, х), где R — множество всех вещественных чисел, R+ — множество неотрицательных вещественных чисел.

Так, в полукольце (R U{—сю}, max, +) нулем является —с, а единицей — число 0. Для любого x G R определен обратный элемент x_1, который равен —x в обычной арифметике. Для любых x,y G R определена степень xy, значение которой соответствует арифметическому произведению xy. Отношение порядка имеет обычный смысл.

В полукольце (R+ U {+с}, min, х) нулем является +с, единицей — число 1. Обратный элемент и степень имеют обычный смысл. Отношение < определяет порядок, который является обратным по отношению к обычному линейному порядку на R+.

3. Определения и вспомогательные результаты. 3.1. Алгебра матриц. Для любых матриц A, B G Xmxn и C G Xnxl, а также числа x G X обычным путем определяются операции сложения и умножения матриц и операция умножения матрицы на число, т.е. для всех i,j выполняется

n

{A ф B}ij = {A}ij ф {B}ij, {B ® C}ij = 0{B}ik ® {C}kj, {x ® A}ij = x ® {A}ij.

k=i

Матричные операции ф и ® обладают свойством монотонности, т. е. для любых матриц A, B, C и D подходящего размера из неравенств A < C и B < D следуют неравенства A ф B < C ф D и A ® B < C ® D.

Как обычно, квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю, и треугольной, если равны нулю все ее элементы выше (ниже) диагонали. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом 0. Матрица I = diag(1,..., 1) называется единичной.

Матрица А называется псевдообратной [1] для матрицы А, если {А }^ = {А}-^ для всех г,]. Если А, В € Х+Хт, то из неравенства А < В, очевидно, следует А- > В-.

Квадратная матрица называется разложимой, если путем перестановки строк вместе с такой же перестановкой столбцов ей можно придать блочно-треугольную форму. В противном случае матрица называется неразложимой.

3.2. Линейное векторное пространство. Для любых двух векторов а, Ь € Хп, где а = (а\,..., ап)Т, Ь = (Ь\,..., Ьп)т, и числа х € X определены операции

а ф Ь = (а,1 ф Ь\,...,ап Ф Ьп)Т, х ® а = (х ® а\,...,х ат)Т.

Нулевым вектором называется вектор 0 = (0,..., 0)т.

Множество векторов Хп с операциями ф и ® называется обобщенным линейным векторным пространством (или просто — линейным векторным пространством).

Вектор Ь называется линейно зависимым от векторов а\,..., ат, если он является их линейной комбинацией, т. е. Ь = х\ ® а\ ф ••• ф хт ® ат, где х\,... хт € X.

Нулевой вектор линейно зависит от любой системы векторов.

Две системы векторов а\,..., ат и Ь\,...,Ьи называются эквивалентными, если каждый из векторов одной системы линейно зависит от векторов другой системы.

Система векторов а\,..., ат называется линейно зависимой, если хотя бы один из них линейно зависит от остальных, и линейно независимой — в противном случае.

Рассмотрим любую систему ненулевых векторов а\,... ,ат и обозначим через А матрицу со столбцами а\,..., ат. Для любого вектора а к, к = 1,...,т, определим множество индексов его нулевых координат Iк . Пусть а'к — вектор, полученный из аь путем вычеркивания всех таких координат, а А(к) — матрица, полученная из А путем вычеркивания столбца аь, всех строк с индексами г € 1к, а также каждого столбца с индексом ] таким, что ац = 0 хотя бы для одного г € 1к.

Справедливы следующие утверждения [9] (см. также [2]).

Лемма 1. Система векторов а\,..., ат € Хп \{0} является линейно независимой тогда и только тогда, когда ® (а'— ® А)-)- ® а[ = 1 для всех г = 1,...,т.

Следствие 1. Чтобы построить линейно независимую подсистему, эквивалентную системе а\,...,ат, достаточно последовательно исключить из этой системы каждый вектор аг = 1,...,т, для которого (А® (а'— ® А^)-)- ® а[ = 1, где матрица составлена только из тех столбцов Акоторые еще не исключены.

3.3. Многочлены. Многочленом от одной переменной х называется выражение

Р (х) = ао ф ат ® х

т

т=1

где числа ао,. ..,ап € X — коэффициенты многочлена.

Лемма 2. Если ао < 1 и ат = 0 хотя бы для одного т > 0, то уравнение Р(х) = 1 имеет единственное решение

ат

-1

1/т \

Доказательство. Ясно, что функция Р(х) является непрерывной и при этом принимает значения как больше, так и меньше единицы. Следовательно, решение уравнения Р(х) = 1 существует. Учитывая, что Р(х) — монотонная функция, нетрудно проверить, что уравнение имеет единственное решение.

т

х

Пусть x — решение уравнения P(x) = 1. Тогда для всех m = 1,...,n выполняется неравенство am ® xm < 1, которое равносильно неравенству x-1 > аЦт. Складывая эти неравенства и учитывая, что по крайней мере для одного m имеем равенство x-1 = aOm/n, получим x-1 = ai ф • ■■ ф аППп, откуда следует требуемое решение. □

3-4- Квадратные матрицы. Пусть A = (а^) G Xnxn —произвольная квадратная матрица. Целая неотрицательная степень матрицы A определяется обычным путем, т.е. A0 = E, Ak+l = Ak ® Al для любых k,l = 0,1,2,...

Число Л называется собственным значением (числом) матрицы A, если существует такой вектор x = 0, что

A ® x = Л ® x. (1)

Любой вектор x = 0, который удовлетворяет этому уравнению, называется собственным вектором A, соответствующим собственному числу Л.

Множество собственных векторов матрицы A, которые отвечают одному и тому же собственному числу Л, дополненное нулевым вектором, является линейным подпространством и называется собственным подпространством A, соответствующим Л.

Для любой матрицы A определим функции ее элементов

tr A = 0 аи, ТГ A =0tr Am

¿=1 т=1

Ясно, что для любых матриц А, В и числа х будем иметь

^(А © В) = ^ А © tr В, ^(х ® А) = х ® ^ А.

При исследовании линейных уравнений в идемпотентной алгебре функция Тг А играет роль определителя матрицы в том смысле, что ее значение может быть использовано для ответа на вопрос, имеет ли однородное линейное уравнение только тривиальное решение или у него имеются и другие решения [9].

4. Однородное линейное уравнение. Пусть задана матрица А € Хпхп. Однородным относительно неизвестного вектора х € Хп называется уравнение

А ® х = х. (2)

Решение х = 0 уравнения называется тривиальным.

Ясно, что все решения однородного уравнения образуют линейное пространство. Для описания решений уравнения (2) введем следующие обозначения [3, 4, 9]. Для любой матрицы А сначала определим матрицу

А+ = Е © А © ■■■ © Ап-1.

Для каждого г = 1,...,п обозначим через а+ столбец с индексом г матрицы А+, а через ат диагональный элемент в строке г матрицы Ат. Пусть Тг А = 1. Обозначим через А* матрицу со столбцами

+ I а+, если ат = 1 для некоторого т = 1,...,п, г 1 0, в противном случае,

для всех г = 1,...,п. Если Тг А = 1, то положим А* = 0. 32

4.1. Неразложимые матрицы. Нетрудно показать (см. например, [9]), что любой вектор х, который является нетривиальным решением однородного уравнения (2) с неразложимой матрицей А, не имеет нулевых координат.

Кроме того, имеет место следующий результат [9].

Лемма 3. Пусть х — общее решение однородного уравнения (2) с неразложимой матрицей А. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если Тг А = 1, то х = А* ® V для всех V € Хп;

2) если Тг А = 1, то имеется только тривиальное решение х = 0.

Заметим, что определив А* = 0, когда Тг А = 1, общее решение всегда можно записать в виде х = А* ® V, независимо от величины Тг А.

4.2. Разложимые матрицы. Предположим, что матрица А является разложимой. Путем перестановки строк вместе с такой же перестановкой столбцов ей может быть придана блочно-треугольная нормальная форма

A

( An A21

V Asi

0

A22 A.,2

0 0

A.

(3)

/

где An —либо неразложимая, либо нулевая матрица размера щ х щ, Aj —произвольная матрица размера щ х nj для всех j < i, i = 1,...,s, при условии, что ni +-----+ ns = n.

Пусть матрица A приведена к нормальной форме (3). Совокупность строк (столбцов) матрицы A, соответствующих каждому диагональному блоку An, будем называть горизонтальным (вертикальным) рядом. Заметим, что Tr A = Tr A11 ф ■ ■■ ф Tr Ass.

Обозначим через Io множество индексов i, для которых выполняется равенство Tr An = 1, а через Ii —множество индексов, для которых Tr An > 1.

Пусть сначала Ii = 0. Ясно, что матрицу A всегда можно представить в виде A = T ф D, где T — блочная строго треугольная, а D —блочно-диагональная матрица:

T =

0

A21

0

A

D =

11

\

A.

\ А31 ... А3,3-1 0/

Определим следующие вспомогательные матрицы:

= ^(А+ ,...,А+ ), С = ® Т, Б* =<И^(А*п ,...,А*аа).

Легко проверить, что С+ = I ф С ф^ • • ф С-1. Кроме того, матрица С+ имеет нижнюю блочно-треугольную форму с блоками С++, размер которых совпадает с размером соответствующих блоков А^ матрицы А.

Если 11 = 0, то рассмотрим матрицу А, полученную из А путем замены всех блоков ее вертикальных рядов г € 11 на нулевые. Обозначим блоки матрицы А через А^.

Представим матрицу А в виде А = Т ф Б, где Т — блочная строго треугольная, а Б — блочно-диагональная матрицы, и положим

D+ = diag(A+i,...,A+ ), C = D+ ® T, D* =diag(D*ii,...,D*ss),

0

0

где диагональные блоки матрицы В* для всех ] = 1,...,в определяются так:

0, если ] € 1о и С++ = 0 хотя бы для одного г € II,

В*- =

33 1 в противном случае

Все решения однородного уравнения находятся следующим образом [9].

Лемма 4. Пусть х — общее решение однородного уравнения (2) с .матрицей А, представленной в форме (3). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если Тг А < 1, то имеется только тривиальное решение х = 0;

2) если Тг А = 1, то х = С+ ® В* ® V для всех V € Хп;

3) если Тг А > 1, то х = С+ ® В* ® V для всех V € Хп; причем имеется только тривиальное решение х = 0, когда 1о =

Нетрудно видеть, что формально общее решение (2) всегда можно представить в виде х = С + ® В* ® V, независимо от величины Тг А.

Опираясь на лемму 4, легко проверить справедливость следующих утверждений.

Следствие 2. Уравнение (2) имеет нетривиальное решение только тогда, когда 1о = т. е., если Тг Ац = 1 хотя бы для одного г = 1,...,в.

Следствие 3. Уравнение (2) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда В* = 0, т. е., когда В* = 0 хотя бы для одного г = 1,...,в.

Следствие 4. Если Тг А =1, то уравнение (2) имеет нетривиальное решение.

4.3. Пространство решений. В силу того, что общее решение однородного уравнения имеет вид х = В ® V, где В € Хпхп —некоторая матрица, V € Хп —любой вектор, пространство решений уравнения очевидно совпадает с линейной оболочкой столбцов матрицы В. Однако эти столбцы не обязательно являются линейно независимыми.

Для построения линейно независимой системы векторов, линейная оболочка которых совпадает с пространством решений уравнения, (т. е. базиса пространства решений) достаточно воспользоваться процедурой на основе леммы 1 и ее следствия.

5. Собственные значения и векторы матрицы. Покажем, как опираясь на решение однородного уравнения, можно найти все собственные числа и векторы матрицы.

Для любой матрицы А будем называть функцию Тг(Л-1 ® А) относительно числового параметра Л характеристическим многочленом, а уравнение

Тг( Л-1 ® А) = 1 (4)

характеристическим уравнением матрицы А.

5.1. Неразложимые матрицы. Для любой матрицы А и числа Л введем обозначения Ах = Л-1 ® А и А*х = (АЛ)*.

Теорема 1. Для того, чтобы число Л было собственным .значением неразложимой матрицы А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (4).

Доказательство. Представим (1) в виде уравнения А\ ® х = х. В силу леммы 3 уравнение имеет решение х = 0 тогда и только тогда, когда Тг А\ = Тг(Л-1 ® А) = 1, т.е., когда Л является корнем характеристического уравнения матрицы А. □

Следствие 5. Для любой неразложимой матрицы А существует единственное собственное число

п

Л =0^1/т (Ат). (5)

Доказательство. Рассмотрим характеристический многочлен матрицы А, который представим в виде

Tr(А-1 W A) = 0 tr(A-m W Am) = 0 А-т W tr Am

1 1 W A) =

m=1 m=1

а затем воспользуемся леммой 2. □

Следствие 6. Любой собственный вектор неразложимой .матрицы A, соответствующий собственному числу А, имеет вид x = A\ W v, где v G X+.

Доказательство. Учитывая, что собственный вектор матрицы A удовлетворяет уравнению A\ W x = x, и применяя лемму 3, получим требуемый результат. □

5.2. Разлож.имые матрицы. Предположим, что A — разложимая матрица, которая имеет форму (3), А — некоторое число, A\ = А-1 W A. Так же, как при исследовании однородного уравнения, введем матрицу A\ и представим ее в виде A\ = T\ ф D\, где T\ —блочная строго треугольная матрица, D\ —блочно-диагональная матрица. Затем определим матрицы D+, C\ и DJ.

Теорема 2. Пусть матрица A представлена в форме (3), Ai — собственное значение матрицы Aii, i = 1,...,s. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) все собственные значения матрицы A находятся среди чисел А1, ..., As;

2) для того, чтобы число А являлось собственным значением матрицы A, необходимо и достаточно, чтобы D\ = 0;

3) матрица A имеет по крайней мере одно собственное число А = А1 ф • • • ф Ая.

Доказательство. Представим (1) в виде уравнения A\ W x = x. В силу следствия 2, уравнение имеет нетривиальное решение только если Tr(А-1 W Aii) = 1 для некоторого i. По теореме 1 это означает, что А = Ai —собственное значение Aii.

Другие два утверждения прямо вытекают из следствий 3 и 4. □

Следствие 7. Любой собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному числу А, имеет вид x = C+ W D\ W v , где v G X+.

Доказательство. Прямо следует из теоремы 2 и леммы 4. □

5.3. Собственное подпространство матрицы. Как было установлено, собственное подпространство матрицы, которое отвечает какому-либо ее собственному числу, состоит из векторов вида x = B W v, где v —любой вектор. Для того, чтобы найти все линейно независимые собственные векторы, достаточно рассмотреть столбцы матрицы B и применить к ним процедуру, аналогичную процедуре нахождения базиса пространства решений однородного уравнения.

6. Неравенства для степеней матрицы. В работе [9] был получен следующий результат, который там использовался для анализа решений линейных уравнений.

Лемма 5. Если Tr A> 0, то при любом целом к > 0 выполняется:

1) если Tr A < 1, то Ak < (Tr A)(k+1)/n—1 W A+;

2) если Tr A > 1, то Ak < (Tr A)k W A+.

Покажем, что на самом деле имеет место более точное неравенство.

Лемма 6. Для любой матрицы A и целого к > 0 выполняется неравенство

n— 1

Ak <0 Ак-1 W Al, (6)

1=0

где число А определяется по формуле (5).

Доказательство. Нетрудно проверить, что неравенство выполняется при к < п. Пусть к > п. Покажем, что неравенство выполняется для каждого элемента ак матрицы Ак. Представим ак в виде

ак = 0 •• 0 ® ¿2 ®-'-®агк-13.

¿1=1 ¿Ь-1 = 1

Рассмотрим любое произведение S¿j = a¿¿1 ® а^2 ® •••& а^—1 ^. Если среди множителей a¿¿1, a¿1¿2,..., есть нуль, то S¿j = 0. Очевидно, что тогда S¿j < Ак—1 ® а^.

Пусть S¿j > 0. Перегруппируем множители произведения S¿j следующим образом. Сначала объединим все циклические произведения, состоящие из т = 1 множителя. Пусть «1 > 0 — количество таких произведений. Из числа оставшихся выберем циклические произведения из т = 2 множителей, а их число обозначим через а2. Продолжим эту процедуру для всех последующих значений т < п.

Учитывая, что каждое циклическое произведение из т множителей не превосходит величины ^ Ат, получим неравенство

п

< ® ^ (Ат) ® S'ij,

т=1 ат >0

где S'ij —произведение, которое не содержит циклов и состоит из некоторого числа множителей 1, 0 < I < п. При этом очевидно, что а1 + 2а2 + ••• + пап + I = к.

Нетрудно понять, что I = 0 только в случае, когда г = 2. Тогда, положив Slij = 1, если I = 0, приходим к неравенству S'ij < а^.

Обозначим вт = тат. Учитывая, что в1 + • • • + вп = к — I, получим

п п / п +-----

0 (Ат) =0 ^т/т(Ат) < 0 ^1/т(Ат И = Хк-1 .

т=1 т=1 т=1

ат >0 ат>0

Таким образом, имеем неравенство Sij < Ак—1 ® ак, откуда следует, что при любых г, 2 = 1,.. .,п выполняется

п п п— 1

4- = 0 • • • 0 аи1 ® aili2 ® • • • ® а< 0 Хк—1 ® ак.

¿1 = 1 ¿ь — 1 = 1 1=0

Следствие 8. Для любого целого к > 0 выполняется неравенство

^ Ак < Хк. (7)

Доказательство. Нетрудно видеть, что при А = 0 неравенство выполняется в форме равенства. Предположим, что А > 0.

Из (5) следует, что неравенство (7), а вместе с ним и неравенство А—к ® ^ Ак < 1 справедливы, если 0 < к < п. Тогда с учетом (6) при всех к > п будем иметь

п—1

^ Ак < Ак ®0 А—1 ® tr А1 < Ак. □

1=0

Воспользуемся неравенством (7) для доказательства следующего утверждения.

Лемма 7. Пусть A —матрица, представленная в своей нормальной форме (3), А1,...,А8 — собственные значения ее диагональных блоков, А = А1 ф • • • ф As.

Тогда величина А определяется выражением (5).

Доказательство. В силу неравенства (7), а также учитывая, что любая целая степень m > 0 матрицы A имеет нижнюю блочно-треугольную форму, получим

s s ni s n n

А = 0 Ai = 00 tr1/m(Am) = 00 tr1/m(Am) =0 tr1/m(Am). □

i=1 i=1 m=1 i=1 m=1 m=1

На основе доказанного утверждения, а также теоремы 2 можно заключить, что любая матрица A, независимо от того, является она разложимой или нет, всегда имеет собственной число А, которое вычисляется по формуле (5).

7. Экстремальные свойства собственного числа. Одно экстремальное свойство собственного числа неразложимой матрицы было установлено с использованием явного вида (5) собственного числа в работе [10]. Теперь это свойство и другие аналогичные результаты, которые находят применение, например, при решении задач аппроксимации матриц [10], будут получены более общим путем без применения (5).

Сначала заметим, что для любых векторов x, y G X+ выполняется неравенство

x W y- > (x- W y)-1 WI. (8)

Действительно, так как x- W y = x-1 W У1 ф • • • ф x-1 W yn > x-1 W yi для всех i = 1,...,n, имеем

x W y- > diag(x1 W yy-1, ...,Xn W y-1) > (x- W y)-1 W I.

Справедливы следующие утверждения, в которых символ min понимается в смысле заданного на X отношения <, индуцированного идемпотентным сложением.

7.1. Неразложимые матрицы.

Лемма 8. Пусть A —неразложимая матрица, А — ее собственное число. Тогда имеют место равенства

min x- A x = А, (9)

min (A W x)- W x = A-1, (10)

причем минимум достигается на любом собственном векторе матрицы A.

Доказательство. Пусть xo —собственный вектор матрицы A, соответствующий ее собственному числу А. Докажем сначала (9). Используя неравенство (8), получим

x- W AW x = x- W AW x W x0- W x0 > x- W AW x0 W (x- W x0)-1 = А.

Осталось проверить, что x- W A W x = А при x = xo.

Для доказательства (10) применим неравенство (8) в форме x W x- > I. Будем иметь

(A W x)- W x > (A W x0 W x- W x)- W x = (x- W x)-1 W (A W x0)- W x = A-1.

Учитывая, что (A W xo)- W xo = А-1, приходим к требуемому результату. □

7.2. Разлож.имые матрицы. Покажем, как результаты леммы 8 могут быть распространены на случай разложимых матриц. Сначала рассмотрим утверждение (9).

Пусть матрица A имеет форму (3). Введем нижнюю блочно-треугольную матрицу A с блоками Aj = А—1 ® Aj для всех i = 1,...,s, j = 1,...,i, где Xi — собственное число матрицы Aii. Положим А = Xi ф • • • ф Xs.

Как и раньше, представим A в виде A = T ф D, а также определим матрицы

D+ = diag(A+ ,...,A+ ), C = D+ ® T, D* =diag(Ali,...,ASs).

Лемма 9. Пусть A —матрица, представленная в форме (3), Xi > 0 для всех i = 1,...,s. Тогда имеет место равенство

min x— <g> A <g> x = А, xex+

причем минимум достигается при x = C + <g> D* ® v для всех v G X+.

Доказательство. Пусть xi = 0 обозначает вектор порядка ni, i = 1,...,s. Для любого вектора x = (xT,..., xf )T в силу (9) будем иметь неравенство

s i s s

x— ® A <g> x = 0 0 x— ® Aij ® xj > 0 x— ® Aii ® xi >0 Xi = X. i=1 j=1 i=1 i=1

Предположим, что вектор x G X+ является нетривиальным решением однородного уравнения A ® x = x. Покажем, что при таком выборе вектора x полученное неравенство превращается в равенство.

Рассмотрим уравнение, соответствующее горизонтальному ряду i матрицы A:

ii xi СО Aij ® xj = А— ® СО Aij ® xj.

j=1 j=1

Умножая обе части уравнения слева на Xi ® x—, получим

i

0 x— ® Aij ® xj = Xi, j=1

откуда следует, что

s i s

x— ® A <g> x = 0 Q)x— ® Aij ® xj = 0 Xi = X.

i=1 j=1 i=1

Применим к уравнению A ® x = x лемму 4. Учитывая, что Tr A =1, получим решение уравнения в виде x = C + ® D* ® v при любом v G X+. □

В заключение рассмотрим утверждение (10). Для матрицы A в форме (3) обозначим через I множество индексов i таких, что Aj = 0 для всех j = 1,...,i — 1. Будем считать, что множество I всегда содержит индекс 1.

Обозначив через Xi собственное число матрицы Aii для всех i = 1,...,s, определим величину

X—1=е X—1.

iei

Введем нижнюю блочно-треугольную матрицу A. Для всех i = 1,...,s положим Aj = А-1 W Aij, если j < i, и

A =i A-1 W Au, если i G I, ii 0, если i G I.

Представим матрицу A в виде A = T ф D и определим матрицы

D + = diag(A+1 ,...,A+s), c = D + W T, D * =diag(A;1,...,A;s).

Лемма 10. Пусть A —матрица, представленная в форме (3), Ai > 0 для всех i = 1,...,s. Тогда имеет место равенство

min (A <g> x)- <g> x = А-1, жех+

причем минимум достигается при x = С + W D* W v для всех v G X+.

Доказательство. Ясно, что в силу (10) при любом векторе x g X+ выполняется

si

(А ® х) ® X = 0 10 А^ ® Хз I ® хг > 0(Аи ® хг) ® хг > 0 Х- 1 = А 1.

г=1 у 3=1 I ге1 ге1

Пусть вектор х = 0 удовлетворяет однородному уравнению А ® х = х. Покажем, что при этом условии имеет место равенство (А ® х)- ® х = Х-1.

Действительно, из уравнения А ® х = х для каждого г € I получим равенство

г

хг СО А13 ^ хз = Х- ^ Агг ^ хг.

3=1

Применим ко всем частям равенства операцию псевдообращения, а затем умножим их справа на Х-1 ® хг. В результате приходим к равенству

0 Агз ® хз I ® хг = (Аи ® хг)- ® хг = Х-1. \3=1 )

В случае, когда г € I, имеем

i-1

xi = ф Aij W xj = A-1 W 0 Aij W xj < A-1 W 0 Aij W ;

j=1 j=1 j=1

откуда следует, что

(£)Агз ® хз | ® хг < Х-1. \3=1

Тогда для рассматриваемого вектора х имеем неравенство

(А ® х)- ® х = 0 10 Агз ® хз | ® хг 0 0 10 Агз ® хз 1 ® хг < Х-1 гет уз=1 ) гет \з=1

Так как всегда выполняется противоположное неравенство, приходим к заключению, что (А ® х)- ® х = Л-1.

Ясно, что Тг А = 1. Тогда по лемме 4 однородное уравнение А ® х = х имеет решение х = С+ ® В * ® V для всех V € Х+. □

Summary

N. K. Krivulin. Eigenvalues and eigenvectors of matrices in idempotent algebra.

The eigenvalue problem for the matrix of a generalized linear operator is considered. In the case of irreducible matrices, the problem is reduced to the analysis of an idempotent analogue of the characteristic polynomial of the matrix. The eigenvectors are obtained as the solution of a homogeneous equation. The results are then extended to cover the case of an arbitrary matrix. It is shown how to build the basis of the eigensubspace of a matrix. In conclusion, an inequality for matrix powers and eigenvalues is presented, and some extremal properties of eigenvalues are considered.

Литература

1. Воробьев Н.Н. Экстремальная алгебра положительных матриц // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1967. Bd. 3, N 1. S. 39-72.

2. Cuninghame-Green R.A. Minimax algebra. Berlin: Springer-Verlag, 1979. (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol. 166)

3. Zimmermann U. Linear and combinatorial optimization in ordered algebraic structures. Amsterdam: North-Holland, 1981. (Annals of Discrete Mathematics, Vol. 10)

4. Baccelli F., Cohen G., Olsder G.J., Quadrat J.-P. Synchronization and linearity. Chichester: Wiley, 1992.

5. Маслов В.П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994.

6. Воробьев Н.Н. Экстремальная алгебра матриц // Докл. АН СССР. 1963. Т. 152, N 1. С. 24-27.

7. Воробьев Н.Н. Экстремальная алгебра неотрицательных матриц // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1970. Bd. 6, N 4/5. S. 303-312.

8. Дудников П.И., Самборский С.Н. Эндоморфизмы полумодулей над полукольцами с идемпотентной операцией. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. (Препринт / АН УССР, Ин-т математики; 87.48)

9. Кривулин Н.К. О решении обобщенных линейных векторных уравнений в идемпотентной алгебре // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 1. С. 21-34.

10. Кривулин Н.К. Об оценке средней скорости роста вектора состояний линейной динамической стохастической системы в идемпотентной алгебре // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 2. С. 48-57.

Статья поступила в редакцию 14 февраля 2006 г.