Экстремальное свойство собственного значения неразложимых матриц в идемпотентной алгебре и решение задачи размещения Ролса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ НЕРАЗЛОЖИМЫХ МАТРИЦ В ИДЕМПОТЕНТНОЙ АЛГЕБРЕ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ РОЛСА*

Н. К. Кривулин

С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

1. Введение. Модели и методы идемпотентной алгебры [1-7] находят применение при решении многих практических задач в технике, экономике и управлении. Использование языка идемпотентной алгебры позволяет некоторые нелинейные в обычном смысле задачи превращать в линейные, что в ряде случаев упрощает решение этих задач и его интерпретацию. В частности, многие классические задачи оптимизации (некоторые задачи теории графов, задачи динамического программирования, задачи аппроксимации) сводятся в терминах идемпотентной алгебры к решению линейных векторных уравнений, исследованию спектра линейного оператора и другим вычислительным проблемам такого же рода.

К числу практических задач, для решения которых применялись методы идемпотентной алгебры, относятся некоторые задачи размещения. Пример решения одномерной задачи размещения на графах представлен в работах [8, 3], где задача сводится к поиску экстремума некоторой рациональной (в смысле идемпотентной алгебры) функции. Однако развитая в этих работах техника ориентирована прежде всего на анализ многочленов и рациональных функций от одной переменной и оказывается малоэффективной в случае двух и более переменных, что в определенной степени сужает область ее применения.

В работах [9, 10] рассматривается класс задач оптимизации с ограничениями, в которых целевая функция является тах-сепарабельной (то есть, может быть представлена в виде максимума функций, каждая из которых зависит только от одной переменной). Приведен пример многомерной задачи размещения на графах с ограничениями и целевой функцией указанного вида. Предложена эффективная вычислительная процедура решения, применение которой, тем не менее, все же ограничено рассматриваемым классом задач.

Настоящая работа направлена на дальнейшее развитие методов идемпотентной алгебры и расширение области ее приложений. В работе получен новый результат, относящийся к спектральной теории линейных операторов на векторных полумодулях над идемпотентными полуполями, который состоит в уточнении одного экстремального свойства собственного числа оператора с неразложимой матрицей. Согласно этому свойству [6, 11, 12], собственное число оказывается минимальным значением некоторого функционала, заданного с помощью матрицы оператора на множестве векторов с ненулевыми координатами. Этот минимум достигается на любом собственном векторе матрицы. В настоящей работе показано, что множество векторов, на котором функционал может принимать минимальное значение, существенно шире, и дано описание этого множества.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00808).

© Н. К. Кривулин, 2011

Полученный результат дает эффективное средство для решения экстремальных задач, которые могут быть сведены к поиску экстремума указанного функционала. Из приведенного в работе примера следует, что так могут быть решены, например, минимаксные задачи размещения в многомерном евклидовом пространстве с прямоугольной и чебышёвской метрикой, включая некоторые задачи с ограничениями на допустимую область размещения. Эти задачи часто встречаются в прикладных моделях, например, в городском планировании при выборе места размещения объектов экстренной помощи.

В качестве иллюстративного примера рассматривается минимаксная задача размещения одиночного объекта на плоскости с прямоугольной метрикой [13, 14, 15]. Эта задача, которую называют также задачей Ролса и задачей определения 1-центра, имеет известное геометрическое решение [13, 14]. В работе дано новое алгебраическое решение, которое устанавливает интересную взаимосвязь между задачами размещения и свойствами собственного числа неразложимой матрицы в идемпотентной алгебре. Это приводит к общей схеме рассуждений, пригодной для решения других подобных задач. Учитывая, что преобразование исходной минимаксной задачи к нужному виду может оказаться не совсем тривиальным, развитие техники и демонстрация приемов такого приведения представляет самостоятельный интерес.

В работе сделан обзор основных понятий и результатов идемпотентной алгебры, используемых в последующем изложении. Затем исследуется экстремальное свойство собственного числа неразложимой матрицы. Рассматривается минимаксная задача размещения Ролса, для которой дано представление в терминах идемпотентной алгебры. Предложено алгебраическое решение задачи, которое опирается на экстремальное свойство собственного числа и сводится к нахождению собственных числа и векторов некоторой матрицы.

2. Предварительные результаты. В этом разделе приведены основные определения, обозначения и предварительные результаты идемпотентной алгебры из [11, 6], на которые опирается описание результатов в остальной части работы. Подробное изложение теории и методов идемпотентной алгебры дано в работах [1-5, 7].

2.1. Идемпотентное полуполе.

Пусть X — числовое множество, на котором заданы операции сложения ® и умножения 0. Будем предполагать, что {X, 0,1, ®, 0) является коммутативным полукольцом с нулем 0 и единицей 1, в котором сложение идемпотентно, а умножение обратимо. Учитывая, что ненулевые элементы такого полукольца образуют коммутативную группу по умножению, его обычно называют идемпотентным полуполем.

Операция возведения в степень определяется обычным путем. Введем обозначение X+ = X \ {0}. Для любого x G X+ и целого p > 0 имеем x0 = 1, xp = xp-1 0 x = x 0 xp-1, x-p = (x-1)p и 0p = 0.

Предполагается, что операция возведения в целую степень может быть естественным образом распространена на случай рационального, а затем и вещественного показателя степени.

Далее в алгебраических выражениях знак умножения 0, как обычно, опускается. Обозначение степени используется в смысле идемпотентной алгебры.

Идемпотентность сложения позволяет определить отношение < частичного порядка так, что x < у тогда и только тогда, когда x ® у = у. Из этого определения, в частности, следует справедливость неравенств x < x ® у и у < x ® у, а также свой-

ства изотонности операций сложения и умножения. Ниже знаки операций отношения понимаются в смысле указанного отношения порядка.

Нетрудно проверить, что биномиальное тождество принимает вид

(x ® у)а = xa ® уа, а > 0.

Примером полукольца рассматриваемого типа является идемпотентное полуполе вещественных чисел

Rmax,+ = {R U {—то}, —то, 0, max, +).

В Rmax,+ нулевым элементом является —то, а единичным — число 0. Для каждого x G R существует обратный элемент x-1, равный —x в обычной арифметике. Для любых x,у G R определена степень xy, значение которой соответствует арифметическому произведению xy. Частичный порядок < совпадает с обычным линейным порядком на R.

2.2. Идемпотентная алгебра векторов и матриц. На основе скалярных операций сложения и умножения, заданных на X, обычным путем определяются операции над векторами и матрицами. Рассмотрим декартово произведение Xn, элементы которого будем представлять в виде векторов-столбцов. Для любых двух векторов x = (xi) и у = (уг) и числа c G X сложение векторов и умножение вектора на число вычисляются по правилам

{x ® y}i = xi ® уг, {cx}i = cxi.

Множество Xn с указанными операциями образует векторный полумодуль над идемпотентным полуполем X.

Как обычно, вектор у G Xn линейно зависит от векторов x1,..., xm G Xn, если найдутся такие числа c1,... ,cm G X, что у = c1x1 ® • • • ® cmxm.

В частности, вектор у является коллинеарным вектору x, если у = cx.

Для любого вектора-столбца x = (xi) G X+ можно определить вектор-строку x- = (x-) с элементами x- = x-1. Для всех x, у G X+ из покоординатного неравенства x < у следует неравенство x- > у- .

Для любых матриц A = (aij), B = (bij) и C = (cj) подходящего размера сложение и умножение матриц, а также умножение матрицы на скаляр c G X выполняются в соответствии с формулами

{A ® B}ij = aij ® bij, {BC }ij = 0 bikckj, {cA}ij caij.

k

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается знаком 0.

Рассмотрим множество квадратных матриц Xnxn. Как обычно, матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, а недиагональные равны 0, называется единичной и обозначается символом I.

По отношению к операциям сложения и умножения матриц множество Xnxn образует идемпотентное полукольцо с единицей.

Для любой матрицы A = 0 и целого p > 0 имеем A0 = I, Ap = Ap-1A = AAp-1.

Следом матрицы A = (aij) называется число tr A = ац ® • • • ® ann.

Матрица является разложимой, если путем перестановки строк вместе с такой же перестановкой столбцов ей можно придать блочно-треугольную форму. В противном случае матрица называется неразложимой.

2.3. Собственные значения и векторы матрицы. Число Л является собственным значением матрицы А € Х”х”, если существует вектор х € X” \ {0}, для которого выполняется равенство Ах = Лх.

Любой вектор х = 0, удовлетворяющий этому равенству, является собственным вектором матрицы А, соответствующим Л.

Неразложимая матрица имеет только одно собственное число, которое вычисляется по формуле

”

Л =ф1Т1/т(Ат). (1)

т=1

Собственные векторы неразложимой матрицы не имеют нулевых компонент.

Все собственные векторы неразложимой матрицы А, которые соответствуют собственному числу Л, можно определить следующим путем. Сначала найдем матрицы

”— 1

А* = 0(Л-1А)ТО, Ах = Л-1АА*.

т=0

Пусть а* обозначает столбец г матрицы А*, — диагональный элемент (г, г)

матрицы Ах, г = 1,... ,п. Рассмотрим подмножество столбцов а* с индексами г, для которых выполняется аХ = 1. Из этого подмножества выберем столбцы, которые линейно не зависят от остальных, и составим из них матрицу А+.

Множество всех собственных векторов матрицы А совпадает с линейной оболочкой столбцов А+ (исключая нулевой вектор) и определяется равенством

х = А+в,

где в — любой ненулевой вектор соответствующей размерности.

3. Экстремальное свойство собственного числа. Пусть матрица А € Х”х” является неразложимой и имеет собственное число Л. Рассмотрим функцию ф(х) = х-Ах, заданную на множестве векторов Х+. Известно [12, 11, 6], что число Л является минимальным (в смысле отношения порядка, индуцированного на X идемпотентным сложением) значением функции ф(х), которое она принимает на любом собственном векторе матрицы А.

Покажем, что этот результат можно уточнить, существенно расширив множество векторов, для которых значение функции равно Л. Действительно, имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть А = (а^) € Х”х” —неразложимая матрица с собственным числом Л. Предположим, что и = (щ) и V = V) являются, соответственно, собственными векторами матриц А и АТ. Тогда справедливо равенство

шш х-Ах = Л,

хеХ+

где минимум достигается на каждом векторе

,ауа'

11 у1

{ пау*-1

0 < а < 1. (2)

\ пП<-1 1

Доказательство. Сначала так же, как в [11], покажем, что любой вектор х с ненулевыми координатами удовлетворяет неравенству х-Ах > Л. Возьмем собственный вектор и матрицы А и заметим, что хи- > (х-и)-11. Следовательно, х-Ах = х-Ахи-и > х-Аи(х-и)-1 = Лх-и(х-и)-1 = Л.

Осталось указать какой-либо вектор, для которого это неравенство становится равенством. Положив х = и, имеем х-Ах = Ли-и = Л. Кроме того, если х = (у-)т, то х-Ах = хТАт(х-)т = V-АтV = Ль-ь = Л.

Теперь выберем произвольное число а такое, что 0 < а < 1. Рассмотрим вектор х = (хі) с элементами Хі = п*у*-1, і = !,..., п. Представляя собственное число матрицы А в виде

П П

Л = (и-Аи)а^-АТ V)^-а = 0 ®п7аа« п* ф >

і=1 ,7 = 1 к = 1 1=1

п п п п

> Ф фп- *а77* 1 = ф ®хг 1 а7х7 = х Ах,

і=і 7=і і=і 7=і

находим, что для вектора х справедливо неравенство х- Ах < Л.

Учитывая, что всегда выполняется противоположное неравенство, заключаем, что вектор х удовлетворяет равенству х-Ах = Л. □

х

4. Минимаксная задача размещения. Рассмотрим минимаксную задачу размещения одиночного объекта на плоскости с прямоугольной метрикой и представим ее в терминах полуполя КтаХ1+.

Для любых векторов г = (т!,т2)т и в = (в!, в2)Т на плоскости К2 расстояние в прямоугольной метрике (которую также называют прямолинейной, манхеттенской, городской и Ьх-метрикой) находится по формуле

р(г, в) = \т\ - в! | + |Г2 - в2 |- (3)

Пусть имеется т > 2 точек гг = (тц,т2г)т и чисел Нг, г = \,...,ш. Задача

размещения состоит в том, чтобы найти множество точек х = (х!,х2)т, которые обеспечивают минимум

шш шах (р(гг, х) + Нг), (4)

жёК2 !<г<т

а также определить значение этого минимума.

Для задачи (4) известно решение, полученное на основе геометрического подхода в работе [13], где (4) называется задачей посыльного. Аналогичное геометрическое решение для случая, когда Нг = 0 при всех г, дано в [14].

Чтобы дать алгебраическое решение задачи, сначала запишем прямоугольную метрику (3) с использованием операций идемпотентного полуполя Ктах,+ :

р(г, в) = (в-!Т! ® Т-! в!)(в-!Т2 ® Т-!в2 ).

Представим задачу (4) в терминах Ктах,+ в виде

т

тіп Ф К(х-1ги ® т-і1хі)(х-1т2і ® т-і1Х2)

ж£К2

і=1

и обозначим целевую функцию через

т

ф(х) = ф Ы(х-}ти ® г-і1хі)(х-1 Г2і ® т-1Х2).

і=1

После соответствующих алгебраических преобразований получим

тт

ф(х) = х-1х-1 0 ЬіТцТ2і ® Х-1Х2 0 Ытцт-І1® і=1 і=1

тт

® хіх-1 0 Ьчт-і1Т2і ® хіХ2 ф Ыт-^т-1.

і=1 і=1

С учетом обозначений

т т т т

а = ф ЬіПіТ2і, Ь = ф Ытцт—1, с = ф Ніт-Ут2і, d = (£) Ыт-^т-

(5)

і=1

і=1

і=1

і=1

приходим к выражению

ф(х) = ах-!х-! ® Ъх—!х2 ® сххх-1 ® йх!'х2. Определим вектор у и матрицу А третьего порядка так

х1

У = I Х2_^

0 Ь 0

А = | с 0 а

0 d 0

(6)

Тогда целевую функцию можно записать в виде

0Ь0

ф(х) = ( х-1 х-1 х} ) | с 0 а

хі

Х2

У-АУ.

0 d 0

Теперь задача (4) сводится к задаче

тіп у Ау.

уЄК3

(7)

Ясно, что не всякое решение задачи (7) отвечает какому-либо решению задачи (4). В силу определения (6) подходящим решением будет только такой вектор у, у которого первая и последняя координаты являются взаимно обратными.

5. Алгебраическое решение задачи размещения. Рассмотрим задачу (7) и заметим, что матрица А, которая определена в (6), является неразложимой. В соответствии с леммой 1 имеем

шт у-Ау = \,

уЕ^3

1

х

0 Ь -1 Л 0 Л -2Ьс 0 Л -2аЬ

Л-1с 0 Л-1а | , 2 А 2 - Л 0 1 0

0 Л-1 й 0 Л 43 с 2 1 0 Л ~2аЛ

где Л обозначает собственное число А. При этом минимум достигается на любом векторе у, координаты которого вычисляются на основе координат собственных векторов и = (щ) и V = (уг) матриц А и Ат по формуле (2).

Применение (1) для нахождения собственного числа дает

Л = (Ьс ® ай)1/2.

Теперь следует отыскать собственные векторы матриц А и Ат, которые отвечают Л. Заметим, однако, что матрица Ат получается из А путем простой перемены мест Ь и с, а также а и с1. Поэтому будет достаточно найти собственные векторы для А, а затем прямо получить из них собственные векторы для Ат с помощью указанной перестановки символов.

Чтобы отыскать собственные векторы А, найдем матрицы

Л 1 .А ■

Учитывая, что Л2 > Ьс и Л2 > ай, вычислим матрицу

/ 1 Л-1Ь Л-2аЬ

А* = I ® Л-1 А ® Л~2А = I Л-1с 1 Л-1а

\ Л-2сй Л-1й 1

а также матрицу

Л-2Ьс Л-1Ь Л-2аЬ Ах = Л-1АА* = I Л-1с 1 Л-1а Л-2сй Л-1й Л-2ай

Исследуем диагональные элементы матрицы Ах. Имеем три случая.

5.1. Случай Л2 = Ьс> ай. В этом случае матрица Ах принимает вид

1 Л-1Ь Л-2аЬ Ах = I Л-1с 1 Л-1а Л-2сй Л-1й Л-2ай

В силу условия Л-2ай < 1 только первые два столбца матрицы А* являются собственными векторами А. Кроме того, нетрудно проверить, что эти столбцы кол-линеарны. Поэтому в качестве матрицы А+ можно взять только один из них.

Выбрав первый столбец, представим любой собственный вектор матрицы А в

виде

I 1 I

и = А+ в = I Л 1с I в, в € К.

У Л-2сс1 у

Меняя местами Ь и с, а также а и й, получим собственные векторы для Ат

1

Л-1Ь | Ь, Ь € К.

Л-2аЬ

Решение задачи (7) принимает вид

а„,а-1 1 и1

а„,а — 1

а — 1

-°3 и3

Х1—2аЬа—1еа

\2(1—‘2а)оа—1ьа—1^аза

вага—1,

в,г є к.

Учитывая, что первый и третий элементы вектора у должны быть взаимно обратными, запишем уравнение

ваЬа-1 = (Л2(1-2а)аа-1Ьа-1сайаваЬа-1)-1.

Решение уравнения относительно ваЬа-1 с подстановкой Л = (Ьс)1/2 дает

ваЬа-1 = (а1-аЬа са-1 й-а )1/2.

Возвращаясь к исходной задаче (4), получаем решение

( \1—2аЬа—1еа) в°Іа 1 (

(а1—аЬаса—1в—а

в—а)1/2 \ (а1—аЬа—1сав—а')1/2) .

5.2. Случай Л2 = ай > Ьс. Аналогично предыдущему случаю последовательно

найдем матрицы

X 2 Ьс X 1Ь X 2 аЬ Ах = І X — 1с 1 X — 1а

X—2св X-1в 1

А+

X 2аЬ X — 1а

Собственные векторы матриц А и Ат записываются в виде

X 2 аЬ

и = І X — 1а | в, V

1

X 2св

x—1в | г, в,г є к.

1

Решением задачи (7) является вектор

X21—2а)ааЬаса—1ва— 1 X1—2ааава— 1 1,

вага

в,г є к.

Чтобы получить решение задачи (4), потребуем выполнения равенства

вага—1 = (аа—1Ь—ас1—аза )1/2,

с учетом которого получим

(а1—аЬаса—1в—а)1/2 (ааЬ—ас1—ава—1)1/2

.

5.3. Случай X2 = Ьс = ав. Имеем матрицы

1 X—1с

X-1Ь X—2аЬ

А'А = І X—1 с 1

X—2cd X—1в

X — 1с

А+

X — 1с X—2св

а.

X

1

X

1

Опираясь на результат анализа первого случая, находим

= ( (а1—аЬаса—1в—а)1/2 \ = ( (ас—1)1/2 \ = ( (Ьв—1)1/2 \

Х = ^ (а1 —аЬа—1сав—а)1/^ = ^ (аЬ—1)1/^ = ^ (св—1)1/2 ) '

Полученные результаты сформулируем в виде следующего утверждения.

Лемма 2. Минимум в задаче (4) с учетом обозначений (5) равен X = (ав ® Ьс)1/2 и достигается на векторе х, который определяется следующими условиями:

1) если ad < bc, то

2) если ad > bc, то

3) если ad = bc, то

= (a1-abaca-1d-a)1/2

X =' (a1-aba-1cad-a)1/2

;

X

{ (a1-abaca-1d-a)1/2 \ ; У (aab-ac1-ada-1)1/2 ) ;

= f (ac-1 )1/2 \

X =\(ab-1)1/2 )

(ab-1)1/2

для всех а таких, что 0 < а < 1.

Нетрудно проверить, что указанные в лемме 2 три решения для разных условий можно представить в замкнутой форме в виде одного решения.

Следствие 1. Минимум А = (ad ® bc)1/2 в задаче (4) достигается на векторе

= f (a1-aba ca-1d-a)1/2 \

X = у А2a-1(a1-ab-ac1-ad-a)1/2 )

при всех а таких, что 0 < а < 1.

Переход к обычным арифметическим операциям дает следующий результат.

Следствие 2. Минимум в задаче (4) равен А = max(a + d,b + c)/2, где

a = max (hi + ru + r2i), b = max (hi + ru - r2i),

1<i<m 1<i<m

c = max (hi - ru + r2i), d = max (hi - ru - r2i),

1< i<Lm К i<im

и достигается на векторе

(a - c) + 2 (b - d)

(2а - і)А + - (a + c) - 2 (b + d)

)

при всех а таких, что 0 < а < 1.

X

Легко видеть, что полученное решение соответствует результатам, представленным в работах [13, 14].

В заключение автор выражает искреннюю благодарность рецензентам за ценные замечания и полезные предложения по тексту рукописи статьи.

Литература

1. Baccelli F., Cohen G., Olsder G. J., Quadrat J.-P. Synchronization and linearity: An algebra for discrete event systems. Chichester: Wiley, 1992. 514 p.

2. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994. 144 с.

3. Cuninghame-Green R. A. Minimax algebra and applications // Advances in Imaging and Electron Physics. Vol. 90 / Ed. by P. W. Hawkes. San Diego: Academic Press, 1994. P. 1-121.

4. Golan J. S. Semirings and affine equations over them: Theory and applications. New York: Springer, 2003. 256 p. (Mathematics and Its Applications, Vol. 556)

5. Heidergott B, Olsder G. J., van der Woude J. Max-plus at work: Modeling and analysis of synchronized systems. Princeton: Princeton University Press, 2005. 226 p. (Princeton Series in Applied Mathematics)

6. Кривулин Н. К. Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. 256 с.

7. Butkovic P. Max-linear systems: Theory and algorithms. London: Springer, 2010. 272 p. (Springer Monographs in Mathematics)

8. Cuninghame-Green R. A. Minimax algebra and applications // Fuzzy Set. Syst. 1991. Vol. 41. P. 251-267.

9. Zimmermann K. Disjunctive optimization, max-separable problems and extremal algebras // Theoret. Comput. Sci. 2003. Vol. 293, N 1. P. 45-54.

10. Tharwat A., Zimmermann K. One class of separable optimization problems: solution method, application // Optimization. 2008. Vol. 59, N 5. P. 619-625.

11. Кривулин Н. К. Собственные значения и векторы матрицы в идемпотентной алгебре // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2006. Вып. 2. С. 29-40.

12. Кривулин Н. К. Об оценке средней скорости роста вектора состояний линейной динамической стохастической системы в идемпотентной алгебре // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2005. Вып. 2. С. 45-54.

13. Elzinga J., Hearn D. W. Geometrical solutions for some minimax location problems // Transport. Sci. 1972. Vol. 6, N 4. P. 379-394.

14. Francis R. L. A geometrical solution procedure for a rectilinear distance minimax location problem // IIE Trans. 1972. Vol. 4, N 4. P. 328-332.

15. Moradi E., Bidkhori M. Single facility location problem // Facility Location / Ed. by R. Zanjirani Farahani, M. Hekmatfar. Heidelberg: Physica-Verlag, 2009. P. 37-68. (Contributions to Management Science)

Статья поступила в редакцию 16 июня 2011 г.