CC BY
20
УДК 519.63
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 1
Н. К. Кривулин
О РЕШЕНИИ ОБОБЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ИДЕМПОТЕНТНОЙ АЛГЕБРЕ
1. Введение. При анализе различных технических, экономических и производственных систем часто встречаются задачи, которые требуют решения векторных уравнений, линейных в некоторой идемпотентной алгебре [1—5]. В качестве основного объекта идемпотентной алгебры обычно рассматривают коммутативное полукольцо с идем-потентным сложением, нулем и единицей. В тоже время, многие практические задачи приводят к идемпотентному полукольцу, в котором всякий ненулевой (в смысле идемпотентной алгебры) элемент обладает обратным по умножению. Учитывая групповое свойство умножения, такое полукольцо иногда называют идемпотентным полуполем.
Заметим, что при переходе от идемпотентных полуколец к полуполям, идемпотент-ная алгебра приобретает важное общее свойство с обычной линейной алгеброй. При этом естественно ожидать, что решение некоторых задач идемпотентной алгебры может быть получено более простым путем и в более традиционной форме, в частности, за счет применения идемпотентных аналогов понятий и результатов обычной алгебры.
Рассмотрим, например, задачу решения относительно неизвестного вектора х уравнения А ® х ф Ь = х, где А — некоторая матрица, Ь — вектор, ф и ® — знаки операций сложения и умножения алгебры. Различные подходы к решению этого уравнения успешно развивались в работах [3-7] и других. Однако, большинство указанных работ рассматривают общий случай идемпотентного полукольца и потому представленные в них результаты нередко имеют слишком общий теоретический характер и не всегда удобны для практического применения. В части работ в основном исследуются условия существования решения уравнения и предлагается в явном виде только какое-либо его частное (например, минимальное) решение.
В настоящей работе предложен новый подход к решению линейных уравнений для случая идемпотентного полукольца с обратным по умножению (полуполя), который направлен на получение результатов в компактной форме, удобной как для их реализации в виде вычислительных процедур, так и для формального анализа. При доказательстве некоторых утверждений использованы приемы, разработанные в [1, 2, 4].
В работе сначала представлен краткий обзор некоторых основных понятий идемпо-тентной алгебры [2, 4, 5, 8], включая обобщенные линейные векторные пространства и элементы матричного счисления, а также приведен ряд вспомогательных результатов. Затем определяется некоторая функция, заданная на множестве квадратных матриц, которая рассматривается как некоторый идемпотентный аналог определителя матрицы, а также исследуются свойства матриц, связанные с величиной этой функции.
Указанная функция вводится так, чтобы она являлась (идемпотентным) многочленом от элементов матрицы и могла быть использована при исследовании линейных уравнений по-возможности так же, как обычный определитель в арифметическом пространстве. Такой аналог определителя представляется более удобным инструментом анализа уравнений, чем другие подобные конструкции, известные в литературе [2, 9].
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №04-01-00840). © Н. К. Кривулин, 2006
Далее рассматриваются уравнения A < x = x и A < x ф b = x, которые в идемпо-тентной алгебре играют роль однородного и неоднородного уравнений в том смысле, что общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде суммы его минимального частного решения и общего решения однородного уравнения [4].
Для случая неразложимой матрицы A находятся условия существования и общее решение однородного и неоднородного уравнений. Полученные результаты затем используются для определения условий существования и построения общего решения уравнений с разложимой матрицей. В качестве некоторого следствия получены решения однородного A < x < x и неоднородного A < x ф b < x неравенств. В заключение приведены некоторые замечания относительно размерности пространства решений уравнений и неравенств, а также формы представления самих решений.
2. Идемпотентная алгебра. Рассмотрим расширенное множество вещественных чисел Re = R U {е}, где е = —ж, на котором определены операции сложения ф и умножения < так, что x ф y = max(x, y) и x < y = x + y для любых x, y из Re.
Множество Re вместе с указанными операциями образует идемпотентное полуполе, т.е. полукольцо с идемпотентным сложением, нулем и единицей, в котором для всякого ненулевого элемента существует обратный относительно умножения.
Заметим, что наряду с полукольцом Re часто встречаются и другие полукольца, которые обладают теми же свойствами, например, полукольцо с парой операций (min, +), заданных на множестве R U {+ж}, а также полукольца с операциями (max, х) и (min, х), заданными на R+. Учитывая, что эти полукольца изоморфны Re, представленные ниже результаты могут быть распространены на случай любого из них.
Ясно, что нулем в полукольце Re является е, а единицей — число 0. Для любого x € R определен обратный элемент x-1, который равен —x в обычной арифметике. Если x = е, то будем полагать x-1 = е.
Для любых x,y € R обычным путем вводится степень xy, значение которой соответствует арифметическому произведению xy.
Ниже обозначение степени будет использоваться только в смысле идемпотентной алгебры. Однако при записи выражений на месте показателя степени будут, для простоты, применяться обычные арифметические операции.
Нетрудно видеть, что для любых чисел xi € R, ai > 0, i = l,...,m, выполняется неравенство
x
f < (xi ф ••• ф xm )«!+•••+«"
При а\ = ■ ■■ = ат = 1/т имеем идемпотентный аналог неравенства между геометрическим и арифметическим средними
(Ж1 хт )1/т < хг © ■■■<$ хт.
3. Алгебра матриц. Для любых матриц А, В € Мтхп, С € М™х1, и числа х € Ме определены операции сложения и умножения матриц, а также умножение матрицы на число
п
{А © В}^ = {А}^ © {В}^, {В 0 С= 0{В}^ 0 {С}кз, {х 0 А= х 0 {А}^.
к=1
Операции © и 0 обладают свойством монотонности, т.е. для любых матриц А, В, С и Б подходящего размера из неравенств А < С и В < Б следует
А © В < С © Б, А 0 В < С 0 Б.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны е, и треугольной, если все ее элементы выше (ниже) диагонали равны е.
Матрица £, все элементы которой равны е, называется нулевой. Квадратная матрица Е = diag(0,..., 0) называется единичной.
Матрица А- называется псевдообратной для матрицы А, если выполняются условия (см. также [1])
{А-Ь =
{А}-1, если {А}^ > е,
е, в противном случае.
Квадратная матрица А называется разложимой, если путем перестановки строк вместе с такой же перестановкой столбцов ей можно придать блочно-треугольную форму, и неразложимой — в противном случае.
4. Линейное векторное пространство. Для любых двух векторов а, Ь € К", (ах,..., ап)т, Ь = (Ь\,..., Ъп)т, и числа х € Ке определены операции
а
а ф Ь = (ах ф Ь\,...,ап ф Ьп)т, х ® а = (х ® а\,...,х ® ап)т
Нулевым вектором называется вектор е = (е,..., е)т.
Множество векторов К" с операциями ф и ® называется обобщенным линейным векторным пространством (или, просто, линейным векторным пространством) [1, 2].
Пусть а, Ь € Кп. Тогда из неравенства а < Ь следует а- > Ь-. Кроме того, нетрудно проверить, что а = Ь тогда и только тогда, когда Ь- ® а ф а- ® Ь = 0.
Вектор Ь € К" называется линейно зависимым от векторов а\,..., ат € К", если он является их линейной комбинацией, т.е. Ь = х\ ® а\ ф--- ф хт ® ат, где х\,... хт € Ке.
Нулевой вектор е линейно зависит от любой системы векторов а\,..., ат.
Две системы векторов а\,..., ат и Ь\,...,Ьи называются эквивалентными, если каждый из векторов одной системы линейно зависит от векторов другой системы.
Система векторов а\,..., ат называется линейно зависимой, если по крайней мере один из векторов системы линейно зависит от остальных, и линейно независимой — в противном случае.
Пусть ах,..., ат € К" —некоторые ненулевые векторы. Обозначим через А матрицу со столбцами ах,..., ат. Имеет место следующий результат (см. также [2]).
Лемма 1. Вектор Ь € К" линейно зависит от векторов а\,..., ат тогда и только тогда, когда (А ® (Ь- ® А)-)- ® Ь = 0.
Доказательство. Линейная зависимость вектора Ь от а\,...,ат равносильна существованию решения х € Кт уравнения А ® х = Ь. Как было показано в [8], это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда (А <8> (Ь~ <8> <8> Ь = 0. □
Предположим, что вектор Ь имеет координаты, равные е (нулевые координаты). Обозначим множество индексов нулевых координат вектора Ь через I.
Пусть Ь' — вектор, полученный из Ь путем вычеркивания всех нулевых координат, А' — матрица, полученная из А путем вычеркивания всех строк с индексом г € I, а также столбцов с индексом ] таким, что а^ = е хотя бы для одного г € I. Если множество I — пустое, то очевидно, что А' = А и Ь' = Ь.
Лемма 2. Вектор Ь € К", Ь = е, линейно .зависит от векторов а\, ..., ат тогда и только тогда, когда (А' ® (Ь'- ® А')-)- ® Ь' = 0.
Доказательство. Для любого г € I из уравнения А ® х = Ь будем иметь ац ® х\ ф --- ф а," ® х" = е, откуда следует, что х^ = е, если а^ = е.
Зафиксируем значения хц = е для всех индексов ] таких, что ац = е хотя бы для одного г € I. Ясно, что теперь из системы уравнений А & х = Ь можно исключить все уравнения, которые соответствуют индексам г € I, а также все неизвестные хц = е. Получим уравнение А & х' = Ь' относительно вектора х' меньшей размерности.
Так как вектор Ь' не имеет нулевых координат, применяя к полученному уравнению предыдущую лемму, приходим к требуемому результату. □
Пусть А(г) —матрица, полученная из А путем удаления столбца щ. Как и раньше, рассмотрим множество индексов нулевых координат щ, а затем определим вектор а[ и матрицу А'^) для всех г = 1,...,ш. Тогда справедливы следующие утверждения.
Предложение 1. Система векторов а\,...,ат является линейно независимой тогда и только тогда, когда (А& (а— & А'^& а[ = 0 для всех г = 1,...,ш.
Следствие 1. Чтобы построить линейно независимую подсистему, эквивалентную системе а\,...,ат, достаточно последовательно исключить из этой системы каждый вектор аг = 1,...,т, для которого (А& (а'— & А—)— & а[ = 0, где матрица Асоставлена только из тех столбцов А' которые еще не исключены.
5. Квадратные матрицы. Пусть А = (ац) € —произвольная квадратная
матрица. Ясно, что любая такая матрица задает некоторый (обобщенный) линейный оператор, действующий в линейном пространстве М", т.е. эндоморфизм.
Целая неотрицательная степень матрицы А определяется из соотношений А0 = Е, Ак+1 = Ак & А1 для любых к,1 =1, 2,...
Введем некоторые (идемпотентные) аналоги следа и определителя матрицы. Учитывая, что далее след и определитель матрицы будут пониматься только в смысле их идемпотентных аналогов, для этих аналогов будут сохранены обычные обозначения.
Сумма диагональных элементов матрицы А называется ее следом и обозначается
* А = 0'
г=1
Произведение элементов матрицы А вида а^^ & ■■■ & а^т-1 гт, где го = гт, называется циклическим.
Сумму всех циклических произведений матрицы А будем называть ее определителем и обозначать
п п
^ А =0 0 аШ1 & ■■ ■ & = 0* Ат.
т=1 го,...,гт-1 т=1
Рассмотрим некоторые свойства матриц, связанные с величиной их определителя. Лемма 3. Для любой матрицы А и вектора х = (х1, ..., хп)Т € Мп справедливы следующее утверждения:
1) если det А < 0, то х- & А & х > det А;
2) если det А > 0, то х- & А & х > (det А)1/п.
Доказательство. Введем обозначение у(х; А) = х- & А & х и рассмотрим
пп
у(х; А) =0 0 х-1 & ац & хц.
1=1 ц=1
Для любой последовательности индексов го,..., гт, где го = гт, 1 < т < п, применяя неравенство между арифметическим и геометрическим средними, будем иметь
р(х; А) > (х-о1 0 ац 0 х^) ф ■ ■ ■ ф (х-1-1 0 °Мт-1т 0 хНт) > («¿о41 0 ■■■ 0 ат-1^ )1/т,
откуда следует неравенство у>(х; А) > tr1/m(Ат), которое справедливо при всех т. Тогда при det А < 0 получим
¥>(х; А) > tr А ф ■ ■ ■ ф^1/п(Ап) > tr А ф ■ ■ ■ ф ^ Ап = det А.
Очевидно, что в случае, когда det А > 0, имеем
Для любой матрицы А определим матрицы А+ и Ах следующим образом:
А+ = Е ф А ф-^ф Ап-1, Ах = А 0 А+ = А ф-^фАп.
Если det А = е, то легко показать (см. например, [4]), что Ат = £ для некоторого т < п, а следовательно, Ак < А+ для всех к > 0.
Лемма 4. Если det А = е, то при любом целом к > 0 справедливы следующие утверждения:
1) если det А < 0, то Ак < (det А)(к+1)/п-1 0 А+;
2) если det А > 0, то Ак < ^ А)к 0 А+.
Доказательство. Нетрудно проверить, что неравенства справедливы при к < п. Пусть к > п. Покажем, что неравенства выполняются для соответствующих элементов акц и а+ матриц Ак и А+. Положив го = г и гк = 3, представим акц в виде
=
ф а^о ¿1 0^ ■■ 0а^
Рассмотрим произведение Бц = а¿0^ 0 ■■■ 0 а^^. Если среди множителей Бц есть число е, то Бц = е. Очевидно, что тогда Бц < (det А)а 0 а+ при любом а > 0.
Пусть Бц > е. Перегруппируем множители произведения Бц следующим образом. Сначала объединим все циклические произведения, состоящие из т =1 множителей. Пусть а1 > 0 — количество таких произведений. Из числа оставшихся выберем циклические произведения из т = 2 множителей, а их число обозначим через а2. Затем продолжим эту процедуру для всех последующих значений т < п.
Учитывая, что циклическое произведение из т множителей не превосходит ^ Ат, будем иметь
Бц <0 ^ (А^ 0 БЦ < (det А)а1+ +ап 0 БЦ,
¿=1 «¿>о
где БЦ —произведение без циклов, которое состоит из не более, чем п — 1 множителей. Ясно, что БЦ < а+ц и, кроме того, к — п +1 < а1 + 2а2 + ■■■ + пап < к, откуда следует, что (к — п +1)/п < а1 + ■■■ + ап < к.
Тогда, если det А < 0, то Бц = 0 ■ ■ ■ 0а^-1^ < (det А)(к+1)/п-10а++ при любом наборе индексов г1,..., гк-1, и следовательно, ак < (det А)(к+1')/п-1 0 а+ц. Если с^ А > 0, то Бц < (det А)к 0 аЦ, а потому аЦ < (det А)к 0 аЦ. □ Следствие 2. Если det А < 0, то выполняются равенства
А+ = Е ф Ах, А+ 0 А+ = А+.
Доказательство. Учитывая, что Ак < А+ для всех к > п, получаем первое равенство Е © Ах = А+ © Ап = А+. Второе равенство проверяется аналогично. □
Из равенства А+ = Е ф Ах следует, что Ах < А+, причем соответствующие элементы а+ и а^ этих матриц совпадают, за исключением, быть может, диагональных элементов, которые, как нетрудно видеть, удовлетворяют условиям а+ =0 и а? < 0.
Обозначим через а+ и аX столбцы с индексом % матриц А+ и Ах, а через а™ — диагональные элементы матрицы Ат. Следующее утверждение использует свойства определителя для получения аналога результата, установленного в работах [2-4].
Предложение 2. Если det А = 0, то .матрицы А+ и А* имеют общие одноименные столбцы, которые совпадают, причем равенство а+ = аX выполняется тогда и только тогда, когда = 0 для некоторого т = 1,...,п.
Доказательство. Если det А = 0, то недиагональные элементы матриц А+ и А* совпадают. Кроме того, равенство det А = 0 равносильно тому, что ^ Ат = 0 для некоторого т = 1,...,п. Последнее имеет место, если только = 0 для некоторого индекса г. Учитывая, что тогда аX = 0, имеем аX = а^ = 0, т.е. а= ах. □
Для любой матрицы А такой, что det А = 0, обозначим через А* матрицу того же размера, столбцы которой удовлетворяют условию а* = а+, если а+ = а*, и а* = е, если а+ = а*, % = 1,...,п. Если det А = 0, то положим А* = Е.
6. Однородное и неоднородное линейные уравнения. Пусть А € К"хп — некоторая заданная матрица, х € К" —неизвестный вектор. Однородным уравнением относительно х называется уравнение
А ® х = х. (1)
Пусть Ь € К" —некоторый заданный вектор. Неоднородным уравнением относительно х называется уравнение
А ® х ф Ь = х. (2)
Решение х = е уравнений (1) и (2) называется тривиальным.
Решение хо уравнения называется минимальным, если для любого решения х этого уравнения выполняется хо < х.
Ясно, что все решения однородного уравнения образуют линейное пространство.
Предложение 3. Если det А = 0, то решением однородного уравнения (1) является вектор х = А* ® V для любого V € К".
Доказательство. Пусть det А = 0. Тогда у матриц А+ и Ах найдутся общие столбцы а+ = а*. Так как Ах = А ® А+, имеем А ® а+ = аX = а+, т.е. а+ удовлетворяет уравнению (1). Учитывая, что все такие столбцы, и только они, являются ненулевыми столбцами матрицы А*, заключаем, что всякий вектор х = А* ® V, где V —любой вектор, является решением (1). □
7. Неразложимые матрицы. Будем искать условия существования решения, а также общее решение уравнений (1) и (2) в предположении, что матрица А является неразложимой. Сначала докажем некоторые вспомогательные утверждения.
Предложение 4. Если А — неразложимая матрица, то любое нетривиальное решение х уравнений (1) и (2) не имеет нулевых координат.
Доказательство. Пусть х —нетривиальное решение уравнения (1) (уравнение (2) исследуется аналогично). Покажем, что все координаты вектора х ненулевые.
Допустим, что имеется одна координата х^ = е, в то время как х^ > е при всех 2 = %. Из равенства ац ® Х1 ф •••ф ап ® хп = е следует, что а^ = е, если 2 = %. Тогда,
меняя местами строки 1 и г, а затем столбцы с теми же индексами, можно привести матрицу А к треугольной форме, что противоречит условию неразложимости.
Предположение о том, что вектор х имеет любое число I < п нулевых координат, рассматривается аналогично. □
Предложение 5. Однородное уравнение (1) с неразложимой матрицей А имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда det А = 0.
Доказательство. Достаточность условия det А = 0 следует из предложения 3.
Проверим необходимость, используя те же рассуждения, что и в работе [1]. Пусть х —нетривиальное решение уравнения. Покажем, что тогда det А = 0. Рассмотрим любую последовательность индексов го,...,гт такую, что гт = го, 1 < т < п. Из уравнения (1) следуют неравенства
а'10Ъ1 & < , а'11 ¿2 & Хг2 < Хг\ , ... а1т-11т & Х1т < Х1т-1 .
Перемножая левые и правые части этих неравенств, а затем сокращая на величину x¿1 & ■ ■ ■ & x¿m = £, приходим к неравенству a¿0¿1 & ■ ■■ & a¿m_1¿m < 0.
Учитывая произвольный выбор индексов го,...,гт, для всех т = 1,...,п будем иметь tr Ат < 0. Следовательно, det А = tr А 0 ■■■ 0 ^ Ап < 0.
Кроме того, из (1) следует, что для любого индекса г найдется такой индекс для которого a¿j & х^ = x¿. Возьмем произвольный индекс го и будем последовательно определять индексы ;ч, г2,... так, чтобы выполнялись равенства
& x¿0 , a¿1¿2 & x¿2 , . ..,
вплоть до первого повторения индексов. Из полученной последовательности индексов выберем подпоследовательность гг, гг+1,..., гг+т, где ц = гг+т, I > 0, 1 < т < п.
Перемножая равенства, соответствующие подпоследовательности, а затем сокращая на x¿l & ■ ■■ & x¿l+m = £, будем иметь a¿l¿l+1 & ■■■ & a¿l+m_1¿l+m — 0, откуда следует, что det А > tr Ат > 0. Так как одновременно выполняется неравенство det А < 0, заключаем, что с^ А = 0. □
Найдем общее решение однородного уравнения. Имеет место следующий результат.
Лемма 5. Пусть х —общее решение однородного уравнения (1) с неразложимой матрицей А. Тогда справедливы следующее утверждения:
1) если det А = 0, то х = А* & V для всех V € МП;
2) если det А = 0, то имеется только тривиальное решение х = е.
Доказательство. Ясно, что х = е является решением однородного уравнения (1). При этом, если det А = 0, то из предложения 5 следует, что других решений нет.
Пусть det А = 0. Заметим, что тогда А+ & А+ = А+, а матрицы А+ и Ах имеют общие столбцы. Предположим для простоты, что совпадают первые т столбцов этих матриц. Представим матрицы А+, Ах и А*, а также вектор х в блочной форме:
А+ = ( В С ) , Ах = ( В С), А* = ( В Е \, х ( х1
Б Г у ' \ Б С ] > \ Б \ х2
где В имеет размер т х т, Г и С — размер (п — т) х (п — т), векторы х1 и — размерности т и п — т, а Е обозначает нулевые матрицы соответствующего размера.
Установим некоторые соотношения для блоков. Нетрудно видеть, что Г > О, причем det Г = ^ Г = 0 и det О = ^ О < 0. Кроме того, из равенства
А+ = ( В2 © С 0 Б В 0 С © С 0 Г N = ( В С N = + А 0 А V Б 0 В © Г 0 Б Б 0 С © Г2 ) ^ Б Г ) А
следуют, в частности, неравенства Б > Г 0 Б > О 0 Б и В > С 0 Б.
Пусть х — нетривиальное решение уравнения (1). Ясно, что тогда х является решением однородного уравнения Ах 0 х = х. Запишем последнее уравнение в виде
х1 = В 0 х1 © С 0 х2, Х2 = Б 0 X1 © О 0 Х2.
Учитывая полученные выше неравенства, из второго уравнения путем итераций для любого целого к > 1 получим х2 = Б 0 хг © Ок 0 х2.
Так как det О < 0, по лемме 4 будем иметь Ок < (det О)(к+1)/(п-т)-1 0 О+. Теперь, каким бы ни был вектор х € Мп, число к всегда можно выбрать так, чтобы выполнялось условие
Б 0 х1 > ^ О)(к+1)/(п-т)-1 0 О+ 0 х2 > Ок 0 х2,
откуда следует, что второе уравнение на самом деле имеет вид х2 = Б 0 х1.
Подставим х2 = Б 0 х1 в первое уравнение. Учитывая, что В > С 0 Б, приходим к уравнению х1 = В 0 х1. Таким образом, будем иметь
х=(х,) = (Б Е) 0 (х,)=А* 0 х.
а это означает, что любое нетривиальное решение уравнения (1) имеет вид х = А* 0 V, где V —некоторый вектор. Осталось проверить, что х = А* 0 V является решением (1) при любом векторе V. Последнее было установлено в предложении 3. □
Перейдем к исследованию неоднородного уравнения.
Лемма 6. Неоднородное уравнение (2) с неразложимой матрицей А имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий:
1) det А < 0;
2) Ь = е.
При этом х = А+ 0 Ь является минимальным частным решением (2).
Доказательство. Предположим, что det А < 0. Тогда уравнение (2) путем итераций с применением леммы 4 можно привести к виду Ап 0 х © А+ 0 Ь = х, откуда, в частности, следует неравенство х > А+ 0 Ь. Непосредственной подстановкой легко проверить, что вектор х = А+ 0Ь является решением уравнения (2), а в силу предыдущего неравенства — его минимальным решением.
Пусть det А > 0. Покажем, что при этом условии уравнение (2) не имеет нетривиальных решений. Действительно, для любого х € Мп в силу леммы 3, будем иметь х- 0 (А 0 х © Ь) > х- 0 А 0 х > (det А)1/п > 0, откуда следует, что А 0 х © Ь = х.
Ясно, что решение х = е существует тогда и только тогда, когда Ь = е. □
При доказательстве следующей леммы применим подход, предложенный в [4].
Лемма 7. Общее решение неоднородного уравнения (2) с неразложимой матрицей А имеет вид х = и © V, где и —минимальное частное решение уравнения (2), V — общее решение уравнения (1).
Доказательство. Пусть и — любое решение уравнения (2), а V — любое решение уравнения (1). Тогда х = и ф V также является решением (2), так как
А ® х ф Ь = А ® (и ф V) ф Ь = (А ® и ф Ь) ф (А ® V) = и ф V = х.
Пусть х — произвольное решение уравнения (2). Покажем, что его можно представить в виде х = иф V, где и — минимальное решение (2), а V — некоторое решение (1). Сначала заметим, что при условии det А = 0 уравнение (1) имеет только тривиальное решение, и тогда х = и ф V, где и = х, V = е.
Предположим, что det А = 0. Пусть и = А+ ® Ь — минимальное решение (2). В силу неравенства х > А+ ® Ь = и всегда найдется вектор V', для которого х = и ф V'.
Так как А ® х = А ® (и ф V') = А ® А+ ® Ь ф А ® V', с учетом (2) будем иметь х = А ® х ф Ь = А+ ® Ь ф А ® V', откуда следует, что для вектора V = А ® V' равенство х = и ф V остается в силе. Ясно, что это равенство сохраняется для каждого вектора
V = Ат ® V' при всех целых т > 0, а потому и для векторов А+ ® V' и Ах ® V'.
Возьмем вектор V' с координатами = х¿, если щ < х^, и V' = е, если щ = х¿, г = 1,...,п. Легко видеть, что х = и ф V' и, кроме того, V' < V для любого вектора
V такого, что х = и ф V. Из этого следует, что выполняется неравенство V' < А ® V', а тогда и неравенство А+ ® V' < Ах ® V'. Так как всегда выполняется противоположное неравенство А+ ® V' > Ах ® V', заключаем, что А+ ® V' = Ах ® V'.
Осталось положить V = А+ ® V'. Тогда х = и ф V является решением уравнения (2), причем А <8> V = Ах <Е> V' = V, т.е. вектор V является решением (1). □ Опираясь на леммы 5 и 7, нетрудно получить следующий результат. Теорема 1. Пусть решение неоднородного уравнения (2) с неразложимой матрицей А существует, х — общее решение (2). Тогда справедливы следующее утверждения:
1) если det А < 0, то имеется единственное решение х = А+ ® Ь;
2) если det А = 0, то х = А+ ® Ь ф А* ® V для всех V € К";
3) если det А > 0, то имеется только тривиальное решение х = е.
Как легко проверить, при А = £ теорема также оказывается справедливой. 8. Разложимые матрицы. Пусть теперь матрица А является разложимой. Путем перестановки строк вместе с такой же перестановкой столбцов ей может быть придана блочно-треугольная нормальная форма
А=
/Ах £ ... £ \
А21 А2 £
V Asl АЯ2 ... А, )
(3)
где А{ —либо неразложимая, либо нулевая матрица размера щ х щ, А^ —произвольная матрица размера щ х п^ для всех ] < г, г = 1,...,в, при условии, что пх + - - - + п, = п, а £ обозначает нулевые матрицы соответствующего размера.
Совокупность строк (столбцов) матрицы А, соответствующих каждому диагональному блоку А{, будем называть горизонтальным (вертикальным) рядом матрицы.
Предположим, что матрица А приведена к нормальной форме (3). Заметим, что тогда det А = det Ах ф - - - ф det А8.
Обозначим через !о множество индексов г, для которых выполняется равенство det А{ = 0, а через —множество индексов, для которых det А{ > 0.
Пусть сначала 11 = 0. Ясно, что матрицу А можно представить в виде А = Т ф В, где Т — блочная строго треугольная, а В —блочно-диагональная матрица,
Т
( Е
А21
£ \
В
А1
\ Е А8
\ Asl ... Ая,я_1 £)
Определим следующие вспомогательные матрицы:
В+ = ^(А+,...,А+), С = В+ & Т, В* = ^(А* ,...,А*).
Легко проверить, что С = Е, а следовательно, С+ = Е ф С ф ■■■ф С8-1. Заметим, что матрица С + имеет нижнюю блочно-треугольную форму с блоками С+ и С++, размер которых совпадает с размером соответствующих блоков Аг и Ац матрицы А.
Если 11 = 0, то рассмотрим матрицу А, полученную из А путем замены всех блоков ее вертикальных рядов г € 11 на нулевые матрицы. Обозначим диагональные блоки матрицы А через Аг, а блоки, лежащие ниже диагонали, через Ац.
Представим матрицу А в виде А = Т ф В, где Т — блочная строго треугольная а В — блочно-диагональная матрицы, и положим
В+ = ^(А+ ,...,А+), С = В+ & Т, В* = ^(В*,...,В*а),
где В* = Е, если выполнены условия ] € 1о и С++ = Е хотя бы для одного г € 11, и В* = А* = А* —в противном случае.
Рассмотрим уравнения (1) и (2). Для каждого г = 1,...,в обозначим через хг и Ьг векторы порядка щ, образованные теми координатами векторов х и Ь, которые соответствуют горизонтальному ряду г матрицы А.
Сначала исследуем однородное уравнение (1).
Лемма 8. Пусть х —общее решение однородного уравнения (1) с матрицей А, представленной в форме (3). Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если det А < 0, то имеется только тривиальное решение х = е;
2) если det А = 0, то х = С+ & В* & V для всех V € Мп;
3) если det А > 0, то х = С + & В* & V для всех V € Мп, причем имеется только тривиальное решение х = е, когда 1о = 0.
Доказательство. Уравнение (1) можно представить как систему уравнений, соответствующих горизонтальным рядам г = 1, ...,з:
Ац & х1 ф ■■■ ф Ац- 1 & х^-1 ф Аг & хг = х^.
(4)
Если det А = det А1 ф ■■■ ф А8 < 0, то по теореме 1 решение хг каждого уравнения существует, а все векторы хг могут быть последовательно определены из уравнений
х1 = А1 & Vl,
А+ & (Аг1 & х1 ф ■■■ф Ам_1 & х—1) ф А* & VI, г> 1,
где VI —любой вектор размерности щ, г = 1,...,в.
Положив V = (VТ,..., v'T)Т, эти уравнения можно записать в виде одного уравнения
х = С® х © В* V,
х
решение которого с помощью итераций дает х = Ся 0 х ф С + 0 В* 0 V = С + 0 В* 0 V. В частности, при det А < 0 имеем В* = £, а следовательно, х = е.
Предположим, что det А > 0. Рассмотрим уравнение (4) для любого ряда г € /1. По теореме 1, если решение х, такого уравнения существует, то х, = е.
Пусть х, = е для всех г € /1. При таком условии решение уравнения (1) не изменится, если положить все элементы вертикальных рядов г € /1 матрицы А равными е. Тогда уравнения (4) для каждого г = 1,...,в примут вид
Ац 0 х1 ф ■ ■ ■ ф А^_1 0 х—1 ф Ai 0 Xi = Xi.
Учитывая, что det А < 0, а также то, что А* = А* для всех г = 1,...,в, общим решением этой системы уравнений будет х = С + 0 В* 0 V для всех V € Щ1.
Для того, чтобы полученное решение при всех г € /1 удовлетворяло условию хi = е, потребуем для каждого такого г выполнения при любых V € Кп равенства
(5+0 А* 0 Vl ф ■ ■ ■ ф ¿7+ 0 А* 0 vs = е.
Так как А* = £ при каждом 3 € /о, то для выполнения указанных равенств необходимо и достаточно, чтобы А* 0 Vj = е для индексов 3 € /о таких, что С++ = £ хотя бы для одного г € /1 . Последнее будет иметь место при формальной замене всех таких матриц А* на нулевые. Так как это эквивалентно переходу от В* к В*, получаем общее решение уравнения (1) в виде х = С + 0 В* 0 V для всех V € Кп.
Осталось заметить, что х = е, если /о = 0. □
В случае неоднородного уравнения справедливы следующие утверждения.
Лемма 9. Неоднородное уравнение (2) с матрицей А в форме (3) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий:
1) det А < 0;
2) bi = е для всех г € /1 и Ьц = е для каждого 3 € /1 такого, что ^4+ = £ хотя бы
для одного г € /1.
При этом х = ^4+ 0 Ь является минимальным частным решением (2).
Доказательство. Если det А < 0, то также как при доказательстве леммы 6 можно показать, что решение уравнения (2) существует, причем минимальным решением является вектор х = А+ 0 Ь = 0 Ь.
Предположим, что det А > 0. Представим уравнение (2) в виде системы уравнений, соответствующих рядам г = 1,...,з,
Ail 0 х 1 ф ■ ■ ■ ф Ai}i-l 0 х—1 ф Ai 0 х1 ф Ь = Xi. (5)
Ясно, что для каждого г € /1 единственно возможным решением уравнения (5) является х,, = е, для существования которого необходимо, чтобы Ь = е. Тогда, как и при доказательстве леммы 5, можно заменить матрицу А на А.
Так как det А < 0, минимальным решением уравнения (2) с матрицей А является х = А+ 0 Ь. При этом для каждого г = 1,...,в будем иметь вектор
х, = А+1 0 Ь1 ф ■ ■ ■ ф А+—1 0 Ь-1 ф А+ 0 Ь,,
который должен удовлетворять условию х, = е, если г € /1. Это равносильно тому,
33
что Ь2 = е для каждого 3 ^ /1 такого, что Ац ф^ £ хотя бы для одного г € 1\. □
Точно так же, как при доказательстве леммы 7, получим следующий результат.
Лемма 10. Общее решение неоднородного уравнения (2) с матрицей А, представленной в форме (3), имеет вид х = и ф V, где и —минимальное частное решение неоднородного уравнения (2), V — общее решение однородного уравнения (1).
Применяя леммы 8 и 10, нетрудно доказать следующую теорему.
Теорема 2. Пусть решение неоднородного уравнения (2) с матрицей А, представленной в форме (3), существует, х — общее решение (2).
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если det А < 0, то имеется единственное решение х = А+ ® Ь;
2) если det А = 0, то х = А+ ® Ь ф С + ® В* ® V для всех V € К";
3) если det А > 0, то х = А+ ® Ь ф С + ® В * ® V для всех V € К", причем имеется единственное решение х = А+ ® Ь когда 1о = 9.
9. Однородные и неоднородные линейные неравенства. Однородным относительно неизвестного вектора х называется неравенство вида
А ® х < х, (6)
а неоднородным — неравенство вида
А ® х ф Ь < х. (7)
Покажем, как полученные выше результаты могут быть применены для решения неравенств (6) и (7). Предположим сначала, что матрица А является неразложимой.
Лемма 11. Пусть х — общее решение однородного неравенства (6) с неразложимой матрицей А. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если det А < 0, то х = А+ ® и для всех и € К";
2) если det А = 0, то х = А+ ® и ф А* ® V для всех и, V € К";
3) если det А > 0, то имеется только тривиальное решение х = е.
Доказательство. Ясно, что множество решений неравенства (6) совпадает с множеством решений х уравнения А ® х ф и = х относительно двух неизвестных х и и при всех возможных значениях и. Применяя к этому уравнению лемму 6, а также теорему 1, получим требуемый результат. □
Справедливость следующих утверждений проверяется аналогично.
Лемма 12. Неоднородное неравенство (7) с неразложимой матрицей А имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий:
1) det А < 0;
2) Ь = е.
При этом х = А+ ® Ь является минимальным решением (7).
Теорема 3. Пусть решение неоднородного неравенства (7) с неразложимой матрицей А существует, х — общее решение (7).
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если det А < 0, то х = А+ ® Ь ф А+ ® и для всех и € К";
2) если det А = 0, то х = А+ ® (Ь ф и) ф А* ® V для всех и, V € К";
3) если det А > 0, то имеется только тривиальное решение х = е.
Пусть теперь А — разложимая матрица. Используя лемму 9 и теорему 2 так же, как в случае с неразложимой матрицей, нетрудно получить следующие результаты.
Лемма 13. Пусть х — общее решение однородного неравенства (6) с матрицей А, представленной в форме (3). Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если det А < 0, то х = А+ ® и для всех и € К";
2) если det А = 0, то х = А+ & и 0 С+ & Б* & V для всех и, V € МП;
3) если det А > 0, то х = А+ & и 0 С+ & Б * & V для всех и, V € МП, причем х = А+ & и, когда 10 = %.
Лемма 14. Неоднородное неравенство (7) с матрицей А в форме (3) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий:
1) det А < 0;
2) b¿ = е для всех г € II и Ъ^ = е для каждого ] € II такого, что А+ = Е хотя бы для одного г € II.
При этом х = А+ & Ъ является минимальным решением (7).
Теорема 4. Пусть решение неоднородного неравенства (7) с матрицей А, представленной в форме (3), существует, х — общее решение (7).
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если det А < 0, то х = А+ & Ъ 0 А+ & и для всех и € МП;
2) если det А = 0, то х = А+ & (Ъ 0 и) 0 С + & Б* & V для всех и, V € МП;
3) если det А > 0, то х = А+ & (Ъ 0 и) 0 С + & Б * & V для всех и, V € МП, причем х = А+ & Ъ 0 А+ & и, когда 10 =
10. Уточнение размерности пространства решений. Заметим, что в предыдущих разделах общие решения уравнений и неравенств в пространстве МП для простоты представляются с помощью эндоморфизмов этого же пространства.
Например, общее решение однородного уравнения с неразложимой матрицей А имеет вид х = А* & V для всех V € МП, т.е. образует подпространство векторов х = VI & а* 0 ■■■ 0 & а*П, где а* —столбцы матрицы А*, г = 1,...,п. Ясно, однако, что среди векторов а*,...,а*П могут быть линейно зависимые, а тогда указанное подпространство будет иметь размерность, меньшую чем п.
Пусть а *,..., а к —линейно независимая подсистема векторов, эквивалентная системе а*,...,аП, к < п. Такую подсистему можно построить, применяя, например, процедуру, которая опирается на результат предложения 1 и его следствие.
Обозначим через А* матрицу со столбцами а*,...,а*к. Тогда общее решение однородного уравнения можно представить в виде х = А* & V для всех V € Мк.
Аналогичным образом можно уточнить форму представления общего решения всех других рассмотренных выше уравнений и неравенств.
Автор благодарен И. В. Романовскому за полезные советы и замечания.
Summary
N. K. Krivulin. On solution of generalized linear vector equations in idempotent algebra.
The problem on solving both homogeneous and non homogeneous generalized linear vector equations in idempotent algebra is considered. In order to examine the equations, an idempotent analogue of matrix determinant is introduced, and its properties are investigated. The general solutions of the equations are obtained, and related existence conditions are established provided that the matrix is irreducible. The results are then extended to cover the case of arbitrary matrix. As a consequence, the solution of homogeneous and non homogeneous inequalities is also presented.
Литература
1. Воробьев Н. Н. Экстремальная алгебра положительных матриц // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1967. Bd. 3, N1. S. 39-72.
2. Cuninghame-Green R. A. Minimax algebra. Berlin: Springer-Verlag, 1979. (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol. 166).
3. Zimmermann U. Linear and combinatorial optimization in ordered algebraic structures. Amsterdam: North-Holland, 1981. (Annals of Discrete Mathematics, Vol. 10).
4. Baccelli F., Cohen G., Olsder G. J., Quadrat J.-P. Synchronization and linearity. Chichester: Wiley, 1992.
5. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994.
6. Mahr B. Iteration and summability in semirings // Annals of Discrete Mathematics, 1984. Vol. 19. P. 229-256.
7. Дудников П. И., Самборский С. Н. Эндоморфизмы полумодулей над полукольцами с идемпотентной операцией. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987.
8. Кривулин Н. К. О решении линейных векторных уравнений в идемпотентной алгебре // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 5. СПб.: ВВМ, 2004. С. 105-113.
9. Olsder G. J., Roos C. Cramer and Cayley-Hamilton in the Max algebra // Linear Algebra and its Applications, 1988. Vol. 101. P. 87-108.
Статья поступила в редакцию 23 июня 2005 г.
