Тропические вычисления в веб сервисе MathPartner Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.688

ТРОПИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ВЕБ СЕРВИСЕ МАТНРАЯТКЕК

© С.А. Киреев, Г.И. Малашонок

Ключевые слова: веб сервис Ма^рах^пег; тропическое полукольцо; система линейных алгебраических уравнений; уравнение Веллмана; операция замыкания; нахождение кратчайшего пути.

Приводятся алгоритмы тропической математики, которые составляют один из важных разделов веб сервиса Ма^РагШег. В частности, алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений и неравенств, уравнений и неравенств Веллмана, алгоритм нахождения наименьших расстояний и кратчайших путей на графе. Представлены операторы, которые доступны пользователям сервиса, а также полные примеры на языке Ма^раг.

1 Введение

Тропическая математика — область математики, в которой изучаются тропические полукольца и полуполя. Ключевым свойством тропических алгебр является наличие идемпотентной операции. Термин «тропические полукольца» впервые появился благодаря работам Доминика Перрэна и Имре Саймона (см. [1-5]). Сегодня тропическая математика активно развивается, и находит все больше приложений.

Математический веб сервис Ма1}ЬРаг1;пег [2, 6-7] охватывает широкий круг символьно-численных задач, которые используются в образовании, в инженерных и научных расчетах. Кроме традиционных классических алгебр здесь можно использовать вычислительные окружения, в которых объявляются различные идемпотентные алгебры.

Цель данной работы — показать возможности, которые предоставляет система МаШРайпег в области тропической математики.

В параграфе 2 определяются 18 тропических алгебр, которыми пользователь может воспользоваться для задания окружения. После выбора окружения все операции будут выполняться в соответствии с правилами данной алгебры. Это операции тропического сложения, умножения , возведения в степень чисел.

В параграфе 3 рассматривается тропическая алгебра матриц.

В параграфах 3 и 4 рассматриваются алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений и неравенств, уравнений и неравенств Веллмана.

Помимо стандартных операций в идемпотентных алгебрах играет важную роль операция замыкания. Эта операция рассмотрена в параграфе 5.

Как приложение матричных алгоритмов в идемпотентных алгебрах, в параграфе

6 приводятся алгоритмы нахождения наименьших расстояний и кратчайших путей на графе.

Параграф 7 посвящен решению задач тропической математики с использованием языка МаЛраг. Здесь приведены полные примеры решения задач. Поэтому он может служить руководством пользователя, который использует МаЛРайпег для вычислений в идемпотентных алгебрах.

2 Тропические полукольцо и полуполе

Рассмотрим числовое множество X, на котором заданы операции сложения © и умножения <8>. (X, ®, ®) называется полукольцом, если для любых х,у,г Е X выполняются следующие свойства:

1.1) х © (у © г) = (х © у) © г (ассоциативность сложения);

1.2) х ® у = у ® х (коммутативность сложения);

1.3) 3 0 : ж©0 = х (существование нуля, т.е. нейтрального элемента по сложению);

2.1) х <Е> (у ® г) — (х <£> у) ® г (ассоциативность умножения);

3.1) х®(уфг)=х<8>у(Вх(8г (дистрибутивность);

3.2) (х (В у) ®г = х<%>хфу<8>г (дистрибутивность);

3.3) х(8>О = О0о; = О (закон поглощения).

Полукольцо (X, ф, <§)) называется коммутативным полукольцом, если выполняется:

2.2) х®у = у®х (коммутативность умножения).

Полукольцо (X, ф, <8>) называется полукольцом с единицей, если выполняется:

2.3) 3\\ х®1 — \ ®х = х (существование единицы, т.е. нейтрального элемента по умножению).

Тропическим полукольцом называется полукольцо (X, ф, <Е>), для которого выполняется:

1.4) х © х = х (идемпотентность).

Коммутативное полукольцо с единицей {X, ф, <8>) называется полуполем, если выполняется:

2.4) если х Ф 0, то существует элемент х~1 (Е X такой, что — 1 (существо-

вание обратного).

Полуполе называется тропическим, если для него дополнительно выполняется свойство 1.4. Таким образом, для тропического полуполя должны выполняться все вышеперечисленные свойства.

Другими словами, (X, ®, 0) называется тропическим полукольцом, если по операции © множество X образует идемпотентную коммутативную полугруппу с нейтральным элементом, по операции 0 — полугруппу, и выполняются свойства 3.1,

3.2, 3.3. (X, ф, 0) называется тропическим полуполем, если по операции ф множество X образует идемпотентную коммутативную полугруппу с нейтральным элементом, по операции 0 — коммутативную группу, и выполняются свойства 3.1, 3.2,

3.3. Можно заметить, что по сравнению с обычным полем по операции ф нет существования обратного (противоположного) элемента и добавлено свойство идемпотентности. Всякое тропическое полуполе является тропическим полукольцом, но не наоборот. Например, Т1тах,тт является тропическим полукольцом, но не является тропическим полуполем, так как по операции 0 не существует обратного элемента.

На X определено отношение частичного порядка ^: х^у<^>х(Ву — у ■ Это означает, что в тропических полукольцах с первой операцией тах — обычный порядок, а с тт — обратный. А также, что \/х Е X выполняется х ^ 0 . Наряду с этим предполагается, что при необходимости множество X всегда может быть дополнено элементом, играющим роль оо, т. е. х ^ оо для Ух Е X. Операции сложения и умножения обладают свойством монотонности, т.е. Ух, у, г Е X, х ^ у выполняется х ф г ^ у ф г и хг < уг.

В таблице 1 приведены примеры тропических полуколец, а также их 0 , 1 и элемент, играющий роль оо.

_____________________________________Таблица 1

Тропическое полукольцо Определение 0 1 oo

F^max,+ R U {—oo}, max, + —oo 0 -boo

Rmin,+ R U {-boo}, min, -b -boo 0 —oo

Fornax, х R+ U {0}, max, x 0 1 -boo

Rmin,x R.|_ U {-boo}, min, x -boo 1 0

F^max,min R U { — оо, -(-oo}, max, min — oo -boo -boo

Rmin,max R U { —oo, -boo}, min, max -boo —oo —oo

В качестве множества Я в системе МаОгРагЫег могут быть выбраны Ъ, II, 1164. Таким образом, доступны 18 тропических алгебр.

Помимо сложения и умножения можно ввести операцию возведения в степень. Для любых р Е Z+, х Е Я имеем 0Р — 0, хр = хр~1 0 х — х 0 хр~г, х° = 1. Возведение в отрицательную степень можно представить в виде: х~р = {х~1)р = (хр)-1. Обычным образом вводится и рациональная степень. Например, для Нтах,х

ИЛИ Ятгщх степень Имеет обыЧНЬШ СМЫСЛ. В ЯГпах,+ или Дп*п,+ хР = Ж0Ж0- • -0Ж =

х + х Н--+ х = рх для любых х Е II, р Е Z или р Е Я.

3 Тропическая алгебра матриц

Пусть X — тропическое полукольцо. Для матриц с элементами из X сложение, умножение, умножение на скаляр определяются обычным образом. Пусть

А = (йу) Е Хтхп, В = (Ьц) Е Хтхп, С = (с^) е Хпхг, ж £ X, тогда

71

{- ^ Ф — а^ О ^г], ' {л*А}гу х(1ц.

к=1

Далее рассмотрим квадратные матрицы. Для них можно определить операцию возведения в степень обычным образом. Множество Хпхп с операциями сложения и умножения матриц образует тропическое полукольцо с единицей.

Единичная матрица в тропических полукольцах определяется обычным образом.

Например, в Х2х2 I = ^ ^ ^ , так в Я2^а%+ 1 = ( ) •

Пусть А Е Хпх” , Л = (йу). Как и обычно, матрица А называется диагональной, если ау = 0 для всех г ф ,]. Если ац ф 0, то такая матрица называется строго диагональной. Матрица называется треугольной, если все элементы выше (ниже) главной диагонали равны 0 . Если дополнительно все элементы ац — 0 , то такая матрица называется строго треугольной. Обычным образом определяется и блочно-треугольная матрица.

Матрица называется разложимой, если при помощи перестановки строк вместе с такой же перестановкой столбцов ей может быть придана блочно-треугольная форма. В противном случае матрица называется неразложимой.

Следом матрицы А называется величина:

П

ЬгА =

г=1

Пусть А Е Хпхп. Матрица А-1 называется обратной по отношению к А, если А~1А = АА-1 = I, где I— единичная матрица.

Для любой матрицы А Е Хтхп , А — (а^) можно определить псевдообратную матрицу А~ = (а“) Е Хпхт с элементами

а~ = I а^’ ПРИ **** ^ °’

\ 0, при а^ = 0.

Очевидно, что псевдообратная матрица определяется для любой матрицы, в том числе и для нулевой.

4 Решение систем линейных алгебраических уравнений и неравенств в тропических полуполях

Многие задачи тропической математики приводят к необходимости решения в различных полуполях уравнения Ах — Ь и неравенства Ах ^ Ь. Для этого существует несколько способов. Сначала рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть А Е Хпхп, Ь Е Хп , требуется найти решение неравенства Ах ^ Ь.

1) если А = 0, то для любого Ь Е Хп решением будет любой вектор х Е Хп;

2) если А ф 0, 6 = 0, то х = 0. Если у матрицы А нет нулевых столбцов, то это

решение единственное.

'

Пусть теперь необходимо решить уравнение Ах = Ь.

1) если А — 0 , Ь = 0, то решение — любой вектор х Е Xй;

2) если А = 0 , Ь ф 0 , то решений нет,

3) если А ф 0, 6 = 0, то ж = 0. Если у матрицы А нет нулевых столбцов, то это

решение единственное.

Далее непосредственно рассмотрим способы решения неравенства Ах О и уравнения Ах = Ь.

Способ решения I. Рассмотрим неравенство Ах ^ Ь, например, в ЯтаХ}+. Тогда решением является х ^ А~Ь, где умножение матрицы А~ на вектор Ь нужно ВЫПОЛНИТЬ В /?тг,г!+. Уравнение Ах = Ъ (в Я.тах,+ ) разрешимо тогда и только тогда, когда выполняется равенство Ах — Ь, где х = А~Ь (в /?тт + )(см. доказательство в

И)-

Способ решения II. Пусть задана система векторов х\,...,хт Е Хп. Если вектор Ь Е Хп линейно зависит от системы х\,... ,хт , но не зависит от любой ее подсистемы, то система хг,...,хт называется минимальной системой, порождающей вектор Ь.

Теорема 4.1 (см. доказательство в [8]).

Для любой матрицы А и вектора Ь ф 0 решение неравенства имеет вид х ^ (Ь~А)~. Теорема 4.2 (см. доказательство в [8]).

1. Уравнение Ах — Ъ имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется: А(А,Ь) = 1, где

л( л гл _ / (А(Ь~А)~)~Ь, если в матрице А нет нулевых строк [ оо, если в матрице А есть нулевые строки

2. х = (Ь~А)~ является максимальным решением (наибольшим в смысле выбранного порядка).

3. Если столбцы матрицы А образуют минимальную систему, порождающую вектор Ь , то других решений нет.

5 Уравнения и неравенства Веллмана

Одним из основных объектов исследования тропической математики являются уравнения Веллмана. Пусть А и Ь — заданные квадратная матрица и вектор, х — неизвестный вектор. Однородным уравнением Беллмана называется уравнение вида Ах = х. Неоднородным уравнением Беллмана — Ах ®Ъ = х.

Для любой матрицы А Е Хпхп определим следующую величину:

П

ТгА = 0 гг Ат

т= 1

Определим 3 типа матриц:

Л+ = /®Л®Л2®---® Ап~1,

в = ЛЛ+ = А ф А2 0 • • • 0 Ап,

0, если ТгА ф 1,

Л = < «), если ТгА = 1, где а* = { ^

а/,6^,а* — столбцы в соответствующих матрицах.

Рассмотрим однородное уравнение Ах = ж, где матрица А — неразложимая. Теорема 5.1 (см. доказательство в [8]).

1. Если ТгА = 1, то уравнение имеет решение а: = А*г; для всех у Е .

2. Если ТгА ф 1, то существует только тривиальное решение х — 0 .

Рассмотрим неоднородное уравнение Ах(ВЬ = х , где матрица А — неразложимая. Теорема 5.2 (см. доказательство в [8]).

1. Если ТгА < 1, то существует единственное решение х = А+Ь.

2. Если ТгА = 1, то х = А+Ь 0 А*у для всех у Е Хп .

3. Если ТгА > 1 и 6 = 0, то ж = 0.

4. Если Гг А >1 и 6 ф 0, то решений нет.

Однородным неравенством называется неравенство вида Ах ^ х, а неоднородным — Ах 0 Ь ^ ж, где А и Ь — заданные квадратная матрица и вектор, х — неизвестный вектор.

Рассмотрим однородное неравенство Ах ^ ж, где матрица А — неразложимая. Теорема 5.3 (см. доказательство в [8]).

1. Если ТгА ^ 1, то неравенство имеет решение ж = А+у для всех у Е Хп .

2. Если ТгА > 1, то существует только тривиальное решение ж = 0.

Рассмотрим неоднородное неравенство Ах 0 Ь ^ ж , где матрица А — неразложимая.

Теорема 5.4 (см. доказательство в [8]).

1. Если ТгА ^ 1, то ж = А+{Ъ © у), для всех у Е Хп .

2. Если ТгА >1 и 6 = 0, то ж = 0.

3. Если ТгА > 1 и Ь ф 0, то решений нет.

544

6 Операция замыкания

Пусть задано положительное полукольцо. Унарная операция * , для которой выполняются во всей ее области определения следующие свойства:

• из а ^ Ь следует а* ^ Ь*\

• а* = 1 ® (а <8> а*) = 1 ® (а* <8> а),

называется замыканием. В случае идемпотентного сложения:

а* = фа* = зиРтаг-

г>0

Операция замыкания в матричном полукольце Хпхп определяется следующим образом, см. [9]: для матриц первого порядка А* = (а)* = (а*). Для любого целого

п > 1 и любой матрицы А Е хпхп, А = ( аи °12 ] , где ац Е Хкхк, а\2 Е

\ «21 а22 /

Xкх(п-к)

а21 е Х^п~к^хк,а22 Е Х^п~к^х<^п~к\ 1 ^ к ^ п замыкание А*_( а*11@а*11а12В*а21а*п а*па120* \ _

А ~ ^ 0*а21а*п И* ) ’ ГДе В - °22 0 2

Легко проверить, что выполняются равенства А* = / ® АА* — I © А*А.

7 Граф и поиск кратчайшего пути на графе

Рассмотрим матрицу А = (ау) 6 Хпхп. Сопоставим ей граф (V., Е) с множеством вершин V = {1,... , п} и множеством ребер Е = {{г,з)\г^ Е V}. Для каждой пары вершин г, ^ Е V будем говорить, что дуга (г, ]) Е Е, если а^ ф 0, и дуга (г, ^') ^ Е, если аг] = 0.

Последовательность вершин {г0, гг,..., гт} такая, что ребра (г0, гг), (гь г2),..., (гт-1, гт) Е Е, называется путем. Число ребер то, из которых состоит путь, называется длиной пути. Величина аг] является расстоянием между вершинами г и j . Для любого пути {г0, ц,..., гт} расстояние между вершинами г0 и гт вдоль этого пути определяется произведением агопа^2 ... а1гп_1ггп.

Возведем матрицу А в некоторую степень р. Обозначим Ар = (а^). Тогда

ац = аП1а1112 ■ ■ ' aІp~lj

1<г1,г2,...,гр_1

является наибольшим расстоянием в смысле заданного порядка между вершинами г и ^ вдоль всех путей, которые состоят из р дуг. Этот факт позволяет решить некоторые важные задачи легче, чем обычными способами. К одной из таких задач относится поиск кратчайшего пути.

Часто требуется определить наименьшие расстояния и кратчайшие пути, например, между городами. Для этого нужно построить соответствующий граф, составить матрицу А . Затем в 11™^,+ найти или А"-1, или А*, или А+. В полученной матрице элемент ац — наименьшее расстояние между вершинами г и ]. Т.е. кратчайшие расстояния будут найдены сразу между всеми вершинами. Можно также заметить,

545

что столбцы полученной матрицы являются решением однородного уравнения Веллмана Ах = х , так как х = А*у, V £ Хп.

Вес каждого из ребер графа можно представить не как расстояние, а как другую метрику. Например, в качестве временных интервалов, стоимости, штрафов, убытков или любой другой величины, которая линейно накапливается по мере продвижения вдоль ребер графа и которою нужно свести к минимуму. Таким образом, эта задача имеет еще более важное значение, чем на первый взгляд.

Пример вычисления таблицы кратчайших расстояний для всех вершин графа. Пусть задан граф:

Составим матрицу расстояний между смежными вершинами: а12 = 7 и т.д. агг = 0 для всех г. Если между вершинами I и ] нет ребра, то = +оо. Таким образом, получим следующую матрицу:

/ 0 7 9 +оо +оо 14

7 0 10 15 +оо +оо

9 10 0 11 +оо 2

+00 15 11 0 6 +оо

+оо +оо +оо 6 0 9

^ 14 +оо 2 +оо 9 0 У

Вычислим матрицу А*:

/ 0 7 9 20 20 11 \

7 0 10 15 21 12

* _ 9 10 0 11 11 2

20 15 11 0 6 13 '

20 21 11 6 0 9

\ 11 12 2 13 9 0 У

В первой строке (столбце) этой матрицы находятся наименьшие расстояния от первой вершины до всех остальных; во второй строке (столбце) — кратчайшие расстояния от второй вершины до всех остальных и т.д.

Нахождение кратчайшего пути между двумя вершинами графа. Теперь кратчайший путь между данными вершинами нетрудно восстановить, зная все наименьшие расстояния. Это можно сделать, воспользовавшись следующим алгоритмом: Пусть А = (а^), А* = (а^), К — множество смежных вершин для г.

1. Выбираем начальную вершину г и конечную вершину .

2. Найдем число 5 = фа{к ® а*к], т.е. тт{агк + а*к]} , где к Е К. Вершину к, для которой выполняется равенство агк + а*к] — Б, добавляем в путь. Если на некотором шаге найдено несколько таких вершин, тогда и кратчайших путей будет несколько.

3. Пока к ф ] , повторяем шаг 2 для i := к .

Пример. Найдем в данном графе кратчайший путь от вершины 1 до вершины 6.

На первом шаге:

фйгА: ® a*kj — min{ai2 + + «36,016 + cigg} = тгп{7 + 12,9 + 2,14 + 0} =

тгп{19,11,14} = 11. Это число соответствует вершине 3. Получим путь {1, 3} .

На следующем шаге теперь г = 3.

фа**; eg) alj = min{az2 + «26>a34 + а4б>азб + абб) = mm{10 + 12,11 + 13,2 + 0} = mm{22, 24, 2} = 2 . Это число соответствует вершине 6. Получим путь {1, 3, 6} . Так как j = 6 цикл останавливается, и путь {1,3,6} является кратчайшим.

8 Описание алгоритмов на языке MathPar

В системе “MathPartner”, воспользовавшись определенными командами, можно найти решение линейных алгебраических систем уравнений и неравенств, уравнений и неравенств Веллмана, найти замыкание, наименьшие расстояния и кратчайший путь. Операция замыкания вызывается командой \closure(a), где о — элемент или матрица. Команда \solveLAETropic(A, b) позволяет найти частное решение уравнения вида Ах = b. Пример.

SPACE = R64MaxPlus[х, у];

А = [[1.00, 1.00, 0.00],

[2.00, 0.00, 3.00],

[3.00, 4.00, 2.00]];

Ъ = [8.00, 7.00, 11.00];

X = \solveLAETropic(A, b);

\print(X);

Результат выполнения:

/ 5.00 \

X = 7.00 .

\ 4.00 /

Команда \solveLAITropic(A, b) позволяет найти решение неравенства Ах ^ Ь. Пример.

SPACE = ZMinPlus[х, у];

А = [[1, 1, 0] ,

[2, 0, 3],

[3, 4, 2]];

Ъ = [10, 7, И] ;

X = \solveLAITropic(A, b);

\print(X);

Результат выполнения:

X = [[9, оо), [9, оо), [10, оо)]

Команда \ВellmanEquation(A) позволяет найти решение однородного уравнения

Веллмана Ах — х .

Пример.

SPACE = R64MaxPlus[х, у];

А = [[0.00, -2.00, -\infty, -\infty],

[-\infty, 0.00, 3.00, -1.00],

[-1.00, -\infty, 0.00, -4.00],

[2.00, -\infty, -\infty, 0.00]];

X = \BellmanEquation(A);

\print(X);

Результат выполнения:

X =

/ 0.00 -2.00 1.00 -3.00 ( Vi \

2.00 0.00 3.00 -1.00 V2

-1.00 -3.00 0.00 -4.00 V3

\ 2.00 0.00 3.00 0.00 ) \ Щ

iVvi,V2,^,u4.

Команда \BellmanEquation(A, b) позволяет найти решение неоднородного уравнения Веллмана Ах®Ь — х . Команда \BellmanInequality(A) позволяет найти решение однородного неравенства Веллмана Ах ^ х . Команда \BellmanInequality(A, b) позволяет найти решение неоднородного неравенства Веллмана Ах ® Ъ ^ х. Команда \searchLeastDistances(A) позволяет найти наименьшие расстояния между всеми вершинами графа. Команда \findTheShortestPath(A,i,j) позволяет найти кратчайший путь между вершинами і и j.

Пример.

SPACE = R64MinPlus[х, у];

А = [[0.00, 7.00, 9.00, \infty, \infty, 14.00],

[7.00, 0.00, 10.00, 15.00, \infty, \infty],

[9.00, 10.00, 0.00, 11.00, \infty, 2.00],

[\infty, 15.00, 11.00, 0.00, 6.00, \infty],

[\infty, \infty, \infty, 6.00, 0.00, 9.00],

[14.00, \infty, 2.00, \infty, 9.00, 0.00]];

В = \searchLeastDistances(A);

X = \findTheShortestPath(A, 0, 4);

\print(B,X);

Результат выполнения:

В =

( 0.00 7.00 9.00 20.00 20.00 11.00 ^

7.00 0.00 10.00 15.00 21.00 12.00

9.00 10.00 0.00 11.00 11.00 2.00

20.00 15.00 11.00 0.00 6.00 13.00

20.00 21.00 11.00 6.00 0.00 9.00

\ 11.00 12.00 2.00 13.00 9.00 0.00 )

, X = [[0,2,5,4]].

Следует заметить, что МаЛраг — это процедурный язык программирования. Поэтому помимо использования вышеперечисленных алгоритмов пользователь может написать собственные алгоритмы для тропических алгебр на языке МаШраг.

548

Заключение

Тропическая математика — активно развивающаяся область математики. Поэтому создание тропической компьютерной математики находится в своей самой ранней стадии. Веб-сервис MathPartner дает возможность создавать алгоритмы тропической математики и применять их в самых разных прикладных областях для 12 различных идемпотентных алгебр.

Кроме операций сложения, умножения и обращения сегодня можно пользоваться такой операцией, как замыкание. Для замыкания принято обозначение \closure(a). При этом а может быть как числом, так и матрицей.

Перечислим процедуры, которые разработаны для веб-сервиса MathPartner: \solveLAETropic(A, b) — находит частное решение для уравнения Ах = b, \solveLAITropic(A,b) —для неравенства Ах ^ Ь,

\BellmanEquation(A) — для уравнения Ах = х ,

\BellmanEquation(A, b) — для уравнения Ах ® b = х ,

\Bellman Inequality (А) — для неравенства Ах ^ х ,

\BellmanInequality(A, b) — для неравенства Ах ® b ^ х ;

\searchLeastDistances(A) позволяет найти наименьшие расстояния между каждыми двумя вершинами графа,

\findTheShortestPath(A,i,j) — кратчайший путь между вершинами i и j.

Помимо использования вышеперечисленных команд, пользователь может написать собственный алгоритм на процедурном языке Mathpar [6] для решения задач тропической математики.

План развития компьютерной тропической математики был сформулирован в статье [9]. Настоящая работа по включению тропических алгебр и тропических процедур в веб-сервис MathPartner была осуществлена во многом благодаря влиянию этой статьи. И планируется дальнейшее развитие этой работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Литвинов Г. Л. Деквантование Маслова, идемпотентная и тропическая математика: краткое введение // Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. Часть 13. / под ред. А.А. Лодкина. Записки научных семинаров ПОМИ, 2005. Т. 326. С. 145-182.

2. Малашонок Г. И. Компьютерная математика для вычислительной сети // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Том 15. Вып. 1. С. 322-327.

3. Simon I. Recognizable sets with multiplicities in the tropical semiring, in Mathematical foundations of computer science. Carlsbad, 1988. V. 324. P. 107-120.

4. Simon I. On semigroups of matrices over the tropical semiring / / RAIRO Inform. Theor., 1994. P. 277-294.

5. J. E. Pin. Tropical semirings // Idempotency. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998. V. 11 P. 50-69.

6. Малашонок Г.И. Руководство по языку «MATHPAR»: учебное пособие . Тамбов: Издательский дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2013.

7. Malaschonok G.I. Project of Parallel Computer Algebra // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Том 15. Вып. 6. С. 1724-1729.

8. Кривулин Н.К. Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009.

9. Litvinov G.L., Maslov V.P., Rodionov A.Ya., Sobolevski A. N. Universal algorithms, mathematics of semirings and parallel computations // arXiv:1005.1252vl, 2010.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12-07-00755-а.

Поступила в редакцию 20 декабря 2013 г.

Kireev S.A., Malaschonok G.I. TROPICAL CALCULATIONS IN WEB SERVICE MATH-PARTNER.

We present the algorithms of tropical mathematics, which form one of the most important sections of the web service MathPartner. These are the algorithms that allow to solve systems of linear equations and inequalities, systems of Bellman equations and inequalities, and algorithms for finding the smallest distances and shortest paths on the graph. We present the operators that are available to users of service, as well as complete examples in the language Mathpar.

Key words: Web service Mathpartner; tropical semiring; system of linear algebraic equations; Bellman equation; operation of close; finding the shortest path.

Киреев Сергей Анатольевич, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, аспирант кафедры математического анализа, e-mail: seregakireeff@yandex.ru.

Kireev Sergey Anatolyevich Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Postgraduate Student of Mathematical Analysis Department, e-mail: seregakireeff@yandex.ru.

Малашопок Геннадий Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, доктор физико-математических паук, профессор кафедры математического анализа, e-mail: malaschonok@gmail.com.

Malaschonok Gennadi Ivanovich Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Mathematical Analysis Department, e-mail: malaschonok@gmail. com.