ПОИСК НУЛЕЙ ФУНКЦИОНАЛОВ, НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ И СОВПАДЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ В КВАЗИМЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Автор приносит благодарность научному руководителю Е. Т. Шавгулидзе за постановку задачи и ценные замечания при подготовке статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hulanicki A. The distribution of energy in the Brownian motion in the Gaussian field // Stud. math. 1976. 56, N 2. 165-173.

2. Gaveau B. Principe de moindre action, propagation de la chaleur et estimees sous elliptiques sur certains groupes nilpotents // Acta math. 1977. 139, N 1-2. 95-153.

3. Vatanabe S. Analysis of Wiener junctionals (Malliavin calculus) and it's applications to heat kernels // Ann. Probab. 1987. 15, N 1. 1-39.

4. Мамон C.B. Мера Винера на группе Гейзенберга и параболические уравнения // Фунд. и прикл. матем. 2016. 21, № 4. 67-98.

Поступила в редакцию 26.09.2016 После доработки 26.09.2018

УДК 515.124, 515.126.4, 512.562

ПОИСК НУЛЕЙ ФУНКЦИОНАЛОВ, НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ И СОВПАДЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ В КВАЗИМЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

Т. Н. Фоменко1

Доказаны принцип поиска нулей (а, в)-поисковых функционалов и вытекающие из него теоремы о неподвижных точках и совпадениях наборов однозначных и многозначных отображений (hi, h2 )-квазиметрических пространств. Полученные теоремы являются развитием установленных ранее автором результатов для метрических пространств. В частности, получено обобщение недавнего результата о совпадениях накрывающего и липшицева отображений (hi, Ь2)-квазиметрических пространств.

Ключевые слова: (h1, Ь2)-квазиметрическое пространство, (а, в)-поисковый функционал, неподвижная точка, точка совпадения.

The cascade search principle for zeros of (a, e)-search functionals and consequent fixed point and coincidence theorems are proved for collections of single-valued and set-valued mappings of (h1; h2)-quasimetric spaces. These results are extensions of some previous author's results in metric spaces. In particular, a generalization is obtained for some recent result on coincidences of a covering mapping and a Lipshitzian mappings of (h1; h2)-quasimetric spaces.

Key words: (h1; h2 )-quasimetric space, (a, e)-search functional, fixed point, coincidence point.

1. Введение и предварительные сведения. Полезным методом исследования функционалов, заданных на метрическом пространстве, является принцип поиска нулей так называемых (а, в)-поисковых функционалов, разработанный в [1-3]. Важность этого принципа заключается и в том, что из него получается целый ряд теорем о существовании неподвижных точек, точек совпадения наборов отображений (как однозначных, так и многозначных) метрических пространств, а также теорем о существовании прообразов заданного подпространства метрического пространства, представленных в [1-3].

1 Фоменко Татьяна Николаевна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: tn-fomenkoQyandex .ru.

Fomenko Tatiana Nikolaevna — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Chair of General Mathematics.

В настоящей работе результаты работ fl-3] о поиске нулей (а, в)-функционалов, а также о неподвижных точках и совпадениях отображений метрических пространств распространяются на случай (bi, Ь2)-квазиметрических пространств. Рассматриваются как однозначные, так и многозначные функционалы и отображения. В частности, получены обобщения некоторых результатов работы [4].

Приведем сначала необходимые обозначения, определения и некоторые результаты для метрических пространств из работ [1-3]. Для полноты изложения представим их с краткими доказательствами.

Пусть (X, d) — метрическое пространство, р : X ^ R+ — неотрицательный функционал. Будем обозначать через №1(р) = {x € X : р(х) =0} = A С X множество нулей функционала р, Graph(^) :=

x€X ■

Определение 1. Будем говорить, что график Graph(^) {0}-полоп, если любая фундаментальная последовательность {x^} С X, такая, что ) сходится к нулю, имеет предел £ € X и р(£) = 0. График Graph(^) называется {0}-замкнутым, если для любой последовательности {(xk))} С Graph(^>), сходящейся к (£, 0) € X х R+, верно, что (£, 0) € Graph^), т.е. р(£) = 0.

Определение 2. Пусть (X, d) — метрическое пространство. Функционал р : X ^ R+ называется (а, ß)-поисковым на, X (относительно метрики d), если для любой точки xo € X существует точка х' € X, для которой d(xo,x') ^ ^, p(V) ^ £р(жо)-В работе [1] доказано следующее утверждение.

Теорема 1 [1, теорема 1]. Пусть (X, d) — метрическое пространет,во, р : X ^ R+ — неотрицательный (а, в)-поисковый на X функционал, где 0 < ß < а. Пусть либо график Graph(^) функционала, р является 0-пшнъш, л,ибо X — полное пространство и график Graph(^) 0-замкнут. Тогда для, каждой точки Хо € X существует такая точка £ € Nil(p); что d(xо,£) ^ Va-°ß ■

Доказательство Пусть xo € X — произвольная фиксированная точка. В силу условий теоремы и определения (а, в)-поискового функциопала р можно построить последовательность точек

{%т}т=0,1,2,...) удовлетворяющую следующим условиям: (а) d(xm,xm+i) ^ ; (b) p{xm+i) ^

^р(жт), причем если точка хт уже выбрана и р(хт) = 0, т.е. хт € А, то полагаем Xj = хт для всех j > m. Если же p(xm) > 0, то согласно условиям теоремы и определению (а, ß)-поискового функционала (существует точка xm+i, удовлетворяющая условиям (а) и (Ь). Эта последовательность фундаментальна, так как d(xm,xm+i) ^ ^ . v(xo) —^ q j£p0Me ТОго, ясно, что

а а а т—^^

p(xm) —> 0. Следовательно, последовательность {(xm, p(xm))}m=0 1... точек графика р фундамент—те ' '

тальна. А поскольку либо график Graph(p) 0-полон, либо простр анство X полно и график Graph(p) 0

(£, 0) и (£, 0) € Graph^). Это означает, что р(£) = 0, т.е. £ € A Расстояние d(x0,£) несложно оценить:

d(x0,O = lim d(x0,xm) < lim f>fc_b,fc) < lim ^ /£\к~\фо) = рЫ 1. = Фо}_ □ ети-оо ети-оо ети-оо V CK / CK CK 1 — £ CK — D

k=1 fc=l а ^

Отметим, что в [5] получено другое доказательство теоремы 1, а именно с использованием упорядочивания метрического пространства по методу Брондстеда (Br0ndsted).

(а, ß)

ционала на подмножестве декартова произведения метрических пространств. Пусть (X, d), (Y, — метрические пространства. Метрика в X х Y задана то правилу v((x, y), (x', y')) := d(x, x') + ^(y, y'), Vx, x' € X, y, y' € Y.

Теорема 2. Пусть D С X х Y^ заданное замкнутое подмножество, р : D ^ R+ — неотрицательный функционал. Пусть для функционала, р и чисел а, ß, 7, где 7 > 0, 0 < ß < а, выполнены, следующие условия. Для каждой точки (x, y) € D существует т,очка, (x', y') € D, такая, что d(x,x') ^ ск_1р(ж>2/); d{y,y') ^ 7р{х,у) и р{х' ,у') ^ ^р(х,у). Пусть также либо график Graph(p) функционала, р является 0-полнъш, л, ибо D — полное пространет во и график Graph^) 0-замкнут.

Тогда, для, любой точки (x0,y0) € D существует последовательность {(x^,yk)}fc=0,1,... С D, сходящаяся к некоторой точке (£, € D, где р(£, = 0; м верны следующие оценки на, расстояния: d(x

Доказательство. Зафиксируем начальную точку (x0,y0) € D. Исходя из условий теоремы, можно построить начинающуюся из этой точки последовательность {(x&)}fc=0,i,...j удовлетворяющую условиям d(xk,xk+1) ^ а~1<р(хк,ук), d(yk,yk+1) ^ 7р(хк,Ук) и p(a;fc+byfc+i) ^ %<р(хк,Ук),

k = 0,1,____Отсюда следует, что v((xk, yk), (xk+i,yk+i)) ^ Kp(xk, yk), где К = a 1 + 7. Поэтому

имеем

(в ^fc а

Таким образом, последовательность {(xk, yk)}fc=o,i,..., а также каждая из последовательностей {xk}k=o,i,..., {yk}k=o,i,... являются фундаментальными. В силу условий теоремы все они сходятся к некоторым точкам (£,'),£,' соответственно, причем р(£,') = 0. Требуемые в теореме оценки расстояний d(xo,£) и /(yo,') доказываются стандартно. □

Обозначим далее через C (Y) совокупность замкнутых подмножеств в Y. Пусть F : X — C (Y) — многозначное отображение иЯ С Y — замкнутое подпространство в Y.

Будем говорить, что график Graph(F) отображения F является Я-полным, если любая фундаментальная последовательность {(xn, yn)} С Graph(F), для шторой /(yn,Я) — 0, сходится к некоторому элементу (£, п) G Graph(F), где /(п, Я) = 0, т.е. п € Я и, следовательно, £ € F-i(H) С X.

Будем говорить, что график Graph(F) отображения F является Я-замкнутым, если все предельные точки Graph(F) гада (£, п), гДе П € Я, принадлежат графику Graph(F). Из теоремы 2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 3 [2, теорема 1]. Пусть F : X — C(Y) — многозначное отображение и Я С Y — замкнутое подпространство в Y. Пусть 7 > 0,0 < в < а м для каждых ж € X u y € F (ж)

существуют, точки х' € X и у' € F(x'), для которых р(х,х') ^ №(у>у') ^ 7 ' №(У>Н) и

ц{у',Н) ^ ^ • ц{у,Н). Пусть либо график Graph(F) отображения F являет,ся, Н-полным, либо пространство X х Y полно и график Graph(F) является Я-замкнутым. Тогда, для, каждого xo € X yo € F(xo) xo

{хт}т=0,1,... ^ X, хт —> £; £ € F~l(H), и р(ж0,£) ^ > С = £(%о,Уо)- Кроме того, су-

ществует последовательность {ym},ym € F(xm),m € N U {0} ym —^ n, П € Я П F(£); причем

m—<Xi

Доказательство. Покажем, что из условий теоремы 3 вытекают условия теоремы 2 при подходящем выборе функционала р. В самом деле, пусть D = Graph(F) С X х Y и функционал р : D — R+ определен по правилу р(ж, y) := /(y, Я) := inf {/(y, z)}. Тогда условия теоремы 3 означают, что для каждой точки (ж, y) € D существует точка (ж', y') € D, такая, что d(x, ж') ^ a-1 р(ж, y),

И(У,У') < ГРР(х,у) и Lp{x',y') < £<р(х,у).

В соответствии с условиями теоремы построим, как в доказательстве теоремы 2, последовательность {(xk, yk)}k=o,i,... С Graph(F) = D, удовлетворяющую условиям

-i в d(xk, xk+i) ^ a~lLp{xk,yk), ц(ук, yk+i) ^ 7<p(xk,yk), <p(xk+i,yk+i) ^ -<p(xk,yk), k = 0,1,....

Отсюда следует, что <p(xk,yk) ^ (£)fcp(^o, Уо), v((xk,yk),(xk+i,yk+1)) := d(xk, xk+i) + ц(ук, ук+г) ^ Kp(xk,yk), k = 0,1,..,щеК = а^ + 7.

Получаем, что последовательность {(xk, yk)}k=o,i,... С Graph(F) = D, а также последовательности {xk}k=o,i,...) {yk}k=o,i,... являются фундаментальными. Кроме того, по построению p(xk, yk) —^ 0.

' ' ' ' " k—^^о

Если Graph(F) Я-полон, то график Graph(p) функционала р является {0}-полным. Если пространство X х Y полно и график Graph(F) Я-замкнут, то график Graph(p) функцион ала р является {0}-замкпутым. Итак, выполнены все условия теоремы 2, в силу которой р(£,п) = /(п, Я) = 0, т.е. п € Я и, следовательно, £ € F-^Я). Требуемые в теореме 3 оценки расстояний d(xo,£) и /(yo, п) получаются стандартно. □

Приведем еще одно следствие из теоремы 2, которое является частным случаем теоремы 3.

n

Ниже в произведении Yn = Y х ... х Y рассматривается метрика // где /(y,z) := ^ /(yk, Zk) для

k=i

любых y = (yi,... ,yn),z = (zi,... ,Zn) € Yn.

Теорема 4 [2, теорема 2]. Пусть Fb ..., Fn : X — C(Y) F = F х ... х Fn : X — C(Yn); причем, график Graph(F) от,обра,жения F является А-п-замкнутым, где An = {(yi,..., yn) € Yn|yi = ... = yn} диа,гона,л,ь в Yn, и хотя бы один из графиков Graph(Fj)), i = 1,...,n, является полным. Пусть числа, а, в, 7, где 7 > 0, 0 < в < а, таковы, что для каждого ж € X и каждого y € F(ж) существуют, точки х' € X и у' € F(x'), для, которых р(х,х') ^ ; d(y,y') ^ 7 • d(y,An)

и (1(у',Ап) ^ £ • с1(у,Ап). Тогда для каждой точки Хо € X существует последовательность {хт}ш=од,..., хт —► С, С € Сот(^,... При этом р(х0,0 ^ С = £(хо,Уо)-

Доказательство. Покажем, что в условиях теоремы 4 выполнены все условия теоремы 3. Достаточно проверить, что график СгарИ(^) является Дп-полным. По условиям теоремы 4 график СгарИ(^) Дп-замкнут и хотя бы один из графиков СгарИ(^), г = 1,... является полным. Пусть, например, график СгарИ(^1) является полным. Это означает, что любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторой точке этого графика. Как в доказательстве теоремы 3, построим последовательность {(хк, ук)}к=о,1,... С СгарИ(^), удовлетворяющую условиям

в

(1{хк, хк+\) ^ а~1р(хк,Ук), КУк, Ук+1) ^ 7<р(хк,Ук), <р(хк+1,Ук+1) ^ ~<р(хк,Ук), к = 0,1,... .

а

Здесь ук = (у1к,..., упк), у»к € ^(хк). Получаем, что последовательность {(хк, ук)}к=од,... С СгарИ(^) = а также каждая го последовательностей {хк}к=од,..., {(у»к)}к=о,1,..., г = 1,..., п, являются фундаментальными. Кроме того, ясно по построению, что р(хк, ук) := /(ук, Дп) —> 0. Здесь

к^-х

п

/х(ук, Дп) := ^ {//(ук, Поскольку /(ук, Дп) := И {^ /(у*к, ¿0}, то отсюда следует, что все по-^еДп " ¿еУ ¿=1

следовательности {(у^к)}к=о,1,..., г = 1,..., п, сближаются при к ^ то. Так как график СгарИ(^1) является полным, а последовательность {(хк,У1к)}к=о,1,... фундаментальна, то она сходится к некоторой точке (£, п) € СгарИ(^1).

Ввиду того что последовательности {(у^к)}к=о,1,..., г = 1,... сближаются, они все сходятся к

п

П и (£, п) € П СгарЬ(^). Это означает, что £ € Сот(^\,... ,^п). Требуемая оценка на расстояние

¿=1

) как и в предыдущих теоремах, доказывается стандартно. □ 2. Основные результаты. Напомним некоторые определения.

Определение 3. Пусть X — непустое множество, 61,62 € М. Функция р : X х! ^ М называется (61, Ь2)-квазиметрикой, а пара (X, р) — (Ь1, 62)-квазиметрическим пространством, если для любых х, у, г € X выполнены следующие условия:

1) р(х, у) ^ 0;

2) р(х,у) = 0 ^ х = у;

3) р(х, г) < Ь1р(х,у) + Ь2р(у, г).

Определение 4. Пусть задано 8 > 0. Тогда (61,62)-квазиметрика р называется в-симметрической (симметрической при в = 1), если для любых х,у € X верно р(х,у) ^ вр(у,х). В этом случае говорят, что X является в-симметрическим (симметрическим при в = 1) (Ь1, 62)-квазиметрическим пространством.

(1, 1)

пространство. Легко видеть, что коэффициенты 61,62 в определении 3 не могут быть меньше 1.

В частном случае, когда 61 = 62 = 6, симметрическое (61, ^-квазиметрическое пространство называется ^метрическим пространством. На ^метрические пространства был распространен

( 61 , 62 )

естественно возникают в исследованиях по анализу и геометрии. Целый ряд примеров таких пространств, описание их основных свойств и соответствующие подробные ссылки на литературу даны, например, в [4].

Определение 5. Последовательность {хк} элементов (61, 62)-квазиметрического пространства (X, р) называется сходящейся, к элементу а € X, если р(хк, а) —> 0. Последовательность {хк}

к^-х

элементов (61,62)-квазиметрического пространства (X, р) называется фундаментальной, если для любого е > 0 существует такое N = N(е) € N чт0 Для любых п, т € М, т ^ п > N верно, что р(хп,хт) < е. По аналогии с обычным метрическим пространством (61,62)-квазиметрическое пространство (X, р) называется полным,, если любая фундаментальная последовательность его элементов имеет (хотя бы один) предел.

Определения {0}-полноты и {0}-замкнутости графика функционала р : X ^ М+, а также определение (а, в)-поискового неотрицательного функционала (относительно соответствующей квазиметрики) для (61,62)-квазиметрического пространства в точности такие же, как в случае обычного метрического пространства (см. определения 1, 2).

Сформулируем и докажем аналоги приведенных выше метрических теорем для случая (61,62)-квазиметрических пространств.

Следующая теорема является аналогом теоремы 1 для (61, 62)-квазиметрического пространства.

Перед тем как ее сформулировать, заметим, что поскольку ^ < 1 и, следовательно, —> 0 при

k ^ то, то очевидно, что существует наименьший показатель ko, такой, что для любого k,k ^ ko,

верно неравенство ^(а) < 1-

Теорема 5. Пусть (X, р) — полное (bi,b2)-квазимет,рическое пространство, р : X ^ R+ — неотрицательный (а, ß)-поисковый функционал. Пусть либо график Graph(p) функционала р является 0-пшнъш, л,ибо X — полное пространство и график Graph(p) 0-замкнут. Тогда, для, каждой точки ж0 € X существует такая точка £ € Nil(p) что

lim р(хо,7) < ^ -^fcp^2"^-рЫ- (*)

^ а(1-Ь2(|) )

р

(*) верна для р(хо,£) = lim р(жп. V).

Доказательство. Будем рассуждать, как в доказательстве теоремы 1, однако с учетом особенностей (bi,Ь2)-квазиметрики р, отличающих ее от обычной метрики. Как и в доказательстве теоремы 1, построим последовательность точек {xm}m=o,i,2,... в X, удовлетворяющую следующим

условиям: (а) р(хт,хт+1) ^ ; (Ь) р(жт+1) ^ £р(жт), причем если точка хт уже выбрана и

p(xm) = 0, то полагаем Xj = для всех j > m. Если же p(xm) > 0, то согласно условиям теоремы и определению (а, ß)-поискового функциопала р (относительно квазиметрики р) существует точка Xm+i) удовлетворяющая условиям (а) и (Ь).

Теперь докажем фундаментальность построенной последовательности по отношению к квази-р

р(хт,хт+1) ^ ^ р(жо). (1)

а а \а/

Отсюда получаем

p(x„,Xm) ^ bip(xra,xra+i) + Ь2р(жп+1,жт) ^ bip(xra,xra+i) + b2(bip(xra+i, Жп+2) + Ь2Р(Жп+2, Жт)) =

= bip(xn, Жп+i) + b2bip(xn+i, Жп+2) + (b2)2p(xra+2, Жт)) ^ • • • ^ bip(xn, Xra+i) + +b2bip(Xn+i, Жп+2) + bi(b2)2p^ra+2, Жга+э) + • • • + ^^"^bip^m^, Жт-i) + (b2)m—^(ж

m— i , Жт) •

Пользуясь неравенствами (1), имеем

ß

/ß\ "г ß ß о / ß\ m—n—2 1 / ß\ m—n—ii

ар(жга,жт) О1РЫ - 1 + 62- + (Ь2-)2 + ...+ Ь2- + TT ^

а а а а bi а

Обозначим <Э(Ь2|, Л) := 1 + + ) + • • • + (Ьг|) • Тогда

/ в ЛгаГ / в Л 1 / в \m-n-1-i

ар(хп,хт) ^Ъ1фо){-) Я[Ь2-,т - п-1) + — [Ь2- . (2)

\а/ I V а а/ J

Для любого кеМ обозначим Ф(к) := — 1) + ^¡-(Ьг^)'0-1 и положим Ф(0) = 0. Тогда из (2)

имеем

/в\п

ар(хп, хт) ^ &1р(жо) ( — ) Ф(ш — п). (3)

а

Поскольку ^ < 1 и, следовательно, —> 0 при к оо, то существует, как отмечено выше, такое наименьшее натуральное ко, что для любого к ^ ко верно Ь2(^)к < 1- Используя существование этого показателя ко и разбивая часть построенной последовательности между точками хп и хт на "куски", в каждом из которых разность номеров не превосходит ко, получаем следующие оценки для

2Отметим, что нижеследующее доказательство фундаментальности этой последовательности и оценки (*) достаточно стандартно и поэтому вполне аналогично рассуждениям в доказательстве теоремы 4.5 работы [4], где строится похожая последовательность.

любых п, т € М, т > п > N. Пусть т — п = дко + т, где т — остаток от деления т — п на ко, так что 0 ^ т < ко. Тогда

р(хп,хт) ^ 61р(хп,хп+ко) + 62р(хп+ко,хт) ^ ^ 61р(хп,хп+ко ) + 6261р(хп+ко ,хп+2ко ) + (^)2р(хп+2ко ,хт) ^ ... ... ^ 61р(хп, хп+ко) + 6261р(хп+ко, хп+2ко) + ^^р^п^ко, хп+3ко) + ...

... + (^^Чр^п+^ко ,хп+дко) + (62)?р(хп+дко ,!т). (4)

К каждому слагаемому в неравенствах (4) применим оценки вида (3), а именно заметим, что

( в \п+^'ко

ар(хп^ко, хп+и+1)ко) ^ Ьгр(х0) 1^-) Ф(Ао),; = 0,1,..., д - 1.

Кроме того,

( в \ п+?ко

ар(хп+дко ,

Тогда из (4) следует, что

/ в \ п / в \ п+ко 2 / в \ п+2ко

ар(жга,жт) < М1РЫ - Ф(ко)+Ъ2Ь1Ь1<р(хо)[-) Ф(к0) + (62)Ьфцр&о) - Ф(Ао) + ...

а а а

/ в \п+(о-1)ко / в \ п+око

• • • + Ьг^у-'ЬМхо) Ф(Ао) + ЩЬ\<р(хо) Ф(г).

Далее имеем (используя неравенство < 1):

ар(жп, хт) < (Ъ^фоМко) ([-)П [1 + &2 (-) + (Ь2)2 + • • •

а а а

1-Ц1)

Итак, окончательно получаем

ы | - J

Так как (£)"" —> 0 при п —> то, а остальное выражение в правой части (5) ограничено, то р(хп, хт) —> 0 при п ^ то, поэтому последовательность {хт} фундаментальна, а значит, она сходится в полном пространстве (X, р) к некоторому элементу £ € X. Поскольку р(хт) ^ 0, то в силу условий теоремы р(£) = 0, т.е. £ € №1(р).

п=0

ар(хо,хт) ^ (61)2р(хо)

(6)

Если т делится иа ко, то г = 0, а значит, и Ф(г) = 0 и неравенство (6) приобретает вид

ар{х0,хт) ^{Ь1)2р(х0)-Ф<У (7)

Не предполагая полунепрерывности квазиметрики р ни по одному из аргументов, рассмотрим подпоследовательность {ж^} построенной выше последовательности{жт}. Так как, очевидно, она сходится к то получаем из неравенства (7):

Итр(ж0,7) ^ Ит Р(хо,Хзко) ^ оГ1(Ь 1)2р(^о)--

1 -ЦГ

— 1/7 \ 2 , + ^-Ч^т^^ко-^+б^М)^-1 = « --=--°

Теперь рассмотрим аналог теоремы 2 для (Ьх, Ь2)-квазиметрических пространств.

Пусть (X, р), (К, V) — (Ьх, Ь2)-квазиметрические пространства.

Теорема 6. Пусть Б С X х У заданное замкнутое подмножество, р : Б ^ М+ — неотрицательный функционал. Пусть для функционала, р и чисел 7> 0, 0 < в < а выполнены, следующие условия. Для каждой точки (ж, у) € Б существует т,очка, (ж', у') € такая, что р(ж, ж') ^ а_1р(ж,у); 1У(у,у') ^ 7р(ж,у) м р(ж',у') ^ £р(ж,у). Пусть также либо график СгарЬ(р) функционала р является 0-полньш, лмбо Б — полное пространство относительно (Ьх, Ь2)-квазиметрики р : Б х Б ^ М+; определенной по правилу р((ж,у), (ж', у')) := р(ж,ж') + V(у, у'); м график СгарИ(р) 0

Тогда, для, любой точки (жо,Уо) € Б существует последовательность {(ж^)}к=о,х,... С сходящаяся к некоторой точке (£, ф) € где р(£, ф) = 0, м справедливы следующие оценки:

Ит р{ха,ю) ^--- ,-р(ж0,уо). (8)

0(1-62(1)

1ш Р\Уо,У) ^ 7--- д. -<р{хо,уо). (9)

Доказательство. Зафиксируем начальную точку (жо,Уо) € Б. Исходя из условий теоремы, можно построить начинающуюся из этой точки последовательность {(ж&)}к=о,х,...) удовлетворяющую условиям р(хк,хк+1) ^ а~1р(хк,ук), ^(ук,ук+1) ^ 7р{хк,ук) и р^+ьу^) ^ |р{хк,ук),

к = 0,1,____Отсюда следует, что р((жк, ук), (жк+х,ук+х)) ^ Кр(жк, ук), где К = а-х + 7. Поэтому

имеем

' в

\а/

Таким образом, последовательность {(ж&)}к=о,х,..., а также каждая из последовательностей {ж&}к=о,х,..., {ук}к=о,х,... являются фундаментальными. В силу условий теоремы все они сходятся к некоторым точкам (£, ф), ф соответственно, причем р(£,ф) = 0. Требуемые в теореме оценки (8) и (9) доказываются вполне аналогично оценке (*) в теореме 5. □

Из теоремы 6 вытекает следующее утверждение, которое есть аналог теоремы 3 для (Ьх, Ь2)-ква-зиметрических пространств.

Теорема 7. Пусть ^ : X ^ С (У) — многозначное отображение и л,ибо СгарИ(^) С X х У Н-полон, где Н С У — замкнутое подпространство в У, либо пространство X х У полно и график СгарИ(^) Н-зыкнут. Пусть, кроме того, заданы, числа, а, в, 7, где 7> 0, 0 < в < а, м для каждой точки (ж, у) € СгарИ(^) существует точка (ж', у') € СгарИ(^); для которой

р(ж,ж') < < 7Ну,Н),и(у',Н) <

а а

Тогда для любой точки (x0,y0) € Graph(F) существует последовательность {(xk, ykКе{о}ш ^ Graph(F), (xk, yk) —> Об,Ф) € Graph(F), где C € F-i(H) ф € F(C) П H. Кроме того, верпы, оценки

лш <

«(1-62(1) )

lim р(уо,v) < 7^ —^ лр^2"^-кз/о,я).

^ (1-62(f) )

Доказательство. Следует рассмотреть функционал <^(x,y) := v(y,H) и множество D = Graph(F), зафиксировать любую точку (xo,yo) € Graph(F) и применить теорему 6. □

Следующая теорема есть аналог теоремы 4 для (bi, Ь2)-квазиметрических пространств. Это частный случай теоремы 7. Ниже в произведении Yn = Y х ... х Y рассматривается метрика

n

где z>(y, z) := J] v(yk, zfc) для любых y = (yi,... ,yn), z = (zi,..., Zn) € Yn. k=i

Теорема 8. Пусть F11,...,Fn : X ^ C(Y) F = F х ... х Fn : X ^ C(Yn); причем, график Graph(F) от,обра,жения F An-замкнут м хотя бы один из графиков Graph(Fj) i = 1,...,n, является полным. Пусть числа, а, ß, 7, гс?е 7 > 0,0 < ß < а, таковы, что для любых x € X, у € F(a;) существуют точки х' € X и у' € F(xr), для, которых p(x,xr) ^ v(yAn) ^ р(у^уг) ^

7 • 0(у, An), причем i>(y', Ап) ^ | • z>(y, Ап). Тогда для каждой точки (х0,у0) = (ж0, (ую, • • •, Упо)) € Graph(F) ш.е. yi0 € F^(x0),i = 1,..., n, существует сходящаяся последовательность {(xk, yk)} = {(xk, (yik,..., ynk))}k=o,i,..^^e Xk —► ^ yik —► n € Y, i = 1,..., n, причем точка (C, (n,... , n)) € Graph(F),

ш.е. C € Coin(Fi,..., Fn), n € Fi(C) П ... П Fn(C). Кроме того, верны оценки

К1-*®)

Предложение 1. Утверждение теоремы 5.7 ш работы [4] следует, из теоремы 8 при n = 2. Доказательство. Пусть (X, р), (Y, v) — (bi, Ь2)-квазиметрические пространства. Пусть Fi,F2 : X ^ C(Y) — заданные многозначные отображения, для которых выполнены условия теоремы [4, теорема 5.7], т.е. отображение Fi является ä-накрывающим и замкнутым (т.е. имеет замкнутый график), а отображение F2 являет ся ß-липшицевым, где 0 < ß < (5, и, кроме того, хотя бы один из графиков Graph(Fi), Graph(F2) является полным. Покажем, что тогда выполнены все условия n=2

Покажем, что Graph(Fi х F2) замкнут. В самом деле, так как отображение F2 является ß-липшицевым, то оно секвенциально полунепрерывно сверху. По этой причине для всякой сходящейся последовательности {(xk,yk)}k=o,i,... ^ Graph(F2) верно, что lim v(yk, F2(C)) = 0 гДе C =

lim x^ Следовательно, lim (xk,yk) € Graph(F2). Итак, Graph(F2) замкнут, а значит, и Graph(F) =

k^-x k^-x

Graph(Fi х F2) замкнут. В частности, Graph(F) является и Д2-замкнутым. Пусть теперь x € X — произвольная точка и y = (yi,y2) € F(x) = (Fi х F2)(x). Поскольку Fi — а-накрывающее отображение, то существует точка х' € X, такая, что p(x,xr) ^ = и у2 € F\(x') П -Р2(ж). Тогда так как F2 — ß-липшицево отображение, то имеем

v(y2,F2(x')) < H(F2(x),F2(x')) < ß • p(x,x') < (ß + а • 5) • p(x,x'), Где $ _ любое положительное число, H(F2(x),F2(x')) = max{ sup {v(y,F2(x)}, sup {v(z,F2(x')}}-

уе^2(ж'} zeF2 (ж)

расстояние Хаусдорфа, определяемое квазиметрикой v. Следовательно, существует точка y3 € F2 (x'),

такая, что V(у2,у3) ^ (в + а£) ■ р(ж,ж'). Обозначим у' = (у2,Уз) € (^1 х ^2)(ж'). Получаем, что

%>2/0 = КУъУг) +НУ2, Уз) ^ г/(уьу2) + (/3 + йй) • р(ж,ж') < + '%>А2) = 7 • Д2),

где 7 = 1 + Рассмотрим />(у', Д2). Имеем ¿>(у', Д2) = г/(у2,уз) ^ • ¿>(у, Д2). Взяв 5 таким,

чтобы 0 < £ < 1 — и обозначив о; = й, /3 = /3 + сМ, получаем, что 7 > 0, 0 < /3 < а, р( ж, ж') ^

' ^(У'УО ^ 7 ' ^(У) Д2) и г/(у', Д2) ^ £ • Р(у, Д2). Итак, все условия теоремы 8 выполнены. Пусть теперь жо € X — произвольная точка и 1,..., {у&}к=о,1;... = {(у1к,У2кЖ=о,1,... _

последовательности, построенные в доказательстве теоремы 8 (при п = 2), жт —> £, £ = £(ж0,у0).

В силу теоремы 8 имеем р(жо,£) ^ , где уо = (ую,У2о) € х ^2)(жо). Пусть

>(уо, Д2) = >(№ х ^2)(жо), Д2) ■ (1 + п) = V(*1(жо), ^г(жо)) ■ (1 + п),

где п > 0. Ясно, что в зависимости от выбора уо число п может быть сколь угодно малым. Тогда

«(Ж п < НУО, А2) = К^Ы^Ы) • (1 + Г?) = К^Ы^Ы)

° " «-/3 й-/3-(1+р) Й-/3

где

г/(^(ж0),^2(ж0)) • (1 + г?) 1/(^1 (ж0),^2(ж0)) = (5 — в ■ (1+ р) а — /3

_ г/(^1(ж0),^2(ж0)) • г] г/(^1(ж0),^2(ж0)) •/Зр о й — /3 • (1 + р) (а — /5) (а — /3 • (1 + р)) при р ^ 0 и п ^ 0. Отсюда видно, что е можно сделать сколь угодно малым. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фоменко Т.Н. О приближении к точкам совпадения и общим неподвижным точкам набора отображений метрических пространств // Матем. заметки. 2009. 86. №1. 110-125 (Fomenko T.N. Approximation of coincidence points and common fixed points of a collection of mappings of metric spaces // Math. Notes. 2009. 86, N 1. 107-120).

2. Фоменко Т.Н. К задаче каскадного поиска множества совпадений набора многозначных отображений // Матем. заметки. 2009. 86. №2. 304-309 (Fomenko T.N. Cascade search of the coincidence set of collections of multivalued mappings // Math. Notes. 2009. 86, N 1-2. 276-281).

3. Fomenko T.N. Cascade search principle and its applications to the coincidence problem of n one-valued or multi-valued mappings // Topol. and its Appl. 2010. 157. 760-773.

4. Арутюнов А.В., Грешное А.В. (qi, q2 )-квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения // Изв. РАН. Сер. матем. 2018. 82, №2. 3-32 (Arutyunov A.V., Greshnov A.V. (q1,q2)-quasimetric spaces. Covering mappings and coincidence points // Izv. Math. 2018. 82, N 2. 245-272. DOI.org/10.1070/IM8546).

5. Фоменко Т.Н. Неподвижные точки и совпадения семейств отображений упорядоченных множеств и некоторые метрические следствия // Изв. РАН. Сер. матем. 2019. 83, №1. 168-191 (Fomenko T.N. Fixed points and coincidences of mapping families between ordered sets and some metrical consequences // Izv. Math. 2019. 83, N 1. 151-172. D01.org/10.4213/im8768).

6. Czerwik S. Contraction mappings in 6-metric spaces // Acta Math, et Inform. Univ. Ostraviensis. 1993. 1, N 1. 5-11.

7. Czerwik S. Nonlinear set-valued contraction mappings in 6-metric spaces // Atti Semin. Mat. e Fis. Univ. Modena. 1998. 46, N 2. 263-276.

Поступила в редакцию 18.04.2019