CC BY
28
УДК 517.977.1
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1325-1328
О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ОБОБЩЕННЫХ (91,92) -КВАЗИМЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
© Р. Сенгупта
Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected]
Рассмотрены обобщенные (91,92) -квазиметрические пространства. Для сжимающих отображений в этих пространствах получены достаточные условия существования неподвижных точек.
Ключевые слова: квазиметрические пространства; неподвижные точки; сжимающие отображения
В работе [1] исследовались (91,92) -квазиметрические пространства и были получены достаточные условия существования неподвижной точки у сжимающего отображения. В работе [2] был рассмотрен этот вопрос для обобщенных метрических пространств. В этой работе мы введем обобщенные (91,92) -квазиметрические пространства и получим достаточные условия для существования неподвижной точки сжимающего отображения.
Пусть заданы положительные числа 91 , 92 и множество X . Сформулируем определение обобщенных (91,92) -квазиметрических пространств.
Определение 1. Функция р: X х X ^ R+ U {то} называется обобщенной (91, 92) -квазиметрикой, если
1. p(x,y) = 0 ^^ x = y;
2. p(x,z) < 91p(x,y) + 92p(y,z) Ух, y, z e X.
Здесь предполагается, что символ то удовлетворяет следующим условиям:
1. У a e R то >a;
2. Уа e R U {то} то + a = то;
3. 0 -то = 0;
4. Уа> 0 а - то = то.
Пара (X,p) называется обобщенным (91,92) -квазиметрическим пространством. Если p(x,y) < < то yx,y eX , то пара (X,p) называется (9ь92) -квазиметрическим пространством, (1,1) -квазиметрическое пространство называется квазиметрическим пространством. Пример 1. Пусть X = R . Положим
, если x < y;
p(x,y) = <
x — y, если x > y. Очевидно, p(x,y) является обобщенной (1,1) -квазиметрикой.
Пусть (X, р) - обобщенное (ц1,ц2) -квазиметрическое пространство.
Определение 2. Последовательность хп сходится к точке х € X , если р(х, хп) ^ 0 . Определение 3. Последовательность {хп} называется фундаментальной последовательностью, если для любого е > 0 существует N € N такой, что для любых т, п, для которых п>т> N , выполняется неравенство р(хт, хп) < е .
Определение 4. Пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится в нем.
Определение 5. Отображение Ф: X ^ X называется в-липщицевым, если
р(Ф(х), Ф(у)) < вр(х,у) Ух, у € X.
Если в < 1, то отображение называется сжимающим.
Определение 6. Отображение Ф : X ^ X называется замкнутым, если из хп ^ х , Ф(хп) ^ у следует, что Ф(х) = у .
Сформулируем основной результат.
Теорема 1. Пусть X полное обобщенное (ц1,ц2) -квазиметрическое пространство, а Ф : X ^ X замкнутое сжимающее с константой в отображение. Тогда для любого х € X , для которого р(х, Ф(х)) < то, существует неподвижная точка х = х(х) отображения Ф такая, что последовательность хо := х, хг+1 :=Ф(хг), г = 0,1, 2,..., сходится к х .
Доказательство. Возьмем х € X такой, что р(х, Ф(х)) < то . Положим хо := х, хг+1 := Ф(хг), г = 0,1, 2,...,. Докажем, что последовательность {хг} является фундаментальной. Для этого повторим доказательство фундаментальности из [3]. Положим ! = р(хо,х1) . Так как отображение Ф является сжимающим, то р(хг,хг+1) < вг! .Имеем
р(хг,х+) < 51р(хг,хг+1) + Ц2р(хг+1,хг+у) <
< 51(1вг + Я2(Я1р(хг+1,хг+2) + Ц2р(хг+2,хг+2) <
< 51((вг + 5152((вг+1 + ч1(Ц1р(хг+2, хг+з) + Ц2р(хг+з,хг+у) <
< • • • < 51(вг(1 + Я2в + • • • + ц2-2в2-2 + ц2-1в2-1ц-1) = 51(вгБ(3).
Здесь Б(з) = (1 + Я2в + • • • + Я2~2в2-2 + ^в2-1^1). Пусть т0 = шт{з € N : ц2в2 < 1}. Имеем
р(хг,хг+к) < Я1р(хг,хг+то) + 52р(хг+то,хг+к) <
< д1р(хг,хг+то) + 0_2(Ч1р(хг+то,хг+2т0) + 52р(хг+2то,хг+к)) <
< 51 р(хг,хг+то ) + Ш2р(хг+т0 ,хг+2т0 ) + я2>(Ч1р(хг+2т0 ,хг+3т0 ) + 52р(хг+3то ,хг+к)) <
< ••• < 51р(хг,хг+то )+5152р(хг+то ,хг+2то )+-----+ш2-1 р(хг+(г-1)т 0 ,хг+гто )+?2 р(хг+гто, хг+к ) <
< ц\(1вгБ (то)(1 + Я2вт + о2в2т0 + • • • + в(2-1)т0) + Яг2 51((вг+гт0 Б (к - гто) =
= ц2(вг(Б(то)Б(ц2вт0,г)) + я2вг+2т0Ц1(Б(к - гто)).
Здесь Б(ц2вт° ,г) = (1 + Ц2вт + о2в2т0 + ••• + цг2-1 в[г-1)т°), а г -целая часть числа к/то . Поскольку q2вm0 < 1, то
р(хг,хг+к) < ц2(1вг(Б(то)Б(Ц2вт0,г)+ ц2в2т0Ц-1Б(к - гто)) < < ц2!вг(1-ттт + (к - гто)).
Поскольку 0 < к — гт0 <т0 , то д-1Б (к — гт0) ограничено равномерно по всем к . Следовательно, последовательность {хи} является фундаментальной. Поскольку пространство X является полным, то существует предел х для последовательности {хи} . Кроме того, Ф(хк) ^ х . В силу замкнутости отображения Ф имеем Ф(х) = х , то есть точка х является неподвижной. Теорема доказана.
В предположениях теоремы 1 неподвижная точка может быть не единственной. Так, например, если X = {х1,х2} , р(х1,х2) = р(х2,х1) = то , р(х1,х1)= р(х2,х2)=0 , а Ф: X ^ X -тождественное отображение. Тогда выполнены предположения Теоремы 1, но Ф имеет две неподвижные точки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнов А.В., Грешнов А.В. Теория (q1,q2) -квазиметрических пространств и точки совпадения // Доклады Академии наук. 2016. Т. 469. № 5. С. 527-531.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and their applications //In Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (dedicated to the memory of VF Demyanov), 2017 P. 1-3. IEEE.
3. Арутюнов А.В., Грешнов А.В. (q1,q2) -квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2018 (в печати).
БЛАГОДАРНОСТИ: Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 17-11-01168).
Поступила в редакцию 23 августа 2017 г.
Сенгупта Ричик, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
UDC 517.977.1
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1325-1328
ON FIXED POINTS OF CONTRACTION MAPPINGS ACTING IN GENERALIZED (quq2)-QUASIMETRIC SPACES
© R. Sengupta
RUDN University 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected]
Generalized (qi,q2) -quasimetric spaces are considered. For contraction mappings in these spaces sufficient conditions for existence of fixed points are obtained. Keywords: quasi-metric spaces; fixed points; contraction mappings
REFERENCES
1. Arutyunov A.V., Greshnov A.V. Theory of (q1,q2) -quasimetric spaces and coincidence points // Dokl.RAS. 2016. V. 469. Iss 5. P. 527-531.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and their applications //In Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (dedicated to the memory of V.F. Demyanov), 2017 P. 1-3. IEEE.
3. Arutyunov A.V., Greshnov A.V. (q1,q2) -quasimetric spaces. Covering mappings and fixed points // Izvestia RAS. Mathematical series. 2018 (in print).
ACKNOWLEDGEMENTS: The study was performed by a grant from the Russian Science Foundation (project № 17-11-01168).
Received 23 August 2017
Sengupta Richik, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate student, Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Для цитирования: Сенгупта Р. О неподвижных точках сжимающих отображений в обобщенных (qi,q2) -квазиметрических пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1325-1328. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1325-1328.
For citation: Sengupta R. O nepodvizhnih tochkah szhimajushhih otobrazhenij v obobshhennyh (qi, q2) -kvazimetricheskih prostranstvah. [On fixed points of contraction mappings acting in generalized (qi, q2) -quasimetric spaces]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1325-1328. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1325-1328 (In Russian, Abstr. in Engl.).
