CC BY
25
УДК 517.988.63, 515.124
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1285-1292
ОБ ОДНОМ КВАЗИМЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
© Т. В. Жуковская , Е. С. Жуковский 2)>3)
Тамбовский государственный технический университет 392000, г. Тамбов, ул. Советская, 106 E-mail: [email protected] 2) Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 3) Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected]
Определяется М -пространство (Х,р), как непустое множество X с расстоянием р : X2 ^ М+, удовлетворяющим аксиоме тождества и ослабленному неравенству треугольника. Рассматриваемое М -пространство (X, р) относится к классу ] -квазиметрических пространств, при этом отображение р может не быть (01,02) -квазиметрикой ни при каких значениях С1, С2; а (01,02) -квазиметрическое пространство может не быть М -пространством. Исследуются свойства М -пространства. Получено распространение на М -пространство теоремы Красносельского о неподвижной точке обобщенно сжимающего отображения.
Ключевые слова: квазиметрика; неравенство треугольника; топология; неподвижная точка; обобщенное сжатие
Пусть (X, ^ — метрическое пространство, т. е. непустое множество X с заданной метрикой — отображением d : X2 ^ М+, удовлетворяющим условиям
Ух, у € X d(x,y) = 0 ^ х = у; (1)
Ух, у € X d(x,y) = d(y,x); (2)
Ух, у, г € X d(x,z) < d(x,y) + d(y,z). (3)
Свойства метрических пространств подробно изучены, разработаны эффективные методы анализа отображений в метрических пространствах. Оказывается, что многие из этих результатов остаются выполненными, если вместо метрики на множестве X определено расстояние р: X2 ^ М+, которое удовлетворяет менее жестким требованиям, чем (1)—(3). Отображение р при выполнении аксиомы тождества (1) и неравенства треугольника (3), но не отвечающее аксиоме симметрии (2), называют квазиметрикой, а пару (X,р) — квазиметрическим пространством. Если выполнено (1) и обобщенное неравенство треугольника
р^,у) < Схр^,^ + С2р(п,у), С\,С2 > 1, (4)
то пространство (X,р) называют (с\,с2) -квазиметрическим. В [1], [2] исследовано (с\,с2) -квазиметрическое пространство, получены теоремы о точках совпадения и неподвижных точках отображений в таких пространствах.
Здесь рассматривается следующая проблема: каким минимальным условиям должно удовлетворять расстояние, чтобы в пространстве (X, р) выполнялись теорема Банаха [3] и теорема Красносельского ([4], теорема 3.4) о неподвижных точках сжимающих отображений.
§ 1. Определение и простейшие свойства М-квазиметрического пространства
Пусть задано непустое множество X. Будем называть отображение р: X2 ^ М+ М-квазиметрикой, если оно удовлетворяет аксиоме тождества (1) и условиям
> 0 Ут € (0, я) Уе > 0 > 0 Ух, п,у,г € X
р(и,у) < т и р(у,г) <5 ^ р(и,г) <т + е; (5)
р(х,и) <5 и р(и,у) < т ^ р(х,у) <т + е (6)
Пару (Х,р) в этом случае будем называть М -квазиметрическим пространством. Если, кроме того, выполнена аксиома симметрии (2), то р назовем М -метрикой, а (Х,р) — М -метрическим пространством.
Заметим, что подмножество М -квазиметрического пространства также является М -квазиметрическим пространством.
Условия (5), (6) можно трактовать как ослабленное неравенство треугольника. Очевидно, любое метрическое пространство есть М -метрическое пространство. Приведем другие примеры пространств, в которых расстояние удовлетворяет условиям (5), (6).
Прежде всего заметим, что если множество X конечное, X = {х1,..., хп}, то свойствами (5), (6) будет обладать любая функция р : X2 ^ М+, принимающая положительные значения р(хг,х^), г,] = 1,п, при г = ], и р(хг,хг) = 0, г = 1,и.
Рассмотрим (с1,с2) -квазиметрическое пространство (X,р). Расстоянию р : X2 ^ М+ в этом пространстве соответствует множество С^,р) пар коэффициентов (с1 ,С2), для которых выполнено неравенство (4). Очевидно, если (1,с2) € C(X,р) при каком-либо С2, то квазиметрика р обладает свойством (5) (можно положить 5 = е/с2 ). Аналогично, в случае (с1,1) € C(X, р) квазиметрика р обладает свойством (6). Если же неравенство (4) имеет место только при с1 = 1 и с2 = 1, то в (с1,с2) -квазиметрическом пространстве могут не выполняться соотношения (5), (6). Обратно, из условия (5), (6) также не следует неравенство (4).
Пример 1. Для множества X = {1, 2,...} функция р, определенная условием симметрии (2) и соотношениями
р(2г - 1, 2г) = —, г = 1, 2,...; р(2к + 2т - 2, 2к + 2т - 1) = 1, к = 1, 2,..., т = 1, 2к-1; 2г т
2 _ _
р(г, ] ) = —, г = 1,2-2,2 =2к + 2т - 2 или ] = 2к + 2т - 1, к = 1,2,..., т = 1,2к-1.
удовлетворяет неравенству (4) с коэффициентами с1 = с2 = 2.
Покажем, что для заданного здесь расстояния р условие (6) нарушено. Имеем
1 1 2
р(2г+2т-1, 2г+2т) = --, р(2г+2т, 2г+2т+1) =-, р(2г+2т-1,2г+2т+1) = —.
2г + 2т т + 1 т
Для любого я > 0 определим такое т, что
.1
< Я.
т+1
Тогда при г ^ ж будет выполнены соотношения
р(2г + 2т - 1,2г + 2т) ^ 0, р(2г + 2т, 2г + 2т + 1) = т,
однако р(2г + 2т - 1,2г + 2т + 1) > 2т.
Условие (5) также нарушено вследствие симметричности отображения р.
Пример 2. Во множестве М действительных чисел для функции
р : М2 ^ М+, р^,и)=ехр{^ - п\) - 1
оба соотношения (5), (6) выполнены (причем, при любом я), но для любых 01, 02, если выбрать x = 0, и = 2ь, то при достаточно больших V получим
С1р^, V) + С2р(V, и) = (С1 + 02) (ехр^) - 1), ри) = exp(2v) — 1 = (ехр^) + 1) (ехр^) — 1) > (с1 + с2) (ехр^) — 1),
т.е. р^,и) >c1р(x,v) + с2р^,и).
Отметим, что при выполнении даже одного из условий (5), (6) оказывается справедливым «асимптотическое неравенство треугольника»:
У&^ъ {и}=1, С X ) ^ 0, ^ 0 ^ ^ 0, (7)
т. е. М -пространство является f -квазиметрическим (подробнее о f -квазиметрических пространствах см. [2]).
Для задания топологии в М -квазиметрическом пространстве можно определить Ь -открытый шар
В%^о,го) = ^ : р^^о) < го}
и считать множество и С X Ь -открытым, если для каждого элемента и € и существует такое 5> 0, что (и, 5) С и. Определенную таким образом топологию на X будем обозначать через . Множество называем Ь -замкнутым, если его дополнение Ь -открыто. Топологическое пространство ) удовлетворяет аксиоме отделимости Т1. Действи-
тельно, для любых и^ € X, и = V, элемент и не принадлежит шару (и,5), и V не принадлежит шару (и, 5) при 5< шт{р(и,и), р^,и)}. Аксиома Т2 в пространстве ) может не выполняться.
Пример 3. Пусть X = [0,1]; положим р^,у) = x при любых x = 0, у = x, р(0,у) = 1 при любых у = 0, и конечно, р(и,и) = 0 при всех и € X. Такое расстояние удовлетворяет аксиоме тождества и неравенству треугольника, т. е. является квазиметрикой. Для соответствующего топологического пространства ) не выполнена аксиома Т2, так как для любого 5>
> 0 элемент x = 5 € X удовлетворяет соотношению р^, 0) = р^, 1) = 5, таким образом x принадлежит и шару (0,5), и шару (1,5).
Рассмотренный пример показывает, что к нарушению аксиомы Т2 приводит отсутствие свойства симметрии расстояния, а не ослабление неравенства треугольника. Докажем, что в М -метрическом пространстве (в котором расстояние симметрично) аксиома Т2 выполнена. Пусть и^ € X, и = V. Положим е = 1 р(и^) и найдем 5> 0 из условия (6) (равносильного условию (5) в силу симметричности расстояния). Проверим, что шары (и, 5), (и,5), не пересекаются. В предположении противного найдется x € X такой, что р^, и) = р(и, x) < 5, р^, V) <5, а из этих неравенств согласно (6) получаем р(и, V) <е, и получено противоречие.
Покажем, что в М -квазиметрическом пространстве Ь -открытый шар ^о,го), если его радиус го < я, является Ь -открытым множеством. Для каждого элемента и € ^о, го) определим г = р(и^о), е = го — г. Выберем 5> 0 согласно условию (6). Тогда для любого x € (и, 5) выполнено <г + е = го, т.е. (и, 5) С ^о,го).
Несколько непривычно, но в М -квазиметрическом пространстве открытый шар радиуса большего, чем я может уже не быть открытым множеством.
Пример 4. Пусть на X = [0,1] U {жо} расстояние р задано соотношениями: p(x,y) = = \x — y\ при x,y £ [0,1], p(x0, 0) = p(0,x0) = 1, p(x0,u) = p(u,x0) = 2 при u £ (0,1]. Определенное здесь отображение р : X2 — R+ удовлетворяет условиям (1), (2) и для любого < 1 условиям (5), (6). В этом пространстве шар B—(x0, r0) радиуса r0 £ (0,1) не будет открытым множеством, так как 0 € B—(x0,r0), но для любого ö> 0 элемент x = 2-1ö удовлетворяет неравенству p(x, 0) <ö и p(x,x0) = 2, т.е. x не принадлежит шару B— (x0,r0).
Аналогично определяется R -открытый шар
BR(x0, r0) = {x : p(x0, x) < r0}
и топология tr. Очевидно, топологическое пространство (X, tr) обладает теми же свойствами, что и пространство (X,t— ).
В M -квазиметрическом пространстве (X,p) для последовательности {xi}cl=l С X можно определить L - сходимость
xi — x & lim Lxi = x & lim p(xi,x) =0 & Уе > 0 3I Уг > I p(xi,x) < e;
i—^^o i—^^o
R -сходимость
R R
xi — x & lim xi = x & lim p(x, xi) = 0 & Уе > 0 3I Уг > I p(x, xi) < e;
i—<x i—<x
LR-сходимость или «просто» сходимость
xi — x & lim xi = x & lim Lxi = x и lim Rxi = x.
i—<x i—<x i—<x
Отметим, что L -предел L -сходящейся последовательности может быть не единственным, но LR -предел ровно один. Более того, имеет место
Предложение 1. В M -квазиметрическом пространстве из того, что xi — x и xi — u следует x = u и следует единственность этого предела.
Доказательство. Так как p(u, xi) — 0 и p(xi} x) — 0, то согласно (7) p(u, x) — 0, таким образом x = u. Если, кроме того, p(xi,x) — 0, то x = u. □
Будем называть последовательность {xi}cl=l в M -квазиметрическом пространстве X фундаментальной, если
Уе > 0 3I Уг, j > I p(xi,xj) < е. (8)
Предложение 2. Если для последовательности {хг}°=1 в М -квазиметрическом
пространстве выполнено х и х, то эта последовательность является фундаментальной.
Доказательство. Полагая в условии (5) г = е, получим соотношение
Уе > 0 > 0 Уп,ь,г £ X р(п,ь) < е и р(ь,г) <5 ^ р(п,г) < 2е. (9)
Из того, что р(хг,х) ^ 0, р(х,хг) ^ 0 следует:
31 Уг,]>1 р(хг,х) < е, р(х,х^) <5.
Тогда, в силу (9), для всех г,]>1 получаем р(xi,xj) < 2е. □
Пространство (X,р) называем Ь -полным (Я -полным), если всякая фундаментальная последовательность Ь -сходится (Я -сходится). Пространство (X,р) называем ЬЯ -полным или «просто» полным в случае сходимости любой его фундаментальной последовательности.
§ 2. Неподвижные точки отображений в М-квазиметрическом пространстве
Для отображений М -квазиметрического пространства (X, р) сформулируем аналог определения обобщенного сжатия (по Красносельскому).
Определение 1. Пусть любым Я > г> 0 поставлено в соответствие д(г, Я) € [0,1). Отображение С : X — X называем д -обобщенным сжатием, если
У Я > г > 0 Уx,u € X г < р(х,и) < Я ^ р(Сx, Си) < д(г,Я)р(х,и). (10)
Будем говорить, что выполнено
условие (а), если пространство (X,р) полное;
условие (Ь), если пространство (X,р) Я -полное, и
Уи,,и € X Уе > 0 35 > 0 Уw € X р(и^) <5 ^ р(и,т) > р(и^) - е; (11)
условие (с), если пространство (X,р) Я -полное, и для любой Я -сходящейся последовательности {х,,,}^ С X множество = {х € X : р(х,х-) — 0} конечно;
условие (б,), если пространство (X,р) Я -полное, а отображение С : X — X Я -замкнуто, т. е.
У{хг}Г=1 С X Ух, у € X р(х, х-) — 0, р(у, Сх— 0 ^ у = Сх
(такое определение свойства замкнутости предложено в [1] для (с1, с2) -квазиметрических пространств).
Следующее утверждение распространяет принцип неподвижной точки обобщенного сжатия ([4], [теорема 3.4]) на М-квазиметрические пространства.
Теорема 1. Пусть (X,р) — М -квазиметрическое пространство, отображение С : X — X является д -обобщенным сжатием. Тогда при выполнении любого из условий (а),(Ь),(с),(б) отображение С имеет единственную неподвижную точку х € X, и к элементу х Я -сходится последовательность итераций {х-}°=1 С X, х- = Сх—1 при любом начальном значении о.
Доказательство. В силу (10) последовательность {р( х—1, х^^ С М+ не возрастает. Покажем, что р(х--1, х-) — 0. Это соотношение очевидно выполнено, если при некотором натуральном го окажется, что р(х-0-1, х-0)=0, поэтому рассмотрим ситуацию р(хь-1, х-) > 0, г = 1, 2,.... Если последовательность р(х—1, х-) не является бесконечно малой, существует положительное а = Нш р(х—1, х-). Поэтому при всех г начиная с некоторого номера го вы-
-—^^о
полнено р(х—1, х-) € [а, 2а], и следовательно,
р(х-1, х-) = р(Сх-2, Сх-1) < д(а, 2а)р(х-2, х—1) < (д(а, 2а))г-%0р(х-0-1, х-0), г > 1о.
Итак, р( х—1, х-) — 0, что противоречит предположению а> 0. Аналогично доказывается сходимость р( -, --1) - 0.
Покажем, что последовательность итераций является фундаментальной. Вначале проверим, что эта последовательность удовлетворяют условию
Уе > 0 31 У] > г > I р(хxj) < е. (12)
Если это соотношение не верно, то существует r0 > 0 такое, что для любого г найдутся натуральные m>n > г, при которых выполнено p(xn,xm) > r0. Для наименьшего из найденных значений n среди номеров m>n выберем наименьший; таким образом определены две последовательности {ni}c:=l, {mi}°=1, отвечающие условиям
mi >ni > г, p(xni ,xmi) > r0, p(xni ,xm—l) < r0. (13)
Так как p(xmi-l,xmi) — 0 и p(xni,xmi-l) <r0, то в силу условия (5) для любого е> 0 при достаточно больших номерах г выполнено p(xni ,xmi) <r0 + е. Отсюда и из неравенства p(xni, xmi) > r0 следует сходимость p(xni, xmi) — r0.
Аналогично, так как p(xni,xni-l) — 0 и p(xni,xmi<r0, то в силу условия (6) для любого е> 0 при достаточно больших номерах г получаем неравенство p(xni-l, xmi-l) <r0 + е. Вследствие того, что G есть обобщенное сжатие, имеем p(xni-l,xmi-l) > p(xni,xmi), поэтому при достаточно больших номерах г получаем неравенство p(xni-l,xmi-l) > r0 — е. Таким образом, установлена сходимость p(xni-l, xmi-l) — r0.
Из установленного соотношения следует, что при всех г начиная с некоторого номера г0 выполнено включение
p(xni-l, xmi-l) £ [2-lr0, 2 r0].
Согласно условию (10) имеем
p(xni ,xmi) = p(Gxni-l,Gxmi-l) < q(2-l r0, 2 r0)p(xni-l, xmi-l).
Следовательно r0 < q(2-lr0,2 r0)r0, таким образом, r0 = 0, и последовательность {xi}°=l удовлетворяет условию (12).
Аналогично доказывается, что последовательность итераций удовлетворяет также условию
Уе > 0 3I У г > j > I p(xi, xj) < е,
и таким образом, является фундаментальной.
При выполнении любого из предположений (a),(b),(c),(d) существует x= limRx%. Для
i—i
этого элемента выполнено
p(Gx,xi) = p(Gx,Gxi-l) < p(x,xi-l) — 0.
Таким образом, Gx = limRxi, но в силу неединственности R-предела мы пока не можем
i—i
заключить, что x = Gx.
Если выполнено (а), то в полном пространстве (X,p) существует x= lim xi, с которым
i—i
совпадает единственный limRxi (см. предложение 1). Следовательно, в случае (а) х = Gx.
i—i
Пусть выполнено условие (b), и пусть последовательность итераций имеет более одного R -предела: существуют x,u £ X такие, что p(x,xi) — 0, p(v,,xj) — 0, х = u Для x,u и е = p(x,u)/2 > 0 определим 5> 0, при котором выполнено (11). Так как при всех г, начиная с некоторого номера, р(й, xi) < 5, то согласно (11) p(x, xi) > p(x, u) — е = p(x, u)/2, но это соотношение противоречит сходимости p(x,xi) — 0. Итак, R-предел последовательности {xi}°=l единственный. Таким образом x = Gx.
Пусть выполнено условие (с). Как показано выше, для последовательности итераций из p(x,xi) — 0 следует p(Gx,xi) — 0. Таким образом, для множества Qr R-пределов последовательности итераций выполнено G(Qr) С Qr. Без ограничения общности полагаем, что в конечном множестве Qr не менее двух элементов (выше отмечено, что, если это множество состоит из одного элемента, то он является неподвижной точкой). Определим множество
P(Qr, QR) = {p(x, u), УX, u £ Qr, x = u}.
Имеем p(Qr, Qr) D p(G(Qr),G(Qr)). Так как эти множества конечны и оператор G является обобщенным сжатием, то максимальное число из конечного набора чисел — элементов множества p(QR, Qr) не содержится в p(G(QR),G(QR)). Поэтому p(QR, QR) = p(G(üR),G(üR)), G(Qr) = Qr. Аналогично, если во множестве G(Qr) не менее двух элементов, то G2(Qr) С С G(Qr), G2(Qr) = G(Qr). На некотором k -м шаге в Gk(QR) останется только один элемент, который и будет искомой неподвижной точкой отображения G.
Пусть выполнено условие (d). В силу R -полноты последовательность итераций R -сходится, т. е. для некоторого х выполнено р(х, Xi) ^ 0, p(Gх, Xi) ^ 0. Отсюда вследствие замкнутости отображения G получаем Gx = x.
Итак, во всех ситуациях (a),(b),(c),(d) доказано, что последовательность итераций R -сходится к неподвижной точке отображения G. Единственность неподвижной точки прямо следует из условия сжатия (10). □
В случае, когда коэффициент сжатия не зависит от r, R, т. е. в соотношении (10) коэффициент q(r,R) = const, теорема 1 является распространением на M -квазиметрические пространства принципа сжатия Банаха.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнов А.В., Грешнов А.В. Теория (qi,q2) -квазиметрических пространств и точки совпадения // Доклады РАН. 2016. Т. 469. № 5. С. 527-531.
2 . Arutyunov A.V., Greshnov A.V., Lokoutsievskii L.V., Storozhuk K.V. Topological and geometrical properties of spaces with symmetric and nonsymmetric f -quasimetrics // Topology and its Applications. 2017. V. 221. P. 178-194.
3. Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales // Fundamenta Mathematicae. 1922. V. 3. P. 133-181.
4. Красносельский М.А., Вайнико Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 17-41-680975) — § 1 и Российского научного фонда (соглашение № 15-11-10021) — § 2.
Поступила в редакцию 13 августа 2017 г.
Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, е-mail: [email protected]
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики; Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, ведущий научный сотрудник математического института им. С.М. Никольского, е-mail: [email protected]
UDC 517.988.63, 515.124
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1285-1292
ABOUT ONE QUASI-METRIC SPACE
© T. V. Zhukovskaya 1 , E. S. Zhukovskiy 2)>3)
Tambov State Technical University 106 Sovetskaya St, Tambov, Russian Federation, 392000
E-mail: t_ [email protected] 2) Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 33 Internatsionalnaya st., Tambov, Russian Federation, 392000
3) RUDN University 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected]
The M -space (X,p) is defined as a non-empty set X with distance p: X2 ^ R+ satisfying the axiom of identity and the weakened triangle inequality. The M -space (X, p) belongs to the class of f -quasi-metric spaces, and the map p may not be (c1,c2) -quasi-metric for any values of ci, c2; and (c1,c2) -quasi-metric space may not be an M-space. The properties of the M -space are investigated. An extension of the Krasnosel'skii theorem about a fixed point of a generally contracting map to the M -space is obtained.
Keywords: quasi-metric; triangle inequality; topology; fixed point; generalized contraction
REFERENCES
1. Arutyunov A.V., Greshnov A.V. Theory of (q1,q2) -quasimetric spaces and coincidence points // Doklady Mathematics. 2016. V. 94. Iss. 1. P. 434-437.
2 . Arutyunov A.V., Greshnov A.V., Lokoutsievskii L.V., Storozhuk K.V. Topological and geometrical properties of spaces with symmetric and nonsymmetric f -quasimetrics // Topology and its Applications. 2017. V. 221. P. 178-194.
3. Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales // Fundamenta Mathematicae. 1922. V. 3. P. 133-181.
4. Krasnosel'skiy M.A., Vayniko G.M., Zabreyko P.P., Rutitskiy YA.B., Stetsenko V.YA. Priblizhennoe reshenie operatornykh uravneniy. M.: Nauka, 1969. 456 s.
ACKNOWLEDGEMENTS: The present research is supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 17-41-680975) — § 1 and by the Russian Scientific Fund (the Agreement № 15-11-10021) — § 2.
Received 13 August 2017
Zhukovskaya Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of High Mathematics Department, e-mail: t_ [email protected]
Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics; RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Leading Researcher of the Mathematical Institute named after S.M. Nikolsky, е-mail: [email protected]
Для цитирования: Жуковская Т.В., Жуковский Е.С. Об одном квазиметрическом пространстве // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1285—1292. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1285-1292.
For citation: Zhukovskaya T.V., Zhukovskiy E.S. Ob odnom kvazimetricheskom prostranstve [About one quasi-metric space]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1285-1292. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1285-1292 (In Russian, Abstr. in Engl.).
