CC BY
11
УДК 517.275
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-611-614
О ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЯХ В УПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
© Е. М. Якубовская
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]
Результаты об упорядоченно накрывающих многозначных отображениях применяются к исследованию функциональных включений в пространствах измеримых функций. Получены условия существования и оценки решений таких включений. Ключевые слова: частично упорядоченные пространства; многозначные упорядоченно накрывающие отображения; антитонные возмущения упорядоченно накрывающих отображений; многозначный оператор Немыцкого; существование решений функциональных включений
Понятие упорядоченного накрывания для однозначных и многозначных отображений предложено в работах А.В. Артюнова, Е.С. Жуковского, С.Е. Жуковского [1]-[4]. В этих работах исследована задача о точках совпадения упорядоченно накрывающего и изотонного отображений. Кроме того, авторами показано, что известные результаты о точках совпадения отображений в метрических пространствах (в частности, утверждения работ [5], [6]) могут быть получены из соответствующих результатов в упорядоченных пространствах. В статье [7] получены утверждения об операторных уравнениях с упорядоченно накрывающими отображениями, на основании которых для неявного дифференциального уравнения доказан аналог теоремы Чаплыгина об оценке решения. В работе [8] предложены условия устойчивости упорядоченного накрывания многозначных отображений при антитонных возмущениях. В данной работе результаты [8] применяются к исследованию функциональных включений в пространствах измеримых функций.
Приведем необходимые нам сведения об упорядоченных пространствах и их отображениях.
Частично упорядоченное пространство, т. е. множество X с заданным на нем порядком ^ обозначаем через X = (X, :<); используем также обозначения x У u в случае, если u ^ x, и x — u, или u У x, если x ^ u, x = u. Для элементов u,v £ X и множества U С X будем обозначать
Ox(u) = {x £ X : x ^ u}, Ox(U) = [J Ox(u).
ueu
Пусть заданы пространства (X, (Y, Под многозначным отображением F : X ^ ^ Y понимаем отображение, сопоставляющее каждому x £ X непустое множество F(x) С Y. Многозначное отображение F : X ^ Y называют антитонным на множестве V С X, если
Vx, x' £ V x' < x Уу £ F(x) 3y' £ F(x1) у' У y.
Если это соотношение выполнено для множества V = X, то отображение называют антитонным, не упоминая множество X.
В [2], [4] определено следующее свойство многозначных отображений.
Определение 1. Говорим, что отображение Г : X ^ У упорядоченно накрывает (является упорядоченно накрывающим) множество Ш С У, если для любого х € X выполнено включение
Оу (Г(х)) П Ш С Г (Ох (х)).
Отображение, упорядоченно накрывающее все пространство У, называется упорядоченно накрывающим.
Из приведенного определения следует, что отображение Г : X ^ У упорядоченно накрывает множество Ш тогда и только тогда, когда выполнено соотношение
Vх € X Vу € Г(х) Vу' € Ш у' ^ у ^ 3х' € X х' ^ х, у' € Г(х'). (1)
В дальнейшем при выполнении условия (1) будем говорить, что Г накрывает множество Ш, опуская слово «упорядоченно».
Будем обозначать: Мга - п-мерное вещественное пространство, М=М([а,Ь], Мга) - пространство измеримых функций х : [а, Ь] ^ Мга. Для множества В С Кга определим подмножество М(В) пространства М, содержащее функции со значениями х(г) € В, при почти всех г € [а, Ь]. Пусть задано отображение д : [а, Ь] х Мга х Мга ^ Мт, имеющее замкнутые значения и удовлетворяющее условиям Каратеодори, т.е. измеримое по первому аргументу, непрерывное по совокупности второго, третьего аргументов; задана измеримая функция Н :[а, Ь] ^ [а, Ь] такая, что для любого измеримого (по Лебегу) множества Е С [а,Ь] множество Н-1(Е) измеримо и, если ц(Е) = 0, то ц(Н-1(Е)) = 0 (здесь ц - мера Лебега). Рассмотрим функциональное включение
о € д(г, х(Н(г)), х(г)), г € [а,Ь]. (2)
Сформулируем условия существования его решения в классе существенно ограниченных функций х :[а,Ь] ^ Мга. Пусть г>0, Вг = {х € Мга : |х|к« < г}. Определим сужение дг :[а,Ь] х х Br х Br ^ Мт отображения g.
Теорема 1. Пусть для некоторой функции п0 € M (Br) существует такая функция у0 € М, что у0(г) > 0, у0(г) € дг(г,п0(Н(г)),п0(г)) почти всюду на [а,Ь]. Пусть при почти всех г € [а,Ь] и любом х € Вг отображение дг (г, х, ■,): Вг ^ Мт упорядоченно накрывает {0}СМ™, отображение дг(г, ■, х): Вг ^ Мт - антитонное. Тогда существует решение х € € М(Вг), включения (2), удовлетворяющее неравенству х(г) < п0(г) при почти всех г € € [а, Ь].
Доказательство теоремы 1 основано на результатах [8].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. №1. P. 13-33.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.
3. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. №5. С. 475-478.
4. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. №6. С. 595-598.
5. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространстввах и неподвижные точки // Доклады РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
6. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
7. Жуковский Е. С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1610-1627.
8. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А., Якубовская Е.М. Об устойчивости упорядоченного накрывания многозначных отображений при антитонных возмущениях// Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1969-1973.
Поступила в редакцию 30 мая 2017 г
Якубовская Екатерина Михайловна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, е-mail: yak.cat [email protected].
UDC 517.275
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-611-614
ABOUT FUNCTIONAL INCLUSIONS IN ORDERED SPACES
© E. M. Yakubovskaya
Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 33 Internatsionalnaya st., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected]
Results about orderly covering multi-valued mappings are applied to studying functional inclusions in spaces of measurable functions. Existence conditions and estimates of solutions for such inclusions are obtained.
Key words: partially ordered spaces; multi-valued orderly covering mappings; antitone disturbances of orderly covering mappings; multi-valued Nemytskii's operator; existence of solutions of functional inclusions
REFERENCES
1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. №1. P. 13-33.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.
3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E O tochkah sovpadeniya otobrazhenij v chasticnouporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. №5. S. 475-478.
4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E Tochki sovpadeniya mnogoznachnyh otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. №6. S. 595-598.
5. Arutyunov A.V. Nakrivayushchie otobrazheniya v metricheskih prostranstvah i nepodvizhnie tochki // Doklady RAN. 2007. T. 416. № 2. S. 151-155.
6 . Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differentsail'nyh uravneniy, ne razreshimym otnositel'no proizvodnoi // Differentsial'nie uravneniya. 2011. T. 47. № 11. S. 1523-1537.
7. Zhukovskiy E.S. Ob uporyadochenno nakryvajutchih otobrazheniyah i neyavnyh differencial'nyh neravenstvah // Differentsial'nie uravneniya. 2016. T. 52. № 12. S. 1610-1627.
8. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A., Yakubovskaya E.M. Ob ustojchivosti uporyadochennogo nakryvajutchiy mnogozhnachnyh otobrazhenij pri antitonnyh vozmuscheniyah// Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Eststvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2016. T. 21. Vyp. 6. S. 1969-1973.
Received 30 May 2017
Yakubovskaya Ekaterina Mikhailovna, Tambov State University named after G.R. Dergavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student, Functional Analysis Department, e-mail: [email protected]
Информация для цитирования:
Якубовская Е.М. О функциональных включениях в упорядоченных пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 3. С. 611-614. DOI: 10.20310/1810-0198-201722-3-611-614
Yakubovskaya E.M. OO funkcional'nih vklucheniyah v uporyadochennyh prostranstvah [About functional inclusions in ordered spaces]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 3, pp. 611-614. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-611-614 (In Russian)
