CC BY
10
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 24, № 125 2019
© Жуковская З.Т., Жуковский С.Е., Сенгупта Р., 2019 DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-33-38 УДК 517
0 точных неравенствах треугольника
в (q1,q2)-квазиметрических пространствах
Зухра Тагировна ЖУКОВСКАЯ1 , Сергей Евгеньевич ЖУКОВСКИЙ12 ,
Ричик СЕНГУПТА1
1 ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов» 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. М.-Маклая, 6
ORCID: http://orcid.org/0000-0002-4595-6685, e-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0001-9916-8177, e-mail: [email protected] 2 ФГБУН «Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова» Российской академии наук 117997, Российская Федерация, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65 ORCID: http://orcid.org/0000-0002-2686-4654, e-mail: [email protected]
On exact triangle inequalities in (q1,q2) -quasimetric spaces
Zukhra T. ZHUKOVSKAYA1 , Sergey E. ZHUKOVSKIY12 , Richik SENGUPTA1
1 RUDN University 6 Miklukho-Maklaya St., Moscow 117198, Russian Federation ORCID: http://orcid.org/0000-0002-4595-6685, e-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0001-9916-8177, e-mail: [email protected] 2 V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS 65 Profsoyuznaya St., Moscow 117997, Russian Federation, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-2686-4654, e-mail: [email protected]
Аннотация. Для произвольного (qi,q2) -квазиметрического пространства доказано существование функции f, для которой f -неравенство треугольника точнее, чем (qi, q2) -неравенство треугольника. Показано, что найденная функция f является наименьшей функцией в классе вогнутых непрерывных функций g, для которых выполняется g -неравенство треугольника.
Ключевые слова: (q1,q2) -квазиметрическое пространство
Благодарности: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 18-01-00106_a,
19-01-00080_a). Результаты §3 получены вторым автором при поддержке гранта РНФ (проект № 17-11-01168).
Для цитирования: Жуковская З. Т., Жуковский С. Е., Сенгупта Р. О точных неравенствах треугольника в (qi, q2) -квазиметрических пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2019. Т. 24. № 125. С. 33-38. DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-33-38
Abstract. For arbitrary (q1, q2) -quasimetric space, it is proved that there exists a function f, such that f -triangle inequality is more exact than any (q1,q2) -triangle inequality. It is shown that this function f is the least one in the set of all concave continuous functions g for which g -triangle inequality hold. Keywords: (q1, q2) -quasimetric space
Acknowledgements: The work is partially supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 18-01-00106_a, 19-01-00080_a). The results of Section 3 are due to the second author who was supported by the Russian Science Foundation (project no. 17-11-01168).
For citation: Zhukovskaya Z. T., Zhukovskiy S. E., Sengupta R. O tochnikh neravenstvakh treugolnika v (q1,q2) -kvazimetricheskikh prostranstvakh [On exact triangle inequalities in (q1,q2) -quasimetric spaces]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2019, vol. 24, no. 125, pp. 33-38. DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-33-38 (In Russian, Abstr. in Engl.)
1. Введение и постановка задачи
Пусть задано непустое множество X, функция р : X х X ^ К+ и числа > 1 и ?2 > 1. Говорят, что для функции р выполняется (51,52) -неравенство треугольника, если
р(х,г) < 51р(х,у) + 52Р(У,^) Vх,у^ е X (1)
Функция р называется (?ь?2) -квазиметрикой, если она удовлетворяет аксиоме тождества
р(х, у) = 0 ^ х = у Vх, у е X
и (?ъ?2) -неравенству треугольника. Понятие (?ь?2) -квазиметрического пространства было введено и изучено в [1].
Пусть (X, р) — (?ъ?2) -квазиметрическое пространство. Обозначим через Q множество всех пар (^ ,^2) е [1, +го)х[1, для которых выполняется , ?2) -неравенство треугольника, т. е.
Q := ,?2) е [1, х [1, : р(х,^) < ?!р(х,у) + р(у,^) Vх,У^ е X}.
Очевидно, что множество Q непусто, выпукло и замкнуто. Кроме того,
Q + = Q.
Если множество Q представимо в виде Q = {(?1,?2)} + то неравенство в (1) является самым точным из всех , ?2) -неравенств треугольника, имеющих место для пространства (X,р), т.е.
qip(x,y) + q2p(y,z) < qip(x,y) + q2P(y,z) Vx,y,z G X, V (qi, ) G Q.
НЕРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА В (q1, q2) -КВАЗИМЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 35
В противном случае самого точного (qi, q2) -неравенства треугольника может не существовать. В связи с этим возникает естественный вопрос: существует ли функция f : R+ ^ R+ такая, что
P(x,z) < f (p(x,y),p(y,z)) < qip(x,y)+ q2P(y,z) Vx,y,z G X V (qi, q2) G Q (2)
и какими свойствами такая функция может обладать? Ответ на этот вопрос дают приведенные ниже предложение 2 и теорема 1. Напомним, что соотношение
P(x,z) < f(p(x,y),p(y,z)) Vx,y,z G X (3)
называется f -неравенством треугольника. Если для функции p выполнено f -неравенство треугольника, и аксиома тождества, то она называется f -квазиметрикой, а пространство (X, p) называется f -квазиметрическим.
2. Уточнение (q1,q2) -неравенства треугольника
Положим
f (r1,r2):= inf (nqi + r2q2), (r1,r2) G R+. (4)
(qi ,q'2 +
Для произвольного множества A С R2 обозначим через c(^, A) : R2 ^ R U |+<^} опорную функцию множества A, т. е.
c(r1,r2,A)= sup (r1a1 + r2a2), (r1,r2) G R2.
Предложение 1. Функция f : R+ ^ R+ корректно определена (т. е. при любом (r1,r2) G R+ инфимум в (4) существует), неотрицательна, непрерывна, вогнута и положительно однородна.
Доказательство. При любом (r1, r2) G R+, поскольку Q С [1, х [1, имеем
nqi + r2q2 > 0 V (q1, q2) G Q.
Следовательно, при любом (r1,r2) G R+ инфимум в (4) существует.
Покажем теперь, что функция f является вогнутой, положительно однородной и непрерывной. Имеем
f (r1, r2) = inf (nqi + r2q2) = - sup (r1 qi + r2q2) = -c(rb r2, -Q). (5)
Опорная функция положительно однородна, выпукла и замкнута (см., например, [2, §1.7]). Поэтому из (5) следует, что функция f положительно однородна и вогнута. Кроме того, R+ лежит в эффективном множестве выпуклой функции c(-, Q). Поэтому (см., например, [2, §1.5]) сужение c(-,Q) на R+ полунепрерывно сверху. Отсюда, из замкнутости c(^,Q) и соотношения (5) следует, что функция f непрерывна. □
Предложение 2. Пусть функция / определена равенством (4). Тогда выполняется соотношение (2).
Доказательство. Возьмем произвольные точки ж, у, г € X и число е > 0. Положим Г1 := р(ж,у) и г2 := р(у,г). Выберем (91,92) Е ф такие, что 91г1 + 92г2 < /(г1,Г2)+ е. Тогда
р(ж, г) < 91Г1 + 92Г2 < /(г1, Г2) + е = /(р(ж, у), р(у, г)) + е.
В силу произвольности выбора е > 0 имеем р(ж, г) < /(р(ж, у), р(у, г)). Кроме того, из (4) следует, что
/(Р(х,У),Р(У,г)) < 9!Р(х,У) + 92Р(У,г) для любых (91,92) € ф. Соотношение (2) доказано. □
3. Сравнение неравенств треугольника
В связи с теоремой 1 представляется естественным найти наименьшую функцию / : ^ К+ такую, что имеет место соотношение (2). Очевидно, что такой функцией является функция /, определенная равенством
/(г1,Г2) = 8ир(р(ж,г) : ж, у, г € X, р(ж,у) = п, р(у,г) = Г2},
если {ж, у, г € X : р(ж,у) = г1, р(у, г) = г2} = 0, и
/ (Г1,Г2) = 0,
если {ж, у, г € X : р(ж,у) = г1, р(у, г) = г2} = 0.
Очевидно, что определенная таким образом функция /, как правило, меньше, чем функция /, определенная соотношением (4). Однако функция /, определенная соотношением (4), является наименьшей функцией, удовлетворяющих соотношению (3) р(ж,г) < /(р(ж, у), р(у, г)) V ж, у, г € X, в классе вогнутых непрерывных положительно однородных функций. А именно, имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть функция / определена равенством (4). Если некоторая функция д : ^ вогнута, положительно однородна, непрерывна и
Р(ж,г) < д(р(ж,у),р(у,г)) Vж,у,г е ^ (6)
то
/(Р(жУ),P(У, г)) < д(Р(жУ),P(У, г)) V^ У, г € X. (7)
Доказательство. Пусть функция д : ^ вогнута, положительно однородна, непрерывна и удовлетворяет соотношению (6). Предположим, что (7) нарушается. Тогда существуют точки ж, у, г € X такие, что /(р(ж, у), р(у, г)) > д(р(ж, у), р(у, г)). Значит, существуют 91 > 0 и 92 > 0 такие, что
/(91,92) >д(91,92). (8)
НЕРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА В (д1, д2) -КВАЗИМЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 37
Покажем, что существуют С1,С2 € К такие, что
< С1Г1 + с2г2 V (г1,г2) € К+, #(гъг2) = С1Г1 + с2г2. (9)
Поскольку функция д вогнута и непрерывна, то множество
А := {(гьг2,у) € К3 : г1 > 0, г2 > 0, у < д(г1,г2)|
выпукло и замкнуто. Кроме того, точка (г^, Г2, д(^, Г2)) не лежит во внутренности А. Поэтому из теоремы об отделимости (см., например, [2, §1.4]) следует, что существует ненулевой вектор (а1,а2, в) € К3 такой, что
«1^1 + «2Г2 + вд(Г1,Г2) > «1Г1 + 0^2 + ву V (г1,г2,у) € А. (10)
Покажем, что в > 0. Предположим, что в = 0. Тогда из (10) следует, что точка (г 1,г2) отделима от что невозможно, так как г1 > 0 и г2 > 0. Предположим, что в < 0. Тогда, поскольку при фиксированном (г1,г2) € число у можно выбрать сколь угодно малым, то правая часть в (9) может быть сколь угодно большой, что невозможно. Итак, в > 0. Поэтому далее, не ограничивая общности, будем считать, что в =1.
Умножим неравенство в (10) на произвольное е > 0. В силу положительной однородности функции д имеем
е(«1Г1 + «2Г2 + вд(Г,Г2)) > «1ег1 + «2ег2 + у V(гь Г2) € К+, Vу < д(ег1,ег2).
Поэтому при любом е > 0 имеет место соотношение
е(а1Г1 + «2Г2 + вд(й,Г2)) > «1Г1 + «2Г2 + у V(Г1,Г2) € К+, Vу < д(г1,г2).
В силу произвольности выбора е > 0 имеем
0 > «1Г1 + «2Г2 + у V (Г1,Г2) € К+, Vу < д(г1,г2),
и, следовательно,
д(г1,Г2) < -«1Г1 - «2Г2 V (Г1,Г2) € К+. (11)
Далее, подставляя г1 = г 1/2, г2 = г2/2, у = д(г1,г2) в неравенство (10), получаем
«1^1 + «2Г2 + д(г1, Г2) > 0.
Отсюда и из (11) получаем, что д(г1,г2) = — а1г1 — а2г2. Таким образом, (9) выполняется с с1 = —а1 и с2 = —а2. Из (6) и (9) следует, что
Р(Ж *) < д(Р(Ж У), P(У, г)) < С1р(ж у) + C2p(y, г) Vж, y, г € X.
Полагая у = г и ж = у в этом неравенстве, получаем с1 > 1; полагая ж = у и у = г в этом неравенстве, получаем с2 > 1. Следовательно, (с1,с2) € Поэтому из (4) и (10) следует, что
/(Г1, Г2) < С1Г1 + С2Г2 = д(г 1, Г2). Это неравенство противоречит неравенству (8). Полученное противоречие доказывает неравенство (7). □
Список литературы
[1] А. В. Арутюнов, А. В. Грешнов, "Теория (51,52) -квазиметрических пространств и точки совпадения", ДАН, 469:5 (2016), 527-531.
[2] А. В. Арутюнов, Лекции по выпуклому и многозначному анализу, Физматлит, М., 2014.
References
[1] A.V. Arutyunov, A.V. Greshnov, "Theory of (q1 ,q2) -quasimetric spaces and coincidence points", Doklady Mathematics, 94:1 (2016), 434-437.
[2] A.V. Arutyunov, Lectures on Convex and Set-Valued Analysis, Fizmatlit, Moscow, 2014 (In Russian).
Информация об авторах
Жуковская Зухра Тагировна, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник центра нелинейного анализа и оптимизации. Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация. E-mail: [email protected]
ORCID: http://orcid.org/0000-0002-4595-6685
Жуковский Сергей Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник центра нелинейного анализа и оптимизации. Российский университет дружбы народов, г. Москва, старший научный сотрудник. Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0002-2686-4654
Сенгупта Ричик, аспирант, факультет физико-математических и естественных наук. Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0001-9916-8177
Конфликт интересов отсутствует.
Для контактов:
Жуковский Сергей Евгеньевич
E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 24.01.2019 г.
Поступила после рецензирования 27.02.2019 г.
Принята к публикации 28.03.2019 г.
Information about the authors
Zukhra T. Zhukovskaya, Candidate of Physics and Mathematics, Researcher at the Center for Nonlinear Analysis and Optimization. RUDN University, Moscow, the Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0002-4595-6685
Sergey E. Zhukovskiy, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher at the Center for Nonlinear Analysis and Optimization. RUDN University, Moscow, Senior Researcher. V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, the Russian Federation. E-mail: [email protected]
ORCID: http://orcid.org/0000-0002-2686-4654
Richik Sengupta, Post-Graduate Student, Faculty of Physics, Mathematics and Natural Sciences. RUDN University, Moscow, the Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0001-9916-8177
There is no conflict of interests.
Corresponding author:
Sergey E. Zhukovskiy E-mail: [email protected]
Received 24 January 2019 Reviewed 27 February 2019 Accepted for press 28 March 2019
