К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки

Том 23, № 121

2018

УДК 517.988.63. 515.124.4

DOL 10.20310/1810-0198-2018-23-121-65-73

К ТЕОРЕМЕ АРУТЮНОВА О ТОЧКАХ СОВПАДЕНИЯ ДВУХ ОТОБРАЖЕНИЙ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

^ В. Мерчела

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная. 33 E-ma.il: [email protected].

Аннотация. В теореме Арутюнова утверждается, что действующие из полного метрического пространства (Х,рх) в метрическое пространство (У,ру) отображения одно из которых является а-накрывающим, а второе — /3-лип-шицевым, с»1 > ¡3, имеют точку совпадения, то есть существует решение уравнения ф(х) = <р(х). Показано, что это утверждение остается справедливым и в случае, если пространство У не является метрическим, достаточно, чтобы функция ру : У2 удовлетворяла только аксиоме тождества. Функция ру может не быть симметрической и не отвечать неравенству треугольника, более того, не обязана удовлетворять /-неравенству треугольника (то есть возможно, что пространство У даже не /-квазиметрическое).

Ключевые слова: точка совпадения; метрическое пространство; накрывающее отображение; липшицево отображение

Введение

A.B. Арутюновым в |1] получены условия существования и оценки точек совпадения отображений tp, действующих из метрического пространства X в метрическое пространство Y. Эти утверждения в последние время находят многочисленные приложения в дифференциальных уравнениях (см. [2]-[4]), интегральных уравнениях (см. [5]), в задачах управления (см. [6]). Требования теоремы Арутюнова к расстоянию могут быть ослаблены. В работе [7] получены аналогичные результаты в — квазиметрических пространствах. В данной работе пространство X предполагается метрическим, а от расстояния в Y только требуется выполнения аксиомы тождества. Такое ослабление условий существования точки совпадения позволяет уточнить, в том числе, и некоторые утверждения процитированных выше работ.

1. Основные понятия

Пусть заданы: метрическое пространство X = (Х,рх) и непустое множество У, на котором определено расстояние — отображение ру : У2 =>> ВЦ., удовлетворяющее условию

ВуЪу2/У ру(у1,у2)=0 СО У1=У2- (1.1)

В пространстве У определим понятие сходимости последовательности }уг D У к элементу у / Y при г =>> 6 соотношением

Vi^y оо т&х}ру(уиу)7 pY(y,yi)^ 0.

Для отображений, действующих из X в У, пользуемся следующими «обычными определениями». Отображение f X > Y называем непрерывным в точке х / X, если для любой сходящейся к х последовательности выполнено f(xi) /(ж).

Отображение / : X =>> У называем за.м'кпу17гым в точке х / X, если из сходимости к ж последовательности з X и существования у / Y такого, что f(xi) =>> у следует равенство f{x) = у. Отображение, непрерывное (замкнутое) во всех точках, называем непрерывным (замкнутым). Отображение / : X =>■ Y называем ¡3 -липшицевым,. ¡3 С 0, если при любых х1, х2 / X выполнено ру /(^i), /(аг2){ > рх(х 1,^2)- Если отображение Р-липшицево, то оно непрерывно. Из непрерывности отображения, очевидно, следует его замкнутость.

Формально переносим на отображения рассматриваемых пространств следующее определение [1].

Определение 1.1. Пусть а > 0. Отображение / : X =>■ Y называется а -накрывающим, если выполнено соотношение

За:« / X Зу/У Ux / X : f(x) = у и рх(х,х0) > -pY f(x),f(xQ){.

а

2. Теорема о точке совпадения отображений

Приведем утверждение, аналогичное теореме Арутюнова, но в котором не требуется, чтобы У было метрическим пространством. Полагаем, что заданы отображения ф, <р : X =>> У. Точкой совпадения этих отображений называют элемент £ / X такой, что

чКО =

Теорема 2.1. Пусть метрическое пространство является полным и выполнены следующие условия: отображение ф : X =>> У является а-накрывающим и замкнутым; отображение ц> : X =>> У является /? -липшицевым. Тогда, если а > f3, то множество точек совпадения отображений ф, <р не пусто, кроме того,

Зхо /х U£/х : = upx(t,x0) > ^дРУ (2-1)

Доказательство. Пусть ж о / X. Построим последовательность }хп D X следующим образом.

Так как отображение ф является а-накрывающим, то существует Х\ / X такой, что ^

ф(хг) = <р(х0), рх(х1,х0) > -ру{ф{х1),ф(х0)) = -ру <р(хо),ф(хо){.

а а

Вследствие липшицсвости отображения выполнено неравенство

рг(<р(х1),ф{х0)) > /Зрх{х 1,Ж0).

Снова, в силу а накрывания отображения ф, существует х2 / X такой, что ф(х2) = (р(х 1), и имеют место неравенства

рх(х2, жх) > —ру(ф(х2),ф(х 1)) > -ру{(р{х 1),^(аг0)) > —рх(х1,х0). а а а

Аналогично, при каждом натуральном п устанавливается существование элемента

хп / X, для которого справедливы соотношения

ф(хп) = ¡р^Хп-г), (2.2)

р /3й-1

Рх(хп,хп_ 1) > -рх{хп- 1,хп_2) > —— Рх{х1,х0). (2.3)

а ап 1

Покажем, что построенная последовательность }хп является фундаментальной.

Из неравенства треугольника, учитывая а > Р, для любых п < т получаем

Рх(хп,хт) > рх(хп,хп+1) + рх{хп+1,хп+2) + (ШХх(х

. Г ру <р(х0),ф(х0){ ^ ру ф0),ф(х0){ /3™-1 ру у(х0),ф(х0){

— ~п- п-М- ^У ^^Т- —

ап а ап+1 а ат 1 а

Таким образом, для любого е > 0, если выбрать

л, , е(а Р)

ру 1р(х0),ф(х0){'

то при всех п,™ > N будет выполнено неравенство рх(хп,хт) < е.

Итак, последовательность }хп является фундаментальной, и в полном пространстве X сходится к некоторой точке £. Докажем, что £ есть точка совпадения отображений ф и (р. Вследствие непрерывности липшицева отображения <р получаем = 11т„ >сс <р(хп). Согласно равенству (2.2) выполнено 11тп„ >00 ф(хп) = Нт,,^,^ =

Отсюда в силу замкнутости отображения ф получаем соотношение

ф(£) = Ига ф(хп) =

Теперь докажем справедливость соотношения (2.1). Из неравенств (2.3) при любим п имеем

рх{хо,хп) > рх{х0,хг) + рх(хг,х2) + (Й8>х(х1ижв) >

>) 1 + ^ + 4 + (Ш> ^Г > 1 Фв),ФЫ{.

/ а а1 ап 1 а ар

Переходя к пределу при п =>> € получаем неравенство (2.1). □

3. Примеры

Приведем примеры отображений, удовлетворяющих условиям теоремы 1, действующих из метрического пространства во множество, не являющееся метрическим пространством. Последнее обстоятельство не позволяет применить к ним результаты [1], в то же время, теорема 1 гарантирует существование точек совпадения и соответствующую оценку (2.1).

Пример 3.1. Пусть каждое из множеств Х,У состоит из пяти элементов: X = };Гг, 1 = 1,5 , У = }уг, г — 1, 5 . В множестве X определим расстояние рх X2 => М+ формулой

ру(УиУ2) = ру{ш,У\) = Ру(УъУь) = ру(Уъ1У1) = ру{У21Уь) = ру(Уъ1У2) = 1/2, ру{Уг, Уг) = о при i = 1,5, ру (Уг, У]) = 3 при остальных (г,з).

Очевидно, X является полным метрическим пространством.

На множестве У зададим расстояние ру : У2 =>• К+ соотношениями

ру(УъУ2) = РуЫ,У\) = 1, Ру(УъУь) = ру(У5,У1) = 1/3, ру(У1,У4> = ргЫ>У1) = 2, ру(У21Уь) = ру(У5,У2) = 1/2, ру(УиШ)= о при г = 1,5, ру(Уг,Уз) = 3 при остальных (г,.?).

Это отображение не удовлетворяет неравенству треугольника, так как

Ру(У\;УЪ) = 1/3, ру(уь,у2) = 1/2, ру(у1,у2) = 1 > 1/3+1/2.

Таким образом, к отображениям, действующим в множество У, не применима теорема Арутюнова [1| о точках совпадения. Однако, то обстоятельство, что У не является метрическим пространством, не препятствует применению теоремы 1. Пусть отображение ф : X =>■ У определено следующим образом

ф(х1) = у1.

Это отображения является накрывающим с коэффициентом

■ 1 ру(УиУз) ... 1-е 2

а = шш \—---, г&з, г,] = 1,5 =

J рх(хихз) 3

Определим отображение (р : X =>> У равенствами

= <р(х2) = (р(х5) = уъ (р(х3) = Уз, <р(хА) = у2. Это отображения является липшицевым с коэффициентом

шах

Ру Ф^)Мхз){ рх(хихз)

ру(У1,Уь) РУ(У1,У2) Ру{У1;У2) ру(УиУ&) МУьЫ МуьУБ) ру(у&,у2) =1

рх(х2,хэ,у рх(^1, ХА) ' Рх{ха, Хъ) ' Рх{хь,х4,у Рх(ж5,ж3)' Рх(х3,ХЛ) 3

Р = шах \---г-, г^ 3, 1,3 = 1,5 =

J Оу(Хг.Хн)

}

Итак, ß < а и выполнены все условия теоремы 1, отображения ф, tp имеют точку совпадения.

Отметим, что в рассмотренном примере не только Y не является метрическим пространством, но и каждое множество ф(Х) —Хр(Х) (с индуцированным расстоянием) также не является метрическим пространством.

Прежде чем привести следующий пример, сформулируем определение /-квази метрического пространства (подробнее см. [8]).

Пусть задана функция / : R+2 =>■ Ш+ такая, что

(га,г2)=>(0,0) О /(гьг2)=>0; (3.1)

говорят, что расстояние р : X'2 =>> К_|_ удовлетворяет f -неравенству треугольника, если выполнено соотношение

Q7>0 3x,y,z / X р(х,у) < а, p(y,z) < а & р(х, z) > f р(х, у), р(у, z){. (3.2)

При выполнении условий (1.1), (3.2) отображение р называют / -квазиметрикой, а пространство (X, р) называют / -квазиметрическим [8]. Согласно [8] /-неравенство треугольника равносильно асимптотическому неравенству треугольника:

p(yi,Zi)^> 0 p{xi,Zi) 0, (3.3)

то есть, если расстояние р удовлетворяет условию (3.2) с функцией /, обладающей свойством (3.1), то р удовлетворяет и соотношению (3.3); обратно, из (3.3) следует существование функции / такой, что имеет место (3.1) и справедливо (3.2).

Пример 3.2. Обозначим через N,Z множества натуральных и целых чисел, соответственно; символом [ (J) — целую часть действительного числа.

Пусть X = г / Z . Определим на этом множестве метрику — симметрическую функцию рх ■ X2 =>> равную

(1, г = 2к, к/П{ }0 , Px\xuxi+i) — i = 2t + 1) k/N{ }0 ,

Px{x-t,x-i-i) = 2([|]1+ 2)'

г+т—1

Px{xbxi+m)= | px(xj,xj+l), i/Z, m/N. J=i

Очевидно, для такой функции выполнено неравенство треугольника.

Покажем что X является полным метрическим пространством. Любая последовательность, содержащая бесконечно много различных элементов этого множества, не является фундаментальной, так как для любого г вследствие расходимости гармонического ряда выполнено lim pxixi-, xj) = G , lim Px(xu xj) = £ ■ Таким образом, фун-

j—>-co ' ' j—t—oo

даментальной может быть только последовательность, которая начиная с некоторого номера постоянна, и такая последовательность, очевидно, сходится.

Далее, зададим множество У = г / Z и определим в нём расстояние — симметрическую функцию ру : У2 со следующими значениями:

Зг / }0 ру{УиУг+г) = МУй^+г) = 1;

( 2 г = 2к

ру(У г,У г1) = ¿ = + }0 ; М1М,У+2)=3;

I т = 2/г, = 2-* + —-1-, т = 2к+ 1, А: / К;

{

2

i+m—1

ру(У-г,У-г^т) = j Рг(У-8, У-s-l), PY (У-i, Ут) = pY (У-i, Уо) + pY (Уо, Ут), ГП / N.

Очевидно, что У не является метрическом пространством, так как при любом i / N выполнено

pY (yi, Уг+1) + PY (y¿+1, Уг+2 ) > pY (Vi, Уг+2) ■

Более того, У не является даже /—квазиметрическим пространством. Действительно, для последовательностей }y¿ , }y¿+1 , }yí+2 имеют место сходимости py{y¿,yí+i) =>■ 0. ру (yi-t-i, Уг+2) =>■ 0. но jjy (yi, y¿+2) = 1- Таким образом, асимптотическое неравенство треугольника (3.3) нарушено.

Определим отображение у : X =>- У соотношениями

^(rEi) = = Уо Зг / N { }0 .

Отображение (р является липшнцевым с коэффициентом

¡3 = шах Х^^ЩМ = тах = шах 11, -, -, (3D = 1.

¿,jeNu{o} J px{Xi,Xj) ijeNu{oj J px(Xi,Xj) J 2 3

Определим отображение

ф : X У, ф(хг) = у~i i / Z,

Это отображение (как и любое определенное на данном пространстве X отображение) является непрерывным, поскольку для любой сходящейся к х / X последовательности }xln D X существует такое п0, что при всех п с п0 выполнено xhi = х. Тогда ф{хгп) = ф(х), и таким образом ф(хгп) => ф{х).

Отображение ф : X =>> У является накрывающим с коэффициентом

. \Ру ФЫ,ф{х^{ . \ру(уиу3)

а = min >----- = mm >---г = 2 > р.

ijez J рх(х i,Xj) ijezj px{xhxj)

Итак, выполнены все условия теоремы 1, и отображения tp и ф имеют точку совпадения. Результаты [1] в данном случае не применимы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады АН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

2. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

3. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

4. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-455.

5. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. Vol. 75. № 3. P. 1026-1044.

6. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями // Автоматика и телемеханика. 2015. № 1. С. 31-56.

7. Арутюнов А.В., Грешнов А.В. Теория (qi,q2) -квазиметрических пространств и точки совпадения // Доклады РАН. 2016. Т. 469. № 5. С. 527-531.

8. Arutyunov A.V., Greshnov A.V., Lokoutsievskii L.V., Storozhuk K.V. Topological and geometrical properties of spaces with symmetric and nonsymmetric f -quasimetrics // Topology Appl. 2017. Vol. 221. P. 178-194.

Поступила в редакцию 24 декабря 2017 г.

Прошла рецензирование 08 февраля 2018 г.

Принята в печать 20 февраля 2018 г.

Мерчела Вассим, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, e-mail: [email protected]

Для цитирования: Мерчела В. К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 121. С. 65-73. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-65-73

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-65-73

ABOUT ARUTYUNOV THEOREM OF COINCIDENCE POINT FOR TWO MAPPING IN METRIC SPACES

< W. Merchela

Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation E-mail: [email protected]

Abstract. In the famous theorem of Arutyunov, it is asserted that the mappings ip, ip, acting from the complete metric space (X,px) to the metric space (Y, py), one of which is a -covering and the second is /3 -Lipschitz, a > /3, have the coincidence point is the solution of the equation ij}(x) = <f(x). We show that this assertion remains valid also in the case when the space Y is not metric it is sufficient that the function py : Y2 =>- M+ satisfies only the axiom of identity. The function py may not be symmetric and does not correspond to the triangle inequality; moreover, it does not have to satisfy the /-triangle inequality (that is, it is possible that the space Y is not even / -quas¡metric)

Keywords: coincidence point; metric space; covering mapping; Lipschitz mapping

REFERENCES

1. Arutyunov A.V. Nakryvayushchie otobrazheniya v metricheskikh prostranstvakh i nepod-vizhnye tochki [Covering mappings in metric spaces and fixed points]. Doklady Akademii nauk -Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 2007, vol. 416, no. 2, pp. 151-155. (In Russian).

2. Avakov E.R., Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ikh pri-lozheniya k differentsial'nym uravneniyam. ne razreshennym otnositel'no proizvodnoy [Covering mappings and their applications to differential equations unsolved for the derivative]. Differen-tsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 5, pp. 613-634. (In Russian).

3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differentsial'nykh urav-neniy, ne razreshennykh otnositel'no proizvodnoy [On the well-posedness of differential equations unsolved for the derivative]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 11, pp. 1523-1537. (In Russian).

4. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Nakryvayushchie otobrazheniya v proizvedenii metricheskikh prostranstv i kraevye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy. ne razreshennykh otnositel'no proizvodnoy [Covering mappings in a product of metric spaces and boundary value problems for differential equations unsolved for the derivative]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2013, vol. 49, no. 4, pp. 439-455. (In Russian).

5. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2012, vol. 75, no. 3, pp. 1026-1044.

6. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Ob upravlenii ob'ektami. dvizhenie kotorykh opisyvaetsya neyavnymi nelineynymi differentsial'nymi uravneniyami [On controlling objects whose motion is

defined by implicit nonlinear differential equations]. Avtomatika i telemekhanika - Automation and Remote Control, 2015, no. 1, pp. 31-56. (In Russian).

7. Arutyunov A.V., Greshnov A.V. Teoriya (51,52) -kvazimetricheskikh prostranstv i tochki sovpadeniya [Theory of (q1,q2) -quasimetric spaces and coincidence points]. Doklady Akademii nauk - Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 2016, vol. 469, no. 5, pp. 527-531. (In Russian).

8. Arutyunov A.V., Greshnov A.V., Lokoutsievskii L.V., Storozhuk K.V. Topological and geometrical properties of spaces with symmetric and nonsymmetric f -quasimetrics. Topology Appl., 2017, vol. 221, pp. 178-194.

Received 24 December 2017 Reviewed 08 February 2018 Accepted for press 20 February 2018

Merchela Wassim, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student, Functional Analysis Department, e-mail: [email protected]

For citation: Merchela W. K teopeme Arutyunova o tochkakh sovpadenya dvukh otobrazhenii metricheskikh prostranstv [About Arutyunov theorem of coincidence point for two mapping in metric spaces]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 121, pp. 65-73. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-65-73 (In Russian, Abstr. in Engl.).