К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки

Том 23, № 121

2018

УДК 517.988.63. 515.124.4

DOL 10.20310/1810-0198-2018-23-121-65-73

К ТЕОРЕМЕ АРУТЮНОВА О ТОЧКАХ СОВПАДЕНИЯ ДВУХ ОТОБРАЖЕНИЙ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

^ В. Мерчела

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная. 33 E-ma.il: mercliela.wassim@gmail.com.

Аннотация. В теореме Арутюнова утверждается, что действующие из полного метрического пространства (Х,рх) в метрическое пространство (У,ру) отображения одно из которых является а-накрывающим, а второе — /3-лип-шицевым, с»1 > ¡3, имеют точку совпадения, то есть существует решение уравнения ф(х) = <р(х). Показано, что это утверждение остается справедливым и в случае, если пространство У не является метрическим, достаточно, чтобы функция ру : У2 удовлетворяла только аксиоме тождества. Функция ру может не быть симметрической и не отвечать неравенству треугольника, более того, не обязана удовлетворять /-неравенству треугольника (то есть возможно, что пространство У даже не /-квазиметрическое).

Ключевые слова: точка совпадения; метрическое пространство; накрывающее отображение; липшицево отображение

Введение

A.B. Арутюновым в |1] получены условия существования и оценки точек совпадения отображений tp, действующих из метрического пространства X в метрическое пространство Y. Эти утверждения в последние время находят многочисленные приложения в дифференциальных уравнениях (см. [2]-[4]), интегральных уравнениях (см. [5]), в задачах управления (см. [6]). Требования теоремы Арутюнова к расстоянию могут быть ослаблены. В работе [7] получены аналогичные результаты в — квазиметрических пространствах. В данной работе пространство X предполагается метрическим, а от расстояния в Y только требуется выполнения аксиомы тождества. Такое ослабление условий существования точки совпадения позволяет уточнить, в том числе, и некоторые утверждения процитированных выше работ.

1. Основные понятия

Пусть заданы: метрическое пространство X = (Х,рх) и непустое множество У, на котором определено расстояние — отображение ру : У2 =>> ВЦ., удовлетворяющее условию

ВуЪу2/У ру(у1,у2)=0 СО У1=У2- (1.1)

В пространстве У определим понятие сходимости последовательности }уг D У к элементу у / Y при г =>> 6 соотношением

Vi^y оо т&х}ру(уиу)7 pY(y,yi)^ 0.

Для отображений, действующих из X в У, пользуемся следующими «обычными определениями». Отображение f X > Y называем непрерывным в точке х / X, если для любой сходящейся к х последовательности выполнено f(xi) /(ж).

Отображение / : X =>> У называем за.м'кпу17гым в точке х / X, если из сходимости к ж последовательности з X и существования у / Y такого, что f(xi) =>> у следует равенство f{x) = у. Отображение, непрерывное (замкнутое) во всех точках, называем непрерывным (замкнутым). Отображение / : X =>■ Y называем ¡3 -липшицевым,. ¡3 С 0, если при любых х1, х2 / X выполнено ру /(^i), /(аг2){ > рх(х 1,^2)- Если отображение Р-липшицево, то оно непрерывно. Из непрерывности отображения, очевидно, следует его замкнутость.

Формально переносим на отображения рассматриваемых пространств следующее определение [1].

Определение 1.1. Пусть а > 0. Отображение / : X =>■ Y называется а -накрывающим, если выполнено соотношение

За:« / X Зу/У Ux / X : f(x) = у и рх(х,х0) > -pY f(x),f(xQ){.

а

2. Теорема о точке совпадения отображений

Приведем утверждение, аналогичное теореме Арутюнова, но в котором не требуется, чтобы У было метрическим пространством. Полагаем, что заданы отображения ф, <р : X =>> У. Точкой совпадения этих отображений называют элемент £ / X такой, что

чКО =

Теорема 2.1. Пусть метрическое пространство является полным и выполнены следующие условия: отображение ф : X =>> У является а-накрывающим и замкнутым; отображение ц> : X =>> У является /? -липшицевым. Тогда, если а > f3, то множество точек совпадения отображений ф, <р не пусто, кроме того,

Зхо /х U£/х : = upx(t,x0) > ^дРУ (2-1)

Доказательство. Пусть ж о / X. Построим последовательность }хп D X следующим образом.

Так как отображение ф является а-накрывающим, то существует Х\ / X такой, что ^

ф(хг) = <р(х0), рх(х1,х0) > -ру{ф{х1),ф(х0)) = -ру <р(хо),ф(хо){.

а а

Вследствие липшицсвости отображения выполнено неравенство

рг(<р(х1),ф{х0)) > /Зрх{х 1,Ж0).

Снова, в силу а накрывания отображения ф, существует х2 / X такой, что ф(х2) = (р(х 1), и имеют место неравенства

рх(х2, жх) > —ру(ф(х2),ф(х 1)) > -ру{(р{х 1),^(аг0)) > —рх(х1,х0). а а а

Аналогично, при каждом натуральном п устанавливается существование элемента

хп / X, для которого справедливы соотношения

ф(хп) = ¡р^Хп-г), (2.2)

р /3й-1

Рх(хп,хп_ 1) > -рх{хп- 1,хп_2) > —— Рх{х1,х0). (2.3)

а ап 1

Покажем, что построенная последовательность }хп является фундаментальной.

Из неравенства треугольника, учитывая а > Р, для любых п < т получаем

Рх(хп,хт) > рх(хп,хп+1) + рх{хп+1,хп+2) + (ШХх(х

. Г ру <р(х0),ф(х0){ ^ ру ф0),ф(х0){ /3™-1 ру у(х0),ф(х0){

— ~п- п-М- ^У ^^Т- —

ап а ап+1 а ат 1 а

Таким образом, для любого е > 0, если выбрать

л, , е(а Р)

ру 1р(х0),ф(х0){'

то при всех п,™ > N будет выполнено неравенство рх(хп,хт) < е.

Итак, последовательность }хп является фундаментальной, и в полном пространстве X сходится к некоторой точке £. Докажем, что £ есть точка совпадения отображений ф и (р. Вследствие непрерывности липшицева отображения <р получаем = 11т„ >сс <р(хп). Согласно равенству (2.2) выполнено 11тп„ >00 ф(хп) = Нт,,^,^ =

Отсюда в силу замкнутости отображения ф получаем соотношение

ф(£) = Ига ф(хп) =

Теперь докажем справедливость соотношения (2.1). Из неравенств (2.3) при любим п имеем

рх{хо,хп) > рх{х0,хг) + рх(хг,х2) + (Й8>х(х1ижв) >

>) 1 + ^ + 4 + (Ш> ^Г > 1 Фв),ФЫ{.

/ а а1 ап 1 а ар

Переходя к пределу при п =>> € получаем неравенство (2.1). □

3. Примеры

Приведем примеры отображений, удовлетворяющих условиям теоремы 1, действующих из метрического пространства во множество, не являющееся метрическим пространством. Последнее обстоятельство не позволяет применить к ним результаты [1], в то же время, теорема 1 гарантирует существование точек совпадения и соответствующую оценку (2.1).

Пример 3.1. Пусть каждое из множеств Х,У состоит из пяти элементов: X = };Гг, 1 = 1,5 , У = }уг, г — 1, 5 . В множестве X определим расстояние рх X2 => М+ формулой

ру(УиУ2) = ру{ш,У\) = Ру(УъУь) = ру(Уъ1У1) = ру{У21Уь) = ру(Уъ1У2) = 1/2, ру{Уг, Уг) = о при i = 1,5, ру (Уг, У]) = 3 при остальных (г,з).

Очевидно, X является полным метрическим пространством.

На множестве У зададим расстояние ру : У2 =>• К+ соотношениями

ру(УъУ2) = РуЫ,У\) = 1, Ру(УъУь) = ру(У5,У1) = 1/3, ру(У1,У4> = ргЫ>У1) = 2, ру(У21Уь) = ру(У5,У2) = 1/2, ру(УиШ)= о при г = 1,5, ру(Уг,Уз) = 3 при остальных (г,.?).

Это отображение не удовлетворяет неравенству треугольника, так как

Ру(У\;УЪ) = 1/3, ру(уь,у2) = 1/2, ру(у1,у2) = 1 > 1/3+1/2.

Таким образом, к отображениям, действующим в множество У, не применима теорема Арутюнова [1| о точках совпадения. Однако, то обстоятельство, что У не является метрическим пространством, не препятствует применению теоремы 1. Пусть отображение ф : X =>■ У определено следующим образом

ф(х1) = у1.

Это отображения является накрывающим с коэффициентом

■ 1 ру(УиУз) ... 1-е 2

а = шш \—---, г&з, г,] = 1,5 =

J рх(хихз) 3

Определим отображение (р : X =>> У равенствами

= <р(х2) = (р(х5) = уъ (р(х3) = Уз, <р(хА) = у2. Это отображения является липшицевым с коэффициентом

шах

Ру Ф^)Мхз){ рх(хихз)

ру(У1,Уь) РУ(У1,У2) Ру{У1;У2) ру(УиУ&) МУьЫ МуьУБ) ру(у&,у2) =1

рх(х2,хэ,у рх(^1, ХА) ' Рх{ха, Хъ) ' Рх{хь,х4,у Рх(ж5,ж3)' Рх(х3,ХЛ) 3

Р = шах \---г-, г^ 3, 1,3 = 1,5 =

J Оу(Хг.Хн)

}

Итак, ß < а и выполнены все условия теоремы 1, отображения ф, tp имеют точку совпадения.

Отметим, что в рассмотренном примере не только Y не является метрическим пространством, но и каждое множество ф(Х) —Хр(Х) (с индуцированным расстоянием) также не является метрическим пространством.

Прежде чем привести следующий пример, сформулируем определение /-квази метрического пространства (подробнее см. [8]).

Пусть задана функция / : R+2 =>■ Ш+ такая, что

(га,г2)=>(0,0) О /(гьг2)=>0; (3.1)

говорят, что расстояние р : X'2 =>> К_|_ удовлетворяет f -неравенству треугольника, если выполнено соотношение

Q7>0 3x,y,z / X р(х,у) < а, p(y,z) < а & р(х, z) > f р(х, у), р(у, z){. (3.2)

При выполнении условий (1.1), (3.2) отображение р называют / -квазиметрикой, а пространство (X, р) называют / -квазиметрическим [8]. Согласно [8] /-неравенство треугольника равносильно асимптотическому неравенству треугольника:

p(yi,Zi)^> 0 p{xi,Zi) 0, (3.3)

то есть, если расстояние р удовлетворяет условию (3.2) с функцией /, обладающей свойством (3.1), то р удовлетворяет и соотношению (3.3); обратно, из (3.3) следует существование функции / такой, что имеет место (3.1) и справедливо (3.2).

Пример 3.2. Обозначим через N,Z множества натуральных и целых чисел, соответственно; символом [ (J) — целую часть действительного числа.

Пусть X = г / Z . Определим на этом множестве метрику — симметрическую функцию рх ■ X2 =>> равную

(1, г = 2к, к/П{ }0 , Px\xuxi+i) — i = 2t + 1) k/N{ }0 ,

Px{x-t,x-i-i) = 2([|]1+ 2)'

г+т—1

Px{xbxi+m)= | px(xj,xj+l), i/Z, m/N. J=i

Очевидно, для такой функции выполнено неравенство треугольника.

Покажем что X является полным метрическим пространством. Любая последовательность, содержащая бесконечно много различных элементов этого множества, не является фундаментальной, так как для любого г вследствие расходимости гармонического ряда выполнено lim pxixi-, xj) = G , lim Px(xu xj) = £ ■ Таким образом, фун-

j—>-co ' ' j—t—oo

даментальной может быть только последовательность, которая начиная с некоторого номера постоянна, и такая последовательность, очевидно, сходится.

Далее, зададим множество У = г / Z и определим в нём расстояние — симметрическую функцию ру : У2 со следующими значениями:

Зг / }0 ру{УиУг+г) = МУй^+г) = 1;

( 2 г = 2к

ру(У г,У г1) = ¿ = + }0 ; М1М,У+2)=3;

I т = 2/г, = 2-* + —-1-, т = 2к+ 1, А: / К;

{

2

i+m—1

ру(У-г,У-г^т) = j Рг(У-8, У-s-l), PY (У-i, Ут) = pY (У-i, Уо) + pY (Уо, Ут), ГП / N.

Очевидно, что У не является метрическом пространством, так как при любом i / N выполнено

pY (yi, Уг+1) + PY (y¿+1, Уг+2 ) > pY (Vi, Уг+2) ■

Более того, У не является даже /—квазиметрическим пространством. Действительно, для последовательностей }y¿ , }y¿+1 , }yí+2 имеют место сходимости py{y¿,yí+i) =>■ 0. ру (yi-t-i, Уг+2) =>■ 0. но jjy (yi, y¿+2) = 1- Таким образом, асимптотическое неравенство треугольника (3.3) нарушено.

Определим отображение у : X =>- У соотношениями

^(rEi) = = Уо Зг / N { }0 .

Отображение (р является липшнцевым с коэффициентом

¡3 = шах Х^^ЩМ = тах = шах 11, -, -, (3D = 1.

¿,jeNu{o} J px{Xi,Xj) ijeNu{oj J px(Xi,Xj) J 2 3

Определим отображение

ф : X У, ф(хг) = у~i i / Z,

Это отображение (как и любое определенное на данном пространстве X отображение) является непрерывным, поскольку для любой сходящейся к х / X последовательности }xln D X существует такое п0, что при всех п с п0 выполнено xhi = х. Тогда ф{хгп) = ф(х), и таким образом ф(хгп) => ф{х).

Отображение ф : X =>> У является накрывающим с коэффициентом

. \Ру ФЫ,ф{х^{ . \ру(уиу3)

а = min >----- = mm >---г = 2 > р.

ijez J рх(х i,Xj) ijezj px{xhxj)

Итак, выполнены все условия теоремы 1, и отображения tp и ф имеют точку совпадения. Результаты [1] в данном случае не применимы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады АН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

2. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

3. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

4. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-455.

5. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. Vol. 75. № 3. P. 1026-1044.

6. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями // Автоматика и телемеханика. 2015. № 1. С. 31-56.

7. Арутюнов А.В., Грешнов А.В. Теория (qi,q2) -квазиметрических пространств и точки совпадения // Доклады РАН. 2016. Т. 469. № 5. С. 527-531.

8. Arutyunov A.V., Greshnov A.V., Lokoutsievskii L.V., Storozhuk K.V. Topological and geometrical properties of spaces with symmetric and nonsymmetric f -quasimetrics // Topology Appl. 2017. Vol. 221. P. 178-194.

Поступила в редакцию 24 декабря 2017 г.

Прошла рецензирование 08 февраля 2018 г.

Принята в печать 20 февраля 2018 г.

Мерчела Вассим, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, e-mail: merchela.wassim@gmail.com

Для цитирования: Мерчела В. К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 121. С. 65-73. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-65-73

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-65-73

ABOUT ARUTYUNOV THEOREM OF COINCIDENCE POINT FOR TWO MAPPING IN METRIC SPACES

< W. Merchela

Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation E-mail: merchela.wassim@gmail.com

Abstract. In the famous theorem of Arutyunov, it is asserted that the mappings ip, ip, acting from the complete metric space (X,px) to the metric space (Y, py), one of which is a -covering and the second is /3 -Lipschitz, a > /3, have the coincidence point is the solution of the equation ij}(x) = <f(x). We show that this assertion remains valid also in the case when the space Y is not metric it is sufficient that the function py : Y2 =>- M+ satisfies only the axiom of identity. The function py may not be symmetric and does not correspond to the triangle inequality; moreover, it does not have to satisfy the /-triangle inequality (that is, it is possible that the space Y is not even / -quas¡metric)

Keywords: coincidence point; metric space; covering mapping; Lipschitz mapping

REFERENCES

1. Arutyunov A.V. Nakryvayushchie otobrazheniya v metricheskikh prostranstvakh i nepod-vizhnye tochki [Covering mappings in metric spaces and fixed points]. Doklady Akademii nauk -Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 2007, vol. 416, no. 2, pp. 151-155. (In Russian).

2. Avakov E.R., Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ikh pri-lozheniya k differentsial'nym uravneniyam. ne razreshennym otnositel'no proizvodnoy [Covering mappings and their applications to differential equations unsolved for the derivative]. Differen-tsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 5, pp. 613-634. (In Russian).

3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differentsial'nykh urav-neniy, ne razreshennykh otnositel'no proizvodnoy [On the well-posedness of differential equations unsolved for the derivative]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 11, pp. 1523-1537. (In Russian).

4. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Nakryvayushchie otobrazheniya v proizvedenii metricheskikh prostranstv i kraevye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy. ne razreshennykh otnositel'no proizvodnoy [Covering mappings in a product of metric spaces and boundary value problems for differential equations unsolved for the derivative]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2013, vol. 49, no. 4, pp. 439-455. (In Russian).

5. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2012, vol. 75, no. 3, pp. 1026-1044.

6. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Ob upravlenii ob'ektami. dvizhenie kotorykh opisyvaetsya neyavnymi nelineynymi differentsial'nymi uravneniyami [On controlling objects whose motion is

defined by implicit nonlinear differential equations]. Avtomatika i telemekhanika - Automation and Remote Control, 2015, no. 1, pp. 31-56. (In Russian).

7. Arutyunov A.V., Greshnov A.V. Teoriya (51,52) -kvazimetricheskikh prostranstv i tochki sovpadeniya [Theory of (q1,q2) -quasimetric spaces and coincidence points]. Doklady Akademii nauk - Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 2016, vol. 469, no. 5, pp. 527-531. (In Russian).

8. Arutyunov A.V., Greshnov A.V., Lokoutsievskii L.V., Storozhuk K.V. Topological and geometrical properties of spaces with symmetric and nonsymmetric f -quasimetrics. Topology Appl., 2017, vol. 221, pp. 178-194.

Received 24 December 2017 Reviewed 08 February 2018 Accepted for press 20 February 2018

Merchela Wassim, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student, Functional Analysis Department, e-mail: merchela.wassim@gmail.com

For citation: Merchela W. K teopeme Arutyunova o tochkakh sovpadenya dvukh otobrazhenii metricheskikh prostranstv [About Arutyunov theorem of coincidence point for two mapping in metric spaces]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 121, pp. 65-73. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-65-73 (In Russian, Abstr. in Engl.).