CC BY
29
УДК 517.988.6, 517.922
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-361-368
О НАКРЫВАНИИ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
© М. В. Борзова, Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский
Для многозначных отображений, действующих в произведении метрических пространств, определено понятие векторного накрывания. Доказан векторный аналог теоремы А.В. Арутюнова о точке совпадения двух многозначных отображений. Ключевые слова: точки совпадения; векторные накрывающие отображения; произведение метрических пространств.
Введение
Определяется свойство векторного накрывания многозначных отображений, действующих в произведениях метрических пространств. Предлагаемое понятие является естественным расширением «классического» накрывания отображений метрических пространств. Доказана теорема о точке совпадения векторно накрывающего и векторно липшицева отображений — аналог теоремы А.В. Арутюнова о точке совпадения двух многозначных отображений (см. [1]—[4]). Доказанное утверждение позволяет исследовать различные системы уравнений, неравенств и включений.
Пусть заданы метрические пространства (Xi, pXi), (Yj, pYj), i = 1,n, j = l,m, и определены многозначные отображения Фj, $j : Y\n=i Xi ^ Yj, j = l, m. Мы рассматриваем систему
( ^i(xi ,...,Xn) n ®i(xi,...,xn) = 0, \.................................., (1)
, xn ) =0J
относительно неизвестного x = (xl,..., xn) € ПП=1 Xi.
Положим Ф = (Ф1,..., Фт), Ф = ($i,..., Фт) и запишем систему (1) в «векторном виде»:
Ф^) П Ф^) = 0 (2)
(здесь символом 0 обозначено пустое подмножество произведения Y).
Решение системы (1) (уравнения (2)) в «скалярном случае» n = m = l называют точкой совпадения многозначных отображений Ф, Ф. Первые результаты о существовании точек совпадения однозначных и многозначных отображений и их свойствах получены А.В. Арутюновым [1] в предположении, что отображение Ф является накрывающим, а отображение Ф — липшицевым. Затем эти исследования были продолжены в ряде работ (см., например, [2]-[8]).
Вначале приведем известное определение (скалярного) накрывания.
Пусть (X,px) — метрическое пространство, U С X . Обозначим через Bx (u,r) замкнутый шар {x € X : px (x,u) < r} с центром в точке u € X радиуса r > 0; положим Bx (U,r) = = U neu Bx(u,r).
Определение 1 [1]. Пусть определены метрические пространства Х,У и задано число а> 0 . Отображение Ф: X ^ У называется а-накрывающим, а число а — коэффициентом накрывания, если для любых г > 0, и € X имеет место вложение
Бу(Ф(и),аг) С Ф(Бх(и,г)).
Свойство а -накрывания равносильно соотношению:
Vи € X Vш € Ф(и) Vу € У 3х € X Ф(х) Э у & рх(х,и) < а-1 ру(у,™). (3)
Применение утверждений о накрывающих отображениях к исследованию уравнения (2) встречает трудности, связанные с определением метрики в произведении метрических пространств, относительно которой выполнялись бы условия соответствующих утверждений. Предлагаемый здесь подход не требует метризации произведений метрических пространств. Вместо метрик в П?=1 XI, Пт=1 Уз, мы используем векторы (рх1,..., рХп), (ру1,..., рут). (подробнее о пространствах с такими «векторными метриками» см., например, ([9], п. 6.3, 6.4)). В терминах этих векторов удается не только исследовать разрешимость уравнения (2), но и получить оценки отклонения каждой компоненты XI решения х от соответствующей компоненты и0 заданного вектора и0 € X, что невозможно, если пользоваться классическими результатами о накрывании в метрических пространствах.
1. Основные обозначения и определения
Стандартно обозначаем Мт — т -мерное вещественное пространство, Мт — конус векторов с неотрицательными компонентами пространства Мт, 1т — единичную т х т матрицу. Для произвольных векторов г1, г2 € Мт полагаем г1 > г2, если г1 — г2 € Мт; обозначаем шт{г\ г2} вектор г = (г1,... ,гт), компоненты которого определяются формулой гз = Ш1\п{г1, г2}, у = 1,т. Напомним, что норму | • |мт в Мт называют монотонной, если для г1,г2 € М7]7", удовлетворяющих неравенству г1 > г2, выполнено ^^кт >|г2|мт.
Пусть заданы метрические пространства Xi,Уj, г = 1,п, у = 1,т. Определим пространства
п т
X = Х\Ъ, У = Цу i=l 3=1
с векторными метриками
Рх = (РХ1 , ... , рх„), Ру = (РУ1 , ... , рут). (4)
Для г = (г1,..., гт) € М], ш = (ш1,..., шт) € У положим
т
БУ(ш, г) = {у € У : Ру(у, ш) < г} = Л Щ , гз).
3=1
Аналогично, для й = (й1,..., йп) € М+, и = (и1,..., ип) € X обозначим
п
Бх (и,й) = Л Бхi (щ,йг).
i=1
Определение 2. Пусть задана п х т матрица А с неотрицательными компонентами а^, г = 1,п, у = 1,т. Отображение Ф: X ^ У будем называть векторно А -накрывающим, если
Vг € Мт Vu € X Ву(Ф(и), г) С Ф(Бх(и, Аг)). (5)
Приведем критерий векторного накрывания.
Предложение 1. Отображение Ф: X ^ У является векторно А -накрывающим тогда и только тогда, когда
Vи £ X Vш £ Ф(и) Vу £ У 3 х £ X Ф(х) э у & Рх(х,и) < Ару (У,ш). (6)
Докажем это утверждение. Пусть, сначала, выполнено свойство (6). Для произвольных г £ М™, и £ X, у £ Ву(Ф(и),г) определим ш £ Ф(и) так, чтобы ру(у,ш) < г. Согласно (6) найдем х, отвечающий условиям Ф(х) э у, Рх(х, и) < Аг. Таким образом, справедливо вложение (5). Обратно, пусть отображение Ф является векторно А -накрывающим. Для любых и £ X, ш £ Ф(и), у £ У определим г = ру(у,ш). Тогда у £ Ву(Ф(и),г) С Ф(В^(и,Аг)), т. е. существует х £ Вх(и, Аг), удовлетворяющий соотношениям Ф(х) эу, рх(х,и) < Аг = Ару(у,ш).
Очевидно, что в случае п = т = 1 определения 1, 2 равносильны: всякое векторно А -накрывающее отображение является а -накрывающим и любое а -накрывающее отображение является векторно А -накрывающим, где А = (ап), ац = а-1.
Определение векторного накрывания, естественно, применимо и к однозначным отображениям: отображение ф : X ^ У будем полагать векторно А -накрывающим, если отображение Ф : X ^ У, Ф(х) = {ф(х)} векторно А -накрывающее согласно определению 2.
Требование накрывания во многих задачах является излишне жестким, многие результаты удается получить при менее ограничительных условиях локального накрывания [6]—[8]. Определим векторный аналог такого понятия.
Итак, пусть заданы множества Ш С У, А С X х М™ и п х т матрица А с неотрицательными компонентами а^, г = 1,п, ] = 1,т.
Определение 3. Отображение Ф: X ^ У будем называть векторно А -накрывающим множество Ш на совокупности А, если для любых (и, г) £ А имеет место включение
Ву(Ф(и), г) р| Ш С Ф (Вх(и, Аг)).
Предложение 2. Отображение Ф: X ^ У является векторно А -накрывающим множество Ш на совокупности А, тогда и только тогда, когда
V и £ X V ш £ Ф(и) V у £ Ш
(и, ру(у,ш)) £ А 3 х £ X Ф(х) э у & рх(х,и) < Ару(у,ш).
Доказательство этого утверждения повторяет приведенное выше доказательство предложения 1.
Определение 3 естественным образом распространяется и на однозначное отображение ф : X ^ У, следует просто применить это определение к соответствующему многозначному отображению, равному Ф(х) = {ф(х)}.
В скалярном случае, т. е. при п = т = 1, А = (а11), определение 3 равносильно предложенному в [8] определению отображения Ф : X ^ У, а -накрывающего множество Ш С У на совокупности © С X х М+, где а = а11-1, © = {(х,г): (х,а-1г) £ А}. В свою очередь определение [8] — это многозначный аналог определения из работы [6]. В связи с этим отметим, что при соответствующем выборе множеств Ш, © цитируемым определениям [6], [8] удовлетворяют различные трактовки понятия накрывания однозначных и многозначных отображений, предлагавшиеся многими авторами. Здесь в качестве А С X х М™ будем выбирать множество, определяемое по заданным векторам и0 £ X, К £ М+ равенством
А (и0 ,К) = {(х, г) £ X х М!р : х £ Вх(и0,К), Аг + рх (х,и0) < К}. (7)
Применительно к такому заданию совокупности А определение 3 означает, что отображение Ф: X ^ У является векторно А -накрывающим множество Ш на совокупности А (и0, Я) тогда и только тогда, когда
Vи € Вх(и0, Я) Vш € Ф(и) Vу € Ш
Ару(у,ш) + рх(и, и0) < Я =^ 3 х € X Ф(х) Э у & рх(х,и) < Ару(у,ш). (8)
Напомним определения еще нескольких понятий, необходимых для формулировки утверждения о разрешимости системы (1).
Под сходимостью хк — х при к — ж в пространстве X понимаем сходимость последовательностей компонент данных векторов, т. е. рхДх%,хг) — 0, г = 1,п, что равносильно сходимости рх(хк, х) — 0 в пространстве Мп. Аналогично понимаем сходимость в произведениях любых метрических пространств (в том числе, в У ив X х У). Естественным образом определяем замкнутость множеств в произведениях пространств. Соответственно, множество V С X х У называем замкнутым, если для любой последовательности векторов (х\,... ,хП, у %,..., ут), к = 1, 2,... из множества V, компоненты которых при к — ж сходятся: рх1 (х% ,{г) — 0, г = 1,п, ру^ (у% ) — 0, у = 1,т, «предельный» вектор ({1,... ,{п,Ш1,... ... , шт) также принадлежит V. Множество V будем называть полным подпространством пространства X х У, если сходится (к элементу из V ) произвольная последовательность векторов, компоненты которых образуют фундаментальные последовательности в соответствующих метрических пространствах.
Для отображения Ф : X ^ У стандартно определяем график — множество
gph(Ф) = {(х,у) € X х У : у € Ф(х)}.
Определение 4. Пусть задана т х п матрица В с неотрицательными компонентами Ъзг, у = 1,т, г = 1,п. Отображение Ф: X ^ У будем называть векторно В -липшицевым относительно множества Ш С У на множестве и С X , если для любых и,х € и выполнено
Ф(х) П Ш С Ву(Ф(и),Врх(х,и)). (9)
Естественно, однозначное отображение ф : X — У называем векторно В -липшицевым относительно множества Ш на множестве и, если определению 4 удовлетворяет соответствующее многозначное отображение, определяемое равенством Ф(х) = {ф(х)}. Это означает, что для любых и,х € и, таких что ф(х) € Ш, выполнено ру(ф(х),ф(и))< Врх(х,и).
Векторно В -липшицево относительно У на всем X отображение будем называть вектор-но В -липшицевым.
В случае, если Ш = Пт=1 Ш, и ^ПП=1 иг, где Шз С Уз, и? С Xг, определение 4 означает, что для произвольного I = 1, п, любых векторов и,х € и, компоненты которых щ,хг при всех г = I совпадают, при всех у = 1,т выполнено
Фз(х) П Шз С Бу (Фз(и), Ъ^рхг(хи иг)). (10)
Отметим, что вложение (9) равносильно соотношению
Vу € Ф(х) П Ш 3 г € Ф(и) ру(у,г) < Врх(х,и), соответственно, вложение (10) — соотношению
V уз € Фз(х) П 3 € Фз(и) ру, у ) < Ъз г рх1 (хг ,иг).
2. Теорема о точке совпадения двух отображений
Сформулируем основное утверждение статьи — векторный аналог теоремы А.В. Арутюнова о точке совпадения двух многозначных отображений.
Теорема 1. Пусть заданы отображения Ф, Ф : X ^ У, элементы и0 € X, у0 € Ф(и0), у1 € Ф(и0), векторы Я € М+, й € М™, п х т матрица А и т х п матрица В такие, что:
(я) Ф является векторно А -накрывающим множество Ш = Ву(у0,й) на совокупности А (и0, Я);
(b) Ф является векторно В -липшицевым относительно множества Ш на множестве и = Вх(и0, Я);
(c) для спектрального радиуса д матрицы В А выполнено д(ВА) < 1;
(ё) имеют место неравенства
г = (1т — ВА)-1ру(у0, у1) < й, Аг < Я.
(е) множества gph(Ф) П(и х Ш), gph(Ф) П(и х Ш) замкнуты и по крайней мере одно из них является полным подпространством пространства X х У.
Тогда существует решение х = £ € X системы (1), удовлетворяющее оценке
Рх &и°) < Аг. (11)
Доказательство. Вначале оценим матрицу (1т — ВА)-1. Эта матрица является сумой ряда 1т + ВА + (ВА)2 + ... (см., например, [10], с. 116). Из неотрицательности элементов матриц А, В следует, что при любом к = 0,1, 2,... выполнено
(1т — В А)-1 > 1т + В А + ... + (ВА)к (12)
(неравенство для матриц понимается, естественно, как неравенство для всех соответствующих элементов).
Покажем, что существуют последовательности {хк}с X, {ук}с У, отвечающие следующим требованиям: х° = и0;
У к = 1, 2,... хк € и, ук € Ф(хк) П Ф(хк-1) П Ш = 0,
Ру(ук,ук-1) < (ВА)к-1ру(у0, у1), Рх(хк,хк-1) < А(ВА)к-1ру(у0, у1). (13)
Проверим справедливость этого утверждения при к = 1. В данном случае первое из неравенств (13) тривиально: ру (у1,у0) < ру {у°,у1).
Положим х0 = и0. Для и = х0, w = у0 € Ф(х0), у = у1 € Ф(х0) выполнено условие импликации (8). Действительно, во-первых, в силу неравенства (12) имеем ру(у0,у1) < (1т — — ВА)-1ру(у°,у1), т.е. ру(у°,у1) < й, у1 € Ш; во-вторых,
Рх(и°, и) + Ару ^, у) = Ару (у0,у1) < А(1т — ВА)-1ру(у° ,у1) = Аг < Я.
В силу предположения (а) согласно (8), существует х1 € X удовлетворяющий включению Ф(х1) Э у1 и неравенству рх(х1 ,х0) < Ару (у1, у0). Из последнего неравенства, согласно (12), следует рх(х1,х°) < Я, т. е. х1 € и. Кроме того, установлено соотношение у1 € Ф(х1) П Ф(х0) П П Ш (из которого очевидно следует, что Ф(х1) П Ф(х0) П Ш = 0 ).
Предполагая, что соотношения (13) имеют место при всех к < к^, докажем их справедливость при к = к0 + 1. Вследствие условия (Ь) существует уко+ € Ф(хко), удовлетворяющий
оценке py(yk°+1, yko) < Bpy(xko,xko-1). Отсюда, в силу предположений индукции, получаем Py(yko+1,yko) < BA(BA)k-1Py [y°,yl). Таким образом, первое из неравенств (13) при k = k0 + 1 справедливо.
Проверим условие импликации (8) для u = xko, w = yko, y = yk°+1. Во-первых, имеем
Py(y0,yk0+1) <Py(y0,y1) + MyW) + ■■■ + Py(yk0,yk0+1) <
<Py(y°,у1) + B(Px(x°,x1) + ... + Py(xko-1,xko)) < < Py (y0,y1) + b[a + A(BA) + ... + A(BÁ)ko-1) Py (y0,y1) =
= (Im + BA + ... + (BA)k0 )Py (y0, y1), (14)
следовательно Py (y° ,yk°+1) < (Im — BA)-1Py (y°,y1) < d, т.е. yko+1 £ W. Во-вторых, справедливы соотношения
Py (u0,u) + APy(w, y) < Py(x°,x1) + ... + Py(xk0-1,xk0) + Apy (yk0 ,yk0+1) <
< Py(x0,x1) + ... + Py(xk0-1,xk0) + ABPy(xk0-1,xk0) <
< A(lm + ... + (BA)ko-1 + (BA)kPy (y0, y1) < A(Im — BA)-1Py (y0, y1) < R.
Таким образом, вследствие условия (a) существует xk°+1 £ X, удовлетворяющий соотношениям ^(xk°+1) Э yko+1, Py(xk°+1, xko) < APy (yko+1,yko). Для этого элемента, учитывая (b) и предположения индукции, получаем оценку
Py(xk0+1, xk0) < ABPy (xko ,xk0-1) < A(BA)k0 Py (y0,y1).
Из данного неравенства следует, что
Py (xk0+1, x0) < A(lm + ... + (BA)k0 )Py (y0, y1) < A(Im — BA)-1Py (y0,y1) , (15)
поэтому Py (xk0+1, x0) < R, т. е. xko+1 £ U. Кроме того, установлено включение yk°+1 £ £ xk°+1) n <^(xk°) n W. _ _
Итак, определены последовательности {xk} С X, {yk}c Y, удовлетворяющие соотношениям (13). Компоненты xk векторов первой последовательности при каждом i = 1,n образуют в Xi фундаментальную последовательность. Действительно, из (c) следует сходимость \\(BA)k ||Rm^Rm — 0 при k — ж; таким образом
V l = 1,2,... Py (xk+l, xk) < A(BA)k {Im + ■■■ + (BA)l-1)Py (y0, y^( <
< A(BA)k(Im — BA)-1Py(y0, y1) — 0, при k — ж.
Аналогично доказывается, что в Yi фундаментальной является последовательность {yk}, i = 1,n.
Так как, согласно условию (e), по крайней мере одна из фундаментальных последовательностей {(xk,yk)} С gph^) P|(U х W), {(xk-1,yk)} С gph($) P|(U x W) принадлежит полному подпространству, то существуют £ £ U, y £ W, £ = xk, y = yk. Из неравенства (15) получаем оценку (11). Вследствие замкнутости множеств gph^) P|(U х W), gph($) P|(U х W), выполнено y £ Ф(£), y £ Ф(£). Таким образом, £ является искомым решением системы (1). Теорема доказана.
Замечание 1. В формулировке теоремы 1 можно заменить матрицу BA матрицей AB. Действительно, ненулевые собственные значения, а следовательно, и спектральные радиусы этих матриц совпадают (см. [11], с. 196). Кроме того, так как p(AB) = p(BA) < 1, то
A(Im — BA)-1 = A(Im + BA + (BA)2 + ...)= A + ABA + ABABA + ... =
= (In + AB + (AB)2 + ...)A = (In — AB )-lA.
Замечание 2. В теореме 1 в случае W = Y из предположения (d) можно удалить первое неравенство, а если U = X, то лишним становится второе неравенство в (d). Таким образом, если отображение Ф: X ^ Y является векторно A -накрывающим, то для утверждения теоремы 1 условие (d) не требуется.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнов А. В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
2. Арутюнов А. В. Устойчивость точек совпадения и многозначные накрывающие отображения в метрических пространствах // Доклады Академии наук. 2009. Т. 427. № 5 С. 583-585.
3. Арутюнов А. В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.
4. Арутюнов А. В. Точки совпадения двух отображений // Функциональный анализ и его приложения. 2014. Т. 48. № 1. С. 89-93.
5. Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S. E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. Iss. 3. P. 1026-1044.
6. Арутюнов А. В., Жуковский Е. С., Жуковский С. Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
7. Жуковский Е. С., Плужникова Е. А. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями // Автоматика и телемеханика. 2015. № 1. С. 31-56.
8. Aram Arutyunov, Valeriano Antunes de Oliveira, Fernando Lobo Pereira, Evgeniy Zhukovskiy and Sergey Zhukovskiy On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2014. P. 1-17. doi:10.1080/00036811.2014.891732
9 . Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.
10. Крейн С. Г., Виленкин Н. Я., Горин Е. А. (Под общей редакцией С.Г. Крейна) Функциональный анализ. СМБ. М.: Наука, 1972.
11. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры М.: Наука, Издательство Физико-математической литературы, 2008.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00877), государственной программы Министерства образования и науки РФ № 2014/285 (проект № 2476).
Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.
Борзова Марина Васильевна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, инженер научно-образовательного центра «Фундаментальные математические исследования», е-mail: bmv_ [email protected]
Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, е-mail: [email protected]
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики, е-mail: [email protected]
UDC 517.988.6, 517.922
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-361-368
ON COVERING OF SET-VALUED MAPPINGS IN CARTESIAN PRODUCTS OF METRIC SPACES
© M.V. Borzova, T.V. Zhukovskaia, E. S. Zhukovskiy
For set-valued mappings acting in Cartesian product of metric spaces, the concept of vector-covering is defined. The vector analog of the Arutyunov coincidence point theorem is proved for set-valued mappings.
Key words: coincidence points; vector-covering mapping; Cartesian product of metric spaces.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 14-01-00877) and by the state program of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation № 2014/285 (project № 2476).
REFERENCES
1. Arutyunov A. V. Nakryvayushchie otobrazheniya v metricheskih prostranstvah i nepodvizhnye tochki // Doklady Akademii nauk. 2007. T. 416. № 2. S. 151-155.
2. Arutyunov A. V. Ustojchivost' tochek sovpadeniya i mnogoznachnye nakryvayushchie otobrazheniya v metricheskih prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2009. T. 427. № 5 S. 583-585.
3. Arutyunov A. V. Ustojchivost' tochek sovpadeniya i svojstva nakryvayushchih otobrazhenij // Matematicheskie zametki. 2009. T. 86. № 2. S. 163-169.
4. Arutyunov A. V. Tochki sovpadeniya dvuh otobrazhenij // Funkcional'nyj analiz i ego prilozheniya. 2014. T. 48. № 1. S. 89-93.
5. Arutyunov A. V., Zhukovskiy E. S., Zhukovskiy S. E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. Iss. 3. P. 1026-1044.
6. Arutyunov A. V., Zhukovskiy E. S., Zhukovskiy S. E. O korrektnosti differencial'nyh uravnenij, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoj // Differencial'nye uravneniya. 2011. T. 47. № 11. S. 1523-1537.
7. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E. A. Ob upravlenii ob"ektami, dvizhenie kotoryh opisyvaetsya neyavnymi nelinejnymi differencial'nymi uravneniyami // Avtomatika i telemekhanika. 2015. № 1. S. 31-56.
8. Aram Arutyunov, Valeriano Antunes de Oliveira, Fernando Lobo Pereira, Evgeniy Zhukovskiy and Sergey Zhukovskiy On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2014. P. 1-17. doi:10.1080/00036811.2014.891732
9. Krasnosel'skij M. A., Vajnikko G. M., Zabrejko P. P., Rutickij YA. B., Stecenko V. YA. Priblizhennoe reshenie operatornyh uravnenij. M.: Nauka, 1969.
10. Krejn S. G., Vilenkin N. YA., Gorin E. A. (Pod obshchej redakciej S.G. Krejna) Funkcional'nyj analiz. SMB. M.: Nauka, 1972.
11. Prasolov V. V. Zadachi i teoremy linejnoj algebry M.: Nauka, Izdatel'stvo Fiziko-matematicheskoj literatury, 2008.
Received 21 March 2016.
Borzova Marina Vasilevna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Engineer of the Research Center «Fundamental Mathematical Research», е-mail: bmv_ [email protected]
Zhukovskaia Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of High Mathematics Department, e-mail: t_ [email protected]
Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics, е-mail: [email protected]
