Научная статья на тему 'О функциональных неравенствах'

О функциональных неравенствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
114
43
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА / НАКРЫВАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ / ПРОСТРАНСТВО С ВЕКТОРНОЗНАЧНОЙ МЕТРИКОЙ / FUNCTIONAL EQUATIONS AND INEQUALITIES / COVERING MAPPINGS / VECTOR SPACE WITH A METRIC

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Жуковская Татьяна Владимировна, Забродский Илья Алексеевич, Серова Ирина Дмитриевна

Рассматривается функциональное уравнение вида gt, x ht, xt =0, относительно измеримой существенно ограниченной функции x t, t∈[a, b]. Получены условия, гарантирующие, что если для некоторой существенно ограниченной функции ut, t∈[a, b] выполнено неравенство g t, uht, ut ≥0, t∈[a, b], то имеет место оценка x(t)≤u(t). Используются результаты Е.С. Жуковского об антитонных возмущениях упорядоченно накрывающих отображений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Жуковская Татьяна Владимировна, Забродский Илья Алексеевич, Серова Ирина Дмитриевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ON FUNCTIONAL INEQUALITIES

The functional equation of the type g t, xht, xt =0 with respect to a measurable essentially bounded function xt, t∈[a, b], is considered. The conditions which guarantee that the inequality g t, uht, ut ≥0, t∈[a, b], satisfied for some essentially bounded function u t, t∈[a, b] implies x(t )≤ u(t ) are derived. The results due to E.S. Zhukovskiy on antitone disturbances of ordered covering mappings are used.

Текст научной работы на тему «О функциональных неравенствах»

Забродский Илья Алексеевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, е-mail: ilyatmb@ya.ru

Серова Ирина Дмитриевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, студент, институт математики, естествознания и информационных технологий, е-mail: zh-imfi.tsu@yandex.ru

UDC 517.988.6, 517.965

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1963-1968

ON FUNCTIONAL INEQUALITIES

© T. V. Zhukovskaya ^ , I. A. Zabrodskiy 2) , I. D. Serova 2)

Tambov State Technical University 106 Sovetskaya St, Tambov, Russian Federation, 392000

E-mail: t_ zhukovskaia@mail.ru 2) Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: zh-imfi.tsu@yandex.ru

The functional equation of the type g(t,x(h(t)),x(t)) =0 with respect to a measurable essentially bounded function x(t), t e [a,b], is considered. The conditions which guarantee that the inequality g(t,u(h(t)),u(t)) > 0, t e [a,b], satisfied for some essentially bounded function u(t), t e [a,b] implies x(t) < u(t) are derived. The results due to E.S. Zhukovskiy on antitone disturbances of ordered covering mappings are used.

Key words: functional equations and inequalities; covering mappings; vector space with a metric

REFERENCES

1. Chaplygin S.A. Osnovaniya novogo sposoba priblizhyonnogo integrirovaniya differencial'nyh uravnenij. M., 1919 (Sobranie sochinenij I. Gostekhizdat, 1948. S. 348-368).

2. Izbrannye trudy N.V. Azbeleva / otv. red. V.P. Maksimov, L.F. Rahmatullina. M. Izhevsk: In-t komp'yuter. issled., 2012. 808 s.

3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33. DOI: 10.1016/j.topol.2014.08.013

4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343. DOI: 10.1016/j.topol.2015.12.044

5. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O tochkah sovpadeniya otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. № 5. S. 475-478.

6. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Tochki sovpadeniya mnogoznachnyh otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady akademii nauk. 2013. T. 453. № 6. S. 595-598.

7 . Zhukovskiy E.S. Ob uporyadochenno nakryvayushchih otobrazheniyah i neyavnyh differencial'nyh neravenstvah // Differencial'nye uravneniya. 2016. T. 52. № 12. S. 1605-1621.

8 . Kollatc L. Funkcional'nyj analiz i vychislitel'naya matematika. M.: Mir, 1969. 448 s.

ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Sciences Fund (project № 15-11-10021) and the Russian Fund for Basic Research (project № 14-01-00877).

1967

Received 21 October 2016

Zhukovskaia Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of High Mathematics Department, e-mail: t_zhukovskaia@mail.ru

Zabrodskiy Il'ya Alekseevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student of the Functional Analysis Department, e-mail: ilyatmb@ya.ru

Serova Irina Dmitrievna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, student of the Institute Mathematic, Natural Sciences and Information Technologies, e-mail: zh-imfi.tsu@yandex.ru

Информация для цитирования:

Жуковская Т.В., Забродский И.А., Серова И.Д. О функциональных неравенствах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1963-1968. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1963-1968

Zhukovskaya T.V., Zabrodskiy I.A., Serova, I.D. O funkcional'nyh neravenstvah [On functional inequalities]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 1963-1968. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1963-1968 (In Russian)

1968

УДК 517.988.6, 517.965

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1969-1973

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ УПОРЯДОЧЕННОГО НАКРЫВАНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИ АНТИТОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

© Е. С. Жуковский ^ , Е. А. Плужникова 2) , Е. М. Якубовская 2)

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: zukovskys@mail.ru 2) Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: pluznikova_elena@mail.ru

Продолжены исследования накрывающих отображений частично упорядоченных пространств, начатые в работах A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy (Topology and its Applications. 2015. V. 179. №1. P. 13-33; 2016. V. 201. P. 330-343). Для многозначных отображений получены условия сохранения свойства упорядоченного накрывания при антитонных возмущениях.

Ключевые слова: частично упорядоченные пространства; многозначные упорядочен-но накрывающие отображения; антитонные возмущения упорядоченно накрывающих отображений

Одним из интенсивно развивающихся направлений современного анализа является теория накрывающих отображений. Фундаментальные результаты о накрывающих отображениях в линейных нормированных и метрических пространствах получены в работах Е.Р. Авакова, А.В. Арутюнова, Б.Д. Гельмана, Л.М. Грейвса, А.В. Дмитрука, А.Д. Иоффе, А.А. Милютина, Б.С. Мордуховича, Н.П. Осмоловского, А. Удерзо и других авторов. В связи с темой настоящей работы отметим, что утверждения об устойчивости к липшицевым возмущениям свойства накрывания многозначных отображений метрических пространствах получены в работах [1]—[3]. В последние годы возник интерес к распространению понятия накрывания на другие классы пространств. Накрывающие отображения пространств с векторнозначными метриками рассмотрены в [4]-[6]. В работах [7]-[10] предложен аналог понятия накрывания для отображений частично упорядоченных пространств, доказаны теоремы о точках совпадения для однозначных и многозначных отображений, частными случаями которых являются классические принципы неподвижных точек. В [11] получено утверждение об антитонных возмущениях упорядоченно накрывающих однозначных отображений. Здесь предлагается аналогичный результат для многозначных отображений упорядоченных пространств.

Частично упорядоченное пространство, т. е. множество X с заданным на нем порядком ^ обозначаем через X = (X, ■<). Для элементов u,v € X и множества U С X будем обозначать

Ox(u) = {x € X : x ^ u}, Ox(U) = [J Ox(u), [v,u]X = {x € X : v ^ x ^ u},

ueu

00X(u) = {x € X : x x u}, O°x(u) = {x € X : x h u}.

Используем также обозначения x ^ u в случае, если u h x, и x — u или u У x, если x ^ u, x = u.

1969

Пусть заданы пространства (X, ■<), (У, ■<). Многозначное отображение Г : X ^ У называем изотонным на множестве V С X, если для любых х,х' € V таких, что х' ^ х и для любого у € Г(х) существует у' € Г(х'), удовлетворяющий неравенству у' < у. Отображение Г : X ^ У называем антитонным на V С X, если для любых х,х' € V, х' ^ х и любого у € € Г(х) существует у' € Г(х'), удовлетворяющий неравенству у' У у. Изотонное (антитонное) на всем X отображение называем изотонным (антитонным) (не упоминая множество X).

В [8], [10] введено следующее

Определение 1. Говорим, что отображение Г: X ^ У упорядоченно накрывает или является упорядоченно накрывающим множество Ш С У, если для любого х € X выполнено включение

Оу (Г(х)) П Ш С Г (Ох (х)).

Отображение, упорядоченно накрывающее все пространство У, называется упорядоченно накрывающим.

Из приведенного определения следует, что отображение Г : X ^ У упорядоченно накрывает множество Ш тогда и только тогда, когда выполнено соотношение

V х € X V у € Г(х) V у' € Ш у' ^ у ^ 3 х' € X у' € Г(х') & х' < х.

Устойчивость свойства упорядоченного накрывания при антитонных возмущениях понимается следующим образом. Пусть задано отображение Т : X2 ^ У, которое по первому аргументу является накрывающим некоторое множество. Устойчивость свойства накрывания означает, что если по второму аргументу отображение Т антитонное, то отображение Г : X ^ У, определенное соотношением

Г(х) = Т(х,х) Vx € X, (1)

накрывающее. Этот подход к проблеме устойчивости накрывания в метрических пространствах был предложен в [1], где рассматривалось однозначное отображение Т двух аргументов, являющееся по первому из них (метрически) а -накрывающим, а по второму в -липшицевым, и утверждалось что отображение Г будет а — в -накрывающим. Соответствующий результат для многозначных отображений получен в [12]. Такая трактовка устойчивости свойства накрывания является естественным обобщением подхода к трактовке этой проблемы в линейных пространствах: известная теорема Милютина [13] о липшицевых возмущениях накрывающего однозначного отображения, действующего в линейное метрическое пространство утверждает, что разность а -накрывающего и в -липшицева отображений является а — в -накрывающим отображением.

По отображению Т: X2 ^ У и элементу у' € У определим множество 8х(¥,у') всех цепей 5 С X таких, что

V х € 5 3 у € Т(х,х) у У у', Vх1,х2 € 5 х1 — х2 ^ 3 у € Т(х1,х2) у ^ у'.

Теорема 1. Пусть при любом х € X отображение Т(-,х): X ^ У упорядоченно накрывает множество Ш С У; отображение Т(х, ■) : X У является антитонным на множестве ОХ(х); для любого у' € Ш любая цепь 5 €8х (Т,у') ограничена снизу и имеет такую нижнюю границу ш € X, что существует элемент у € Т(ш,ш), удовлетворяющий неравенству у У у'. Тогда определенное соотношением (1) отображение Г : X ^ У упорядоченно накрывает множество Ш С У.

1970

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. Iss. 3. P. 1026-1044.

3. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

4. Жуковский Е.С. О возмущениях накрывающих отображений в пространствах с векторнозначной метрикой // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 2. С. 373-377.

5 . Жуковский Е.С. О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 2(236). С. 297-311.

6 . Жуковский Е.С. О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств // Математические заметки. 2016. Т. 100. № 3. С. 344-362.

7. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33.

8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.

9. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 5. С. 475-478.

10 . Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады академии наук. 2013. Т. 453. № 6. С. 595-598.

11 . Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1605-1621.

12 . Aram Arutyunov, Valeriano Antunes de Oliveira, Fernando Lobo Pereira, Evgeniy Zhukovskiy and Sergey Zhukovskiy. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. № 1. P. 129-143.

13 . Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // УМН. 1980. Т. 35. № 6(216). С. 11-46.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 14-01-97504, 15-01-05134) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ № НШ-8215.2016.1.

Поступила в редакцию 24 октября 2016 г.

Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики; Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, е-mail: zukovskys@mail.ru

Плужникова Елена Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: pluznikova_elena@mail.ru

Якубовская Екатерина Михайловна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, е-mail: yak.cat1306@gmail.com

1971

UDC 517.988.6, 517.965

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1969-1973

ON STABILITY OF ORDERED COVERING OF MULTI-VALUED MAPPINGS

UNDER ANTITONE DISTURBANCES

© E. S. Zhukovskiy ^ , E. A. Pluzhnikova 2) , E. M. Yakubovskaya 2)

Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 The Peoples' Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: zukovskys@mail.ru 2) Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: pluznikova_elena@mail.ru

The study of covering mappings of partially ordered spaces, initiated in the works of A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy (Topology and its Applications. 2015. V. 179. №1. P. 13-33; 2016. V. 201. P. 330-343), is continued. For multi-valued mappings, the conditions of preserving the property of ordered covering under antitone disturbances are derived.

Key words: partially ordered spaces; multi-valued covering mappings; antitone disturbances of ordered covering mappings

REFERENCES

1. Avakov E.R., Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ih prilozheniya k differentsial'nym uravneniyam, ne razreshennym otnositel'no proizvodnoj // Differentsial'nye uravneniya. 2009. T. 45. № 5. S. 613-634.

2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. Iss. 3. P. 1026-1044.

3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differentsial'nyh uravnenij, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoj // Differentsial'nye uravneniya. 2011. T. 47. № 11. S. 1523-1537.

4 . Zhukovskiy E.S. O vozmushcheniyah nakryvayushchih otobrazhenij v prostranstvah s vektornoznachnoj metrikoj // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016. T. 21. Vyp. 2. S. 373-377.

5 . Zhukovskiy E.S. O vozmushcheniyah vektorno nakryvayushchih otobrazhenij i sistemah uravnenij v metricheskih prostranstvah // Sibirskij matematicheskij zhurnal. 2016. T. 57. № 2(236). S. 297-311.

6 . Zhukovskiy E.S. O tochkah sovpadeniya mnogoznachnyh vektornyh otobrazhenij metricheskih prostranstv // Matematicheskie zametki. 2016. T. 100. № 3. S. 344-362.

7. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33.

8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.

9. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O tochkah sovpadeniya otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. № 5. S. 475-478.

10. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Tochki sovpadeniya mnogoznachnyh otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady akademii nauk. 2013. T. 453. № 6. S. 595-598.

11 . Zhukovskiy E.S. Ob uporyadochenno nakryvayushchih otobrazheniyah i neyavnyh differentsial'nyh neravenstvah // Differentsial'nye uravneniya. 2016. T. 52. № 12. S. 1605-1621.

12 . Aram Arutyunov, Valeriano Antunes de Oliveira, Fernando Lobo Pereira, Evgeniy Zhukovskiy and Sergey Zhukovskiy. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. № 1. P. 129-143.

13 . Dmitruk A.V., Milyutin A.A., Osmolovskij N.P. Teorema Lyusternika i teoriya ekstremuma // UMN. 1980. T. 35. № 6(216). S. 11-46.

1972

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.