CC BY
53
Забродский Илья Алексеевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, е-mail: ilyatmb@ya.ru
Серова Ирина Дмитриевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, студент, институт математики, естествознания и информационных технологий, е-mail: zh-imfi.tsu@yandex.ru
UDC 517.988.6, 517.965
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1963-1968
ON FUNCTIONAL INEQUALITIES
© T. V. Zhukovskaya ^ , I. A. Zabrodskiy 2) , I. D. Serova 2)
Tambov State Technical University 106 Sovetskaya St, Tambov, Russian Federation, 392000
E-mail: t_ zhukovskaia@mail.ru 2) Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: zh-imfi.tsu@yandex.ru
The functional equation of the type g(t,x(h(t)),x(t)) =0 with respect to a measurable essentially bounded function x(t), t e [a,b], is considered. The conditions which guarantee that the inequality g(t,u(h(t)),u(t)) > 0, t e [a,b], satisfied for some essentially bounded function u(t), t e [a,b] implies x(t) < u(t) are derived. The results due to E.S. Zhukovskiy on antitone disturbances of ordered covering mappings are used.
Key words: functional equations and inequalities; covering mappings; vector space with a metric
REFERENCES
1. Chaplygin S.A. Osnovaniya novogo sposoba priblizhyonnogo integrirovaniya differencial'nyh uravnenij. M., 1919 (Sobranie sochinenij I. Gostekhizdat, 1948. S. 348-368).
2. Izbrannye trudy N.V. Azbeleva / otv. red. V.P. Maksimov, L.F. Rahmatullina. M. Izhevsk: In-t komp'yuter. issled., 2012. 808 s.
3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33. DOI: 10.1016/j.topol.2014.08.013
4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343. DOI: 10.1016/j.topol.2015.12.044
5. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O tochkah sovpadeniya otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. № 5. S. 475-478.
6. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Tochki sovpadeniya mnogoznachnyh otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady akademii nauk. 2013. T. 453. № 6. S. 595-598.
7 . Zhukovskiy E.S. Ob uporyadochenno nakryvayushchih otobrazheniyah i neyavnyh differencial'nyh neravenstvah // Differencial'nye uravneniya. 2016. T. 52. № 12. S. 1605-1621.
8 . Kollatc L. Funkcional'nyj analiz i vychislitel'naya matematika. M.: Mir, 1969. 448 s.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Sciences Fund (project № 15-11-10021) and the Russian Fund for Basic Research (project № 14-01-00877).
1967
Received 21 October 2016
Zhukovskaia Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of High Mathematics Department, e-mail: t_zhukovskaia@mail.ru
Zabrodskiy Il'ya Alekseevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student of the Functional Analysis Department, e-mail: ilyatmb@ya.ru
Serova Irina Dmitrievna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, student of the Institute Mathematic, Natural Sciences and Information Technologies, e-mail: zh-imfi.tsu@yandex.ru
Информация для цитирования:
Жуковская Т.В., Забродский И.А., Серова И.Д. О функциональных неравенствах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1963-1968. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1963-1968
Zhukovskaya T.V., Zabrodskiy I.A., Serova, I.D. O funkcional'nyh neravenstvah [On functional inequalities]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 1963-1968. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1963-1968 (In Russian)
1968
УДК 517.988.6, 517.965
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1969-1973
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ УПОРЯДОЧЕННОГО НАКРЫВАНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИ АНТИТОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
© Е. С. Жуковский ^ , Е. А. Плужникова 2) , Е. М. Якубовская 2)
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: zukovskys@mail.ru 2) Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: pluznikova_elena@mail.ru
Продолжены исследования накрывающих отображений частично упорядоченных пространств, начатые в работах A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy (Topology and its Applications. 2015. V. 179. №1. P. 13-33; 2016. V. 201. P. 330-343). Для многозначных отображений получены условия сохранения свойства упорядоченного накрывания при антитонных возмущениях.
Ключевые слова: частично упорядоченные пространства; многозначные упорядочен-но накрывающие отображения; антитонные возмущения упорядоченно накрывающих отображений
Одним из интенсивно развивающихся направлений современного анализа является теория накрывающих отображений. Фундаментальные результаты о накрывающих отображениях в линейных нормированных и метрических пространствах получены в работах Е.Р. Авакова, А.В. Арутюнова, Б.Д. Гельмана, Л.М. Грейвса, А.В. Дмитрука, А.Д. Иоффе, А.А. Милютина, Б.С. Мордуховича, Н.П. Осмоловского, А. Удерзо и других авторов. В связи с темой настоящей работы отметим, что утверждения об устойчивости к липшицевым возмущениям свойства накрывания многозначных отображений метрических пространствах получены в работах [1]—[3]. В последние годы возник интерес к распространению понятия накрывания на другие классы пространств. Накрывающие отображения пространств с векторнозначными метриками рассмотрены в [4]-[6]. В работах [7]-[10] предложен аналог понятия накрывания для отображений частично упорядоченных пространств, доказаны теоремы о точках совпадения для однозначных и многозначных отображений, частными случаями которых являются классические принципы неподвижных точек. В [11] получено утверждение об антитонных возмущениях упорядоченно накрывающих однозначных отображений. Здесь предлагается аналогичный результат для многозначных отображений упорядоченных пространств.
Частично упорядоченное пространство, т. е. множество X с заданным на нем порядком ^ обозначаем через X = (X, ■<). Для элементов u,v € X и множества U С X будем обозначать
Ox(u) = {x € X : x ^ u}, Ox(U) = [J Ox(u), [v,u]X = {x € X : v ^ x ^ u},
ueu
00X(u) = {x € X : x x u}, O°x(u) = {x € X : x h u}.
Используем также обозначения x ^ u в случае, если u h x, и x — u или u У x, если x ^ u, x = u.
1969
Пусть заданы пространства (X, ■<), (У, ■<). Многозначное отображение Г : X ^ У называем изотонным на множестве V С X, если для любых х,х' € V таких, что х' ^ х и для любого у € Г(х) существует у' € Г(х'), удовлетворяющий неравенству у' < у. Отображение Г : X ^ У называем антитонным на V С X, если для любых х,х' € V, х' ^ х и любого у € € Г(х) существует у' € Г(х'), удовлетворяющий неравенству у' У у. Изотонное (антитонное) на всем X отображение называем изотонным (антитонным) (не упоминая множество X).
В [8], [10] введено следующее
Определение 1. Говорим, что отображение Г: X ^ У упорядоченно накрывает или является упорядоченно накрывающим множество Ш С У, если для любого х € X выполнено включение
Оу (Г(х)) П Ш С Г (Ох (х)).
Отображение, упорядоченно накрывающее все пространство У, называется упорядоченно накрывающим.
Из приведенного определения следует, что отображение Г : X ^ У упорядоченно накрывает множество Ш тогда и только тогда, когда выполнено соотношение
V х € X V у € Г(х) V у' € Ш у' ^ у ^ 3 х' € X у' € Г(х') & х' < х.
Устойчивость свойства упорядоченного накрывания при антитонных возмущениях понимается следующим образом. Пусть задано отображение Т : X2 ^ У, которое по первому аргументу является накрывающим некоторое множество. Устойчивость свойства накрывания означает, что если по второму аргументу отображение Т антитонное, то отображение Г : X ^ У, определенное соотношением
Г(х) = Т(х,х) Vx € X, (1)
накрывающее. Этот подход к проблеме устойчивости накрывания в метрических пространствах был предложен в [1], где рассматривалось однозначное отображение Т двух аргументов, являющееся по первому из них (метрически) а -накрывающим, а по второму в -липшицевым, и утверждалось что отображение Г будет а — в -накрывающим. Соответствующий результат для многозначных отображений получен в [12]. Такая трактовка устойчивости свойства накрывания является естественным обобщением подхода к трактовке этой проблемы в линейных пространствах: известная теорема Милютина [13] о липшицевых возмущениях накрывающего однозначного отображения, действующего в линейное метрическое пространство утверждает, что разность а -накрывающего и в -липшицева отображений является а — в -накрывающим отображением.
По отображению Т: X2 ^ У и элементу у' € У определим множество 8х(¥,у') всех цепей 5 С X таких, что
V х € 5 3 у € Т(х,х) у У у', Vх1,х2 € 5 х1 — х2 ^ 3 у € Т(х1,х2) у ^ у'.
Теорема 1. Пусть при любом х € X отображение Т(-,х): X ^ У упорядоченно накрывает множество Ш С У; отображение Т(х, ■) : X У является антитонным на множестве ОХ(х); для любого у' € Ш любая цепь 5 €8х (Т,у') ограничена снизу и имеет такую нижнюю границу ш € X, что существует элемент у € Т(ш,ш), удовлетворяющий неравенству у У у'. Тогда определенное соотношением (1) отображение Г : X ^ У упорядоченно накрывает множество Ш С У.
1970
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. Iss. 3. P. 1026-1044.
3. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
4. Жуковский Е.С. О возмущениях накрывающих отображений в пространствах с векторнозначной метрикой // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 2. С. 373-377.
5 . Жуковский Е.С. О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 2(236). С. 297-311.
6 . Жуковский Е.С. О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств // Математические заметки. 2016. Т. 100. № 3. С. 344-362.
7. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33.
8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.
9. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 5. С. 475-478.
10 . Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады академии наук. 2013. Т. 453. № 6. С. 595-598.
11 . Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1605-1621.
12 . Aram Arutyunov, Valeriano Antunes de Oliveira, Fernando Lobo Pereira, Evgeniy Zhukovskiy and Sergey Zhukovskiy. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. № 1. P. 129-143.
13 . Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // УМН. 1980. Т. 35. № 6(216). С. 11-46.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 14-01-97504, 15-01-05134) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ № НШ-8215.2016.1.
Поступила в редакцию 24 октября 2016 г.
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики; Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, е-mail: zukovskys@mail.ru
Плужникова Елена Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: pluznikova_elena@mail.ru
Якубовская Екатерина Михайловна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, е-mail: yak.cat1306@gmail.com
1971
UDC 517.988.6, 517.965
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1969-1973
ON STABILITY OF ORDERED COVERING OF MULTI-VALUED MAPPINGS
UNDER ANTITONE DISTURBANCES
© E. S. Zhukovskiy ^ , E. A. Pluzhnikova 2) , E. M. Yakubovskaya 2)
Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 The Peoples' Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: zukovskys@mail.ru 2) Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: pluznikova_elena@mail.ru
The study of covering mappings of partially ordered spaces, initiated in the works of A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy (Topology and its Applications. 2015. V. 179. №1. P. 13-33; 2016. V. 201. P. 330-343), is continued. For multi-valued mappings, the conditions of preserving the property of ordered covering under antitone disturbances are derived.
Key words: partially ordered spaces; multi-valued covering mappings; antitone disturbances of ordered covering mappings
REFERENCES
1. Avakov E.R., Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ih prilozheniya k differentsial'nym uravneniyam, ne razreshennym otnositel'no proizvodnoj // Differentsial'nye uravneniya. 2009. T. 45. № 5. S. 613-634.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. Iss. 3. P. 1026-1044.
3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differentsial'nyh uravnenij, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoj // Differentsial'nye uravneniya. 2011. T. 47. № 11. S. 1523-1537.
4 . Zhukovskiy E.S. O vozmushcheniyah nakryvayushchih otobrazhenij v prostranstvah s vektornoznachnoj metrikoj // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016. T. 21. Vyp. 2. S. 373-377.
5 . Zhukovskiy E.S. O vozmushcheniyah vektorno nakryvayushchih otobrazhenij i sistemah uravnenij v metricheskih prostranstvah // Sibirskij matematicheskij zhurnal. 2016. T. 57. № 2(236). S. 297-311.
6 . Zhukovskiy E.S. O tochkah sovpadeniya mnogoznachnyh vektornyh otobrazhenij metricheskih prostranstv // Matematicheskie zametki. 2016. T. 100. № 3. S. 344-362.
7. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33.
8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.
9. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O tochkah sovpadeniya otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. № 5. S. 475-478.
10. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Tochki sovpadeniya mnogoznachnyh otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady akademii nauk. 2013. T. 453. № 6. S. 595-598.
11 . Zhukovskiy E.S. Ob uporyadochenno nakryvayushchih otobrazheniyah i neyavnyh differentsial'nyh neravenstvah // Differentsial'nye uravneniya. 2016. T. 52. № 12. S. 1605-1621.
12 . Aram Arutyunov, Valeriano Antunes de Oliveira, Fernando Lobo Pereira, Evgeniy Zhukovskiy and Sergey Zhukovskiy. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. № 1. P. 129-143.
13 . Dmitruk A.V., Milyutin A.A., Osmolovskij N.P. Teorema Lyusternika i teoriya ekstremuma // UMN. 1980. T. 35. № 6(216). S. 11-46.
1972
